Racjonalna teoria homotopii

W matematyce , a zwłaszcza w topologii , racjonalna teoria homotopii jest uproszczoną wersją teorii homotopii dla przestrzeni topologicznych , w której ignorowane jest całe skręcanie w grupach homotopii . Została założona przez Dennisa Sullivana ( 1977 ) i Daniela Quillena ( 1969 ). To uproszczenie teorii homotopii znacznie ułatwia pewne obliczenia.

Racjonalne typy homotopii łatwo połączonych przestrzeni można utożsamić z (klasami izomorfizmu) pewnych obiektów algebraicznych, zwanych minimalnymi modelami Sullivana, które są przemiennymi algebrami różniczkowymi stopniowanymi na liczbach wymiernych spełniających określone warunki.

Zastosowaniem geometrycznym było twierdzenie Sullivana i Micheline Vigué-Poirrier (1976): każda prosto połączona zamknięta rozmaitość Riemanna X , której racjonalny pierścień kohomologii nie jest generowany przez jeden element, ma nieskończenie wiele geometrycznie odrębnych zamkniętych geodezyjnych . W dowodzie wykorzystano teorię racjonalnej homotopii, aby pokazać, że liczby Bettiego w przestrzeni wolnej pętli X są nieograniczone. Twierdzenie to wynika następnie z wyników Detlefa Gromolla i Wolfganga Meyera z 1969 roku.

Racjonalne przestrzenie

Ciągła mapa prosto połączonych przestrzeni topologicznych nazywana $. Q} }$ racjonalną $,$ jeśli izomorfizm na homotopii tensorowanych wymiernymi . Równoważnie: f jest racjonalną równoważnością homotopii wtedy i tylko wtedy, gdy indukuje izomorfizm pojedynczej homologii grupy o współczynnikach wymiernych. Kategorię racjonalnej homotopii (przestrzeni prosto połączonych) definiuje się jako lokalizację kategorii przestrzeni łatwo połączonych w odniesieniu do racjonalnych odpowiedników homotopii . Celem teorii racjonalnej homotopii jest zrozumienie tej kategorii (tj. określenie informacji, które można uzyskać z racjonalnych równoważności homotopii).

Podstawowym rezultatem jest to, że kategoria homotopii racjonalnej jest równoważna pełnej podkategorii kategorii homotopii przestrzeni topologicznych, podkategorii przestrzeni wymiernych. Z definicji przestrzeń wymierna to po prostu połączony kompleks CW , którego wszystkie grupy homotopijne są przestrzeniami wektorowymi nad liczbami wymiernymi. Dla każdego prosto połączonego kompleksu $CW$ istnieje $,$ do równoważność homotopii z mapą, $która$ indukuje izomorfizm w grupach homotopii Przestrzeń $_$ racjonalizacją . _ $_$ _ Jest to szczególny przypadek konstrukcji Sullivana lokalizacji przestrzeni przy danym zbiorze liczb pierwszych .

Równoważne definicje uzyskuje się stosując homologię, a nie grupy homotopijne. Mianowicie prosto $gdy$ kompleks CW $.$ wymierną wtedy i tylko wtedy grupy przestrzenie wektorowe dla wszystkich ${\ displaystyle i> 0}$ . Racjonalizacja prosto połączonego kompleksu CW $X$ przestrzeń wymierna $mathbb {$$}}} (aż do równoważności$ ) z mapą, która izomorfizm racjonalnej homologii . Zatem ma się

${\ Displaystyle \ pi _ {i} (X _ {\ mathbb {Q}}) \ cong \ pi _ {i} (X) \ otimes {\ mathbb { Q} }}$

I

${\ Displaystyle H_ {i} (X _ {\ mathbb {Q}}, {\ mathbb {Z}} )\cong H_{i}(X,{\mathbb {Z} })\otimes {\mathbb {Q} }\cong H_{i}(X,{\mathbb {Q} })}$

dla wszystkich $> 0}$ i

Wyniki te dla przestrzeni łatwo połączonych rozciągają się z niewielkimi zmianami na przestrzenie nilpotentne (przestrzenie, których grupa podstawowa jest nilpotentna i działa nilpotentnie na wyższe grupy homotopijne).

Obliczanie grup homotopii kul jest głównym otwartym problemem teorii homotopii. Jednak racjonalne grupy homotopii kul zostały obliczone przez Jean-Pierre'a Serre'a w 1951 roku:

${\ Displaystyle \ pi _ {i} (S ^ {2a-1}) \ otimes \ mathbb {Q} \ cong { \begin{cases}\mathbb {Q} &{\text{if }}i=2a-1\\0&{\text{w przeciwnym razie}}\end{cases}}}$

I

${\ Displaystyle \ pi _ {i} (S ^ {2a}) \ otimes \ mathbb {Q} \ cong {\ początek {przypadki} \ mathbb {Q} i {\ tekst {jeśli}} i = 2a {\ tekst { lub }}i=4a-1\\0&{\text{w przeciwnym razie.}}\end{cases}}}$

Sugeruje to możliwość opisu całej kategorii homotopii racjonalnej w sposób praktycznie obliczeniowy. Racjonalna teoria homotopii w dużej mierze zrealizowała ten cel.

W teorii homotopii kule i przestrzenie Eilenberga – MacLane’a to dwa bardzo różne typy podstawowych przestrzeni, z których można zbudować wszystkie przestrzenie. W teorii racjonalnej homotopii te dwa typy przestrzeni znacznie się do siebie zbliżają. $K (\mathbb {Q},2a-1)}$ obliczenia Serre'a implikują, że $)$ – MacLane'a. . Mówiąc bardziej ogólnie, niech X będzie dowolną przestrzenią, której wymierny pierścień kohomologii jest algebrą swobodną stopniowaną przemienną ( iloczynem tensorowym pierścienia wielomianowego na generatorach stopnia parzystego i algebry zewnętrznej na generatorach stopnia nieparzystego). $Wtedy$ racjonalizacja iloczynem przestrzeni Eilenberga – MacLane’a Hipoteza dotycząca pierścienia kohomologii ma zastosowanie do dowolnej zwartej grupy Liego (lub bardziej ogólnie, dowolnej przestrzeni pętli ). Na przykład dla grupy unitarnej SU( n ) ,

${\ Displaystyle \ operatorname {SU} (n) _ {\ mathbb {Q}} \ simeq S _ {\ mathbb {Q}} ^ {3} \ razy S _ {\ mathbb {Q}} ^ {5} \ razy \ cdots \times S_{\mathbb {Q} }^{2n-1}.}$

Pierścień kohomologii i homotopia Algebra Liego

$homotopii$ przestrzeni X w kategorii racjonalnej : wymierny pierścień kohomologii i ${\ Displaystyle \ pi _ {*} (X) \ otimes \ mathbb {Q}$ } Racjonalna kohomologia jest algebrą stopniowaną przemienną $.$ a grupy homotopii tworzą stopniowana algebra Liego za pomocą produktu Whiteheada . (Dokładniej, pisząc $przestrzeni$ pętli X , mamy to ${\ displaystyle \ pi _ {*} (\ Omega X) \ otimes$ jest stopniowaną algebrą Liego nad $X$ Ze względu na izomorfizm ${\ Displaystyle \ pi _ {i} (X) \ cong \ pi _ {i-1} (\ Omega X)},$ oznacza to po prostu przesunięcie oceny o 1.) Na przykład Serre'a powyższe twierdzenie $mówi$ stopniowaną algebra ${\ displaystyle n-1}$ .

Innym sposobem myślenia o homotopii algebrze Liego jest to, że homologia przestrzeni pętli X jest uniwersalną algebrą obwiednijącą homotopii algebry Liego:

${\ Displaystyle H_ {*} (\ Omega X, {\ mathbb {Q}}) \ cong U (\ pi _ {*} (\ Omega X) \ otimes \ mathbb {Q}).}$

I odwrotnie, można zrekonstruować racjonalną homotopię Algebra Liego z homologii przestrzeni pętli jako podprzestrzeni elementów pierwotnych w algebrze Hopfa. ${\ displaystyle H_ {*} (\ Omega S ^ {n })\otimes \mathbb {Q} }$ .

Głównym rezultatem tej teorii jest to, że kategorię racjonalnej homotopii można opisać w sposób czysto algebraiczny; w rzeczywistości na dwa różne sposoby algebraiczne. Po pierwsze, Quillen wykazał, że kategoria racjonalnej homotopii jest równoważna kategorii homotopii połączonych różniczkowo stopniowanych algebr Liego . (Powiązana stopniowana algebra Liego ${\ Displaystyle \ ker (d) / \ operatorname {im} (d)}$ jest homotopią algebry Liego.) Po drugie, Quillen pokazał, że kategoria racjonalnej homotopii jest równoważna kategorii homotopii 1-spójnych różniczkowo stopniowanych kokomutacyjnych kogebr . (Powiązana kohomologia to racjonalna homologia X jako kohogebra; przestrzeń podwójnego wektora to racjonalny pierścień kohomologii.) Te równoważności były jednymi z pierwszych zastosowań teorii kategorii modeli Quillena .

$przemienności$ drugiego opisu wynika, że ​​dla dowolnej stopniowanej -algebra A postaci

${\ Displaystyle A = \ mathbb {Q} \ oplus A ^ {2} \ oplus A ^ {3} \ oplus \ cdots,}$

z każdą przestrzenią wektorową o skończonym wymiarze istnieje po prostu połączona przestrzeń X, której racjonalny $pierścień$ kohomologii jest izomorficzny A (Z drugiej strony istnieje wiele ograniczeń, które nie są do końca zrozumiałe, dotyczące pierścieni kohomologii całkowej lub mod p przestrzeni topologicznych dla liczb pierwszych p .) W tym samym duchu Sullivan pokazał, że $. Q} }$ przemienna stopniowana -algebra z ${\ displaystyle A ^ {1} = 0}$ który spełnia dualizm Poincarégo, jest pierścieniem kohomologii pewnej prosto połączonej gładkiej zamkniętej rozmaitości, z wyjątkiem wymiaru 4 a ; w takim przypadku należy $}$ założyć, że parowanie przecięcia na ma postać ${$$\ displaystyle \ suma \ pm x_ {i}$ nad ${Q}}$ mathbb

Można zadać pytanie, jak przejść pomiędzy dwoma algebraicznymi opisami kategorii racjonalnej homotopii. Krótko mówiąc, algebra Liego wyznacza stopniowaną algebrę przemienną na podstawie kohomologii algebry Liego , a rozszerzona algebra przemienna określa stopniowaną algebrę Liego na podstawie zredukowanej kohomologii André – Quillena . Mówiąc bardziej ogólnie, istnieją wersje tych konstrukcji dla algebr różniczkowych. Ta dwoistość między algebrami przemiennymi a algebrami Liego jest wersją dualności Koszula .

Algebry Sullivana

W przypadku przestrzeni, których racjonalna homologia w każdym stopniu ma skończony wymiar, Sullivan sklasyfikował wszystkie typy racjonalnej homotopii w kategoriach prostszych obiektów algebraicznych, algebr Sullivana. Z definicji algebra Sullivana jest przemienną różniczkową algebrą stopniowaną nad wymiernymi $stopniowanych$$podstawową algebrą jest$ przemienna algebra stopniowana na stopniowana przestrzeń wektorowa

${\ Displaystyle V = \ bigoplus _ {n> 0} V ^ {n},}$

spełniający następujący „warunek nilpotencji” na swojej różniczce d : przestrzeń V jest sumą rosnącego szeregu stopniowanych podprzestrzeni, ${\ Displaystyle V (0) \ subseteq V (1) \ podzbiór \ cdots }$ , gdzie ${\ displaystyle d = 0}$ na ${\ displaystyle V (0)}$ i $\ Displaystyle \ bigwedge (V (k-1))}$ zawarty w $( V$ . W kontekście różniczkowych algebr stopniowanych A , „przemienna” jest używana w znaczeniu stopniowanej przemiennej; to jest,

${\ displaystyle ab = (-1) ^ {ij} ba}$

dla a w $.$ b w $displaystyle A ^ {i}$ ja }

Algebra Sullivana nazywana jest ${+} (V)}$ , $jeśli$ obraz d jest zawarty w , gdzie $^ {+} (V)$ jest bezpośrednią sumą podprzestrzeni stopnia dodatniego ${\ displaystyle \ bigwedge (V)}$ .

Model Sullivana dla ${\ displaystyle \ bigwedge (V) \ do A$ algebry różniczkowej A algebrą Sullivana z homomorfizmem $}$ indukuje izomorfizm na kohomologii. Jeśli , to ZA $\ displaystyle A ^ {0} = \ mathbb {Q}$ } ma minimalny model Sullivana, który jest unikalny aż do izomorfizmu. (Uwaga: minimalna algebra Sullivana z tą samą algebrą kohomologii co A nie musi być minimalnym modelem Sullivana dla A : konieczne jest również, aby izomorfizm kohomologii był indukowany przez homomorfizm algebr różniczkowych stopniowanych. Istnieją przykłady algebr nieizomorficznych minimalne modele Sullivana z izomorficznymi algebrami kohomologii.)

Minimalny model Sullivana przestrzeni topologicznej

Dla dowolnej przestrzeni topologicznej $,$ Sullivan zdefiniował różniczkową algebrę stopniowaną algebrą wielomianowych form różniczkowych wymiernymi współczynnikami . Element tej algebry składa się z (w przybliżeniu) postaci wielomianu na każdym pojedynczym sympleksie X , kompatybilny z mapami twarzy i degeneracji. Algebra ta jest zwykle bardzo duża (nieprzeliczalny wymiar), ale można ją zastąpić znacznie mniejszą algebrą. Dokładniej, każda różniczkowa algebra stopniowana z $co$ minimalnym modelem modelem przestrzeni X Kiedy X jest po prostu połączone, taki model określa racjonalny typ homotopii X .

Do dowolnego prosto połączonego kompleksu CW X ze wszystkimi racjonalnymi grupami homologii o skończonych wymiarach istnieje minimalny model Sullivana dla $displaystyle A_ {PL}$$}$$i$$skończony$ właściwość, że mają wymiar to minimalnym modelem X Sullivana ; jest unikalny aż do izomorfizmu. Daje to równoważność typów homotopii wymiernych takich przestrzeni i takich algebr, o właściwościach:

• Racjonalna kohomologia przestrzeni jest kohomologią jej minimalnego modelu Sullivana.
• Przestrzenie nierozkładalne w V są dualami wymiernych grup homotopii przestrzeni X .
• Iloczyn Whiteheada na racjonalnej homotopii jest dualnością „części kwadratowej” różniczki d .
• Dwie przestrzenie mają ten sam wymierny typ homotopii wtedy i tylko wtedy, gdy ich minimalne algebry Sullivana są izomorficzne.
• Istnieje po prostu połączona przestrzeń $X$$możliwej$ algebrze z skończonymi wymiarami

Gdy X jest gładką rozmaitością, algebra różniczkowa gładkich form różniczkowych na X ( kompleks de Rhama ) jest prawie modelem X ; dokładniej jest to iloczyn tensorowy modelu dla X z liczbami rzeczywistymi i dlatego określa rzeczywisty typ homotopii . Można pójść dalej i zdefiniować p typ homotopii -zakończony X dla liczby pierwszej p . „Kwadrat arytmetyczny” Sullivana redukuje wiele problemów teorii homotopii do połączenia teorii homotopii racjonalnej i p -zupełnej, dla wszystkich liczb pierwszych p .

Konstrukcja minimalnych modeli Sullivana dla łatwo połączonych przestrzeni rozciąga się na przestrzenie nilpotentne. W przypadku bardziej ogólnych grup podstawowych sytuacja staje się bardziej skomplikowana; $mogą być$ kompleksu CW (takie jak klin wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi

Przestrzenie formalne

Przemienna algebra różniczkowa stopniowana A , ponownie z $,$ nazywana jest formalną jeśli A ma model ze znikającą Jest to równoznaczne z wymaganiem, aby algebra kohomologii A (postrzegana jako algebra różniczkowa z różniczką trywialną) była modelem dla A (choć nie musi to być model minimalny ). Zatem racjonalny typ homotopii przestrzeni formalnej jest całkowicie zdeterminowany przez jej pierścień kohomologii.

Przykładami przestrzeni formalnych są kule, przestrzenie H , przestrzenie symetryczne i zwarte rozmaitości Kählera . Formalność zachowana jest w ramach produktów i kwot klinowych . W przypadku rozmaitości formalność jest zachowywana przez połączone sumy .

Z drugiej strony zamknięte nilmanifoldy prawie nigdy nie są formalne: jeśli M jest formalną nilmanifoldem, to M musi być torusem jakiegoś wymiaru. Najprostszym przykładem nieformalnej rozmaitości nilmanfoldu jest rozmaitość Heisenberga , iloraz grupy Heisenberga rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych 3 × 3 z jedynkami na przekątnej przez jej podgrupę macierzy ze współczynnikami całkowitymi. Zamknięte rozmaitości symplektyczne nie musi być formalny: najprostszym przykładem jest rozmaitość Kodairy – Thurstona (iloczyn rozmaitości Heisenberga z okręgiem). Istnieją również przykłady nieformalnych, po prostu połączonych symplektycznych rozmaitości zamkniętych.

Produkty Massey często pozwalają wykryć nieformalność . Rzeczywiście, jeśli algebra różniczkowa A jest formalna, wówczas wszystkie produkty Massey'a (wyższego rzędu) muszą zniknąć. Nie jest prawdą odwrotna sytuacja: formalność oznacza, z grubsza rzecz biorąc, „jednolite” zniknięcie wszystkich produktów Massey. Dopełnienie pierścieni boromejskich jest przestrzenią nieformalną: wspiera nietrywialny potrójny iloczyn Masseya.

Przykłady

• Jeśli X jest kulą $_$$\displaystyle da=0}$$,$ jej model $jeden$ z i podstawa elementów 1, a .
• Jeśli X jest kulą o parzystym wymiarze $2n>0$$2n$ Sullivana ma dwa generatory i b stopni i 2 $displaystyle$, with $db=a^{2}$, $da=0$, and a basis of elements ${\ Displaystyle 1, a, b \ do a ^ {2}}$ , ${\ Displaystyle ab \ do a ^ {3}}$ , ${\ Displaystyle a ^ {2} b \ do a ^ {4}, \ ldots}$ , gdzie strzałka wskazuje działanie d .
• Jeśli X jest złożoną przestrzenią rzutową $\ mathbb {CP} ^ {n}}$$\ displaystyle$ minimalny model Sullivana ma dwa generatory u i x stopni 2 i $2n + 1}$ do , z i re u $displaystyle$${\ displaystyle dx = u ^ {n + 1}$ } Ma podstawę z elementów $\ displaystyle 1, u, u ^ {2}, \ ldots, u ^ {n}}$ , ${\ displaystyle x \ do u ^ {n+1}}$ , ${\ displaystyle xu \ do u ^ {n+2}, \ ldots}$ .
• Załóżmy, że V ma 4 elementy za , b , x , y stopni 2, 3, 3 i 4 z różnicami ${\ displaystyle da = 0}$ , ${\ displaystyle db = 0}$ , ${\ Displaystyle dx = a ^ {2}}$ , ${\ displaystyle dy = ab}$ . Wtedy ta algebra jest minimalną algebrą Sullivana, która nie jest formalna. Algebra kohomologii ma nietrywialne składniki tylko w wymiarze 2, 3, 6, generowane odpowiednio przez za , b i ${\ displaystyle xb-ay}$ . Dowolny homomorfizm od V do jego algebry kohomologii odwzorowuje y na 0, a x na wielokrotność b ; więc mapowałoby to 0. $\ displaystyle xb-ay}$ { nie może być modelem dla algebry kohomologii. Odpowiednie przestrzenie topologiczne to dwie przestrzenie z izomorficznymi racjonalnymi pierścieniami kohomologii, ale różnymi typami racjonalnej homotopii. Zauważ, że $\ Displaystyle \ langle [a], [a], [$ produkcie Massey $za$ .

Przestrzenie eliptyczne i hiperboliczne

Racjonalna teoria homotopii ujawniła nieoczekiwaną dychotomię między skończonymi kompleksami CW: albo racjonalne grupy homotopii wynoszą zero w wystarczająco wysokim stopniu, albo rosną wykładniczo . Mianowicie, niech X ${Q })}$ po prostu przestrzenią połączoną taką, że jest skończoną wymiarową przestrzenią. ${\ displaystyle H_ {*} (X, \ mathbb$ -przestrzeń wektorowa (na przykład skończony kompleks CW ma tę właściwość). Zdefiniuj X jako racjonalnie eliptyczne, jeśli ${\ Displaystyle \ pi _ {*} (X) \ otimes \ mathbb {Q}}$ jest również przestrzenią skończenie wymiarową ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ -przestrzeń wektorowa i poza tym racjonalnie hiperboliczny . Następnie Félix i Halperin $jest$ jeśli X racjonalnie hiperboliczne, to istnieje liczba rzeczywista i liczba całkowita N taka,

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ dim _ {\ mathbb {Q}} \ pi _ {i} ( X)\otimes {\mathbb {Q}}\geq C^{n}}$

dla wszystkich . ${\ Displaystyle n \ geq N}$ .

Na przykład kule, złożone przestrzenie rzutowe i przestrzenie jednorodne dla zwartych grup Liego są eliptyczne. Z drugiej strony „większość” skończonych kompleksów jest hiperboliczna. Na przykład:

• Racjonalny pierścień kohomologii przestrzeni eliptycznej spełnia dualizm Poincarégo.
• Jeśli X jest przestrzenią eliptyczną, której górna niezerowa racjonalna grupa kohomologii jest w stopniu $\ displaystyle {\binom {n}{i}}}$$ja )$ liczba Bettiego najwyżej współczynnikiem dwumianowym (z równością dla n -wymiarowego torusa).
• Charakterystyka Eulera przestrzeni eliptycznej X jest nieujemna. Jeśli charakterystyka $jest$ wszystkie nieparzyste liczby Bettiego racjonalny pierścień kohomologii X pełnym pierścieniem przecięcia

Istnieje wiele innych ograniczeń racjonalnego pierścienia kohomologii przestrzeni eliptycznej.

Hipoteza Botta przewiduje , że każda prosto połączona zamknięta rozmaitość Riemanna z nieujemną krzywizną przekroju powinna być racjonalnie eliptyczna. Niewiele wiadomo na temat tego przypuszczenia, chociaż dotyczy ono wszystkich znanych przykładów takich rozmaitości.

Hipoteza Halperina głosi, że racjonalna sekwencja widmowa Serre'a sekwencji włókien prosto połączonych przestrzeni z racjonalnie eliptycznym włóknem o niezerowej charakterystyce Eulera znika na drugiej stronie.

Prosto połączony skończony kompleks X $.$ racjonalnie eliptyczny wtedy i tylko wtedy, gdy racjonalna homologia przestrzeni pętli co najwyżej wielomianem $,$ bardziej ogólnie, X nazywa się integralnie eliptycznym jeśli homologia p rośnie co najwyżej wielomianowo dla każdej liczby pierwszej p . Wszystkie znane rozmaitości Riemanna o nieujemnej krzywiźnie przekroju są w rzeczywistości integralnie eliptyczne.

Zobacz też

• Twierdzenie Mandella – analogia teorii racjonalnej homotopii w układach p-adycznych
• Teoria homotopii chromatycznej

Notatki

•   Felix, Yves; Halperin, Stephen; Thomas, Jean-Claude (1993), „Przestrzenie eliptyczne II”, L'Enseignement mathématique , 39 (1–2): 25–32, doi : 10.5169/seals-60412 , MR 1225255
•    Felix, Yves; Halperin, Stephen; Thomas, Jean-Claude (2001), Racjonalna teoria homotopii , Nowy Jork: Springer Nature , doi : 10.1007/978-1-4613-0105-9 , ISBN 0-387-95068-0 , MR 1802847
•    Felix, Yves; Halperin, Stephen; Thomas, Jean-Claude (2015), Racjonalna teoria homotopii II , Singapur: World Scientific , doi : 10.1142/9473 , ISBN 978-981-4651-42-4 , MR 3379890
•    Felix, Yves; Oprea, Jan; Tanré, Daniel (2008), Modele algebraiczne w geometrii , Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-920651-3 , MR 2403898
•    Griffiths, Phillip A .; Morgan, John W. (1981), Racjonalna teoria homotopii i formy różniczkowe , Boston: Birkhäuser, ISBN 3-7643-3041-4 , MR 0641551
•    Hess, Kathryn (1999), „A History of racjonalnej teorii homotopii”, w: James, Ioan M. (red.), History of Topology , Amsterdam: North-Holland, s. 757–796, doi : 10.1016/B978-044482375 -5/50028-6 , ISBN 0-444-82375-1 , MR 1721122
•    Hess, Kathryn (2007), „Racjonalna teoria homotopii: krótkie wprowadzenie” (PDF) , Interakcje między teorią homotopii a algebrą , Współczesna matematyka, tom. 436, American Mathematical Society , s. 175–202, arXiv : math/0604626 , doi : 10.1090/conm/436/08409 , ISBN 9780821838143 , MR 2355774
•    Maj, J.Piotr ; Ponto, Kathleen (2012), Bardziej zwięzła topologia algebraiczna. Lokalizacja, zakończenie i kategorie modeli (PDF) , University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-51178-8 , MR 2884233
•   Pavlov, Aleksandr V. (2002), „Estymaty liczb Bettiego w przestrzeniach racjonalnie eliptycznych”, Siberian Mathematical Journal , 43 (6): 1080–1085, doi : 10.1023/A: 1021173418920 , MR 1946233
•    Quillen, Daniel (1969), „Racjonalna teoria homotopii”, Annals of Mathematics , 90 (2): 205–295, doi : 10.2307/1970725 , JSTOR 1970725 , MR 0258031
•   Sullivan, Dennis (1977), „Infinitesimal computations in topology” , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 47 : 269–331, doi : 10.1007/bf02684341 , hdl : 10338.dmlcz/128041 , MR 0646078
• Sullivan, Dennis (2001) [1994], „Racjonalna teoria homotopii” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
•   Sullivan, Dennis; Vigué-Poirrier, Micheline (1976), „Teoria homologii zamkniętego problemu geodezyjnego”, Journal of Differential Geometry , 11 (4): 633–644, doi : 10.4310/jdg/1214433729 , MR 0455028