Kohomologia algebry kłamstw

W matematyce kohomologia algebry Liego jest teorią kohomologii dla algebr Liego . Po raz pierwszy został wprowadzony w 1929 roku przez Élie Cartana do badania topologii grup Liego i przestrzeni jednorodnych poprzez odniesienie kohomologicznych metod Georgesa de Rhama do właściwości algebry Liego. Został on później rozszerzony przez Claude'a Chevalleya i Samuela Eilenberga ( 1948 ) na współczynniki w dowolnym module Liego.

Motywacja

Jeśli jest zwartą, $Liego$ spójną grupą , to jest określona przez jej algebrę Liego, więc powinno być możliwe obliczenie jej kohomologii z algebry Liego. Można to zrobić w następujący sposób. Jego kohomologia jest kohomologią de Rhama kompleksu form różniczkowych na ${\ displaystyle G}$ . Korzystając z procesu uśredniania, kompleks ten można zastąpić zespołem form różniczkowych niezmiennych w lewo . Tymczasem formy niezmienne po lewej stronie są określane przez ich wartości przy tożsamości, tak że przestrzeń form różniczkowych niezmiennych po lewej stronie można utożsamiać z zewnętrzną algebrą algebry Liego, z odpowiednią różniczką.

Konstrukcja tej różnicy na algebrze zewnętrznej ma sens dla dowolnej algebry Liego, więc jest używana do definiowania kohomologii algebry Liego dla wszystkich algebr Liego. Bardziej ogólnie, używa się podobnej konstrukcji do zdefiniowania kohomologii algebry Liego ze współczynnikami w module.

Jeśli jest po prostu spójną, niezwartą grupą Liego, kohomologia algebry Liego powiązanej algebry Liego $}$ odtwarza kohomologię de Rham $sol$$\ displaystyle$ . Powodem tego jest to, że przejście od kompleksu wszystkich form różniczkowych do kompleksu form różniczkowych niezmiennych w lewo wykorzystuje proces uśredniania, który ma sens tylko w przypadku grup zwartych.

Definicja

Niech będzie algebrą Liego na przemiennym pierścieniu $} \ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ z uniwersalną algebrą obwiedni $mathfrak {g}}$ niech M reprezentacją g ${$ \ (odpowiednik modułu - ${\ displaystyle U {\ mathfrak {g}}} ).$ Biorąc pod uwagę R jako trywialną reprezentację ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ , definiuje się grupy kohomologii

${\ Displaystyle \ operatorname {H} ^ {n} ({\ mathfrak {g}}; M): = \ operatorname {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{n}(R,M)}$

(zobacz funktor Ext , aby zapoznać się z definicją Ext). Równoważnie, są to prawe pochodne funktory lewego dokładnie niezmiennego funktora submodułu

${\ Displaystyle M \ mapsto M ^ {\ mathfrak {g}}: = \ {m \ w M \ mid xm = 0 \ {\ tekst {dla wszystkich}} x \ w {\ mathfrak {g}} \}. }$

Analogicznie można zdefiniować homologię algebry Liego jako

${\ Displaystyle \ operatorname {H} _ {n} ({\ mathfrak {g}}; M): = \ operatorname {Tor} _{n}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)}$

(zobacz funktor Tor , aby zapoznać się z definicją Tor), co jest równoważne funktorom wyprowadzonym z lewej strony prawego funktora dokładnych współzmienników

${\ Displaystyle M \ mapsto M _ {\ mathfrak {g}}: = M / {\ mathfrak {g}} M.}$

Niektóre ważne podstawowe wyniki dotyczące kohomologii algebr Liego obejmują lematy Whiteheada , twierdzenie Weyla i twierdzenie Leviego o dekompozycji .

Kompleks Chevalley-Eilenberg

Niech ${g}}}$$} styl wyświetlania M}$ będzie algebrą Liego nad polem $Displaystyle$ lewą akcją na -moduł ${\ mathfrak {g}}$ . Elementy kompleksu Chevalley-Eilenberg

${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {k} (\ Lambda ^ {\ punktor {\ mathfrak {g}}, M)}$

nazywane są współłańcuchami od ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ do ${\ displaystyle M}$ . Jednorodny -cochain od ${\ Displaystyle$$\ mathfrak {g}}}$ do ${\ Displaystyle M}$ jest zatem naprzemienną funkcją wieloliniową ${\ Displaystyle k}$ -funkcja wieloliniowa ${\ Displaystyle f \ okrężnica \ Lambda ^ {n} {\ mathfrak {g}} \ do M}$ . kiedy ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ jest generowany skończenie jako przestrzeń wektorowa, kompleks Chevalleya-Eilenberga jest kanonicznie izomorficzny z iloczynem tensorowym ${g}} ^ {*}}$${\ Displaystyle M \ otimes \ Lambda ^ {\ punktor}} \$${\ mathfrak {g}} ^ {*}}$ , gdzie oznacza podwójną przestrzeń wektorową ${\ Displaystyle$ .

Nawias Kłamstwa ${\ Displaystyle [\ cdot, \ cdot] \ dwukropek \ Lambda ^ {2} {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {g}}}$ na ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ indukuje transpozycję aplikacji ${\ Displaystyle d _ {\ mathfrak {g}} ^ {(1)} \ okrężnica {\ mathfrak {g}} ^ {*} \ strzałka w prawo \ Lambda ^ {2} {\ mathfrak {g}} ^ {*}}$ przez dualność. Ta ostatnia $jest$ wystarczająca do zdefiniowania wyprowadzenia $d _$ z do rozszerzając d ${\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle d _ {\ mathfrak {g}} ^ {(1)}}$ zgodnie ze stopniowaną regułą Leibniza. Z tożsamości Jacobiego wynika, że ${\ Displaystyle d _ {\ mathfrak {g}}}$ spełnia ${\ Displaystyle d _ {\ mathfrak {g}} ^ {2} = 0}$ i jest w rzeczywistości różnicą. W tym ustawieniu $Lambda ^{0}{\mathfrak {g}}^{*}\subseteq \mathrm {Ker} (d_{\mathfrak {g}})}$$r$$⊆$ mi sol $k$ można traktować jako stałe.

${\ Displaystyle \ gamma \ in \ operatorname {Hom} ({\ mathfrak {g}}, \ operatorname {koniec} (M)}$ sol oznacz lewe działanie na M $i$$\ Displaystyle M}$ potraktuj to jako aplikację ${\ Displaystyle d _ {\ gamma}$ . Różniczka Chevalleya-Eilenberga $zatem$ unikalnym wyprowadzeniem rozciągającym się ${\ Displaystyle d _ {\ gamma} ^ {(0)}}$ i ${\ Displaystyle d _ {\ mathfrak { g}} ^ {(1)}}$ zgodnie ze stopniowaną regułą Leibniza , warunek nilpotencji $}$ z homomorfizmu algebry Liego z $}}}$$displaystyle {\ mathfrak {g$ do ${\ Displaystyle \ operatorname {Koniec} (M)}$ i tożsamość Jacobiego w ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ .

Wyraźnie różnica z -cochain ${ \ displaystyle$$}$ jest równa ${\ Displaystyle (n + 1)}$ -cochain ${\ displaystyle df}$ dana przez: ( n + 1 ) {\ Displaystyle (n + 1)}

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} (df) \ lewo (x_ {1}, \ ldots, x_ {n + 1} \ prawej) = & \ suma _ {i} (-1) ^ {i + 1} x_{i}\,f\left(x_{1},\ldots ,{\kapelusz {x}}_{i},\ldots ,x_{n+1}\right)+\\&\suma _{ i<j}(-1)^{i+j}f\left(\left[x_{i},x_{j}\right],x_{1},\ldots ,{\kapelusz {x}}_ {i},\ldots,{\kapelusz {x}}_{j},\ldots,x_{n+1}\right)\,,\end{wyrównane}}}$

gdzie daszek oznacza pominięcie tego argumentu.

Kiedy jest rzeczywistą grupą Liego z algebrą Liego $}$ kompleks Chevalleya-Eilenberga można również kanonicznie utożsamiać z przestrzenią form niezmiennych z lewej strony o wartościach w $sol {\ displaystyle$${\ Displaystyle M}$ , oznaczony przez ${\ Displaystyle \ Omega ^ {\ punktor} (G, M) ^ {G}}$ . Różnicę Chevalleya-Eilenberga można zatem traktować jako ograniczenie pochodnej kowariantnej na trywialnej wiązce włókien $\ razy M \ rightarrow G} , wyposażony w$ połączenie równoważne ${\ Displaystyle {\ tylda {\ gamma}} \ w \ Omega ^{1}(G,\mathrm {End} (M))}$ związana z lewą akcją ${\ Displaystyle \ gamma \ in \ operatorname {Hom} ({\ mathfrak {g}}, \ operatorname {Koniec} (M)}} sol {\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${$ M \ $M }$ . W szczególnym przypadku, w którym jest wyposażony w trywialne działanie , różnica Chevalleya-Eilenberga pokrywa się z $= k =$$\ mathbb {R}}$ ograniczenie różniczki de Ramama na ${\ Displaystyle \ Omega ^ {\ punktor} (G)}$ do podprzestrzeni niezmiennych w lewo form różniczkowych.

Kohomologia w małych wymiarach

Zerowa grupa kohomologiczna to (z definicji) niezmienniki algebry Liego działające na moduł:

${\ Displaystyle H ^ {0} ({\ mathfrak {g}}; M) = M ^ {\ mathfrak {g}} = \ {m \ w M \ mid xm = 0 \ {\ tekst {dla wszystkich}} x\w {\mathfrak {g}}\}.}$

Pierwszą grupą kohomologiczną jest przestrzeń Der derywacji modulo przestrzeń Ider derywacji wewnętrznych

${\ Displaystyle H ^ {1} ({\ mathfrak {g}}; M) = \ operatorname {Der } ({\mathfrak {g}},M)/\mathrm {Ider} ({\mathfrak {g}},M)\,}$ ,

gdzie wyprowadzenie jest mapą ${\ displaystyle d }$ algebry Liego do ${\ displaystyle M}$ taką, że re

${\ Displaystyle d [x, y] = xdy-ydx ~}$

i nazywa się wewnętrzną, jeśli jest dana przez

${\ displaystyle dx = xa ~}$

dla niektórych ${\ displaystyle a}$ w ${\ displaystyle M}$ .

Druga grupa kohomologii

${\ Displaystyle H ^ {2} ({\ mathfrak {g}}; M)}$

jest przestrzenią klas równoważności rozszerzeń algebry Liego

${\ Displaystyle 0 \ rightarrow M \ rightarrow {\ mathfrak {h}} \ rightarrow {\ mathfrak {g}} \ rightarrow 0}$

algebry Liego przez moduł . ${\ displaystyle M}$ .

$Podobnie ,$ element grupy Liego ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ do „Lie ${\ displaystyle n}$ -algebra” z ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ w klasie zerowej i ${\ displaystyle M}$ w klasie ${\ displaystyle n}$ . Kłamstwo ${\ displaystyle n}$ -algebra jest homotopią algebry Liego z niezerowymi wyrazami tylko w stopniach od 0 do ${\ displaystyle n}$ .

Zobacz też

• Formalizm BRST w fizyce teoretycznej.
• Kohomologia Gelfanda-Fuksa

•     Chevalley, Claude ; Eilenberg, Samuel (1948), „Teoria kohomologii grup Liego i algebr Liego”, Transactions of the American Mathematical Society , Providence, RI: American Mathematical Society , 63 (1): 85–124, doi : 10.2307/1990637 , ISSN 0002 -9947 , JSTOR 1990637 , MR 0024908
•    Hilton, Peter J .; Stammbach, Urs (1997), Kurs algebry homologicznej , Graduate Texts in Mathematics, tom. 4 (wyd. 2), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94823-2 , MR 1438546
•    Knapp, Anthony W. (1988), grupy Liego, algebry Liego i kohomologia , notatki matematyczne, tom. 34, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08498-5 , MR 0938524

Linki zewnętrzne

• „Wprowadzenie do kohomologii algebry Liego” . Scholarpedia .