Lokalizacja firmy Bousfield

W teorii kategorii , gałęzi matematyki, (lewo) lokalizacja Bousfielda kategorii modelu zastępuje strukturę modelu inną strukturą modelu z tymi samymi kofibracjami, ale z słabszymi równoważnościami.

Lokalizacja Bousfielda nosi imię Aldridge'a Bousfielda , który jako pierwszy wprowadził tę technikę w kontekście lokalizacji przestrzeni topologicznych i widm.

Modelowa struktura kategorii lokalizacji Bousfielda

Biorąc pod uwagę klasę C morfizmów w kategorii modelu M , lewa lokalizacja Bousfielda jest nową strukturą modelu w tej samej kategorii co poprzednio. Jego równoważności, kofibracje i fibracje , to

• C - lokalne odpowiedniki
• oryginalne kofibracje M

i (koniecznie, ponieważ kofibracje i słabe równoważności determinują fibracje)

• mapy posiadające właściwą właściwość podnoszenia w odniesieniu do kofibracji w M , które są również C -lokalnymi odpowiednikami.

W tej definicji C -lokalna równoważność $z grubsza mówiąc, nie$ mapa , która, znaczenia przy mapowaniu -lokalny . Dokładniej ${\ Displaystyle f ^ {*} \ dwukropek \ nazwa operatora {mapa} (Y, W) \ do \ nazwa operatora {mapa} (X ,W)}$ musi być słabą równoważnością ( zbiorów uproszczonych ) dla dowolnego C -lokalnego obiektu W . Obiekt W nazywa się C -lokalny, jeśli jest włóknisty (w M ) i

${\ Displaystyle s ^ {*} \ dwukropek \ nazwa operatora {mapa} (B, W) \ do \ nazwa operatora {mapa} (A, W) }$

$_$ słabą równoważnością wszystkich map _ _ $wzbogaconej$ notacji jest dla ogólnej kategorii modelu (niekoniecznie o pewnym zbiorem uproszczonym, którego zestaw jest z morfizmami w kategorii homotopii M :

${\ Displaystyle \ pi _ {0} (\ nazwa operatora {mapa} (X, Y)) = \ nazwa operatora {Hom} _ {Ho (M)} (X, Y).}$

Jeśli M jest uproszczoną kategorią modelu (taką jak, powiedzmy, zbiory uproszczone lub przestrzenie topologiczne), to powyższą „mapę” można przyjąć jako pochodną uproszczoną przestrzeń odwzorowania M .

Ten opis nie zawiera żadnych twierdzeń o istnieniu tej struktury modelu, patrz poniżej.

Podwójnie istnieje pojęcie prawostronnej lokalizacji Bousfielda , której definicję uzyskuje się przez zastąpienie kofibracji fibracjami (i odwróceniem kierunków wszystkich strzałek).

Istnienie

Wiadomo, że lewa struktura modelu lokalizacji Bousfielda, jak opisano powyżej, istnieje w różnych sytuacjach, pod warunkiem, że C jest zbiorem:

• M pozostaje właściwe (tj. wypchnięcie słabej równoważności wzdłuż kofibracji jest ponownie słabą równoważnością) i kombinatoryczne
• M pozostaje właściwy i komórkowy.

Kombinatorowość i komórkowość kategorii wzorcowej gwarantuje w szczególności silną kontrolę nad kofibracjami M .

Podobnie, właściwa lokalizacja Bousfielda istnieje, jeśli M jest właściwa i komórkowa lub kombinatoryczna, a C jest zbiorem.

Własność uniwersalna

Lokalizacja (zwykłej) kategorii ${\ Displaystyle C [W ^ {-1}]$ w odniesieniu do klasy W morfizmów spełnia następującą uniwersalną właściwość: do }

• Istnieje funktor $_$ w do _
• $W$ funktor , który wysyła do izomorfizmów w D czynnikach wspomnianego funktora.

Lokalizacja Bousfielda jest odpowiednim analogicznym pojęciem dla kategorii modelowych, pamiętając, że izomorfizmy w zwykłej teorii kategorii są zastępowane przez słabe równoważności. ${\ Displaystyle L_ {C} M}$ to, że (lewa) lokalizacja Bousfielda jest taka, że

• Istnieje lewy funktor $,$ którego lewy funktor pochodny wysyła wszystkie morfizmy do równoważności
• $do$ lewy funktor Quillena , którego lewostronny funktor pochodny wysyła ${\ displaystyle M \ do L_ {C}$ do słabych czynników równoważności jednoznacznie poprzez .

Przykłady

Lokalizacja i uzupełnianie widma

Lokalizacja i uzupełnienie widma przy liczbie pierwszej p to przykłady lokalizacji Bousfielda, w wyniku której powstaje widmo lokalne. Na przykład, lokalizując widmo kuli S w p , otrzymuje się lokalną kulę ${\ Displaystyle S_ {(p)}}$ .

Stabilna struktura modelu na widmach

Stabilna kategoria homotopii to kategoria homotopii (w sensie kategorii modelowych) widm, obdarzona stabilną strukturą modelu. Stabilną strukturę modelu uzyskuje się jako lewą lokalizację Bousfielda struktury modelu poziomu (lub rzutu) na widmach, których słabymi równoważnościami (fibracjami) są te mapy, które są słabymi równoważnościami (odpowiednio fibracjami) na wszystkich poziomach.

Struktura modelu Mority w kategoriach dg

Struktura modelu Mority na kategorii małych kategorii dg jest lokalizacją Bousfielda struktury modelu standardowego (tego, dla którego słabymi równoważnościami są quasi-równoważności).

Zobacz też

• Lokalizacja przestrzeni topologicznej

• Hirschhorn, Modelowe kategorie i ich lokalizacje , AMS 2002
• Brak map między widmami p-lokalnymi i q-lokalnymi

Linki zewnętrzne

• Lokalizacja Bousfield w nlab .
• J. Lurie, Wykład 20 z teorii homotopii chromatycznej (252x).