Kinematyka

„Kinematyczne” przekierowuje tutaj. Dla zespołu australijskiego zobacz Kinematic (pasmo) .

Kinematyka to poddziedzina fizyki , rozwinięta w mechanice klasycznej , która opisuje ruch punktów, ciał (obiektów) i układów ciał (grup obiektów) bez uwzględnienia sił , które powodują ich ruch. Kinematyka, jako dziedzina nauki, jest często określana jako „geometria ruchu” i czasami jest postrzegana jako gałąź matematyki . Problem kinematyki rozpoczyna się od opisu geometrii układu i określenia warunków początkowych dowolnych znanych wartości położenia, prędkości i/lub przyspieszenia punktów w układzie. Następnie, używając argumentów z geometrii, można wyznaczyć położenie, prędkość i przyspieszenie dowolnych nieznanych części układu. Badanie działania sił na ciała mieści się w zakresie kinetyki , a nie kinematyki. Aby uzyskać więcej informacji, zobacz dynamika analityczna .

Kinematyka jest stosowana w astrofizyce do opisu ruchu ciał niebieskich i zbiorów takich ciał. W inżynierii mechanicznej , robotyce i biomechanice kinematyka jest wykorzystywana do opisu ruchu układów złożonych z połączonych części (układy wielowahaczowe), takich jak silnik , ramię robota czy szkielet człowieka .

Transformacje geometryczne, zwane także transformacjami sztywnymi , służą do opisu ruchu elementów w układzie mechanicznym , upraszczając wyprowadzanie równań ruchu. Są również kluczowe dla analizy dynamicznej .

Analiza kinematyczna to proces pomiaru wielkości kinematycznych używanych do opisu ruchu. Na przykład w inżynierii analiza kinematyczna może być wykorzystana do znalezienia zakresu ruchu dla danego mechanizmu i, działając w odwrotnej kolejności, za pomocą syntezy kinematycznej do zaprojektowania mechanizmu dla pożądanego zakresu ruchu. Ponadto kinematyka stosuje geometrię algebraiczną do badania mechanicznej przewagi mechanicznego układu lub mechanizmu.

Etymologia terminu

Termin kinematic to angielska wersja cinématique AM Ampère'a , którą skonstruował z greckiego κίνημα kinema („ruch, ruch”), wywodzącego się od κινεῖν kinein („poruszać się”).

Kinematic i cinématique są spokrewnione z francuskim słowem cinéma, ale żadne z nich nie pochodzi bezpośrednio od niego. Jednak mają wspólny rdzeń, ponieważ cinéma wywodzi się ze skróconej formy cinématographe, „projektor filmowy i kamera”, ponownie z greckiego słowa oznaczającego ruch i greckiego γρᾰ́φω grapho („pisać ” ) .

Kinematyka trajektorii cząstki w nieobrotowym układzie odniesienia

Wielkości kinematyczne cząstki klasycznej: masa m , położenie r , prędkość v , przyspieszenie a .

Wektor położenia r zawsze wskazuje promieniowo od początku układu współrzędnych.

Wektor prędkości v , zawsze styczny do toru ruchu.

Wektor przyspieszenia a , nierównoległy do ​​ruchu promieniowego, ale przesunięty przez przyspieszenia kątowe i przyspieszenia Coriolisa, ani styczny do toru, ale przesunięty przez przyspieszenia dośrodkowe i promieniowe.

Wektory kinematyczne we współrzędnych biegunowych płaszczyzny. Zauważ, że konfiguracja nie jest ograniczona do przestrzeni 2-d, ale płaszczyzny w dowolnym wyższym wymiarze.

Kinematyka cząstek zajmuje się badaniem trajektorii cząstek. Położenie cząstki jest definiowane jako wektor współrzędnych od początku układu współrzędnych do cząstki. Rozważmy na przykład wieżę znajdującą się 50 m na południe od twojego domu, gdzie układ współrzędnych jest wyśrodkowany w twoim domu, tak że wschód jest w kierunku osi x, a północ jest w kierunku osi y , wtedy współrzędna wektor do podstawy wieży to r = (0 m, −50 m, 0 m). Jeśli wieża ma 50 m wysokości i ta wysokość jest mierzona wzdłuż z , to wektor współrzędnych wierzchołka wieży to r = (0 m, −50 m, 50 m).

W najbardziej ogólnym przypadku do określenia położenia cząstki używany jest trójwymiarowy układ współrzędnych. Jeśli jednak cząstka jest zmuszona do poruszania się w płaszczyźnie, wystarczy dwuwymiarowy układ współrzędnych. Wszystkie obserwacje w fizyce są niekompletne bez opisu w odniesieniu do układu odniesienia.

Wektor położenia cząstki jest wektorem poprowadzonym od początku układu odniesienia do cząstki. Wyraża zarówno odległość punktu od początku, jak i jego kierunek od początku. $wymiarach$ wektor pozycji wyrazić jako

$${\ Displaystyle \ mathbf {r} = (x, y, z) = x {\ kapelusz {\ mathbf {i}} }+y{\kapelusz {\mathbf {j}}}+z{\kapelusz {\mathbf {k}}},}$$

gdzie ${\ Displaystyle x}$ , ${\ Displaystyle y}$ i ${\ Displaystyle z}$ to współrzędne kartezjańskie i ${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mathbf {i}}}}$ , ${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mathbf {j}}}}$ i ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {k}}}}$ to wektory jednostkowe wzdłuż ${\ Displaystyle x}$ , ${\ Displaystyle y}$ , i $współrzędnych$ . Wielkość wektora pozycji ${\ Displaystyle \ lewo | \ mathbf {r} \ prawo |}$ podaje odległość między punktem a początkiem ${\ displaystyle \ mathbf {r}} .$

$${\ Displaystyle | \ mathbf {r} | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}.}$$

Cosinusy kierunku wektora położenia zapewniają ilościową miarę kierunku. Ogólnie rzecz biorąc, wektor położenia obiektu będzie zależał od układu odniesienia; różne ramki doprowadzą do różnych wartości wektora pozycji.

Trajektoria cząstki jest wektorową funkcją czasu, która definiuje krzywą śledzoną przez poruszającą się cząstkę, określoną przez $\ Displaystyle \ mathbf {r} (t)}$ {

$${\ Displaystyle \ mathbf {r} (t) = x (t) {\ kapelusz {\ mathbf {$$

gdzie ${\ Displaystyle x (t)}$ , ${\ Displaystyle y (t)}$ i ${\ Displaystyle z (t)}$ opisują każdą współrzędną położenia cząstki jako funkcję czasu.

Przebyta droga jest zawsze większa lub równa przemieszczeniu.

Szybkość i prędkość

Prędkość cząstki jest wielkością wektorową opisującą kierunek oraz wielkość ruchu cząstki . Z bardziej matematycznego punktu widzenia szybkość zmiany wektora położenia punktu względem czasu to prędkość punktu. Rozważ stosunek utworzony przez podzielenie różnicy dwóch położeń cząstki przez przedział czasu. Ten stosunek nazywany jest średnią prędkością w tym przedziale czasu i jest zdefiniowany jako

$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {\ rm {średnia}} = {\ Frac {\ Delta \ mathbf {r}} {\ Delta t}} \}$$

gdzie ${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {r}}$ jest zmianą wektora pozycji w przedziale czasu ${\ displaystyle \ Delta t}$ . W granicy, w której przedział czasu zbliża się do zera, średnia prędkość zbliża się do prędkości chwilowej, zdefiniowanej jako pochodna czasowa wektora położenia, Δ t {\ displaystyle \ $t$

$${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ lim _ {\ Delta t \to 0}{\frac {\Delta \mathbf {r}}{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {r}}}{dt}}={\dot {\mathbf {r}}} ={\kropka {x}}{\kapelusz {\mathbf {i}}}+{\kropka {y}}{\kapelusz {\mathbf {j}}}+{\kropka {z}}{\kapelusz { \mathbf {k} }},}$$

gdzie kropka oznacza pochodną po czasie (np. ${\ Displaystyle {\ kropka {x}} = dx/dt}$ ). Zatem prędkość cząstki to szybkość zmiany jej położenia w czasie. Ponadto prędkość ta jest styczna do trajektorii cząstki w każdym miejscu na jej drodze. Należy zauważyć, że w nieobrotowym układzie odniesienia pochodne kierunków współrzędnych nie są brane pod uwagę, ponieważ ich kierunki i wielkości są stałymi.

Prędkość obiektu jest wielkością jego prędkości . Jest to wielkość skalarna:

$${\ Displaystyle v = | \ mathbf {v} | = {\ Frac {ds} {dt}}}$$

gdzie $łuku$ mierzoną wzdłuż trajektorii cząstki. Ta długość łuku musi zawsze rosnąć wraz z ruchem cząstki. Stąd $prędkość$ że ​​prędkość również nie jest

Przyśpieszenie

Wektor prędkości może zmieniać się pod względem wielkości i kierunku lub obu jednocześnie. Stąd przyspieszenie uwzględnia zarówno szybkość zmian wielkości wektora prędkości, jak i szybkość zmian kierunku tego wektora. To samo rozumowanie, które zastosowano w odniesieniu do położenia cząstki w celu zdefiniowania prędkości, można zastosować do prędkości w celu zdefiniowania przyspieszenia. Przyspieszenie cząstki jest wektorem określonym przez szybkość zmian wektora prędkości . Średnie przyspieszenie cząstki w przedziale czasu definiuje się jako stosunek.

$${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbf {a}}} = {\ Frac {\ Delta \ mathbf {v}} {\ Delta t}} \}$$

gdzie Δ v jest różnicą wektora prędkości, a Δ t jest przedziałem czasu.

Przyspieszenie cząstki jest granicą średniego przyspieszenia, gdy przedział czasu zbliża się do zera, co jest pochodną czasu,

$${\ Displaystyle \ mathbf {a} = \ lim _ {\ Delta t \ do 0} {\ Frac {\ Delta \ mathbf {v}} {\ Delta t}} = {\ Frac {d \ mathbf {v}} {dt}}={\kropka {\mathbf {v}}}={\kropka {v}}_{x}{\kapelusz {\mathbf {i}}}+{\kropka {v}}_{y }{\ kapelusz {\ mathbf {j}}} + {\ kropka {v}} _ {z} {\ kapelusz {\ mathbf {k} }}}$$

Lub

$${\ Displaystyle \ mathbf {a} = {\ ddot {\ mathbf {r}}} = {\ ddot {x}} {\ kapelusz {\mathbf {i}}}+{\ddot {y}}{\kapelusz {\mathbf {j}}}+{\ddot {z}}{\kapelusz {\mathbf {k}}}}$$

Zatem przyspieszenie jest pierwszą pochodną wektora prędkości i drugą pochodną wektora położenia tej cząstki. Należy zauważyć, że w nieobrotowym układzie odniesienia pochodne kierunków współrzędnych nie są brane pod uwagę, ponieważ ich kierunki i wielkości są stałymi.

Wielkość przyspieszenia obiektu to wielkość | | _ jego wektora przyspieszenia. Jest to wielkość skalarna:

$${\ Displaystyle |\ mathbf {a} |=| {\ kropka {\ mathbf {v}}} | = {\ Frac {dv} {dt}}.}$$

Wektor położenia względnego

Wektor położenia względnego to wektor określający położenie jednego punktu względem drugiego. Jest to różnica położenia dwóch punktów. Położenie jednego punktu A względem innego punktu B jest po prostu różnicą między ich pozycjami

${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {A / B} = \ mathbf {r} _ {A} - \ mathbf {r} _ {B}}$

co jest różnicą między składowymi ich wektorów położenia.

Jeśli punkt A ma składowe położenia ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {A} = \ lewo (x_ {A}, y_ {A}, z_ {A} \ Prawidłowy)}$

Jeśli punkt B ma składowe położenia ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {B} = \ lewo (x_ {B}, y_ {B}, z_ {B} \ Prawidłowy)}$

wtedy położenie punktu A względem punktu B jest różnicą między ich składowymi: ${\ Displaystyle \mathbf {r} _{A/B}=\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{B}=\left(x_{A}-x_{B},y_{A}- y_{B},z_{A}-z_{B}\right)}$

Prędkość względna

Główny artykuł: Prędkość względna

Prędkości względne między dwiema cząstkami w mechanice klasycznej.

Prędkość jednego punktu względem drugiego jest po prostu różnicą między ich prędkościami

$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {A / B} = \ mathbf {v} _ {A} - \ mathbf {v} _ {B}}$$

co jest różnicą składowych ich prędkości.

$\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {A} = \ lewo (v_ {A_ {x}}, v_ {$ ZA , { i punkt B ma składowe prędkości ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {B} = \ lewo (v_ {B_ {x}}, v_ {B_ {y}}, v_ {B_ {z}} \ prawej)} to prędkość$ punktu A względna do punktu B jest różnicą między ich składowymi: ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {A/B} = \ mathbf {v} _ {A} - \ mathbf {v} _ {B} = \ lewo (v_ {A_ {x}} -v_ {B_ {x}},v_{A_{y}}-v_{B_{y}},v_{A_{z}}-v_{B_{z}}\right)}$

Alternatywnie, ten sam wynik można uzyskać przez obliczenie pochodnej czasowej wektora położenia względnego rB _/A .

W przypadku, gdy prędkość jest bliska prędkości światła c (na ogół w granicach 95%), w szczególnej teorii względności stosuje się inny schemat prędkości względnej zwany szybkością , który zależy od stosunku v do c .

Przyspieszenie względne

Przyspieszenie jednego punktu C względem innego punktu B jest po prostu różnicą między ich przyspieszeniami.

$$mathbf {a} _ {C} - \ mathbf {a} _ {B}}$$

co jest różnicą składowych ich przyspieszeń.

Jeśli punkt C ma składowe przyspieszenia , ${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {C} = \ lewo (a_ {C_ {x}}, a_ {C_ { y}},a_{C_{z}}\right)}$ i punkt B ma składowe przyspieszenia ${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {B} = \ lewo (a_ {B_ {x}}, a_ {B_ {y}}, a_ {B_ {z}} \ prawej)} to przyspieszenie$ punktu C względem do punktu B jest różnicą między ich składowymi: ${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {C/B} = \ mathbf {a} _ {C} - \ mathbf {a} _ {B} = \ lewo (a_ {C_ {x}} -a_ {B_ {x}},a_{C_{y}}-a_{B_{y}},a_{C_{z}}-a_{B_{z}}\right)}$

Alternatywnie, ten sam wynik można uzyskać przez obliczenie drugiej pochodnej czasowej wektora względnego położenia rB _/A .

Zakładając, że początkowe warunki położenia , i prędkości w czasie ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0}}$$=$$displaystyle t = 0 }$ są znane, pierwsze całkowanie daje prędkość cząstki w funkcji czasu.

$${\ Displaystyle \ mathbf {v} (t) = \ mathbf {v} _ {0} + \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {a} \, d \ tau = \ mathbf {v} _ { 0}+\mathbf {a} t.}$$

Druga integracja daje jej ścieżkę (trajektorię),

$${\ Displaystyle \ mathbf {r} (t) = \ mathbf {r} _ {0} + \ int _ {0} ^ {t} \ mathbf {v} (\ tau) \, d \ tau = \ mathbf { r} _{0}+\int _{0}^{t}\left(\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} \tau \right)d\tau =\mathbf {r} _ {0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}.}$$

Można wyprowadzić dodatkowe zależności między przemieszczeniem, prędkością, przyspieszeniem i czasem. Ponieważ przyspieszenie jest stałe,

$${\ Displaystyle \ mathbf {a} = {\ Frac {\ Delta \ mathbf {v}} {\ Delta t}} = {\ Frac {\ mathbf {v} - \ matematyka {v} _{0}}{t}}}$$

można podstawić do powyższego równania, otrzymując:

$${\ Displaystyle \ mathbf {r} (t) = \ mathbf {r} _ {0} + \ lewo ({\ Frac {\ mathbf {v} + \ mathbf {v} _ {0}} {2}} \ dobrze) t.}$$

Związek między prędkością, położeniem i przyspieszeniem bez wyraźnej zależności od czasu można uzyskać, rozwiązując średnie przyspieszenie dla czasu oraz podstawiając i upraszczając

$${\ Displaystyle t = {\ Frac {\ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ {0}} {\ mathbf {a}}}}$$

$${\ Displaystyle \ lewo (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ prawej) \ cdot \ mathbf {a} =\left(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}\right)\cdot {\frac {\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}}{2}}\ , }$$

gdzie oznacza $skalarny , co jest odpowiednie$ , ponieważ iloczyny są raczej skalarami niż wektorami.

$${\ Displaystyle 2 \ lewo (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ prawej) \ cdot \ mathbf {a} = | \ mathbf {v} | ^ {2} - | \ mathbf {v } _{0}|^{2}.}$$

Iloczyn skalarny można zastąpić cosinusem kąta α między wektorami ( więcej szczegółów w interpretacji geometrycznej iloczynu skalarnego ), a wektorami ich wielkościami, w takim przypadku:

$${\ Displaystyle 2 \ lewo | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ prawo | \ lewo | \ mathbf {a} \ prawo | \ cos \ alfa = | \ mathbf {v} | ^ { 2}-|\mathbf {v} _{0}|^{2}.}$$

W przypadku przyspieszenia zawsze w kierunku ruchu, a kierunek ruchu powinien być dodatni lub ujemny, kąt między wektorami ( α ) wynosi 0, więc ${\ Displaystyle \ cos 0 = 1$ } I

$${\ Displaystyle |\ mathbf {v} | ^ {2} = | \ mathbf {v} _ {0} | ^ {2} + 2 \ lewo | \ mathbf {a} \ prawo | \ lewo | \ mathbf {r } -\mathbf {r} _{0}\right|.}$$

Można to uprościć za pomocą notacji dla wielkości wektorów ${\ Displaystyle |\ mathbf {a} |= a, |\ mathbf {v} |= v, |\ mathbf {r} -\ mathbf {r} _ {0} | = \ Delta r}$ gdzie może być dowolną krzywą ścieżką obraną, ponieważ wzdłuż tej ścieżki stosowane jest stałe przyspieszenie styczne ${\ displaystyle \ Delta r}$ , więc

$${\ Displaystyle v ^ {2} = v_ {0} ^ {2} + 2a \ Delta r.}$$

Zmniejsza to parametryczne równania ruchu cząstki do kartezjańskiej zależności prędkości od położenia. Ta relacja jest przydatna, gdy czas jest nieznany. Wiemy $_$$,$ lub pod

Wykres fizyki prędkości i czasu

Możemy wziąć $.$ górny obszar i dolny obszar Dolny obszar to prostokąt, a obszar prostokąta to szerokość, gdzie $cdot$ szerokość i wysokość . $displaystyle A$$B} .$ W tym przypadku i $displaystyle$$B = v_ {0}}$ (zauważ, że $A$ tutaj różni się od przyspieszenia ${\ displaystyle a}$ ). Oznacza to, że dolny obszar to ${\ displaystyle tv_ {0}}$ . Teraz znajdźmy górny obszar (trójkąt). Pole trójkąta wynosi ${\ Frac {1} {2}} BH}$$wysokością$$gdzie$ jest podstawą i jest . tym $=$ i ${\ Displaystyle H = w}$ lub ${\ textstyle A = {\ Frac {1} {2}} BH = {\ frac {1}{2}}att={\frac {1}{2}}at^{2}={\frac {at^{2}}{2}}}$ . v ${\ Displaystyle v_ {0} t}$ i $}}$ daje w wyniku równanie ${\ Displaystyle \ Delta r}$ daje w wyniku równanie ${\ textstyle \ Delta r = v_ {0} t + {\ frac {at ^ {2}} {2}}}$ . To równanie ma zastosowanie, gdy prędkość końcowa v jest nieznana.

Rysunek 2: Prędkość i przyspieszenie dla nierównomiernego ruchu kołowego: wektor prędkości jest styczny do orbity, ale wektor przyspieszenia nie jest skierowany promieniowo do wewnątrz ze względu na składową styczną a _θ , która zwiększa prędkość obrotu: d ω /d t = | za _θ |/ R .

Trajektorie cząstek we współrzędnych cylindryczno-biegunowych

Zobacz też: Współrzędne uogólnione , Współrzędne krzywoliniowe , Współrzędne ortogonalne i wzory Freneta-Serreta

Często wygodnie jest sformułować trajektorię cząstki r ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) za pomocą współrzędnych biegunowych w płaszczyźnie X – Y. W tym przypadku jego prędkość i przyspieszenie przybierają dogodną formę.

Przypomnijmy, że trajektoria cząstki P jest określona przez jej wektor współrzędnych r mierzony w ustalonym układzie odniesienia F . Gdy cząstka się porusza, jej wektor współrzędnych r ( t ) śledzi jej trajektorię, która jest krzywą w przestrzeni określoną wzorem:

$${\ Displaystyle \ mathbf {r} (t) = x (t) {\ kapelusz {\ mathbf {$$

gdzie i , j i k są odpowiednio wektorami jednostkowymi wzdłuż osi X , Y i Z układu odniesienia F .

Rozważmy cząstkę P , która porusza się tylko po powierzchni okrągłego walca r ( t ) = stała, możliwe jest wyrównanie osi Z nieruchomej ramy F z osią walca. Następnie kąt θ wokół tej osi w płaszczyźnie X – Y można wykorzystać do zdefiniowania trajektorii jako,

$${\ Displaystyle \ mathbf {r} (t) = R \ sałata (\theta (t)){\kapelusz {\mathbf {i}}}+R\sin(\theta (t)){\kapelusz {\mathbf {j}}}+z(t){\kapelusz {\ matematyka {k} }}}$$

gdzie stała odległość od środka jest oznaczona jako R , a θ = θ ( t ) jest funkcją czasu.

Współrzędne cylindryczne dla r ( t ) można uprościć, wprowadzając promieniowe i styczne wektory jednostkowe,

$${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {r} = \ cos (\ teta (t)) {\ kapelusz {\ mathbf {i}}} + \ sin (\ teta (t)) {\ kapelusz {\ mathbf { j} }},\quad \mathbf {e} _{\theta }=-\sin(\theta (t)){\kapelusz {\mathbf {i}}}+\cos(\theta (t)){ \ kapelusz {\ mathbf {j}}}.}$$

i ich pochodne czasowe z rachunku elementarnego:

$$\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ mathbf {e} _ {r} = {\ kropka {\ mathbf {e}}} _$$

$${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}}} {\ kropka {\ mathbf {e}}} _ {r} =$$

$$\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ mathbf {e} _ {\ teta} = {\ kropka {\ mathbf {e}}$$

$${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}}} {\ kropka {\ mathbf {e}}} _ {\ teta} = {\ ddot {\ mathbf {e}}} _ {\ teta} = - {\ ddot {\theta}}\mathbf {e} _{r}-{\dot {\theta}}^{2}\mathbf {e} _{\theta}.}$$

Używając tej notacji, r ( t ) przyjmuje postać,

$${\ Displaystyle \ mathbf {r} (t) = R \ mathbf {e} _ {r} + z (t) {\ kapelusz {\ mathbf {k}}}.}$$

Ogólnie rzecz biorąc, trajektoria r ( t ) nie jest ograniczona do leżenia na kołowym cylindrze, więc promień R zmienia się w czasie, a trajektoria cząstki we współrzędnych cylindryczno-biegunowych przyjmuje postać:

$${\ Displaystyle \ mathbf {r} (t) = R (t) \ mathbf {e} _ {r} + z (t) {\ kapelusz {\ mathbf {k}}}.}$$

Gdzie R , θ i z mogą być różniczkowalnymi w sposób ciągły funkcjami czasu, a notacja funkcji została porzucona dla uproszczenia. Wektor prędkości v _P jest pochodną trajektorii r ( t ) w czasie, co daje:

$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {P} = {\ Frac {d} {dt}} \ lewo (R \ mathbf {e} _ {r} + z {\ kapelusz {\ mathbf {k}}} \ dobrze)={\dot {R}}\mathbf {e} _{r}+R{\dot {\mathbf {e}}}_{r}+{\dot {z}}{\hat {\mathbf {k} }}={\kropka {R}}\mathbf {e} _{r}+R{\kropka {\theta}}\mathbf {e} _{\theta}+{\kropka {z}} {\ kapelusz {\ mathbf {k}}}.}$$

Podobnie przyspieszenie a _P , które jest pochodną czasu prędkości v _P , wyraża się wzorem:

$${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {P} = {\ Frac {d} {dt}} \ lewo ({\ kropka {R}} \ mathbf {e} _ {r} + R {\ kropka {\ theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\dot {z}}{\hat {\mathbf {k} }}\right)=\left({\ddot {R}}-R{\dot {\theta}}^{2}\right)\mathbf {e} _{r}+\left(R{\ddot {\theta}}+2{\dot {R}}{\dot {\theta} }\right)\mathbf {e} _{\theta}+{\ddot {z}}{\hat {\mathbf {k}}}.}$$

Termin ${\ Displaystyle -R {\ kropka {\ theta}} ^ {2} \ mathbf {e} _ {r}}$ działa w kierunku środka krzywizny ścieżki w tym punkcie na ścieżce, jest powszechnie nazywany przyspieszeniem dośrodkowym. Termin $_$ _

Stały promień

Jeśli trajektoria cząstki jest ograniczona do położenia walca, wówczas promień R jest stały, a wektory prędkości i przyspieszenia upraszczają się. Prędkość v _P jest pochodną trajektorii r ( t ),

$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {P} = {\ Frac {d} {dt}} \ lewo (R \ mathbf {e} _ {r} + z {\ kapelusz {\ mathbf {k}}} \ po prawej)=R{\kropka {\theta}}\mathbf {e} _{\theta}+{\kropka {z}}{\kapelusz {\mathbf {k}}}.}$$

Planarne trajektorie kołowe

Każda cząstka na kole porusza się po płaskiej trajektorii kołowej (Kinematics of Machinery, 1876).

Szczególny przypadek trajektorii cząstki na walcu kołowym występuje, gdy nie ma ruchu wzdłuż osi Z :

$${\ Displaystyle \ mathbf {r} (t) = R \ mathbf {e} _ {r} + z_ {0} {\ kapelusz {\ mathbf {k}} },}$$

₀ gdzie R i z są stałymi. W tym przypadku prędkość v _P jest dana wzorem:

$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {P} = {\ Frac {d} {dt}} \left(R\mathbf {e} _{r}+z_{0}{\hat {\mathbf {k}}}\right)=R{\kropka {\theta}}\mathbf {e} _{\ theta }=R\omega \mathbf {e} _{\theta},}$$

gdzie jest prędkością $_$ wektora jednostkowego e _θ cylindra .

Przyspieszenie a _P cząstki P jest teraz określone wzorem:

$${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {P} = {\ Frac {d} {dt}} \ lewo (R {\ kropka {\ teta}} \ mathbf {e} _ {\ teta} \ prawej) = - R {\dot {\theta}}^{2}\mathbf {e} _{r}+R{\ddot {\theta}}\mathbf {e} _{\theta}.}$$

Części

$${\ Displaystyle a_ {r} = - R {\ kropka {\ teta}} ^ {2}, \ quad a_ {\ teta} = R {\ ddot {\theta}},}$$

nazywane są odpowiednio promieniową i styczną składową przyspieszenia.

Notacja prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego jest często definiowana jako

$${\ Displaystyle \ omega = {\ kropka {\ teta}}, \ quad \ alfa = {\ ddot {\ teta}}}$$

więc składowe przyspieszenia promieniowego i stycznego dla trajektorii kołowych są również zapisywane jako

$${\ Displaystyle a_ {r} = - R \ omega ^ {2}, \ quad a _ {\ teta} = R \ alfa.}$$

Trajektorie punktowe w ciele poruszającym się w płaszczyźnie

Ruch elementów systemu mechanicznego jest analizowany poprzez dołączenie ramy odniesienia do każdej części i określenie, w jaki sposób różne ramy odniesienia poruszają się względem siebie. Jeśli sztywność konstrukcyjna części jest wystarczająca, wówczas można pominąć ich odkształcenie i zastosować transformacje sztywne do zdefiniowania tego względnego ruchu. Zmniejsza to opis ruchu różnych części skomplikowanego układu mechanicznego do problemu opisu geometrii każdej części i geometrycznego powiązania każdej części względem innych części.

Geometria to badanie właściwości figur, które pozostają takie same, podczas gdy przestrzeń jest przekształcana na różne sposoby - bardziej technicznie jest to badanie niezmienników w zbiorze przekształceń. Przekształcenia te mogą powodować przemieszczenie trójkąta w płaszczyźnie, pozostawiając niezmieniony kąt wierzchołkowy i odległości między wierzchołkami. Kinematyka jest często opisywana jako geometria stosowana, w której ruch układu mechanicznego jest opisywany za pomocą sztywnych przekształceń geometrii euklidesowej.

Współrzędne punktów na płaszczyźnie są dwuwymiarowymi wektorami w R ² (przestrzeń dwuwymiarowa). Sztywne przekształcenia to takie, które zachowują odległość między dowolnymi dwoma punktami. Zbiór sztywnych przekształceń w ⁿ - wymiarowej przestrzeni nazywamy specjalną grupą euklidesową na Rn i oznaczamy SE( n ) .

Przemieszczenia i ruch

Ruch każdego z elementów silnika parowego Boulton & Watt (1784) jest modelowany przez ciągły zestaw sztywnych przemieszczeń.

Położenie jednego elementu układu mechanicznego względem drugiego jest określone przez wprowadzenie ramy odniesienia, powiedzmy M , na jednym, który porusza się względem nieruchomej ramy, F, na drugim. Sztywna transformacja lub przemieszczenie M względem F określa względne położenie dwóch składników. Przemieszczenie składa się z kombinacji obrotu i translacji .

Zbiór wszystkich przemieszczeń M względem F nazywamy przestrzenią konfiguracyjną M. Gładka krzywa z jednego położenia do drugiego w tej przestrzeni konfiguracyjnej jest ciągłym zbiorem przemieszczeń, zwanym ruchem M względem F. Ruch ciało składa się z ciągłego zestawu obrotów i translacji.

Reprezentacja macierzowa

Kombinację obrotu i translacji w płaszczyźnie R ² można przedstawić za pomocą pewnego rodzaju macierzy 3×3, znanej jako transformata jednorodna. Homogeniczna transformata 3×3 jest zbudowana z macierzy rotacji 2×2 A ( φ ) i wektora translacji 2×1 d = ( d _x , d _y ), jako:

$${\ Displaystyle [T (\ fi, \ mathbf {d})] = {\ rozpocząć {bmatrix} A (\ fi) i \ mathbf {d} \\\ mathbf {0} & 1 \ koniec {bmatrix}} = { \begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &d_{x}\\\sin \phi &\cos \phi &d_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$$

Te jednorodne transformacje wykonują sztywne transformacje w punktach na płaszczyźnie z = 1, czyli w punktach o współrzędnych r = ( x , y , 1).

W szczególności niech r zdefiniuje współrzędne punktów w układzie odniesienia M pokrywającym się z układem stałym F . Następnie, gdy początek M zostanie przesunięty o wektor translacji d względem początku F i obrócony o kąt φ względem osi x F , nowe współrzędne w F punktów w M są określone wzorem:

$${\ Displaystyle \ mathbf {P} = [T (\ phi, \ mathbf {d})] \ mathbf {r} = {\ rozpocząć {bmatrix} \ cos \ phi & - \ sin \ phi & d_ {x} \\ \sin \phi &\cos \phi &d_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}.}$$

Transformacje homogeniczne reprezentują transformacje afiniczne . To sformułowanie jest ^konieczne , ponieważ translacja nie jest liniową transformacją R2 . Jednak stosując geometrię rzutową, tak że R2 jest uważany za podzbiór R3 , translacje stają się afinicznymi transformacjami ^{liniowymi .}

Czyste tłumaczenie

Jeśli bryła sztywna porusza się w taki sposób, że jej układ odniesienia M nie obraca się ( θ = 0) względem układu nieruchomego F , ruch ten nazywamy czystym ruchem translacyjnym. W tym przypadku trajektoria każdego punktu w ciele jest przesunięciem trajektorii d ( t ) początku M, czyli:

$${\ Displaystyle \ mathbf {r} (t) = [T (0, \ mathbf {d} (t)}] \ mathbf {p} = \ mathbf {d} (t) + \ mathbf {p}.}$$

Zatem dla ciał w czystym ruchu postępowym prędkość i przyspieszenie każdego punktu P w ciele są określone wzorem:

$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {P} = { \dot {\mathbf {r}}}(t)={\dot {\mathbf {d}}}(t)=\mathbf {v} _{O},\quad \mathbf {a} _{P} = {\ddot {\mathbf {r}}}(t)={\ddot {\mathbf {d}}}(t)=\mathbf {a} _ {O},}$$

gdzie kropka oznacza pochodną względem czasu, a v _O i a _O to odpowiednio prędkość i przyspieszenie początku ruchomej klatki M . Przypomnijmy, że wektor współrzędnych p w M jest stały, więc jego pochodna wynosi zero.

Obrót ciała wokół ustalonej osi

Główny artykuł: Obrót wokół ustalonej osi

Rysunek 1: Wektor prędkości kątowej Ω jest skierowany w górę przy obrocie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i w dół przy obrocie w prawo, zgodnie z regułą prawej dłoni . Położenie kątowe θ ( t ) zmienia się w czasie z szybkością ω ( t ) = d θ /d t .

Kinematyka obrotowa lub kątowa to opis obrotu obiektu. W dalszej części uwaga jest ograniczona do prostego obrotu wokół osi o ustalonej orientacji. Oś Z została wybrana dla wygody.

Pozycja

Pozwala to na opis obrotu jako położenia kątowego płaskiej ramy odniesienia M względem stałego F wokół tej wspólnej osi z . Współrzędne p = ( x , y ) w M są powiązane ze współrzędnymi P = (X, Y) w F za pomocą równania macierzowego:

$${\ Displaystyle \ mathbf {P} (t) = [A (t)] \ mathbf {p},}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle [A (t)] = {\ rozpocząć {bmatrix} \ cos (\ teta (t)) i - \ sin (\ teta (t)) \\\ sin (\ teta (t)) i \ cos (\theta (t))\end{bmacierz}},}$$

jest macierzą rotacji, która definiuje położenie kątowe M względem F w funkcji czasu.

Prędkość

Jeśli punkt p nie porusza się w M , jego prędkość w F jest określona wzorem

$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {P} = {\ kropka {\ mathbf {P}}} = [{\ kropka {A}} (t)] \ mathbf {p}.}$$

Wygodnie jest wyeliminować współrzędne p i zapisać to jako operację na trajektorii P ( t ),

$$\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {P} = [{\ kropka {A}} (t)] [A(t)^{-1}]\mathbf {P} =[\Omega]\mathbf {P} ,}$$

gdzie macierz

$${\ Displaystyle [\ Omega ] = {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i - \ omega \\\ omega & 0 \ koniec {bmatrix}}}$$

jest znana jako macierz prędkości kątowej M względem F . Parametr ω jest pochodną kąta θ po czasie , czyli:

$${\ Displaystyle \ omega = {\ Frac {d \ theta} {dt}}.}$$

Przyśpieszenie

Przyspieszenie P ( t ) w F otrzymujemy jako pochodną prędkości po czasie,

$${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {P} = {\ ddot {P}} (t) = [{\ kropka { \Omega}}]\mathbf {P} +[\Omega]{\dot {\mathbf {P}}},}$$

który staje się

$${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {P} = [{\ kropka {\ Omega}}] \ mathbf {P} + [\ Omega] [\Omega]\mathbf {P},}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle [{\ kropka {\ Omega}}] = {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i - \ alfa \\\ alfa i 0 \ koniec {bmatrix}}}$$

jest macierzą przyspieszenia kątowego M na F i

$${\ Displaystyle \ alfa = {\ Frac {d ^ {2} \ teta} {dt ^ {2}}}.}$$

Opis rotacji obejmuje zatem te trzy wielkości:

• Położenie kątowe : zorientowana odległość od wybranego początku na osi obrotu do punktu obiektu to wektor r ( t ) lokalizujący ten punkt. Wektor r ( t ) ma pewien rzut (lub równoważnie jakąś składową) r _⊥ ( t ) na płaszczyznę prostopadłą do osi obrotu. Wtedy położenie kątowe tego punktu jest kątem θ od osi odniesienia (zwykle dodatniej osi x ) do wektora r _⊥ ( t ) w znanym kierunku rotacji (zwykle podawanym przez regułę prawej ręki ).
• Prędkość kątowa : prędkość kątowa ω to szybkość zmiany położenia kątowego θ względem czasu t :
  $${\ Displaystyle \ omega = {\ Frac {d \ theta} {dt}}}$$
  Prędkość kątowa jest reprezentowana na rysunku 1 przez wektor Ω skierowany wzdłuż osi obrotu z wielkością ω i zwrotem określonym przez kierunek obrotu zgodnie z regułą prawej dłoni .
• Przyspieszenie kątowe : wielkość przyspieszenia kątowego α to szybkość, z jaką zmienia się prędkość kątowa ω względem czasu t :
  $${\ Displaystyle \ alfa = {\ Frac {d \ omega} {dt}}}$$

Równania kinematyki translacyjnej można łatwo rozszerzyć na płaską kinematykę obrotową dla stałego przyspieszenia kątowego za pomocą prostych wymian zmiennych:

$${\ Displaystyle \ omega _ {\ operatorname {f}} = \ omega _ {\ operatorname {i}} + \ alfa t \!}$$

$${\ Displaystyle \ teta _ {\ operatorname {f}} - \ teta _ {\ operatorname {i}} = \ omega _ {\ operatorname {i}} t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}}$$

$${\ Displaystyle \ teta _ {\ operatorname {f}} - \ teta _ {\ operatorname {i}} = {\ tfrac {1} {2} }(\omega _{\mathrm {f}}+\omega _{\mathrm {i}})t}$$

$${\ Displaystyle \ omega _ {\ operatorname {f}} ^ {2} = \ omega _ {\ operatorname {i}} ^ {2} + 2 \ alfa (\ theta _ {\ operatorname {f}} - \ theta _{\mathrm {i}}).}$$

Tutaj θ _i i θ _f są odpowiednio początkowym i końcowym położeniem kątowym, ω _i i ω _f są odpowiednio początkową i końcową prędkością kątową, a α jest stałym przyspieszeniem kątowym. Chociaż zarówno położenie w przestrzeni, jak i prędkość w przestrzeni są prawdziwymi wektorami (pod względem ich właściwości podczas obrotu), podobnie jak prędkość kątowa, sam kąt nie jest wektorem prawdziwym.

Trajektorie punktowe ciała poruszającego się w trzech wymiarach

Ważne wzory kinematyki określają prędkość i przyspieszenie punktów w poruszającym się ciele, gdy śledzą one trajektorie w przestrzeni trójwymiarowej. Jest to szczególnie ważne w przypadku środka masy ciała, który jest używany do wyprowadzania równań ruchu przy użyciu drugiego prawa Newtona lub równań Lagrange'a .

Pozycja

W celu zdefiniowania tych wzorów ruch elementu B układu mechanicznego definiuje się za pomocą zbioru obrotów [A( t )] i translacji d ( t ) złożonych w przekształcenie jednorodne [T( t )]=[A ( t ), re ( t )]. Jeśli p to współrzędne punktu P w B mierzone w ruchomym układzie odniesienia M , to trajektoria tego punktu wyznaczona w F jest dana wzorem:

$${\ Displaystyle \ mathbf {P} (t) = [T (t)] \ mathbf {p} = {\ rozpocząć {bmatrix} \ mathbf {P} \\1 \ koniec {bmatrix}} = {\ rozpocząć {bmatrix }A(t)&\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}.}$$

Ta notacja nie rozróżnia P = (X, Y, Z, 1) i P = (X, Y, Z), co, mam nadzieję, jest jasne w kontekście.

To równanie trajektorii P można odwrócić, aby obliczyć wektor współrzędnych p w M jako:

$${\ Displaystyle \ mathbf {p} = [T (t)] ^ {- 1} \ mathbf {P} (t) = {\ rozpocząć {bmatrix} \ mathbf {p} \\1 \ koniec {bmatrix}} = {\begin{bmatrix}A(t)^{\text{T}}&-A(t)^{\text{T}}\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}{ \begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}.}$$

To wyrażenie wykorzystuje fakt, że transpozycja macierzy rotacji jest również jej odwrotnością, to znaczy:

$${\ Displaystyle [A (t)] ^ {\ tekst {T}} [A (t)] = ja. \!}$$

Prędkość

Prędkość punktu P wzdłuż jego trajektorii P ( t ) otrzymujemy jako pochodną czasową tego wektora położenia,

$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {P} = [{\ kropka {T}} (t)] \ mathbf {p} = {\ rozpocząć {bmatrix} \ mathbf {v} _ {P} \\ 0 \ end{bmatrix}}=\left({\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}A(t)&\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}\right) {\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}(t)&{\dot {\mathbf {d}}}( t)\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}.}$$

Kropka oznacza pochodną po czasie; ponieważ p jest stałe, jego pochodna wynosi zero.

Formułę tę można zmodyfikować, aby uzyskać prędkość P , operując na jej trajektorii P ( t ) mierzonej w ustalonym układzie F . Podstawiając transformatę odwrotną dla p do równania prędkości otrzymujemy:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {v} _ {P} & = [{\ kropka {T}} (t) [T (t)] ^ {- 1} \ mathbf {P} (t )\\[4pt]&={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{P}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\mathbf {d}}}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&\mathbf {d} \\0&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\ mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\mathbf {d}}}\\ 0&0\end{bmatrix}}A^{-1}{\begin{bmatrix}1&-\mathbf {d} \\0&A\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\ \1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{-1}&-{\dot {A}}A^{-1}\ mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d}}}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\ [4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{\text{T}}&-{\dot {A}}A^{\text{T}}\mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d}}}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[6pt]\ mathbf {v} _{P}&=[S]\mathbf {P} .\end{wyrównane}}}$$

Macierz [ S ] jest dana wzorem:

$${\ Displaystyle [S] = {\ rozpocząć {bmatrix} \ Omega & - \ Omega \ mathbf {d} + {\ kropka {\ mathbf {d}}} \ \0&0\end{bmacierz}}}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle [\ Omega] = {\ kropka {A}} A ^ {\ tekst {T}},}$$

jest macierzą prędkości kątowych.

Mnożąc przez operatora [ S ], wzór na prędkość v _P przyjmuje postać:

$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {P} = [\ Omega] (\ mathbf {P} -\ mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d}}}=\omega \times \mathbf {R} _{P/O}+\mathbf {v} _{O},}$$

gdzie wektor ω jest wektorem prędkości kątowej uzyskanym ze składowych macierzy [Ω]; wektor

$${\ Displaystyle \ mathbf {R} _ {P / O} = \ mathbf {P} - \ mathbf {d},}$$

jest położeniem P względem początku O ruchomej ramki M ; I

$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {O} = {\ kropka {\ mathbf {d}}},}$$

jest prędkością pochodzenia O .

Przyśpieszenie

Przyspieszenie punktu P w poruszającym się ciele B otrzymujemy jako pochodną czasową jego wektora prędkości:

$${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {P} = {\ Frac {d} {dt}} \ mathbf {v} _ {P} = {\ Frac {d} {dt}} \ lewo ([S] \ mathbf {P} \right)=[{\dot {S}}]\mathbf {P} +[S]{\dot {\mathbf {P}}}=[{\dot {S}}]\mathbf { P} +[S][S]\mathbf {P} .}$$

To równanie można najpierw rozszerzyć za pomocą obliczeń

$${\ Displaystyle [{\ kropka {S}}] = { \begin{bmatrix}{\dot {\Omega}}&-{\dot {\Omega}}\mathbf {d} -\Omega {\dot {\mathbf {d}}}+{\ddot {\mathbf { d} }}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {\Omega}}&-{\dot {\Omega}}\mathbf {d} -\Omega \mathbf {v } _{O}+\mathbf {A} _{O}\\0&0\end{bmacierz}}}$$

I

$${\ Displaystyle [S] ^ {2} = {\ rozpocząć {bmatrix} \ Omega & - \ Omega \ mathbf {d} + \ mathbf {v} _ {O} \\ 0&0 \ koniec {bmatrix}} ^ {2 }={\begin{bmatrix}\Omega ^{2}&-\Omega ^{2}\mathbf {d} +\Omega \mathbf {v} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}.}$$

Wzór na przyspieszenie A _P można teraz otrzymać jako:

$${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {P} = {\ kropka {\ Omega}} (\ mathbf {P} - \mathbf {d} )+\mathbf {A} _{O}+\Omega ^{2}(\mathbf {P} -\mathbf {d} ),}$$

Lub

$${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {P} = \ alfa \ razy \ mathbf {R} _ {P / O} +\omega \times \omega \times \mathbf {R} _{P/O}+\mathbf {A} _{O},}$$

gdzie α jest wektorem przyspieszenia kątowego uzyskanym z pochodnej macierzy prędkości kątowej;

$${\ Displaystyle \ mathbf {R} _ {P / O} = \ mathbf {P} - \ mathbf {d},}$$

jest względnym wektorem położenia (położenie P względem początku O ruchomej ramki M ); I

$${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {O} = {\ ddot {\ mathbf {d}}}}$$

jest przyspieszeniem początku ruchomej ramy M .

Więzy kinematyczne

Więzy kinematyczne to ograniczenia ruchu elementów układu mechanicznego. Można uznać, że więzy kinematyczne mają dwie podstawowe formy: (i) więzy wynikające z zawiasów, suwaków i połączeń krzywkowych, które określają konstrukcję układu, zwane więzami holonomicznymi , oraz (ii) ograniczenia nałożone na prędkość układu, takie jak ograniczenie krawędzi noża łyżew na płaskiej płaszczyźnie lub toczenie się bez poślizgu dysku lub kuli w kontakcie z płaszczyzną, które nazywane są ograniczeniami nieholonomicznymi . Poniżej przedstawiono kilka typowych przykładów.

Sprzężenie kinematyczne

Sprzężenie kinematyczne dokładnie ogranicza wszystkie 6 stopni swobody.

Toczenie bez poślizgu

Obiekt, który toczy się po powierzchni bez poślizgu, spełnia warunek, że prędkość jego środka masy jest równa iloczynowi poprzecznemu jego prędkości kątowej przez wektor od punktu styku do środka masy:

$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {v}} _ {G} (t) = {\ boldsymbol {\ Omega}} \ razy {\ boldsymbol {r}} _ {G/O}.}$$

W przypadku obiektu, który się nie przechyla ani nie obraca, sprowadza się to do ${\ displaystyle v = r \ omega}$ .

Nierozciągliwy przewód

Tak jest w przypadku, gdy ciała są połączone wyidealizowanym sznurem, który pozostaje w napięciu i nie może zmieniać długości. Ograniczenie polega na tym, że suma długości wszystkich odcinków sznurka jest długością całkowitą, a zatem pochodna tej sumy po czasie wynosi zero. Dynamicznym problemem tego typu jest wahadło . Innym przykładem jest bęben obracany siłą grawitacji na spadającym ciężarze przymocowanym do obręczy za pomocą nierozciągliwego sznurka. Problemem równowagi (tj. nie kinematycznym) tego typu jest sieć trakcyjna .

Pary kinematyczne

Główny artykuł: Para kinematyczna

Reuleaux nazwał idealne połączenia między elementami składowymi, które tworzą pary kinematyczne maszyny . Rozróżnił wyższe pary, o których mówiono, że mają kontakt liniowy między dwoma ogniwami, i niższe pary, które mają kontakt powierzchniowy między ogniwami. J. Phillips pokazuje, że istnieje wiele sposobów konstruowania par, które nie pasują do tej prostej klasyfikacji.

Dolna para

Niższa para jest idealnym połączeniem lub wiązaniem holonomicznym, które utrzymuje kontakt między punktem, linią lub płaszczyzną w ruchomym (trójwymiarowym) ciele bryłowym z odpowiadającą mu linią lub płaszczyzną punktu w nieruchomym ciele bryłowym. Istnieją następujące przypadki:

• Para obrotowa lub przegub zawiasowy wymaga, aby linia lub oś w poruszającym się ciele pozostawała współliniowa z linią w nieruchomym ciele, a płaszczyzna prostopadła do tej linii w poruszającym się ciele stykała się z podobną prostopadłą płaszczyzną w stałym ciele. Nakłada to pięć ograniczeń na względny ruch ogniw, który w związku z tym ma jeden stopień swobody, który jest czystym obrotem wokół osi zawiasu.
• Pryzmatyczny przegub lub ślizgacz wymaga, aby linia lub oś w poruszającym się ciele pozostawała współliniowa z linią w nieruchomym ciele, a płaszczyzna równoległa do tej linii w poruszającym się ciele utrzymywała kontakt z podobną równoległą płaszczyzną w stałe ciało. Nakłada to pięć ograniczeń na względny ruch ogniw, który w związku z tym ma jeden stopień swobody. Ten stopień swobody to odległość poślizgu wzdłuż linii.
• Połączenie cylindryczne wymaga, aby linia lub oś w ruchomym ciele pozostawała współliniowa z linią w nieruchomym ciele. Jest to połączenie przegubu obrotowego i przegubu ślizgowego. Połączenie to ma dwa stopnie swobody. Położenie poruszającego się ciała jest określone zarówno przez obrót wokół, jak i poślizg wzdłuż osi.
• Przegub kulisty lub przegub kulowy wymaga, aby punkt w poruszającym się ciele utrzymywał kontakt z punktem w nieruchomym ciele. To połączenie ma trzy stopnie swobody.
• Połączenie płaskie wymaga, aby płaszczyzna w ciele ruchomym utrzymywała kontakt z płaszczyzną w ciele nieruchomym. To połączenie ma trzy stopnie swobody.

Wyższe pary

Ogólnie rzecz biorąc, wyższa para jest ograniczeniem, które wymaga krzywej lub powierzchni w poruszającym się ciele, aby utrzymać kontakt z krzywą lub powierzchnią w nieruchomym ciele. Na przykład kontakt między krzywką a jej popychaczem to wyższa para zwana przegubem krzywkowym . Podobnie kontakt między ewolwentowymi krzywymi, które tworzą zazębione zęby dwóch kół zębatych, to przeguby krzywkowe.

Łańcuchy kinematyczne

Ilustracja czteroprętowego układu zawieszenia z Kinematics of Machinery, 1876

Sztywne ciała („ogniwa”) połączone parami kinematycznymi („połączenia”) nazywane są łańcuchami kinematycznymi . Mechanizmy i roboty to przykłady łańcuchów kinematycznych. Stopień swobody łańcucha kinematycznego oblicza się na podstawie liczby ogniw oraz liczby i rodzaju połączeń za pomocą wzoru na ruchliwość . Formuły tej można również użyć do wyliczenia topologii łańcuchów kinematycznych, które mają określony stopień swobody, co jest znane jako synteza typów w projektowaniu maszyn.

Przykłady

połączenia o jednym stopniu swobody złożone z N ogniw i j zawiasów lub połączeń ślizgowych to:

• N = 2, j = 1 : łącznik dwudrążkowy, czyli dźwignia;
• N = 4, j = 4: połączenie czteroprętowe ;
• N = 6, j = 7: połączenie z sześcioma prętami . Musi mieć dwa ogniwa („ogniwa trójskładnikowe”), które wspierają trzy złącza. Istnieją dwie różne topologie, które zależą od sposobu połączenia dwóch trójskładnikowych powiązań. W topologii Watta dwa łącza trójskładnikowe mają wspólne połączenie; w topologii Stephensona dwa łącza trójskładnikowe nie mają wspólnego złącza i są połączone łączami binarnymi.
• N = 8, j = 10: połączenie ośmioprętowe z 16 różnymi topologiami;
• N = 10, j = 13: połączenie dziesięcioprętowe z 230 różnymi topologiami;
• N = 12, j = 16: połączenie dwunastotaktowe z 6856 topologiami.

W przypadku większych łańcuchów i ich topologii połączeń patrz RP Sunkari i LC Schmidt , „Strukturalna synteza planarnych łańcuchów kinematycznych przez adaptację algorytmu typu Mckay”, Mechanism and Machine Theory #41, s. 1021–1030 (2006).

Zobacz też

• Absencja
• Przyśpieszenie
• Geometria afiniczna § Kinematyka
• Mechanika analityczna
• Mechanika stosowana
• Mechanika nieba
• Siła dośrodkowa
• Mechanika klasyczna
• Dystans
• Dynamika (fizyka)
• Siła fikcyjna
• Kinematyka do przodu
• Czteropunktowy układ zawieszenia
• Kinematyka odwrotna
• Kretyn (fizyka)
• Prawa Keplera
• Sprzężenie kinematyczne
• Schemat kinematyczny
• Synteza kinematyczna
• Kinetyka (fizyka)
• Ruch (fizyka)
• Mechanika orbitalna
• Statyka
• Prędkość
• Kinematyka integralna
• Kryterium Czebyczewa – Grüblera – Kutzbacha

Dalsza lektura

•   Koetsier, Teun (1994), „§8.3 Kinematics”, w: Grattan-Guinness, Ivor (red.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences , tom. 2, Routledge , s. 994–1001, ISBN 0-415-09239-6
•   Księżyc, Francis C. (2007). Maszyny Leonarda Da Vinci i Franza Reuleaux, kinematyka maszyn od renesansu do XX wieku . Skoczek. ISBN 978-1-4020-5598-0 .
• Eduard Study (1913) tłumacz DH Delphenich, „Podstawy i cele kinematyki analitycznej” .

Linki zewnętrzne

• Aplet Java kinematyki 1D
• Physclips: Mechanics z animacjami i klipami wideo z University of New South Wales.
• Kinematic Models for Design Digital Library (KMODDL) , zawierająca filmy i zdjęcia setek działających modeli systemów mechanicznych na Uniwersytecie Cornell oraz bibliotekę e-booków zawierającą klasyczne teksty dotyczące projektowania i inżynierii mechanicznej.
• Pozycjonowanie mikrocalowe z komponentami kinematycznymi