Teoria koła

Koło jest rodzajem algebry (w sensie algebry uniwersalnej ), w której dzielenie jest zawsze zdefiniowane. Szczególnie dzielenie przez zero . Liczby rzeczywiste można rozszerzyć na koło, podobnie jak każdy pierścień przemienny .

Termin koło jest inspirowany obrazem topologicznym linii rzutowej wraz z dodatkowym punktem ⊥ ( element dolny $)$ , taki jak $bot = 0/0}$ .

Koło można uznać za odpowiednik pierścienia przemiennego (i półpierścienia ), w którym dodawanie i mnożenie nie są grupą , ale odpowiednio monoidem przemiennym i monoidem przemiennym z inwolucją .

Definicja

Koło jest strukturą algebraiczną , w której ${\ Displaystyle (W, 0,1, +, \ cdot, /)}$

• ${\ displaystyle W}$ to zbiór,
• ${\ displaystyle {} 0}$ i ${\ displaystyle 1}$ są elementami tego zestawu,
• ${\ Displaystyle +}$ i są operacjami binarnymi , ${\ Displaystyle \ cdot}$
• ${\ displaystyle /}$ jest operacją jednoargumentową ,

i spełniające następujące właściwości:

• $+}$$displaystyle$ i $\ cdot}$$\$ displaystyle są przemienne i asocjacyjne i mają odpowiednie tożsamości .
• ${\ Displaystyle // x = x}$ ( ${\ Displaystyle /}$ to inwolucja )
• ${\ Displaystyle / (xy) =/ x / y}$ ( ${\ Displaystyle /}$ jest multiplikatywne )
• ${\ Displaystyle (x + y) z + 0z = xz + yz}$
• ${\ Displaystyle (x + yz) / y = x / y + z + 0y}$
• ${\ Displaystyle 0 \ cdot 0 = 0}$
• ${\ Displaystyle (x + 0y) z = xz + 0y}$
• ${\ Displaystyle / (x + 0y) =/x + 0y}$
• ${\ Displaystyle 0/0 + x = 0/0}$

Algebra kół

Koła zastępują zwykłe dzielenie jako operację binarną z mnożeniem, z operacją jednoargumentową zastosowaną do jednego argumentu $podobną (ale$ identyczną) do odwrotności multiplikatywnej $}$${\ displaystyle x ^ {-$ , tak że staje ${\ Displaystyle a \ cdot / b =/b \ cdot a$ skrótem dla $b$ ale ${\ Displaystyle a \ cdot b ^ {- 1}}$ ani ogólnie ${\ Displaystyle b ^ {- 1} \ cdot a} i modyfikuje reguły$ algebry tak, że

• ${\ Displaystyle 0x \ neq 0}$ w ogólnym przypadku
• $\ Displaystyle x/x \ neq 1}$${\ Displaystyle x}$ w ogólnym przypadku, ponieważ ${\ Displaystyle / x}$ nie jest tym samym, co multiplikatywna odwrotność x .

Inne tożsamości, które można wyprowadzić, to

• ${\ displaystyle 0x + 0y = 0xy}$
• ${\ Displaystyle x/x = 1 + 0x/x}$
• ${\ Displaystyle xx = 0x ^ {2}}$

gdzie negacja jest zdefiniowana przez $x$$+$$-y)}$ ( jeśli istnieje element $a$ , że ( $}$ w ogólnym przypadku ${\ Displaystyle xx \ neq 0}$ ).

Jednak dla x $displaystyle$$0x=0}$ i ${\ displaystyle 0/x=0}$ zwykłe x {\ displaystyle x}

• ${\ displaystyle x/x = 1}$
• ${\ Displaystyle xx = 0}$

Jeśli negację można zdefiniować jak powyżej, to $jest$ pierścieniem przemiennym , pierścień przemienny jest takim Jeśli jest odwracalnym elementem $pierścienia$ przemiennego, to $^ {-1} =/x}$ . Tak więc, ilekroć ${\ Displaystyle x ^ {-1}}$ ma sens, jest równy $.$ ale to drugie jest zawsze zdefiniowane, nawet gdy $displaystyle x = 0$ \

Przykłady

Koło ułamków

Niech $będzie$ pierścieniem przemiennym i niech będzie multiplikatywną podmonoidem $}$$displaystyle A$ . Zdefiniuj $\ Displaystyle$ kongruencji przez $S}}$ przez

${\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) \ sim _ {S} (y_ {1}, y_ {2})}$ oznacza, że istnieje ${\ Displaystyle s_ {x}, s_ {y} \ w S}$ takie, że ${\ Displaystyle (s_ {x} x_ {1}, s_ {x} x_ {2}) = (s_ {y} y_ {1}, s_ {y} y_ {2})}$ .

Zdefiniuj ${$ ułamków w odniesieniu do $}$$displaystyle$ iloraz i oznaczający ${\ Displaystyle (x_$ równoważności zawierającą jako ${\ Displaystyle [x_ {1}, x_ {2}]}$ ) z operacjami

${\ Displaystyle 0 = [0_ {A}, 1_ {A}]}$ (tożsamość dodatku)

${\ Displaystyle 1 = [1_ {A}, 1_ { A}]}$ (tożsamość multiplikatywna)

${\ Displaystyle / [x_ {1}, x_ {2}] = [x_ {2}, x_ {1} ]}$ (operacja odwrotna)

${\ Displaystyle [x_ {1}, x_ {2}] + [y_ { 1},y_{2}]=[x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},x_{2}y_{2}]}$ (operacja dodawania)

${\ Displaystyle [x_ {1}, x_ {2}] \ cdot [y_ {1}, y_ {2}] = [x_ {1} y_ {1},x_{2}y_{2}]}$ (operacja mnożenia)

Linia rzutowa i sfera Riemanna

Szczególny przypadek powyższego zaczynającego się od pola tworzy linię rzutową przedłużoną do koła przez dołączenie dolnego elementu oznaczonego ⊥ , gdzie ${\ Displaystyle 0/0 = \ bot}$ . Linia rzutowa sama w sobie jest przedłużeniem pierwotnego pola o element , gdzie dla dowolnego elementu $Displaystyle z/0 = \ infty}$$\$${\ Displaystyle Z \ neq 0$ na polu. Jednak ${\ displaystyle 0/0}$ jest nadal nieokreślony na linii rzutowej, ale jest zdefiniowany w swoim przedłużeniu do koła.

Zaczynając od liczb rzeczywistych , odpowiednia rzutowa „linia” jest geometrycznie okręgiem , a następnie dodatkowy punkt nadaje kształt, który jest źródłem terminu „koło $.$ Lub zaczynając zamiast tego od liczb zespolonych , odpowiednia rzutowa „linia” jest kulą ( sfera Riemanna ), a następnie dodatkowy punkt daje trójwymiarową wersję koła.

Zobacz też

• NaN

Cytaty

• Setzer, Anton (1997), Koła (PDF) (szkic)
•   Carlström, Jesper (2004), „Wheels - On Division by Zero”, Struktury matematyczne w informatyce , Cambridge University Press , 14 (1): 143–184, doi : 10.1017/S0960129503004110 , S2CID 11706592 (dostępne również online tutaj ).
•   A, BergstraJ; V, TuckerJ (1 kwietnia 2007). „Liczby wymierne jako abstrakcyjny typ danych” . Dziennik ACM . 54 (2): 7. doi : 10.1145/1219092.1219095 . S2CID 207162259 .
•    Bergstra, Jan A.; Ponse, Alban (2015). „Dzielenie przez zero w Common Meadows” . Oprogramowanie, usługi i systemy: eseje dedykowane Martinowi Wirsingowi z okazji jego przejścia na emeryturę z Katedry Programowania i Inżynierii Oprogramowania . Notatki z wykładów z informatyki. Międzynarodowe wydawnictwo Springera. 8950 : 46–61. doi : 10.1007/978-3-319-15545-6_6 . ISBN 978-3-319-15544-9 . S2CID 34509835 .