Twierdzenie Chaslesa ( kinematyka )

W przypadku innych zastosowań zobacz twierdzenie Chaslesa (ujednoznacznienie) .

Oś śrubowa . Twierdzenie Mozziego-Chaslesa mówi, że każdy ruch euklidesowy jest przemieszczeniem śruby wzdłuż pewnej osi śruby.

W kinematyce twierdzenie Chaslesa lub twierdzenie Mozziego-Chaslesa mówi , że najbardziej ogólne przemieszczenie bryły sztywnej można uzyskać przez translację wzdłuż linii (zwanej osią śruby lub osią Mozziego), po której następuje (lub poprzedza) obrót wokół oś równoległa do tej linii.

Historia

Dowód na to, że przemieszczenie przestrzenne można rozłożyć na obrót i przesuwanie wokół i wzdłuż linii, przypisuje się astronomowi i matematykowi Giulio Mozzi (1763), w rzeczywistości oś śruby jest tradycyjnie nazywana we Włoszech asse di Mozzi . Jednak większość podręczników odnosi się do późniejszej podobnej pracy Michela Chaslesa z 1830 r. Kilku innych współczesnych M. Chasles uzyskało takie same lub podobne wyniki w tym czasie, w tym G. Giorgini, Cauchy, Poinsot, Poisson i Rodrigues. Opis dowodu Giulio Mozziego z 1763 roku i część jego historii można znaleźć tutaj.

Dowód

Mozzi rozważa bryłę sztywną przechodzącą najpierw obrót wokół osi przechodzącej przez środek masy, a następnie translację przemieszczenia D w dowolnym kierunku. W ten sposób można wykonać dowolny ruch sztywny dzięki twierdzeniu Eulera o istnieniu osi obrotu. Przemieszczenie D środka masy można rozłożyć na składowe równoległe i prostopadłe do osi. Składowa prostopadła (i równoległa) działa na wszystkie punkty bryły sztywnej, ale Mozzi pokazuje, że dla niektórych punktów poprzedni obrót działał dokładnie z przeciwnym przemieszczeniem, więc punkty te są przesuwane równolegle do osi obrotu. Punkty te leżą na osi Mozziego, przez którą sztywny ruch można osiągnąć za pomocą ruchu śrubowego.

Inny elementarny dowód twierdzenia Mozziego-Chaslesa podał ET Whittaker w 1904 r. Załóżmy, że A ma zostać przekształcone w B . Whittaker sugeruje, aby prostą AK wybrać równolegle do osi danego obrotu, gdzie K jest stopą prostopadłej z B . Odpowiednie przemieszczenie śruby jest wokół osi równoległej do AK , tak że K jest przesunięty do B. Metoda odpowiada izometrii płaszczyzny euklidesowej , w której złożenie obrotu i translacji można zastąpić obrotem wokół odpowiedniego środka . Używając terminologii Whittakera, „Obrót wokół dowolnej osi jest równoważny obrotowi o ten sam kąt wokół dowolnej osi równoległej do niej, wraz z prostym przesunięciem w kierunku prostopadłym do osi”.

Obliczenie

Obliczenie przesunięcia i obrotu dojazdów z ruchu śruby można wykonać za pomocą 3DPGA ( $)$ euklidesowej Ma trzy euklidesowe wektory bazowe spełniające $e}$$_ {i} ^ {2} = 1}$ płaszczyzny ortogonalne przez pochodzenie i jeden wektor bazowy Grassmana $mathbf$${e} _ {0}}$ reprezentowania płaszczyzny w mi nieskończoność. Dowolna płaszczyzna w odległości od początku układu współrzędnych może być utworzona jako kombinacja liniowa ${\ displaystyle \ delta}$

$${\ Displaystyle a = \ suma _ {i = 1} ^ {3} a ^ {i} \ mathbf {e} _ {i} - \ delta \$$

który jest znormalizowany tak, że za $\ displaystyle a ^ {2} = 1}$ . Ponieważ odbicia mogą być reprezentowane przez płaszczyznę, $ab$ której występuje odbicie, iloczyn dwóch płaszczyzn $b$ { $}$ jest birefleksją . Rezultatem jest obrót wokół ich linii przecięcia $który może również leżeć na płaszczyźnie w nieskończoności$$ab}$ gdy dwa odbicia są równoległe, w którym to przypadku dwójodbicie wynosi za { tłumaczenie.

Ruch śrubowy jest iloczynem czterech niewspółliniowych odbić, a zatem $abcd}$$S$ . Ale zgodnie z twierdzeniem Mozziego-Chaslesa ruch śruby można rozłożyć na translację dojazdową

$${\ Displaystyle T = e ^ {\ alfa B_ {1}} = 1 + \ alfa B_ {1}}$$

gdzie jest osią translacji spełniającą $b 1 {\ displaystyle B_$${\ Displaystyle B_ {1} ^ {2} = 0}$ i obrót

$${\ Displaystyle R = e ^ {\ beta B_ {2}} = \ cos (\ beta) + B_ {2} \ sin ( \beta )}$$

gdzie jest osią obrotu spełniającą $2$${\ Displaystyle B_ {2} ^ {2}$ . Dwie linie dwuwektorowe i $B_$${2}}$ są ortogonalne i dojeżdżają do Aby znaleźć i ${\ displaystyle$$R$$}$ z , po prostu wypisujemy i wynik ocena po ocenie: ${\ displaystyle T$

$${\ Displaystyle {\ begin{aligned}S&=TR\\&=e^{\alpha B_{1}}e^{\beta B_{2}}\\&=\underbrace {\cos \beta } _{\text{skalar} }+\underbrace {\sin \beta B_{2}+\alpha \cos \beta B_{1}} _{\text{dwuwektor}}+\underbrace {\alpha \sin \beta B_{1}B_{2 }} _{\text{quadvector}}\end{wyrównane}}}$$

$_$ część _ ${\ Displaystyle B_ {1} ^ {2} = 0}$ , ${\ Displaystyle T}$ jest bezpośrednio uznany za

$${\ Displaystyle T = 1 + {\ Frac {\ langle S \ rangle _ {4}} {\ langle S \ rangle _ {2}}}}$$

a zatem

$${\ Displaystyle R = ST ^ {- 1} = T ^ {- 1} S = {\ Frac {S} {T}}}$$

Tak więc dla danego ruchu śruby $i$$}$ do pracy można znaleźć za pomocą dwóch powyższych wzorów, po których linie $Displaystyle$$B_ {2}$$langle T \ rangle _ {2}}$ się być proporcjonalne odpowiednio do ⟨ $\ Displaystyle$ \

Dalsza lektura

• Benjamin Peirce (1872) System mechaniki analitycznej , III. Połączone ruchy rotacji i tłumaczenia, zwłaszcza § 32 i § 39, David van Nostrand & Company, link z Internet Archive