Grupa Brauera-Walla
W matematyce grupa Brauera-Walla lub super grupa Brauera lub stopniowana grupa Brauera dla pola F to grupa BW ( F ) klasyfikująca skończenie wymiarowe algebry z podziałem centralnym na polu. Po raz pierwszy została zdefiniowana przez Terry'ego Wall'a ( 1964 ) jako uogólnienie grupy Brauera .
Grupa Brauera pola F to zbiór klas podobieństwa skończenie wymiarowych centralnych prostych algebr nad F pod działaniem iloczynu tensorowego, gdzie dwie algebry nazywane są podobnymi, jeśli komutanty ich prostych modułów są izomorficzne. Każda klasa podobieństwa zawiera unikalną algebrę dzielenia, więc elementy grupy Brauera można również utożsamiać z klasami izomorfizmu skończenie wymiarowych algebr z podziałem centralnym. Analogiczna konstrukcja dla algebr stopniowanych Z / 2 Z definiuje grupę Brauera – Walla BW ( F ).
Nieruchomości
- Grupa Brauera B( F ) wstrzykuje się do BW ( F ) poprzez odwzorowanie CSA A na stopniowaną algebrę, która jest A w stopniu zero.
- Wall (1964 , twierdzenie 3) wykazał, że istnieje ciąg dokładny
- 0 → B( F ) → BW( F ) → Q( F ) → 0
- gdzie Q( F ) to grupa stopniowanych kwadratowych rozszerzeń F , zdefiniowana jako rozszerzenie Z /2 przez F * / F *2 z mnożeniem ( mi , x )( fa , y ) = ( mi + fa , (−1) ef xy ). Odwzorowanie od BW( F ) do Q( F ) jest niezmiennikiem Clifforda zdefiniowanym przez odwzorowanie algebry na parę składającą się z jej stopnia i wyznacznika .
- Istnieje mapa z grupy addytywnej pierścienia Witta – Grothendiecka do grupy Brauera – Walla uzyskana przez wysłanie przestrzeni kwadratowej do jej algebry Clifforda . Mapa uwzględnia grupę Witta , która ma jądro I 3 , gdzie I jest fundamentalnym ideałem W( F ).
Przykłady
- BW( C ) jest izomorficzne z Z / 2Z . Jest to algebraiczny aspekt okresowości Botta okresu 2 dla grupy unitarnej. Dwie algebry super dzielenia to C , C [γ], gdzie γ jest nieparzystym elementem kwadratu 1 dojeżdżającym do pracy z C .
- BW( R ) jest izomorficzne z Z / 8Z . Jest to algebraiczny aspekt okresowości Botta okresu 8 dla grupy ortogonalnej. Osiem algebr superpodziału to R , R [ε], C [ε], H [δ], H , H [ε], C [δ], R [δ], gdzie δ i ε są nieparzystymi elementami kwadratu –1 i 1, tak że ich koniugacja na liczbach zespolonych jest koniugacją zespoloną.
Notatki
- Deligne, Pierre (1999), „Notatki o spinorach”, w: Deligne, Pierre ; Etingof, Paweł ; Uwolniony, Daniel S .; Jeffrey, Lisa C .; Kazdan, Dawid ; Morgan, John W .; Morrison, David R .; Witten, Edward (red.), Pola kwantowe i struny: kurs dla matematyków, tom. 1 , Materiał ze Specjalnego Roku Kwantowej Teorii Pola, który odbył się w Institute for Advanced Study, Princeton, NJ, 1996–1997, Providence, RI: American Mathematical Society , s. 99–135, ISBN 978-0-8218-1198- 6 , MR 1701598
- Lam, Tsit-Yuen (2005), Wprowadzenie do form kwadratowych na polach , Studia podyplomowe z matematyki , tom. 67, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 0-8218-1095-2 , MR 2104929 , Zbl 1068.11023
- Ściana, CTC (1964), „stopniowane grupy Brauera” , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 213 : 187–199, ISSN 0075-4102 , MR 0167498 , Zbl 0125.01904