Stopniowane (matematyka)

W matematyce termin „ stopniowany ” ma wiele znaczeń, głównie powiązanych:

W algebrze abstrakcyjnej odnosi się do rodziny pojęć:

$,$ $I$ że struktura algebraiczna jest oceniana dla $ocenę$ $I$ indeksów ${\ textstyle X = \ bigoplus _ {i \ in I} X_ {i}}$ ${\textstyle X=\bigoplus _{i\in I}X_{i}}$ jeśli ma gradację lub $X$ $X$ . rozkład na sumę bezpośrednią struktur; elementy ${\ displaystyle X_ {i}}$ $X_{i}$ nazywamy „ jednorodnymi stopnia i ” .
- $i$ indeksów $.$ najczęściej lub może wymagać dodatkowej struktury $w$ $od$ .
- Z $} / 2 \ mathbb {Z} } )$ ${\ Displaystyle \ mathbb$ jest ważne; patrz np. $podpisany$ ( zestawy stopniowane)
- Trywialna gradacja ( lub ma $X$ $X_ {0} = X, X_ {i} N {\ Displaystyle \ mathbb {$ ${\ Displaystyle$ - ) dla i odpowiedniej trywialnej struktury $\$ $0}$ .
- Mówi się, że struktura algebraiczna jest podwójnie stopniowana, jeśli zbiór indeksów jest bezpośrednim iloczynem zbiorów; pary można nazwać „ dwustopniowymi ” (np. patrz Sekwencja widmowa ).
ZA ${\ displaystyle I}$ $I$ - stopniowana przestrzeń wektorowa lub stopniowana przestrzeń liniowa jest zatem przestrzenią wektorową z rozkładem na sumę bezpośrednią ${\ textstyle V = \ bigoplus _ {i \ in I} V_ {i}}$ ${\textstyle V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}}$ spacji.
- Stopniowana mapa liniowa to mapa między stopniowanymi przestrzeniami wektorowymi z uwzględnieniem ich gradacji.
Stopniowany pierścień to pierścień , który jest bezpośrednią sumą addytywnych grup abelowych takich, że $jot$ $R_{i}$ $i} R_ {j} \ subseteq R_ {i + j}}$ $R_{i}R_{j}\subseteq R_{{i+j}}$ ${Z}}$ $\mathbb {Z}$ z $zaczerpniętym$ $i$ z jakiegoś monoidu , zwykle lub lub $mathbb$ $\mathbb {N}$ półgrupa (dla pierścienia bez tożsamości ).
- Powiązany stopniowany pierścień pierścienia przemiennego $\ textstyle \ operatorname$ odniesieniu do właściwego ideału to $⨁$ $R$ .
Moduł stopniowany to pozostawiony moduł ${\ Displaystyle R_ {i} M_ {j} \ subseteq M_ {i + j}}$ $R_{i}M_{j}\subseteq M_{{i+j}}$ stopniowanym pierścieniu, który jest $bezpośrednią$ $M$ sumą spełniających ${\ textstyle \ bigoplus _ {i \ in I} M_$ ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}M_{i}}$ .
- Powiązany stopniowany moduł modułu ${\ textstyle \ operatorname {gr} _ {I} M = \ bigoplus _ {n \ in \mathbb {N}} I ^ {n} M/I ^ {n+1} M}$ odniesieniu $to$ $=$ $/$ n .
- Z $\ Displaystyle d \ okrężnica M \ do M \ okrężnica M_ {i} \ do M_ {i + 1}}$ M $\ displaystyle \ mathbb {Z}$ różnicowy $moduł$ lub moduł DG modułem stopniowanym z re $M$ czyniąc ${\ Displaystyle M}$ kompleksem łańcuchowym , tj ${\ displaystyle d \ circ d = 0}$ .
Algebra stopniowana to algebra nad pierścieniem $,$ $A$ $oceniany$ $R$ jako pierścień ${\ Displaystyle R}$ $R$ jest oceniany, również wymagamy ${j} \ subseteq A_ {i + j} \ supseteq R_ {i }A_{j}}$ $A_{i}R_{j}\subseteq A_{i+j}\supseteq R_{i}A_{j}$ .
- Stopniowana reguła $algebrze$ mapy stopniowanej określa $)$ ${\ Displaystyle d (a \ cdot b) = (da) \ cdot b + (-1) ^ {| a |} a \ cdot (db)}$ .
- różniczkowa stopniowana , DG-algebra lub DGAlgebra jest algebrą stopniowaną, która jest stopniowanym modułem różniczkowym, którego różniczka jest zgodna ze stopniowaną regułą Leibniza.
- Jednorodne wyprowadzenie na stopniowanej algebrze A jest jednorodną mapą liniową stopnia d = | D | na A takie, że ${\ Displaystyle D (ab) = D (a) b + \ varepsilon ^ {| a || D |} aD (b), \ varepsilon = \ pm 1} działając na jednorodnych$ elementach A .
- Stopniowane wyprowadzenie to suma jednorodnych wyprowadzeń z tym samym ${\ displaystyle \ varepsilon}$ .
- DGA jest rozszerzoną algebrą DG lub algebrą rozszerzoną o stopniach różniczkowych ( patrz Algebra stopniowana różniczkowa ).
- Superalgebra jest $_$ $\mathbb {Z} _{2}$ stopniowaną _
  - Stopniowo przemienna superalgebra spełnia prawo „superprzemiennej” ${\ Displaystyle yx = (-1) ^ {| x|| y|} xy.}$ dla jednorodnego x , y , gdzie ${\ styl wyświetlania | a |}$ reprezentuje „parzystość” $tj$ . 0 lub 1 w zależności od składnika, w którym się znajduje.
- CDGA może odnosić się do kategorii rozszerzonych algebr przemiennych stopniowanych różniczkowo.
Stopniowana algebra Liego to algebra Liego , która jest oceniana jako przestrzeń wektorowa według stopniowania zgodnego z nawiasem Liego.
- Stopniowana superalgebra Liego jest stopniowaną algebrą Liego ze złagodzonym wymogiem antyprzemienności nawiasu Liego.
- Superalgebra Liego z supergradacją $to$ z dodatkową super- gradacją.
- Różniczkowa ${\ Displaystyle [\,] \ dwukropek L_ {i} \ otimes L_ {j} \ do L_ {i + j}}$ algebra Liego to stopniowana przestrzeń wektorowa nad polem charakterystycznego zera wraz z dwuliniową mapą jot i różnica ${\ Displaystyle d \ dwukropek L_ {i} \ do L_ {i-1}}$ satysfakcjonujące ${\ Displaystyle [x, y] = (-1) ^ {| x | | y | + 1} [y, x],}$ dla dowolnych elementów jednorodnych x , y w L , „stopniowana tożsamość Jacobiego ” i stopniowana reguła Leibniza.
Grupa Graded Brauera jest synonimem grupy Brauera – Walla, $skończenie$ algebry z podziałem na F
Za { $}}}$ ${\mathcal {A}}$ $A$ ${\mathcal {A}}$ - kategoria stopniowana dla kategorii jest kategorią wraz z funktorem $}}}$ ${\mathcal {C}}$ ${\ Displaystyle F \ okrężnica {\ mathcal {C}} \ rightarrow {\ mathcal {A}}}$ $F\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {A}}$ .
- Kategoria stopniowana różnicowo lub kategoria DG to kategoria, której zbiory morfizmu tworzą ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ -moduły.
Rozmaitość stopniowana – rozwinięcie koncepcji rozmaitości opartej na ideach pochodzących z supersymetrii i algebry superprzemiennej , w tym rozdziały dotyczące

W innych dziedzinach matematyki:

Funkcjonalnie stopniowane elementy są wykorzystywane w analizie elementów skończonych .
Stopniowany poset to poset z $)$ rangi zgodną $z$ ${\ Displaystyle \ rho (x) <\ rho (y) \ implikuje x <y}$ ) takie, że ${\ Displaystyle y}$ obejmuje ${\ Displaystyle x \ implikuje \ rho (y) = \ rho (x) + 1}$ .