Analiza kwaternionowa

W matematyce analiza czwartorzędowa to badanie funkcji z kwaternionami jako dziedziną i/lub zakresem . Funkcje takie można nazwać funkcjami zmiennej kwaternionowej, podobnie jak funkcje zmiennej rzeczywistej lub zmiennej zespolonej .

Podobnie jak w przypadku analizy złożonej i rzeczywistej , możliwe jest badanie pojęć analityczności , holomorfii , harmoniczności i zgodności w kontekście kwaternionów. W przeciwieństwie do liczb zespolonych i liczb rzeczywistych te cztery pojęcia nie pokrywają się.

Nieruchomości

Rzuty kwaternionu na jego część skalarną lub wektorową, a także funkcje modułu i wersora to przykłady podstawowe do zrozumienia struktury kwaternionu.

Ważnym przykładem funkcji zmiennej kwaternionowej jest

${\ Displaystyle f_ {1} (q) = uqu ^ {-1}}$

który obraca część wektorową q o dwukrotność kąta reprezentowanego przez u .

Kwaternion multiplikatywna odwrotność to kolejna podstawowa funkcja, ale podobnie jak w przypadku innych systemów liczbowych ${\ displaystyle f_$$^ {-1} } f_{2}(0)}$ i powiązane problemy są generalnie wykluczone ze względu na naturę dzielenia przez zero .

Przekształcenia afiniczne kwaternionów mają postać

${\ Displaystyle f_ {3} (q) = aq + b, \ quad a, b, q \ in \ mathbb {H}.}$

Liniowe ułamkowe transformacje kwaternionów można przedstawić za pomocą elementów pierścienia macierzy działającego na linii rzutowej. $}$${\ Displaystyle M_ {2} (\ mathbb {H}$ . Na $}$ odwzorowania, gdzie i są stałymi wersorami : $q \ mapsto uqv,$$\$ służą do wywoływania ruchów przestrzeni eliptycznej .

Teoria zmiennych kwaternionowych różni się pod pewnymi względami od teorii zmiennych zespolonych. Na przykład: Złożone sprzężone płaszczyzny zespolonej jest narzędziem centralnym, ale wymaga wprowadzenia operacji niearytmetycznej i nieanalitycznej . Rzeczywiście, koniugacja zmienia orientację figur płaskich, coś, czego funkcje arytmetyczne nie zmieniają.

W przeciwieństwie do koniugatu złożonego , koniugację kwaternionów można wyrazić arytmetycznie, jako ${\ displaystyle f_ {4} (q) =-{\tfrac {1}{2}}(q+iqi+jqj+kqk)}$

Równanie to można udowodnić, zaczynając od podstawy {1, i, j, k}:

${\ Displaystyle f_ {4} (1) = - {\ tfrac {1} {2}} (1-1-1-1) = 1, \ quad f_ {4} (i) =-{\tfrac {1}{2}}(i-i+i+i)=-i,\quad f_{4}(j)=-j,\quad f_{4}(k)=-k }$ .

W $jest$ , ponieważ ,

${\ Displaystyle f_ {4} (q) = f_ {4} (w + xi + yj + zk) = wf_ {4} (1) + xf_ {4} (i) + yf_ {4} (j) + zf_ {4}(k)=w-xi-yj-zk=q^{*}.}$

Sukces analizy złożonej w zapewnieniu bogatej rodziny funkcji holomorficznych do prac naukowych zaangażował niektórych pracowników w wysiłki mające na celu rozszerzenie teorii planarnej, opartej na liczbach zespolonych, na badanie 4-przestrzenne z funkcjami zmiennej kwaternionowej. Wysiłki te zostały podsumowane w Davours (1973) .

Chociaż pojawia się jako suma złożonych płaszczyzn , poniższe twierdzenie pokazuje, że rozszerzanie złożonych funkcji wymaga szczególnej ostrożności: ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

Niech ${\ Displaystyle f_ {5} (z) = u (x, y) + iv (x, y)}$ będzie funkcją zmienna złożona, ${\ displaystyle z = x + iy}$ . $Załóżmy$ również $,$ jest parzystą funkcją i jest funkcją nieparzystą y $y$$displaystyle$ } Wtedy jest rozszerzeniem ${\ displaystyle f_ {5} (q) = u (x, y) + rv (x, y)}$${\ displaystyle f_ {5}}$ do zmiennej kwaternionowej gdzie $r$${\ displaystyle r ^ {2} = -1}$ i $in \ mathbb {H}}$ . Następnie niech $q$ koniugat , tak że $displaystyle q$$}}$ \ Rozszerzenie na ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$ będzie kompletny, gdy zostanie pokazane, że ${\ displaystyle f_ {5} (q) = f_ {5} (x-yr ^ {*})}$ . Rzeczywiście, według hipotezy

${\ Displaystyle u (x, y) = u (x, -y), \ quad v(x,y)=-v(x,-y)\quad }$ otrzymuje się

${\ Displaystyle f_ {5} (x-yr ^ {*}) = u (x, -y) + r ^ {*} v (x, -y) = u (x, y) + rv (x, y )=f_{5}(q).}$

Homografie

Poniżej dwukropki i nawiasy kwadratowe służą do oznaczenia wektorów jednorodnych .

Obrót wokół osi r jest klasycznym zastosowaniem kwaternionów do mapowania przestrzeni . Jeśli chodzi o homografię , wyrażana jest rotacja

${\ Displaystyle [q: 1] {\ początek {pmatrix} u i 0 \\ 0 i u \ koniec {pmatrix} }=[qu:u]\thicksim [u^{-1}qu:1],}$

gdzie ${\ displaystyle u = \ exp (\ theta r) = \ bo \ theta + r \ sin \ theta}$ jest wersorem . Jeśli p * = - p , to tłumaczenie wyraża się wzorem ${\ displaystyle q \ mapsto q+p}$

${\ Displaystyle [q: 1] {\ początek {pmatrix} 1 i 0 \\ p i 1 \ koniec {pmatrix}} = [q + p: 1].}$

Obrót i przesunięcie xr wzdłuż osi obrotu jest określone przez

${\ Displaystyle [q: 1] {\ początek {pmatrix} u&0 \\ uxr i u \ koniec {pmatrix}} = [qu + uxr: u] \thicksim [u ^ {- 1} qu + xr: 1].}$

Takie odwzorowanie nazywa się przemieszczeniem śruby . W kinematyce klasycznej twierdzenie Chaslesa stwierdza , że ​​dowolny ruch ciała sztywnego można przedstawić jako przemieszczenie śruby. Tak jak reprezentacja izometrii płaszczyzny euklidesowej jako obrót jest kwestią arytmetyki liczb zespolonych, tak twierdzenie Chaslesa i wymagana oś śruby są kwestią arytmetyki kwaternionów z homografiami: Niech s będzie prawym wersorem, czyli pierwiastkiem kwadratowym minus jeden, prostopadle do r , gdzie t = rs .

Rozważmy oś przechodzącą przez s i równoległą do r . Obrót wokół niego wyraża się składem homograficznym

${\ Displaystyle {\ początek {pmatrix} 1 i 0 \\ -s i 1 \ koniec {pmatrix}} {\ początek {pmatrix} u i 0 \ \0&u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\s&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u&0\\z&u\end{pmatrix}},}$

gdzie ${\ Displaystyle z = us-su = \ sin \ theta (rs-sr) = 2t \ sin \ theta.}$

Teraz na płaszczyźnie ( s, t ) parametr θ zakreśla okrąg ${\ displaystyle u^{-1}z=u^{-1}(2t\sin \theta)=2\sin \theta (t\cos \theta -s\sin \theta )} w$ półpłaszczyźnie ${\ Displaystyle \ lbrace wt + xs: x> 0 \ rbrace.}$

Dowolne p w tej półpłaszczyźnie leży na promieniu rozpoczynającym się od początku przechodzącym przez okrąg ${\ displaystyle \ lbrace u ^ {-1} z: 0 <\ teta <\ pi \ rbrace }$ i można zapisać ${\ displaystyle p = au ^ {-1} z, \ \ a> 0.}$

Następnie w górę = az , z ${\ displaystyle {\ początek {pmatrix} u&0 \\ az i u \ koniec {pmatrix}}}$ jako homografia wyrażająca koniugację rotacji przez tłumaczenie p.

Pochodna dla kwaternionów

Od czasów Hamiltona zdano sobie sprawę, że wymaganie niezależności pochodnej od ścieżki, którą różniczka podąża w kierunku zera, jest zbyt restrykcyjne: wyklucza nawet ${\ displaystyle f (q) = q ^ {2}}$ od różnicowania. Dlatego dla funkcji zmiennej kwaternionowej konieczna jest pochodna zależna od kierunku. Uwzględnienie przyrostu funkcji wielomianowej argumentu kwaternionowego pokazuje, że przyrost jest liniową mapą przyrostu argumentu. Na tej podstawie można sformułować definicję:

Ciągłą mapę $\ mathbb {H}}$ się różniczkowalną na zbiorze, fa $\ displaystyle f: \ mathbb {H.} \rightarrow$ w każdym punkcie przyrost mapy można przedstawić jako $\ w U}$$\ displaystyle x$

${\ Displaystyle f (x + h) -f (x) = {\ Frac {df (x)} {dx}}\circ h+o(h)}$

Gdzie

${\ Displaystyle {\ Frac {df (x)} {dx}}: \ mathbb {H} \rightarrow \ mathbb {H}}$

jest liniową mapą algebry kwaternionów i jest mapą ciągłą taką, że ${\ displaystyle o: \ mathbb {H} \rightarrow \ mathbb {H$$}$

${\ Displaystyle \ lim _ {a \ Rightarrow 0} {\ Frac {|o (a) |} {|a |}} = 0}$

Mapa liniowa nazywana jest pochodną mapy. $displaystyle$ fa ${\ frac {df (x)} {dx}}}$

W przypadku kwaternionów pochodną można wyrazić jako

${\ Displaystyle {\ Frac {df (x)} {dx}} = \ suma _ {s }$

Dlatego różnicę mapy $.$ wyrazić w następujący sposób w nawiasach po obu stronach

${\ Displaystyle {\ Frac {df (x)} {dx}} \ circ dx = \ lewo (\ suma _ {s} {\ Frac {d_ {s0} f (x)} {dx} }\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}\right)\circ dx=\sum _{s}{\frac {d_{s0}f(x)}{dx}} dx{\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}}$

Liczba wyrazów w sumie będzie zależała od funkcji f . Wyrażenia $_$ _

Pochodna funkcji czwartorzędowej spełnia następujące równości

${\ Displaystyle {\ Frac {df (x)} {dx}} \ circ h=\lim _{t\to 0}(t^{-1}(f(x+th)-f(x)))}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d (f (x) + g (x))} {dx}} = {\ Frac {df (x)} {dx}}+{\frac {dg(x)}{dx}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {df (x) g (x)} {dx}} = {\ Frac {df (x)} {dx}} \ g (x) + f (x) \ {\ Frac {dg (x)} {dx}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {df (x) g (x)} {dx}} \ circ h = \ lewo ({\ Frac {df (x)} {dx}} \ circ h \ prawo )\ g(x)+f(x)\lewo({\frac {dg(x)}{dx}}\circ h\right)}$

${\ Displaystyle {\ Frac {daf (x) b} {dx}} = a \ {\ Frac {df (x)} {dx}} \ b}$

${\ Displaystyle {\ Frac {daf (x) b} {dx}} \ circ h = a \ lewo ({\ Frac {df (x)} {dx} }\circ h\right)b}$

Dla funkcji f ( x ) = axb pochodna wynosi

${\ Displaystyle {\ Frac {daxb} {dx}} = a \ otimes b$

${\ displaystyle dy = {\ Frac {daxb} {dx}} \ circ dx = a \, dx \, b}$

i tak komponenty to:

${\ Displaystyle {\ Frac {d_ {10} axb} {dx}} = a}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d_ {11} axb} {dx}} = b}$

Podobnie dla funkcji f ( x ) = x ² pochodna wynosi

${\ Displaystyle {\ Frac {dx ^ {2}} {dx}} = x \ o razy 1 + 1 \ o razy x}$

${\ displaystyle dy = {\ frac {dx ^ {2}} {dx}} \ circ dx = x \, dx + dx \, X}$

a komponenty to:

${\ Displaystyle {\ Frac {d_ {10} x ^ {2}} {dx}} = x}$		${\ Displaystyle {\ Frac {d_ {11} x ^ {2}} {dx}} = 1}$
${\ Displaystyle {\ Frac {d_ {20} x ^ {2}} {dx}} = 1}$		${\ Displaystyle {\ Frac {d_ {21} x ^ {2}} {dx}} = x}$

Wreszcie dla funkcji f ( x ) = x ⁻¹ pochodna wynosi

${\ Displaystyle {\ Frac {dx ^ {-1}} {dx}} = - x ^ {- 1} \ otimes x ^ {- 1}}$

${\ Displaystyle dy = {\ Frac {dx ^ {-1}} {dx}} \ circ dx = -x ^ { -1}dx\,x^{-1}}$

a komponenty to:

${\ Displaystyle {\ Frac {d_ {10} x ^ {-1}} {dx}} = -x ^ {- 1}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d_ {11} x ^ {-1}} {dx}} = x ^ {- 1}}$

Zobacz też

• Transformacja Cayleya
• Rozmaitość czwartojonowa

Cytaty

•    Arnold, Vladimir (1995), przekład Porteous, Ian R. , „The geometry of spherical curves and the algebra of quaternions”, Russian Mathematical Surveys , 50 (1): 1–68, doi : 10.1070/RM1995v050n01ABEH001662 , S2CID 250897899 , Zbl 0848.58005
• Cayley, Arthur (1848), „O zastosowaniu kwaternionów do teorii rotacji” , Londyn i Edynburg Philosophical Magazine , seria 3, 33 (221): 196–200, doi : 10.1080/14786444808645844
•     Davours, Kalifornia (1973), „Rachunek kwaternionów”, American Mathematical Monthly , Washington, DC: Mathematical Association of America, 80 (9): 995–1008, doi : 10.2307/2318774 , ISSN 0002-9890 , JSTOR 2318774 , Zbl 0282.30040
•    Du Val, Patrick (1964), Homographies, Quaternions and Rotations , Oxford Mathematical Monographs, Oxford: Clarendon Press, MR 0169108 , Zbl 0128.15403
•    Fueter, Rudolf (1936), „Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen”, Commentarii Mathematici Helvetici (w języku niemieckim), 8 : 371–378, doi : 10.1007/BF01199562 , S2CID 121227604 , Zbl 0014.1 6702
•     Gentili, Graziano; Stoppato, Caterina; Struppa, Daniele C. (2013), Funkcje regularne zmiennej czwartorzędowej , Berlin: Springer, doi : 10.1007/978-3-642-33871-7 , ISBN 978-3-642-33870-0 , S2CID 118710284 , Zbl 1269.30001
•   Gormley, PG (1947), „Projekcja stereograficzna i liniowa grupa ułamkowa transformacji kwaternionów”, Proceedings of the Royal Irish Academy, sekcja A , 51 : 67–85, JSTOR 20488472
•    Gürlebeck, Klaus; Sprößig, Wolfgang (1990), Analiza kwaternionowa i problemy wartości brzegowych eliptycznych , Bazylea: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-2382-0 , Zbl 0850.35001
• John C.Holladay (1957), „Twierdzenie Stone’a – Weierstrassa dla kwaternionów” (PDF) , Proc. Amera. Matematyka. Towarzystwo , 8 : 656, doi : 10.1090/S0002-9939-1957-0087047-7 .
•   Hamilton, William Rowan (1853), Wykłady na temat kwaterniony , Dublin: Hodges i Smith, OL 23416635M
•   Hamilton, William Rowan (1866), Hamilton, William Edwin (red.), Elementy Quaternions , Londyn: Longmans, Green, & Company, Zbl 1204.01046
•    Joly, Charles Jasper (1903), „Kwaterniony i geometria rzutowa”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 201 (331–345): 223–327, Bibcode : 1903RSPTA.201..223J , doi : 10.1098/rsta. 1903.0018 , JFM 34.0092.01 , JSTOR 90902
•   Laisant, Charles-Ange (1881), Wprowadzenie à la Méthode des Quaternions (w języku francuskim), Paryż: Gauthier-Villars, JFM 13.0524.02
•   Porter, R. Michael (1998), „Niezmienna geometria kwaternionu Möbiusa” (PDF) , Conformal Geometry and Dynamics , 2 (6): 89–196, doi : 10.1090 / S1088-4173-98-00032-0 , Zbl 0910.53005
•    Sudbery, A. (1979), „Analiza kwaternionowa”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 85 (2): 199–225, Bibcode : 1979MPCPS..85..199S , doi : 10.1017/S0305004100055638 , hdl : 10338. dmlcz/101933 , S2CID 7606387 , Zbl 0399.30038