Dodatek Quillen
W teorii homotopii , gałęzi matematyki , dołączenie Quillena pomiędzy dwiema zamkniętymi kategoriami modelu C i D jest specjalnym rodzajem dołączenia pomiędzy kategoriami , które indukuje dołączenie pomiędzy kategoriami homotopii Ho( C ) i Ho( D ) poprzez całkowity funktor pochodny budowa. Dodatki Quillena zostały nazwane na cześć matematyka Daniela Quillena .
Definicja formalna
Biorąc pod uwagę dwie kategorie modelu zamkniętego C i D , dodatek Quillena jest parą
- ( fa , sol ): do D
funktorów sprzężonych z F pozostawionym sprzężonym z G tak, że F zachowuje kofibracje i trywialne kofibracje lub, równoważnie przez aksjomaty modelu zamkniętego, tak, że G zachowuje fibracje i trywialne fibracje. W takim uzupełnieniu F nazywa się lewym funktorem Quillena , a G nazywa się prawym funktorem Quillena .
Nieruchomości
Konsekwencją aksjomatów jest to, że lewy (prawy) funktor Quillena zachowuje słabe równoważności między obiektami kofibrannymi (fibrantowymi). Twierdzenie Quillena o całkowitym pochodnym funktorze mówi, że całkowity lewy funktor pochodny
- L F : Ho ( do ) → Ho ( re )
jest lewym sprzężeniem z całkowitym prawicowym funktorem pochodnym
- R G : Ho ( re ) → Ho ( do ).
Dodatek ten ( LF , RG ) nazywany jest dołączeniem pochodnym .
Jeśli ( F , G ) jest dodatkiem Quillena jak powyżej, takim, że
- F ( do ) → re
z c kofibrantem i d fibrantem jest słabym odpowiednikiem w D wtedy i tylko wtedy
- do → sol ( re )
jest słabą równoważnością w C , wówczas nazywa się ją równoważnością Quillena kategorii modelu zamkniętego C i D. W tym przypadku dodatek pochodny jest sprzężoną równoważnością kategorii, tak że
- LF ( do ) → re
jest izomorfizmem w Ho( D ) wtedy i tylko wtedy, gdy
- do → RG ( re ) _
jest izomorfizmem w Ho( C ).
- Goerss, Paul G. [w języku niemieckim] ; Jardine, John F. (1999). Uproszczona teoria homotopii . Postęp w matematyce. Tom. 174. Bazylea, Boston, Berlin: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-6064-1 .
- [1] [2]
- Philip S. Hirschhorn, Kategorie modeli i ich lokalizacje, American Mathematical Soc., 24 sierpnia 2009 – Matematyka – 457 stron