Przestrzeń nilpotentna

W topologii , gałęzi matematyki , przestrzeń nilpotentna , po raz pierwszy zdefiniowana przez Emmanuela Drora (1969), jest opartą przestrzenią topologiczną X taką, że

• grupa podstawowa jest grupą nilpotentną ${\ Displaystyle \ pi = \ pi _ {1} (X)$ }
• ${\ Displaystyle \ pi}$ nie działa nilpotentnie na wyższe grupy homotopii ${\ Displaystyle \ pi _ {i} (X), i \ geq 2}$ , tj. istnieje szereg centralny ${\ Displaystyle \ pi _ {i} (X) = G_ {1} ^ {i} \ trójkąt w prawo G_ {2} ^ {i} \ trójkąt w prawo \ kropki \ trójkąt w prawo G_ {n_ {i}} ^ {i} = 1 }$ takie, że indukowane działanie na grupę ilorazów $sol$$\ Displaystyle G_ {k} ^ {i} / G_ {k + 1} ^ {i}$ jest trywialne dla wszystkich ${\ displaystyle k}$ .

Po prostu połączone przestrzenie i proste przestrzenie są (trywialnymi) przykładami nilpotentnych przestrzeni; inne przykłady to połączone przestrzenie pętli . Włókno homotopii dowolnej mapy między przestrzeniami nilpotentnymi jest rozłącznym połączeniem przestrzeni nilpotentnych. Co $,$ zerowy składnik spiczastej przestrzeni K spiczastym wymiarem i X jest dowolną przestrzenią spiczastą, jest przestrzenią nilpotentną. Rzeczywiste przestrzenie rzutowe o nieparzystych wymiarach są przestrzeniami nilpotentnymi, podczas gdy płaszczyzna rzutowa nie.

Podstawowe twierdzenie o nilpotentnych przestrzeniach mówi, że każda mapa, która indukuje integralny izomorfizm homologii między dwiema nilpotentnymi przestrzeniami, jest słabą równoważnością homotopii. Dla przestrzeni po prostu połączonych twierdzenie to odzyskuje dobrze znany wniosek z Whiteheada i Hurewicza .

Przestrzenie nilpotentne są bardzo interesujące w racjonalnej teorii homotopii , ponieważ większość konstrukcji mających zastosowanie do przestrzeni po prostu połączonych można rozszerzyć na przestrzenie nilpotentne. Nilpotentne uzupełnienie przestrzeni Bousfielda – Kana wiąże się z dowolną połączoną przestrzenią spiczastą X przestrzenią uniwersalną ${\ displaystyle {\ widehat {X}}}$ , przez którą dowolna mapa X do nilpotentnej przestrzeni N rozkłada się jednoznacznie aż do kurczliwej przestrzeni wyborów. Często jednak ${\ displaystyle {\ widehat {X}}}$ sama w sobie nie jest nilpotentna, a jedynie odwrotna granica wieży przestrzeni nilpotentnych. Wieża ta, jako pro-przestrzeń, zawsze modeluje typ homologii danej przestrzeni spiczastej X . Przestrzenie nilpotentne dopuszczają dobrą arytmetyczną teorię lokalizacji w sensie Bousfielda i Kana cytowanych powyżej, a niestabilna sekwencja widmowa Adamsa jest silnie zbieżna dla każdej takiej przestrzeni.

Niech X będzie nilpotentną przestrzenią i niech h będzie zredukowaną uogólnioną teorią homologii, taką jak K-teoria . Jeśli h ( X )=0, to h znika na dowolnej sekcji postnikowa X . Wynika to z twierdzenia, które mówi, że każda taka sekcja jest komórkowa X.