derywat

W matematyce derywatory są proponowaną strukturą algebry homologicznej, dającą ^podstawę zarówno abelowej, jak i nieabelowej algebrze homologicznej oraz różnym jej uogólnieniom. Zostały one wprowadzone, aby zaradzić brakom kategorii pochodnych (takich jak niefunkcjonalność konstrukcji stożka) i jednocześnie zapewnić język algebry homotopicznej .

Pochodne zostały po raz pierwszy wprowadzone przez Alexandra Grothendiecka w jego długo niepublikowanym rękopisie z 1983 roku Pursuing Stacks . Zostały one następnie przez niego rozwinięte w ogromnym, niepublikowanym rękopisie Les Dérivateurs z 1991 roku , liczącym prawie 2000 stron. Zasadniczo tę samą koncepcję wprowadził (najwyraźniej niezależnie) Alex Heller.

Rękopis został zredagowany do publikacji on-line przez Georgesa Maltsiniotisa. Teoria została rozwinięta przez kilka innych osób, w tym Hellera, Franke , Kellera i Grotha.

Motywacje

Jednym z powodów motywujących do rozważenia derywatów jest brak funkcjonalności przy konstrukcji stożka z triangulowanymi kategoriami . Derywaty są w stanie rozwiązać ten problem i rozwiązać włączenie ogólnych kolimitów homotopii , śledząc wszystkie możliwe diagramy w kategorii ze słabymi równoważnościami i ich wzajemnymi relacjami. Heurystycznie, biorąc pod uwagę diagram

${\ Displaystyle \ punktor \ do \ punktor}$

która jest kategorią z dwoma obiektami i jedną strzałką nieidentyfikującą oraz funktorem

${\ Displaystyle F: (\ punktor \ do \ punktor) \ do A}$

do kategorii z klasą słabych równoważności $displaystyle W}$ $i$ spełniających właściwe hipotezy), powinniśmy mieć skojarzony funktor W {

${\ Displaystyle C (F): \ punktor \ do A [W ^ {-1}]}$

gdzie obiekt docelowy jest unikalny aż do słabej równoważności w . do $\ Displaystyle {\ mathcal {C}} [W ^ {-1}]}$ . Derywatory są w stanie zakodować tego rodzaju informacje i zapewnić rachunek diagramów do wykorzystania w kategoriach pochodnych i teorii homotopii.

Definicja

Prederywaty

Formalnie prederivator jest 2-funktorem ${\ displaystyle \ mathbb {D}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {D}: {\ tekst {Ind}} ^ {op} \ do {\ tekst {KOT}}}$

z odpowiedniej 2-kategorii indeksów do kategorii kategorii. Zazwyczaj takie 2-funktory pochodzą z rozważania kategorii ${\ Displaystyle {\ podkreślenie {\ tekst {Hom}}} (I ^ {op}, A)}$ gdzie ${\ Displaystyle A}$ nazywamy kategorią współczynników . Na przykład ${\ displaystyle {\ text {Ind}}}$ może być kategorią małych kategorii, które są filtrowane, których obiekty można traktować jako zbiory indeksujące dla filtrowanej colimit . Następnie, biorąc pod uwagę morfizm diagramów

${\ Displaystyle f: ja \ do jot}$

oznaczać ${\ displaystyle f ^ {*}}$ przez

${\ Displaystyle f ^ {*}: \ mathbb {D} (J) \ do \ mathbb {D} (ja)}$

Nazywa się to odwrotnym funktorem obrazu . W motywującym przykładzie jest to po prostu prekompozycja, więc biorąc pod uwagę funktor ${\ Displaystyle F_ {I} \ in {\ podkreślenie {\ tekst {Hom}}} (I ^ { op}, A)}$ istnieje powiązany funktor ${\ Displaystyle F_ {J} = F_ {I} \ circ f}$ . Zauważ, że można przyjąć, że te 2-funktory są

${\ Displaystyle {\ podkreślenie {\ tekst {Hom}}} (-, A [W ^ {- 1}])}$

gdzie $jest$ klasą słabych równoważności $kategorii$ .

Kategorie indeksowania

Istnieje wiele przykładów kategorii indeksowania, które można wykorzystać w tej konstrukcji

$.$ 2 kategoriami skończonych kategorii, więc obiekty są kategoriami, których zbiór obiektów jest skończonymi zbiorami
Kategorię porządkową $.$ podzielić na dwie kategorie, w których obiekty są kategoriami z jednym obiektem, a funktory pochodzą ze strzałek w kategorii porządkowej
Inną opcją jest po prostu użycie kategorii małych kategorii.
Ponadto z dowolną przestrzenią topologiczną powiązana $jest$ $kategoria$ można kategorii indeksowania
Co więcej, miejsca leżące u podstaw toposów Zariksi , Etale itp. Dla jakiegoś schematu lub przestrzeni algebraicznej wraz z ich morfizmami mogą być użyte do $) _ {\ tau}}$ $Displaystyle ($ kategoria indeksowania
Można to uogólnić na dowolny topos $,$ kategorią indeksowania jest witryna bazowa.

pochodne

Derywaty są zatem aksjomatyzacją prederywatów, które są wyposażone w sprzężone funktory

{\ Displaystyle f ^ {?} \ dashv f_ {!} \ dashv f ^ {*} \ dashv f_ {*} \ dashv f ^ {!}}

gdzie ${\ displaystyle f_ {!}}$ pozostaje obok ${\ displaystyle f ^ {*}}$ i tak dalej. Heurystycznie, powinno odpowiadać odwrotnym granicom, ${\ displaystyle f_ {*}$ ${\ displaystyle f_ {!}}$ do granic.

Bibliografia

Grothendieck, Aleksander (1991). Maltsiniotis, Georges; Malgoire, Jean; Künzer, Matthias (red.). „Les Dérivateurs: Texte d'Alexandre Grothendieck” .
Heller, Alex (1988). „Teorie homotopii”. Mem.Amer.Math.Soc . Providence, RI: Amer.Math.Soc. 71 (383). doi : 10.1090/memo/0383 . ISBN 978-0-8218-2446-7 .
Groth, Moritz (2013). „Derywatory, spiczaste derywatory i stabilne derywatory”. Algebr.Geom.Topol . 13 : 313–374. ar Xiv : 1112.3840 . doi : 10.2140/agt.2013.13.313 .

Linki zewnętrzne