Różniczkowa algebra Liego

W matematyce , w szczególności w algebrze abstrakcyjnej i topologii , algebra Liego o stopniach różniczkowych (lub dg algebra Lie lub dgla ) to stopniowana przestrzeń wektorowa z dodaną algebrą Liego i łańcuchowymi strukturami złożonymi, które są kompatybilne. Takie obiekty mają zastosowanie w teorii deformacji i racjonalnej teorii homotopii .

Definicja

Różniczkowa ${\ Displaystyle [\ cdot, \ cdot ] \ dwukropek L_ {i} \ czasami L_ {j} \ do L_ {i + j}} i różnica re$ algebra Liego przestrzeń wektorowa charakterystycznego zera wraz $z$ dwuliniową j : $Displaystyle d:L_{i}\do L_{i-1}}$ satysfakcjonujące

{\ Displaystyle [x, y] = (-1) ^ {| x | | y | + 1} [y, x],}

stopniowana tożsamość Jacobiego :

{\ Displaystyle (-1) ^ {| x || z |} [x, [y, z]] + (-1) ^ {| y || x |} [y,[z,x]]+(-1)^{|z||y|}[z,[x,y]]=0,}

i stopniowana reguła Leibniza :

{\ Displaystyle d [x, y] = [dx, y] + (-1) ^ {| x |} [x, dy]}

dowolnych elementów jednorodnych x , yiz w L . Zauważ tutaj, że różniczka obniża stopień, więc ta algebra Liego stopniowana różniczkowo jest uważana za stopniowaną homologicznie . Jeśli zamiast tego różniczka podniosła stopień, mówi się, że algebra Liego o stopniach różniczkowych jest kohomologicznie (zwykle w celu wzmocnienia tego punktu ocena jest zapisywana w indeksie górnym: ${\ displaystyle L ^ {i}}}$ . Wybór stopniowania kohomologicznego zwykle zależy od osobistych preferencji lub sytuacji, ponieważ są one równoważne: przestrzeń stopniowaną homologicznie można przekształcić w kohomologiczną poprzez ustawienie ${\ Displaystyle L ^ {i} = L_ {-i} }}$ .

Alternatywne równoważne definicje algebry Liego o stopniach różniczkowych obejmują:

obiekt algebry Liego wewnętrzny dla kategorii kompleksów łańcuchowych ;
ścisła -algebra ${\ Displaystyle L _ {\ infty}}$ .

Morfizm algebr Liego o stopniach różniczkowych to $nawiasem$ ${\ Displaystyle f [x, y] _ {L} = [f (x), f (y)] _ {L ^ {\ pierwsza}}}$ , dojeżdża i różniczką, tj i ${\ Displaystyle f (d_ {L} x) = d_ {L ^ {\ pierwsza}} f (x)}$ . Algebry Liego o stopniach różniczkowych i ich morfizmy definiują kategorię .

Produkty i koprodukty

Iloczyn dwóch algebr Liego o stopniach różniczkowych $,$ sposób: weź bezpośrednią sumę dwóch stopniowanych przestrzeni wektorowych L $L \oplus L ^ {\ pierwsza}}$ i wyposaż go w nawias ${\ Displaystyle [(x,x^{\prime }),(y,y^{\prime })]=([x,y],[x^{\prime },y^{\prime }])} i$ różniczka ${\ Displaystyle D (x, x ^ {\ liczba pierwsza}) = (dx, d ^ {\ liczba pierwsza} x ^ {\ liczba pierwsza})}$ .

Współprodukt dwóch algebr Liego o stopniach różniczkowych , $jest$ swobodnym Jest zdefiniowana jako swobodnie stopniowana algebra Liego na dwóch bazowych przestrzeniach wektorowych z unikalną różniczką rozszerzającą dwie oryginalne modulo relacji obecnych w jednej z dwóch oryginalnych algebr Liego.

Połączenie z teorią deformacji

Główne zastosowanie dotyczy teorii deformacji na polach charakterystycznych zerowych (w szczególności na liczbach zespolonych ). Pomysł wywodzi się z pracy Daniela Quillena nad racjonalną teorią homotopii . Jednym ze sposobów sformułowania tej tezy (za sprawą Vladimira Drinfelda , Borisa Feigina , Pierre'a Deligne'a , Maxima Kontsevicha i innych) może być:

Każdy rozsądny problem formalnej deformacji w charakterystycznym zera można opisać za pomocą elementów Maurera-Cartana odpowiedniej algebry Liego o stopniach różniczkowych.

Element Maurera-Cartana to element stopnia -1, czyli rozwiązanie równania Maurera-Cartana: ${\ Displaystyle x \ w L_ {-1}$ }

{\ Displaystyle dx + {\ Frac {1} {2}} [x, x] = 0.}

Zobacz też

Quillen, Daniel (1969), „Racjonalna teoria homotopii”, Annals of Mathematics , 90 (2): 205–295, doi : 10.2307/1970725 , JSTOR 1970725 , MR 0258031

Dalsza lektura

Jacob Lurie , Problemy z modułami formalnymi , sekcja 2.1

Linki zewnętrzne