Twierdzenie o podgrupach Kurosha

W matematycznej dziedzinie teorii grup twierdzenie Kurosha o podgrupach opisuje algebraiczną strukturę podgrup swobodnych iloczynów grup . Twierdzenie zostało otrzymane przez Aleksandra Kurosza w 1934 r. Nieoficjalnie twierdzenie to mówi, że każda podgrupa swobodnego iloczynu jest sama w sobie wolnym iloczynem wolnej grupy i jej przecięć z koniugatami czynników pierwotnego swobodnego produkt.

Historia i uogólnienia

Po oryginalnym dowodzie Kurosha z 1934 r. Było wiele kolejnych dowodów twierdzenia o podgrupie Kurosh, w tym dowody Harolda W. Kuhna (1952), Saundersa Mac Lane'a (1958) i innych. Twierdzenie zostało również uogólnione do opisu podgrup połączonych wolnych produktów i rozszerzeń HNN . Inne uogólnienia obejmują rozważenie podgrup wolnych pro-skończonych oraz wersję twierdzenia o podgrupach Kurosha dla grup topologicznych .

Współcześnie twierdzenie o podgrupach Kurosha jest prostym następstwem podstawowych wyników strukturalnych teorii Bassa-Serre'a o grupach działających na drzewach .

Stwierdzenie twierdzenia

Niech $iloczynem$ wolnym grup i niech $_$ G . _ _ _ _ _ _ Wtedy istnieje rodzina ${\ Displaystyle (A_ {i}) _ {i \ w ja}}$ podgrup ${\ Displaystyle A_ {i} \ równoważnik A}$ , rodzina ${\ Displaystyle (B_ {j}) _ {j \ w J}}$ podgrup ${\ Displaystyle B_ {j} \ równoważnik B}$ , rodziny ${\ Displaystyle g_ {i}, i \ w ja}$ i ${\ Displaystyle f_ {j}, j \ w J}$ elementów G i podzbiór ${\ Displaystyle X \subseteq G}$ takie że

{\ Displaystyle H = F (X) * (* _ {i \ w I} g_ {i} A_ {i} g_ {i} ^ {-1}) * (* _ {j \ w J} f_ {j }B_{j}f_{j}^{-1}).}

Oznacza to, że X swobodnie generuje podgrupę G izomorficzną z wolną grupą F ( X ) z wolną bazą X i że ponadto g _i A _i g _i⁻¹ , f _j B _j f _j⁻¹ i X generują H w G jako wolny produkt powyższej postaci.

Istnieje uogólnienie tego na przypadek bezpłatnych produktów z dowolnie wieloma czynnikami. Jego formuła to:

Jeśli H jest podgrupą ∗ _i∈I G _i = G , to

{\ Displaystyle H = F (X) * (* _ {j \ w J} g_ {j} H_ {j} g_ {j}^{-1}),}

gdzie X ⊆ G i J to jakiś zbiór indeksów, a g _j ∈ G i każdy H _j to podgrupa jakiegoś G _i .

Dowód za pomocą teorii Bassa-Serre'a

Twierdzenie o podgrupach Kurosha łatwo wynika z podstawowych wyników strukturalnych teorii Bassa-Serre'a , jak wyjaśniono na przykład w książce Cohena (1987):

Niech G = A ∗ B i rozważmy G jako podstawową grupę grafu grup Y składającego się z pojedynczej niepętlowej krawędzi z grupami wierzchołków A i B oraz trywialną grupą krawędzi. Niech X będzie uniwersalnym drzewem pokrywającym Bassa-Serre'a dla grafu grup Y . Ponieważ H ≤ G działa również na X , rozważmy wykres ilorazowy grup Z dla działania H na X. _ Grupy wierzchołków Z są podgrupami stabilizatorów G wierzchołków X , to znaczy są sprzężone w G z podgrupami A i B . Grupy krawędzi Z są trywialne, ponieważ stabilizatory G krawędzi X były trywialne. Zgodnie z podstawowym twierdzeniem teorii Bassa-Serre'a H jest kanonicznie izomorficzny z podstawową grupą wykresu grup Z . Ponieważ grupy krawędzi Z są trywialne, wynika z tego, że H jest równe swobodnemu iloczynowi grup wierzchołków Z i wolnej grupy F ( X ), która jest grupą podstawową (w standardowym sensie topologicznym) leżącego u podstaw grafu Z z Z. _ Oznacza to wniosek z twierdzenia o podgrupie Kurosha.

Rozszerzenie

Wynik rozciąga się na przypadek, w którym G jest połączonym produktem wzdłuż wspólnej podgrupy C , pod warunkiem, że H spełnia każdy koniugat C tylko w elemencie tożsamości.

Zobacz też