Siła dośrodkowa

Nie mylić z siłą odśrodkową . Aby zapoznać się z innymi znaczeniami słowa „dośrodkowy”, zobacz Dośrodkowy (ujednoznacznienie) .

Siła dośrodkowa (od łacińskiego centrum , „centrum” i petere , „szukać”) to siła , która sprawia, że ​​ciało porusza się po zakrzywionej ścieżce . Kierunek siły dośrodkowej jest zawsze prostopadły do ​​ruchu ciała i skierowany do stałego punktu chwilowego środka krzywizny toru. Isaac Newton opisał to jako „siłę, przez którą ciała są przyciągane lub wprawiane w ruch lub w jakikolwiek sposób zmierzają do punktu jako środka”. W teorii mechaniki Newtona grawitacja zapewnia siłę dośrodkową powodującą orbity astronomiczne .

Typowym przykładem działania siły dośrodkowej jest przypadek, w którym ciało porusza się ze stałą prędkością po torze kołowym. Siła dośrodkowa jest skierowana pod kątem prostym do ruchu, a także wzdłuż promienia w kierunku środka toru kołowego. Opis matematyczny został opracowany w 1659 roku przez holenderskiego fizyka Christiaana Huygensa .

Formuła

Wielkość siły dośrodkowej działającej na obiekt o masie m poruszający się z prędkością styczną v po torze o promieniu krzywizny r wynosi:

$$\ Displaystyle F_ {c} = ma_ {c} = {\ Frac {mv ^ {2}} {r}}}$$

$${\ Displaystyle a_ {c} = \ lim _ {\ Delta t \ do 0} {\ Frac {|\ Delta {\ textbf {v}} |} {\ Delta t}}}$$

gdzie jest $przyspieszeniem$ i jest różnicą $_ Ponieważ wektory prędkości na powyższym diagramie mają stałą wielkość i ponieważ każdy z nich jest prostopadły do ​​odpowiedniego$ wektorami _ wektora położenia, proste odejmowanie wektorów implikuje dwa podobne trójkąty równoramienne o przystających kątach - jeden zawierający podstawę Δ v {\ displaystyle \ Delta $textbf {v}}}$ i długość nogi ${$ , a drugą podstawę $r}}} ($ textbf różnica wektorów pozycji ) i długość nogi ${ \displaystyle r}$ :

$${\ Displaystyle {\ Frac {|\ Delta {\ textbf {v}}|} {v}} = {\ Frac {|\ Delta {\ textbf {r}}|} {r}}}$$

$${\ Displaystyle |\ Delta {\ textbf {v}} | = {\ Frac {v} {r}} | \ Delta {\ textbf {r}} |}$$

Dlatego ${\ Displaystyle | \ Delta {\ textbf {v}} |}$ można zastąpić ${\ Displaystyle {\ Frac {v} {r}} | \ Delta {\ textbf {r}} |}$ :

$${\ Displaystyle a_ {c} = \ lim _ {\ Delta t \ do 0} {\ Frac {|\ Delta {\ textbf {v}} |} {\ Delta t}} ={\frac {v}{r}}\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{\Delta t}}=\omega \lim _ {\Delta t\do 0}{\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{\Delta t}}=v\omega ={\frac {v^{2}}{r}}}$$

Kierunek siły jest skierowany w stronę środka koła, po którym porusza się obiekt, lub koła oscylacyjnego (koła, które najlepiej pasuje do lokalnej ścieżki obiektu, jeśli ścieżka nie jest kołowa). Prędkość we wzorze jest podniesiona do kwadratu, więc podwójna prędkość wymaga czterokrotności siły. Odwrotna zależność od promienia krzywizny pokazuje, że połowa odległości promieniowej wymaga dwukrotnie większej siły. Siła ta jest czasami zapisywana jako prędkość kątowa ω obiektu wokół środka koła, powiązana z prędkością styczną wzorem

$${\ displaystyle v = \ omega r}$$

aby

$${\ Displaystyle F_ {c} = pan \ omega ^ {2} \,.}$$

Wyrażony za pomocą okresu orbitalnego T dla jednego obrotu koła,

$${\ Displaystyle \ omega = {\ Frac {2 \ pi} {T}}}$$

równanie staje się

$${\ Displaystyle F_ {c} = pan \ lewo ({\ Frac {2 \ pi} {T}} \ prawo) ^ {2}.}$$

W akceleratorach cząstek prędkość może być bardzo duża (bliska prędkości światła w próżni), więc ta sama masa spoczynkowa wywiera teraz większą bezwładność (masa relatywistyczna), co wymaga większej siły dla tego samego przyspieszenia dośrodkowego, więc równanie wygląda następująco:

$$}}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle \ gamma = {\ Frac {1} {1} {\ sqrt {1- {\ Frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}$$

jest czynnikiem Lorentza .

Zatem siła dośrodkowa jest dana wzorem:

$${\ Displaystyle F_ {c} = \ gamma mv \ omega}$$

czyli tempo zmian relatywistycznego pędu ${\ Displaystyle \ gamma mv}$ .

Źródła

Ciało poruszające się ruchem jednostajnym po okręgu wymaga siły dośrodkowej skierowanej w kierunku osi, jak pokazano na rysunku, aby utrzymać tor ruchu po okręgu.

W przypadku obiektu, który kołysze się na końcu liny w płaszczyźnie poziomej, siła dośrodkowa działająca na przedmiot jest dostarczana przez naprężenie liny. Przykład liny jest przykładem obejmującym siłę „ciągnącą”. Siła dośrodkowa może być również dostarczana jako siła „pchająca”, na przykład w przypadku, gdy normalna reakcja ściany dostarcza siłę dośrodkową dla ściany śmierci lub jeźdźca Rotora .

Idea siły dośrodkowej Newtona odpowiada temu, co obecnie nazywa się siłą centralną . Kiedy satelita znajduje się na orbicie wokół planety , grawitacja jest uważana za siłę dośrodkową, chociaż w przypadku orbit ekscentrycznych siła grawitacji jest skierowana w kierunku ogniska, a nie w kierunku chwilowego środka krzywizny.

Inny przykład siły dośrodkowej powstaje w helisie, która jest śledzona, gdy naładowana cząstka porusza się w jednorodnym polu magnetycznym przy braku innych sił zewnętrznych. W tym przypadku siła magnetyczna jest siłą dośrodkową działającą w kierunku osi helisy.

Analiza kilku przypadków

Poniżej znajdują się trzy przykłady o rosnącej złożoności, wraz z wyprowadzeniami wzorów rządzących prędkością i przyspieszeniem.

Jednolity ruch kołowy

Zobacz też: Jednostajny ruch okrężny

Jednostajny ruch kołowy odnosi się do przypadku stałej prędkości obrotowej. Oto dwa podejścia do opisu tego przypadku.

Wyprowadzenie rachunku różniczkowego

W dwóch wymiarach wektor położenia , który ma wielkość (długość) i jest skierowany pod kątem powyżej osi x, $r} }}$$displaystyle$${\ textbf {$ można wyrazić we współrzędnych kartezjańskich za pomocą wektorów jednostkowych ${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mathbf {j}}}}:$${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {i}}}$ ja }

$${\ Displaystyle {\ textbf {r}} = r \ cos (\ teta) {\ kapelusz {\ mathbf {i}}} + r \ sin (\ teta) {\ kapelusz {\ mathbf {j}}}.}$$

Założenie ruchu jednostajnego po okręgu wymaga trzech rzeczy:

1. Obiekt porusza się tylko po okręgu.
2. Promień okręgu $.$ zmienia się w czasie
3. Obiekt porusza się ze stałą $okręgu$ kątową po . Dlatego ${\ Displaystyle \ theta = \ omega t}$$jest$ czas .

Prędkość i przyspieszenie ruchu to pierwsza i druga ${v}}$ położenia względem czasu: v {\ displaystyle { \ $textbf$

$${\ Displaystyle {\ textbf {r}} = r \ cos (\ omega t) {\ kapelusz {\ mathbf {i} }}+r\sin(\omega t){\kapelusz {\mathbf {j}}},}$$

$${\ Displaystyle {\ textbf {v}} = {\ kropka {\ textbf {r}}} =-r \ omega \ sin (\ omega t) {\ kapelusz {\ mathbf {i}}} + r \ omega \ cos (\ omega t) {\ kapelusz {\ mathbf {j}}},}$$

$${\ Displaystyle {\ textbf {a}} = {\ ddot {\ textbf {r}}} = - \ omega ^ {2} (r \ cos (\ omega t) {\ kapelusz {\ mathbf {i}}} +r\sin(\omega t){\kapelusz {\mathbf {j}}}).}$$

Termin w nawiasach jest oryginalnym $we$ współrzędnych kartezjańskich . W konsekwencji,

$${\ Displaystyle {\ textbf {a}} = - \ omega ^ {2} {\ textbf {r}}.}$$

wartość ujemna wskazuje, że przyspieszenie jest skierowane w stronę środka koła (przeciwnie do promienia), dlatego nazywa się je „dośrodkowym” (tzn. „poszukiwaniem środka”). Podczas gdy obiekty naturalnie poruszają się po prostej ścieżce (z powodu bezwładności ), to przyspieszenie dośrodkowe opisuje ścieżkę ruchu kołowego spowodowaną siłą dośrodkową.

Wyprowadzenie za pomocą wektorów

Zależności wektorowe dla ruchu jednostajnego po okręgu; wektor Ω reprezentujący obrót jest normalny do płaszczyzny orbity z biegunowością określoną regułą prawej ręki i wielkością dθ / dt .

Obraz po prawej pokazuje zależności wektorowe dla ruchu jednostajnego po okręgu. Sam obrót jest reprezentowany przez wektor prędkości kątowej Ω , który jest normalny do płaszczyzny orbity (stosując regułę prawej dłoni ) i ma wielkość określoną wzorem:

${\ Displaystyle |\ mathbf {\ Omega} | = {\ Frac {\ operatorname {d} \ theta} {\ operatorname {d} t}} = \ omega \,}$

gdzie θ jest położeniem kątowym w czasie t . W tym podrozdziale przyjmuje się, że d θ /d t jest stałe, niezależne od czasu. Odległość przebyta przez cząstkę dℓ w czasie d t po torze kołowym wynosi

${\ Displaystyle \ operatorname {d} {\ boldsymbol {\ ell}} = \ mathbf {\ omega} \ razy \ mathbf {r} (t) \ operatorname {d} T\ ,}$

który, zgodnie z właściwościami iloczynu wektorowego , ma wielkość r d θ i jest w kierunku stycznym do toru kołowego.

W konsekwencji,

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d} \ mathbf {r}} {\ operatorname {d} t}} = \ lim _ {{\ delta} t \ do 0} {\ frac {\ mathbf {r} (t+{\Delta}t)-\mathbf {r} (t)}{{\Delta}t}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell}}}{\mathrm {d } T}}\ .}$

Innymi słowy,

${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ {\ stackrel {\ operatorname {def} }{=}} \ {\ Frac {\ operatorname {d} \ mathbf {r}} {\ operatorname {d} t}} = { \frac {\mathrm {d} \mathbf {\boldsymbol {\ell}} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\Omega} \times \mathbf {r} (t)\ .}$

Różniczkując względem czasu,

$${\ Displaystyle \ mathbf {a} \ {\ stackrel {\ operatorname {def} }{=}} \ {\ Frac {\ operatorname {d} \ mathbf {v}} {d \ operatorname {t}}} = \ mathbf {\Omega} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\Omega} \times \left[\mathbf {\ Omega } \times \mathbf {r} (t)\right]\ .}$$

Formuła Lagrange'a stwierdza:

$${\ Displaystyle \ mathbf {a} \ razy \ lewo (\ mathbf {b} \ razy \ mathbf {c} \ prawej) = \ mathbf {b} \ lewo (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c} \ prawo)-\mathbf {c} \left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)\ .}$$

Stosując wzór Lagrange'a z obserwacją, że Ω • r ( t ) = 0 przez cały czas,

$${\ Displaystyle \ mathbf {a} = - {| \ mathbf {\ Omega |}} ^ {2} \ mathbf {r} (t) \ .}$$

Innymi słowy, przyspieszenie jest zawsze skierowane przeciwnie do promieniowego przemieszczenia r i ma wartość:

$${\ Displaystyle |\ mathbf {a} | = | \ mathbf {r} (t) | \ lewo ({\ Frac {\ operatorname {d} \ theta} {\ operatorname {d} t}}\right)^{2}=r{\omega}^{2}}$$

gdzie pionowe kreski |...| oznaczamy wielkość wektora, która w przypadku r ( t ) jest po prostu promieniem r ścieżki. Ten wynik zgadza się z poprzednią sekcją, chociaż notacja jest nieco inna.

Kiedy prędkość obrotowa jest stała w analizie nierównomiernego ruchu kołowego , ta analiza zgadza się z tą.

Zaletą podejścia wektorowego jest to, że jest ono wyraźnie niezależne od jakiegokolwiek układu współrzędnych.

Przykład: Przechylony obrót

Główny artykuł: Zwrot w banku

Zobacz też: Reaktywna siła odśrodkowa

Górny panel: Piłka na pochylonym torze kołowym poruszająca się ze stałą prędkością v ; Dolny panel: Siły działające na piłkę

Górny panel na obrazie po prawej stronie pokazuje piłkę w ruchu kołowym na pochylonej krzywej. Krzywa jest nachylona pod kątem θ do poziomu, a nawierzchnia drogi jest uważana za śliską. Celem jest znalezienie kąta, jaki musi mieć przechylenie, aby piłka nie ześlizgnęła się z drogi. Intuicja mówi nam, że na płaskiej krzywej bez żadnego przechylania piłka po prostu ześlizgnie się z drogi; przy bardzo stromym przechyleniu piłka ześlizgnie się do środka, chyba że szybko przemieści się po krzywej.

Oprócz przyspieszenia, które może wystąpić w kierunku toru, dolny panel powyższego obrazu pokazuje siły działające na piłkę. Istnieją dwie siły; jeden to siła grawitacji skierowana pionowo w dół przez środek masy piłki m g , gdzie m to masa piłki, a g to przyspieszenie grawitacyjne ; druga to skierowana do góry siła normalna wywierana przez drogę pod kątem prostym do powierzchni drogi m a _n . Siła dośrodkowa wymagana przez zakrzywiony ruch jest również pokazana powyżej. Ta siła dośrodkowa nie jest trzecią siłą przyłożoną do piłki, ale raczej musi być zapewniona przez siłę wypadkową działającą na piłkę wynikającą z wektorowego dodania siły normalnej i siły grawitacji . Siła wypadkowa lub wypadkowa działająca na piłkę, obliczona przez dodanie wektorowe siły normalnej wywieranej przez drogę i siły pionowej spowodowanej grawitacją , musi być równa sile dośrodkowej wynikającej z potrzeby przebycia toru kołowego. Zakrzywiony ruch jest utrzymywany tak długo, jak długo ta wypadkowa siła zapewnia siłę dośrodkową wymaganą do ruchu.

Pozioma wypadkowa siła działająca na piłkę jest poziomą składową siły z drogi, która ma wielkość | Fh | _{_} = m | za _n | grzech θ . Pionowa składowa siły z drogi musi przeciwdziałać sile grawitacji: | F _v | = m | za _n | sałata θ = m | g | , co implikuje | za _n | = | g | / cos θ . Podstawiając do powyższego wzoru | Fh | _{_} daje siłę poziomą, która wynosi:

$${\ Displaystyle |\ mathbf {F} _ {\ operatorname {h}} | = m | \ mathbf {g} | {\ Frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}} = m |\ mathbf {g } |\ tan \theta \,.}$$

Z drugiej strony, przy prędkości | v | na torze kołowym o promieniu r kinematyka mówi, że siłą _potrzebną do ciągłego obracania piłki w zakręcie jest skierowana promieniowo do wewnątrz siła dośrodkowa Fc o wielkości:

$${\ Displaystyle |\ mathbf {F} _ {\ operatorname {c}} | = m | \ mathbf {a} _ {\ operatorname {c}} | = {\ Frac {m | \ mathbf {v} | ^ { 2}}{r}}\,.}$$

W związku z tym piłka znajduje się na stabilnym torze, gdy kąt drogi jest ustawiony tak, aby spełniał warunek:

$${\ Displaystyle m | \ mathbf {g} | \ tan \ theta = {\ Frac {m | \ mathbf {v} | ^ {2}} {r}} \,,}$$

Lub,

$${\ Displaystyle \ tan \ theta = {\ Frac {|\ mathbf {v} | ^ {2}} {| \ mathbf {g} | r}} \,.}$$

Gdy kąt brzegu θ zbliża się do 90 °, funkcja styczna zbliża się do nieskończoności, umożliwiając większe wartości dla | v | ² / r . Słownie, to równanie mówi, że dla większych prędkości (większe | v |) droga musi być bardziej stromo nachylona (większa wartość dla θ ), a dla ostrzejszych zakrętów (mniejsze r ) droga musi być również bardziej stromo nachylona, ​​co odpowiada z intuicją. Gdy kąt θ nie spełnia powyższego warunku, pozioma składowa siły wywieranej przez drogę nie zapewnia prawidłowej siły dośrodkowej, a do zapewnienia różnicy wymagana jest dodatkowa siła tarcia styczna do nawierzchni drogi. Jeśli tarcie nie może tego zrobić (to znaczy współczynnik tarcia zostaje przekroczony), kulka ślizga się na inny promień, gdzie można osiągnąć równowagę.

Te idee odnoszą się również do lotów powietrznych. Zobacz podręcznik pilota FAA.

Nierównomierny ruch okrężny

Zobacz też: Ruch kołowy i Ruch kołowy nierównomierny

/ R. _

Uogólniając przypadek ruchu jednostajnego po okręgu, załóżmy, że prędkość kątowa obrotu nie jest stała. Przyspieszenie ma teraz składową styczną, jak pokazano na rysunku po prawej stronie. Ten przypadek służy do zademonstrowania strategii wyprowadzania opartej na biegunowym układzie współrzędnych .

Niech r ( t ) będzie wektorem opisującym położenie masy punktowej w funkcji czasu. Ponieważ zakładamy ruch kołowy _, niech r ( t ) = R · u _r , gdzie R jest stałą (promieniem okręgu), a ur jest wektorem jednostkowym wskazującym od początku do punktu masy. Kierunek ur jest opisany przez θ , kąt między osią x a wektorem jednostkowym, mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od osi x _. Drugi wektor jednostkowy współrzędnych biegunowych, u _{θ ,} jest prostopadły do ​​ur i wskazuje kierunek wzrostu θ . $displaystyle {\ hat {\ mathbf {j} }}}$ wektory jednostkowe można wyrazić za pomocą kartezjańskich wektorów jednostkowych w kierunkach x i y , oznaczonych ${\$ jot odpowiednio:

$${\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {r} = \ sałata \ teta \ {\ kapelusz {\ mathbf {i}}} + \ sin \ teta \ { \hat {\mathbf {j}}}}$$

I

$${\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {\ teta} = - \ sin \ teta \ {\ kapelusz {\ mathbf {i}}} + \ cos \ teta \ {\ kapelusz {\ mathbf {j}}}.}$$

Można rozróżnić, aby znaleźć prędkość:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {v} & = r {\ frac {d\mathbf {u} _{r}}{dt}}\\&=r{\frac {d}{dt}}\left(\cos \theta \ {\kapelusz {\mathbf {i}}} }+\sin \theta \ {\hat {\mathbf {j}}}\right)\\&=r{\frac {d\theta}}{dt}}{\frac {d}{d\theta}} \left(\cos \theta \ {\hat {\mathbf {i}}}+\sin \theta \ {\hat {\mathbf {j}}}\right)\\&=r{\frac {d\ theta }{dt}}\left(-\sin \theta \ {\hat {\mathbf {i}}}+\cos \theta \ {\hat {\mathbf {j}}}\right)\\&= r{\frac {d\theta}{dt}}\mathbf {u} _{\theta}\\&=\omega r\mathbf {u} _{\theta}\end{wyrównane}}}$$

gdzie ω jest prędkością kątową dθ / dt .

Ten wynik dla prędkości jest zgodny z oczekiwaniami, że prędkość powinna być skierowana stycznie do okręgu i że wielkość prędkości powinna wynosić rω . Znów zróżnicowanie i zauważenie tego

$${\ Displaystyle {\ Frac {d \ mathbf {u} _ {\ teta}} {dt}} = - {\ Frac {d \ theta }{dt}}\mathbf {u} _{r}=-\omega \mathbf {u} _{r}\ ,}$$

stwierdzamy, że przyspieszenie a wynosi:

$${\ Displaystyle \ mathbf {a} = r \ lewo ({\ Frac {d \ omega}} {dt}} \ mathbf {u} _ {\ theta} - \ omega ^ {2} \ mathbf {u} _ {r }\Prawidłowy)\ .}$$

Zatem promieniowe i styczne składowe przyspieszenia to:

$${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {r} = - \ omega ^ {2} r \ \ mathbf {u} _ {r} = - {\ Frac {|\ mathbf {v} | ^ { 2}}{r}}\ \mathbf {u} _{r}}$$

I

$${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {\ teta} = r \ {\ Frac {d \ omega} {dt}} \ \ mathbf {u} _ {\ teta} = {\ frac {d |\mathbf {v} |}{dt}}\ \mathbf {u} _{\theta}\ ,}$$

gdzie | v | = r ω jest wielkością prędkości (prędkości).

Równania te wyrażają matematycznie, że w przypadku obiektu poruszającego się po torze kołowym ze zmienną prędkością przyspieszenie ciała można rozłożyć na składową prostopadłą zmieniającą kierunek ruchu ( przyspieszenie dośrodkowe) i równoległą lub składowa styczna , która zmienia prędkość.

Ogólny ruch płaski

Zobacz też: Siły uogólnione , Siły uogólnione , Współrzędne krzywoliniowe , Współrzędne uogólnione i Współrzędne ortogonalne

Wektor położenia r zawsze wskazuje promieniowo od początku układu współrzędnych.

Wektor prędkości v , zawsze styczny do toru ruchu.

Wektor przyspieszenia a , nierównoległy do ​​ruchu promieniowego, ale przesunięty przez przyspieszenia kątowe i przyspieszenia Coriolisa, ani styczny do toru, ale przesunięty przez przyspieszenia dośrodkowe i promieniowe.

Wektory kinematyczne we współrzędnych biegunowych płaszczyzny. Zauważ, że konfiguracja nie jest ograniczona do przestrzeni 2D, ale płaszczyzny w dowolnym wyższym wymiarze.

Polarne wektory jednostkowe przy dwóch czasach t i t + dt dla cząstki o trajektorii r ( t ); po lewej stronie wektory jednostkowe u _ρ i u _θ w dwóch momentach są przesuwane, tak że wszystkie ich ogony się spotykają i są pokazane jako zakreślające łuk okręgu o promieniu jednostkowym. Ich obrót w czasie dt wynosi d θ, dokładnie taki sam kąt jak obrót trajektorii r ( t ).

Współrzędne biegunowe

Powyższe wyniki można wyprowadzić być może prościej ze współrzędnych biegunowych i jednocześnie rozciągnąć na ogólny ruch w płaszczyźnie, jak pokazano poniżej. Współrzędne biegunowe w płaszczyźnie wykorzystują promieniowy wektor jednostkowy u _ρ i kątowy wektor jednostkowy u _θ , jak pokazano powyżej. Cząstka w pozycji r jest opisana przez:

$${\ Displaystyle \ mathbf {r} = \ rho \ mathbf {u} _ {\ rho} \,}$$

gdzie notacja ρ jest używana do opisania odległości ścieżki od początku zamiast R , aby podkreślić, że odległość ta nie jest stała, ale zmienia się w czasie. Wektor jednostkowy u _ρ porusza się wraz z cząstką i zawsze wskazuje ten sam kierunek co r ( t ). Wektor jednostkowy u _θ również przemieszcza się z cząstką i pozostaje prostopadły do ​​u _ρ . W ten sposób u _ρ i u _θ tworzą lokalny kartezjański układ współrzędnych przyczepiony do cząstki i powiązany z drogą przebytą przez cząstkę. Przesuwając wektory jednostkowe tak, aby ich ogony się pokrywały, jak widać na okręgu po lewej stronie powyższego obrazu, widać, że u _ρ i u _θ tworzą parę prostokątną z końcówkami na okręgu jednostkowym, które śledzą tam iz powrotem po obwód tego koła o tym samym kącie θ ( t ) co r ( t ).

Kiedy cząstka się porusza, jej prędkość wynosi

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = {\ Frac {\ operatorname {d} \ rho} {\ operatorname {d} t}} \ mathbf {u} _ {\ rho} + \ rho {\ frac {\ operatorname { d} \mathbf {u} _{\rho }}{\mathrm {d} t}}\,.}$

potrzebna jest pochodna wektora jednostkowego u _{ρ .} Ponieważ u _ρ jest wektorem jednostkowym, jego wielkość jest stała i może zmieniać się tylko w kierunku, to znaczy, że jego zmiana d u ρ _ma składową prostopadłą tylko do u _ρ . Gdy trajektoria r ( t ) obraca się o wartość d θ , u _ρ , która wskazuje ten sam kierunek co r ( t ), również obraca się o d θ . Zobacz obrazek powyżej. Zatem zmiana u _ρ wynosi

${\ Displaystyle \ operatorname {d} \ mathbf {u} _ {\ rho} = \ mathbf {u} _ {\ teta} \ operatorname {d} \ teta \,,}$

Lub

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d} \ mathbf {u} _ {\ rho}} {\ operatorname {d} t}} = \ mathbf {u} _ {\ theta} {\ frac {\ operatorname { d} \theta }{\mathrm {d} t}}\,.}$

wyznacza się szybkość zmian u θ _. Podobnie jak u _ρ , u _θ jest wektorem jednostkowym i może się obracać tylko bez zmiany rozmiaru. Aby pozostać prostopadłym do u _ρ , podczas gdy trajektoria r ( t ) obraca się o wartość d θ , u _θ , która jest prostopadła do r ( t ), również obraca się o d θ . Zobacz obrazek powyżej. Dlatego zmiana d u _θ jest prostopadła do u _θ i proporcjonalna do d θ (patrz obrazek powyżej):

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d} \ mathbf {u} _ {\ teta}} {\ operatorname {d} t}} = - {\ Frac {\ operatorname {d} \ theta} {\ operatorname { d} t}}\mathbf {u} _{\rho}\,.}$

Powyższy obrazek pokazuje, że znak jest ujemny: aby zachować ortogonalność, jeśli d u _ρ jest dodatnie przy d θ , to d u _θ musi się zmniejszyć.

Podstawiając pochodną u _ρ do wyrażenia na prędkość:

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = {\ Frac {\ operatorname {d} \ rho} {\ operatorname {d} t}} \ mathbf {u} _ {\ rho} + \ rho \ mathbf {u} _ { \theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=v_{\rho}\mathbf {u} _{\rho}+v_{\theta}\mathbf {u } _{\theta}=\mathbf {v} _{\rho}+\mathbf {v} _{\theta}\,.}$

Aby uzyskać przyspieszenie, wykonuje się kolejne różniczkowanie czasu:

${\ Displaystyle \ mathbf {a} = {\ Frac {\ operatorname {d} ^ {2} \ rho} {\ operatorname {d} t ^ {2}}} \ mathbf {u} _ {\ rho} + { \frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }}{\mathrm {d} t}}+ {\ frac {\ operatorname {d} \ rho }{\ operatorname {d} t}} \ mathbf {u} _ {\ theta }{\ frac {\ operatorname {d} \ theta }{\ operatorname {d} t }}+\rho {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _ {\ theta }} {\ operatorname {d} t}} {\ frac {\ operatorname {d} \ theta }{\ operatorname { d} t}}+\rho \mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\,. }$

Podstawiając pochodne u _ρ i u _θ , przyspieszenie cząstki wynosi:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {a} & = {\ Frac {\ operatorname {d} ^ {2} \ rho} {\ operatorname {d} t ^ {2}}} \ mathbf {u} _ {\ rho } +2 {\ frac {\ operatorname {d} \ rho }{\ operatorname {d} t}} \ mathbf {u} _ {\ theta }{\ frac {\ operatorname {d} \ theta } {\mathrm {d} t}}-\rho \mathbf {u} _{\rho}\left({\frac {\mathrm {d} \theta}}{\mathrm {d} t}}\right)^ {2}+\rho \mathbf {u} _{\theta}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\ ,\\& =\mathbf {u} _{\rho }\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}\rho }{\mathrm {d} t^{2}}}-\rho \left({ \frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right]+\mathbf {u} _{\theta}\left[2{\frac {\ mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\rho {\frac {\mathrm {d} ^ {2}\theta}{\mathrm {d} t^{2}}}\right]\\&=\mathbf {u} _{\rho}\left[{\frac {\mathrm {d} v_{ \rho }}{\mathrm {d} t}}-{\frac {v_{\theta }^{2}}{\rho }}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[ {\frac {2}{\rho}}v_{\rho}v_{\theta}+\rho {\frac {\mathrm {d}}}{\mathrm {d} t}}{\frac {v_{\ theta }}{\rho }}\right]\,.\end{wyrównane}}}$

Jako szczególny przykład, jeśli cząstka porusza się po okręgu o stałym promieniu R , to d ρ /d t = 0, v = v _θ oraz:

$${\ Displaystyle \ mathbf {a} =\mathbf {u} _{\rho}\left[-\rho \left({\frac {\mathrm {d} \theta}}{\mathrm {d} t}}\right)^{2 }\right]+\mathbf {u} _{\theta}\left[\rho {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\ right]=\mathbf {u} _{\rho }\left[-{\frac {v^{2}}{r}}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[{\ frac {\mathrm {d} v} {\ operatorname {d} t}}\right]\ }$$

gdzie ${\ displaystyle v = v _ {\ teta}.}$

Wyniki te zgadzają się z powyższymi wynikami dla nierównomiernego ruchu kołowego . Zobacz także artykuł o nierównomiernym ruchu kołowym . Jeśli to przyspieszenie pomnoży się przez masę cząstki, członem wiodącym jest siła dośrodkowa, a ujemna wartość drugiego członu związana z przyspieszeniem kątowym jest czasami nazywana siłą Eulera .

Na przykład w przypadku trajektorii innych niż ruch kołowy, bardziej ogólna trajektoria przedstawiona na powyższym obrazku, chwilowy środek obrotu i promień krzywizny trajektorii są związane tylko pośrednio z układem współrzędnych określonym przez u ρ _i u θ _oraz z długość | r ( t )| = ρ . W związku z tym w ogólnym przypadku nie jest łatwo wyplątać człony dośrodkowe i Eulera z powyższego ogólnego równania przyspieszenia. Aby bezpośrednio rozwiązać ten problem, preferowane są współrzędne lokalne, co omówiono poniżej.

Współrzędne lokalne

Lokalny układ współrzędnych dla ruchu planarnego po krzywej. Pokazane są dwie różne pozycje dla odległości s i s + ds wzdłuż krzywej. W każdym położeniu s wektor jednostkowy u _n wskazuje wzdłuż zewnętrznej normalnej do krzywej, a wektor jednostkowy u _t jest styczny do ścieżki. Promień krzywizny toru wynosi ρ, obliczony na podstawie szybkości obrotu stycznej do krzywej w odniesieniu do długości łuku i jest promieniem oscylującego koła w pozycji s . Okrąg jednostkowy po lewej pokazuje obrót wektorów jednostkowych z s .

Współrzędne lokalne oznaczają zestaw współrzędnych, które poruszają się wraz z cząstką i mają orientację określoną przez ścieżkę cząstki. Wektory jednostkowe są tworzone tak, jak pokazano na obrazku po prawej stronie, zarówno stycznie, jak i prostopadle do ścieżki. Ten układ współrzędnych jest czasami określany jako współrzędne wewnętrzne lub współrzędne ścieżki lub współrzędne nt , dla normalno-stycznych , odnosząc się do tych wektorów jednostkowych. Te współrzędne są bardzo szczególnym przykładem bardziej ogólnej koncepcji współrzędnych lokalnych z teorii form różniczkowych.

Odległość wzdłuż toru cząstki to długość łuku s , uważana za znaną funkcję czasu.

${\ displaystyle s = s (t) \ .}$

Środek krzywizny jest zdefiniowany w każdej pozycji s znajdującej się w odległości ρ ( promień krzywizny ) od krzywej na linii wzdłuż normalnej u _n ( s ). Wymagana odległość ρ ( s ) przy długości łuku s jest zdefiniowana w kategoriach szybkości obrotu stycznej do krzywej, która z kolei jest określona przez samą ścieżkę. Jeśli orientacja stycznej względem pewnej pozycji początkowej wynosi θ ( s ), to ρ ( s ) jest określona przez pochodną d θ /d s :

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ rho (s)}} = \ kappa (s) = {\ Frac {\ operatorname {d} \ theta} {\ operatorname {d} s}} \.}$

Promień krzywizny jest zwykle przyjmowany jako dodatni (to znaczy jako wartość bezwzględna), podczas gdy krzywizna κ jest wielkością ze znakiem.

Geometryczne podejście do znajdowania środka krzywizny i promienia krzywizny wykorzystuje proces ograniczający prowadzący do koła oscylacyjnego . Zobacz obrazek powyżej.

Korzystając z tych współrzędnych, ruch wzdłuż toru jest postrzegany jako następstwo torów kołowych o ciągle zmieniającym się środku, aw każdym położeniu s stanowi nierównomierny ruch kołowy w tym położeniu o promieniu ρ . Lokalna wartość kątowej prędkości obrotowej jest wtedy dana wzorem:

${\ Displaystyle \ omega (s) = {\ Frac {\ operatorname {d} \ theta }{\ operatorname {d} t}} = {\ frac {\ operatorname {d} \ theta }{\ operatorname {d} s}}{\ frac {\ operatorname {d} s }{\mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {\ rho (s)}} \ {\ frac {\ operatorname {d} s} {\ operatorname {d} t}} = {\ frac {v(s)}{\rho (s)}}\ ,}$

z lokalną prędkością v określoną przez:

${\ Displaystyle v (s) = {\ Frac {\ operatorname {d} s} {\ operatorname {d} t}} \.}$

Jeśli chodzi o inne powyższe przykłady, ponieważ wektory jednostkowe nie mogą zmieniać wielkości, ich tempo zmian jest zawsze prostopadłe do ich kierunku (patrz wstawka po lewej stronie na powyższym obrazku):

${\ Displaystyle {\ Frac {d \ mathbf {u} _ {\ operatorname {n}} (s)} {ds}} = \ mathbf {u} _ {\ operatorname {t}} (s) {\ frac { d \ theta }{ds}}=\mathbf {u} _ {\mathrm {t}} (s) {\frac {1}{\rho }}\ ;}$${\ Displaystyle {\ Frac {d \ mathbf {u} _ {\ operatorname {t}} (s)} {\ operatorname {d} s}} = - \ mathbf {u} _ {\ operatorname {n}} ( s) {\ frac {\ operatorname {d} \ theta }{\ operatorname {d} s}} = - \ mathbf {u} _ {\ operatorname {n}} (s) {\ frac {1} {\ rho }}\ .}$

W związku z tym prędkość i przyspieszenie wynoszą:

${\ Displaystyle \ mathbf {v} (t) = v \ mathbf {u} _ {\ operatorname {t}} (s) \ ;}$

i stosując regułę łańcuchową różniczkowania :

${\ Displaystyle \ mathbf {a} (t) = {\ Frac {\ operatorname {d} v} {\ operatorname {d} t}} \ mathbf {u} _ {\ operatorname {t}} (s) - { \frac {v^{2}}{\rho }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\ ;} z przyspieszeniem$ stycznym ${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {\ operatorname {d}} v} {\ operatorname {\ operatorname {d}} t}} = {\ Frac {\ operatorname {d} v} {\ operatorname {d} s }} \ {\ frac {\ operatorname {d} s} {\ operatorname {d} t}} = {\ frac {\ operatorname {d} v} {\ operatorname {d} s}} \ v \ .}$

W tym lokalnym układzie współrzędnych przyspieszenie przypomina wyrażenie dla niejednostajnego ruchu kołowego o lokalnym promieniu ρ ( s ), a przyspieszenie dośrodkowe jest identyfikowane jako drugi składnik.

Rozszerzenie tego podejścia na trójwymiarowe krzywe przestrzenne prowadzi do wzorów Freneta – Serreta .

Podejście alternatywne

Patrząc na powyższy obrazek, można by się zastanawiać, czy odpowiednio uwzględniono różnicę krzywizny między ρ ( s ) a ρ ( s + d s ) przy obliczaniu długości łuku jako d s = ρ ( s ) d θ . Pewność w tej kwestii można znaleźć, stosując bardziej formalne podejście opisane poniżej. Podejście to nawiązuje również do artykułu o krzywiźnie .

Aby wprowadzić wektory jednostkowe lokalnego układu współrzędnych, jednym ze sposobów jest rozpoczęcie od współrzędnych kartezjańskich i opisanie współrzędnych lokalnych za pomocą tych współrzędnych kartezjańskich. Pod względem długości łuku s , niech ścieżka będzie opisana jako:

$${\ Displaystyle \ mathbf {r} (s) = \ lewo [x (s), \ y (s) \ prawo].}$$

Wtedy przyrostowe przemieszczenie wzdłuż toru ds jest opisane wzorem:

$${\ Displaystyle \ operatorname {d} \ mathbf {r} ( s)=\lewo[\mathrm {d} x(s),\ \mathrm {d} y(s)\right]=\left[x'(s),\ y'(s)\right]\mathrm {d} s\ ,}$$

gdzie liczby pierwsze są wprowadzane w celu oznaczenia pochodnych względem s . Wielkość tego przemieszczenia wynosi d s , co pokazuje, że:

${\ Displaystyle \ lewo [x' (s) ^ {2} + y' (s) ^ {2} \ prawo] = 1 \ .}$ (Równanie 1)

To przemieszczenie jest koniecznie styczne do krzywej w punkcie s , co pokazuje, że wektor jednostkowy styczny do krzywej wynosi:

$${\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {\ operatorname {t}} (s) = \ lewo [x '(s), \ y'(s)\prawo],}$$

podczas gdy zewnętrzny wektor jednostkowy normalny do krzywej wynosi

$${\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {\ operatorname {n}} (s) = \ lewo [y '(s), \ -x'(s)\prawo],}$$

Ortogonalność można zweryfikować, pokazując, że iloczyn skalarny wektora wynosi zero. Jednostkowa wielkość tych wektorów jest konsekwencją równania. 1 . Korzystając z wektora stycznego, kąt θ stycznej do krzywej jest określony wzorem:

$${\ Displaystyle \ sin \ theta = {\ Frac {y' (s)}} {\ sqrt {x' (s) ^ {2} + y' (s) ^ {2}}}} = y' (s) \ ;}$$

i ${\ Displaystyle \ cos \ theta = {\ Frac {x' (s)}} {\ sqrt {x' (s) ^ {2} + y' (s) ^ {2}}}} = x '(s) \ .}$

Promień krzywizny jest wprowadzany całkowicie formalnie (bez potrzeby interpretacji geometrycznej) jako:

$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ rho}} = {\ Frac {\ operatorname {d} \ theta} {\ operatorname {d} s}} \.}$$

Pochodną θ można znaleźć z tej dla grzechu θ :

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d} \ sin \ theta} {\ operatorname {d} s}} = \ cos \ theta {\ Frac {\ operatorname {d} \ theta} {\ operatorname {d} s }}={\frac {1}{\rho}}\cos \theta \ ={\frac {1}{\rho}}x'(s)\ .}$$

Teraz:

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d} \ sin \ teta} {\ operatorname {d} s} }={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\frac {y'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s) ^{2}}}}={\frac {y''(s)x'(s)^{2}-y'(s)x'(s)x''(s)}{\left(x '(s)^{2}+y'(s)^{2}\right)^{3/2}}}\ ,}$$

w którym mianownikiem jest jedność. Przy tym wzorze na pochodną sinusa promień krzywizny przyjmuje postać:

$$\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d} \ theta} {\ operatorname {d} s}} = {\ Frac {1} {\ rho}} = y '' (s) x' (s )-y'(s)x''(s)={\frac {y''(s)}{x'(s)}}=-{\frac {x''(s)}{y'( S)}}\ ,}$$

gdzie równoważność form wynika ze zróżnicowania równania. 1 :

$${\ Displaystyle x' (s) x'' (s) + y' (s) y'' (s) = 0 \ .}$$

Dzięki tym wynikom przyspieszenie można znaleźć:

$${ \ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {a} (s) & = {\ Frac {\ operatorname {d}}} {\ operatorname {d} t}} \ mathbf {v} (s) = {\ frac { \mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\left(x'(s),\ y' (s)\right)\right]\\&=\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}\right)\mathbf { u} _{\mathrm {t}}(s)+\left({\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\left(x'' (s),\ y''(s)\right)\\&=\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}\ dobrze)\mathbf {u} _{\mathrm {t}}(s)-\left({\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}{ \frac {1}{\rho }}\mathbf {u} _{\mathrm {n}}(s)\end{wyrównane}}}$$

co można zweryfikować, biorąc iloczyn skalarny z wektorami jednostkowymi u _t ( s ) i u _n ( s ). Ten wynik dla przyspieszenia jest taki sam jak dla ruchu kołowego opartego na promieniu ρ . Używając tego układu współrzędnych w układzie inercjalnym, łatwo jest zidentyfikować siłę normalną do trajektorii jako siłę dośrodkową, a siłę równoległą do trajektorii jako siłę styczną. Z jakościowego punktu widzenia tor może być aproksymowany łukiem koła przez ograniczony czas, a przez ograniczony czas ma zastosowanie określony promień krzywizny, siły odśrodkowe i siły Eulera można analizować na podstawie ruchu kołowego o tym promieniu .

Ten wynik dla przyspieszenia zgadza się z wcześniejszym wynikiem. Jednak w tym podejściu kwestia zmiany promienia krzywizny z s jest traktowana całkowicie formalnie, zgodnie z interpretacją geometryczną, ale nie polegając na niej, unikając w ten sposób jakichkolwiek pytań, które mógłby sugerować powyższy obraz, dotyczących zaniedbania zmiany ρ .

Przykład: ruch okrężny

Aby zilustrować powyższe wzory, niech x , y będą miały postać:

${\ Displaystyle x = \ alfa \ cos {\ Frac {s} {\ alfa}} \ ;\ y = \ alfa \ sin {\ Frac {s} {\ alfa}} \ .}$

Następnie:

${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = \ alfa ^ {2} \ ,}$

którą można rozpoznać jako kołową ścieżkę wokół początku układu współrzędnych o promieniu α . Pozycja s = 0 odpowiada [ α , 0] lub godzinie trzeciej. Aby zastosować powyższy formalizm, potrzebne są pochodne:

${\ Displaystyle y ^ {\ pierwsza} (s) = \ sałata {\ Frac {s} {\ alfa}} \ ; \ x ^ {\ pierwsza} (s) = - \ sin {\ Frac {s} {\ alfa}} \ ,}$

${\ Displaystyle y ^ {\ pierwsza \ pierwsza} (s) = - {\ Frac {1} {\ alfa}} \ sin {\ Frac {s} {\ alfa}} \ ;\ x ^ {\ pierwsza \ pierwsza }(s)=-{\frac {1}{\alpha}}\cos {\frac {s}{\alpha}}\ .}$

Dzięki tym wynikom można zweryfikować, że:

${\ Displaystyle x ^ {\ pierwsza} (s) ^ {2} + y ^ {\ pierwsza} (s) ^ {2} = 1 \ ; \ {\ Frac {1} {\ rho}} = y ^ { \prime \prime }(s)x^{\prime }(s)-y^{\prime }(s)x^{\prime \prime }(s)={\frac {1}{\alpha }} \ .}$

Wektory jednostkowe można również znaleźć:

${\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {\ operatorname {t}} (s) = \ lewo [- \ sin {\ Frac {s} {\alpha}}\ ,\ \cos {\frac {s}{\alpha}}\right]\ ;\ \mathbf {u} _{\mathrm {n}}(s)=\left[\cos { \frac {s}{\alpha}}\ ,\ \sin {\frac {s}{\alpha}}\right]\ ,}$

które służą do pokazania, że ​​s = 0 znajduje się w pozycji [ ρ , 0] i s = ρ π/2 w [0, ρ ], co zgadza się z oryginalnymi wyrażeniami dla x i y . Innymi słowy, s jest mierzone w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wokół okręgu od godziny 3. Można również znaleźć pochodne tych wektorów:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} s}} \ mathbf {u} _ {\ operatorname {t}} (s) = - {\ frac {1} {\ alfa} }\left[\cos {\frac {s}{\alpha}}\ ,\ \sin {\frac {s}{\alpha}}\right]=-{\frac {1}{\alpha}}\ mathbf {u} _ {\ operatorname {n}} (s) \ ;}$

${\ Displaystyle \ {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} s}} \ mathbf {u} _ {\ operatorname {n}} (s) = {\ Frac {1} {\ alfa} }\left[-\sin {\frac {s}{\alpha}}\ ,\\cos {\frac {s}{\alpha}}\right]={\frac {1}{\alpha}}\ mathbf {u} _ {\ operatorname {t}} (s) \ .}$

konieczna jest zależność czasowa dla s . Dla ruchu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara ze zmienną prędkością v ( t ):

${\ Displaystyle s (t) = \ int _ {0} ^ {t} \ dt ^ {\ pierwsza} \ v (t ^ {\ pierwsza} )\ ,}$

gdzie v ( t ) to prędkość, t to czas, a s ( t = 0) = 0. Wtedy:

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = v (t) \ mathbf {u} _ {\ operatorname {t}} (s) \ ,}$

$\ Displaystyle \ mathbf {a} = {\ Frac {\mathrm {d} v} {\ operatorname {d} t}} \ mathbf {u} _ {\ operatorname {t}} (s) + v {\ frac {\ operatorname {d}}} {\ operatorname {d } t}}\mathbf {u} _ {\ operatorname {t}} (s) = {\ frac {\ operatorname {d} v} {\ operatorname {d} t}} \ mathbf {u} _ {\ operatorname {t}}(s)-v{\frac {1}{\alpha}}\mathbf {u} _{\mathrm {n}}(s){\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {a} = {\ Frac {\ operatorname {d} v} {\ mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t}}(s)-{\frac {v^{2}}{\alpha}}\mathbf {u} _{\mathrm {n } }(S)\ ,}$

gdzie już ustalono, że α = ρ. Przyspieszenie to jest standardowym wynikiem nierównomiernego ruchu kołowego .

Zobacz też

• Mechanika analityczna
• Mechanika stosowana
• Twierdzenie Bertranda
• Siła centralna
• Siła odśrodkowa
• Ruch kołowy
• Mechanika klasyczna
• Siła Coriolisa
• Dynamika (fizyka)
• Eskimoskie jo-jo
• Przykład: ruch okrężny
• Siła fikcyjna
• Formuły Freneta-Serreta
• Historia sił odśrodkowych i dośrodkowych
• Kinematyka
• Kinetyka
• Mechanika ruchu cząstek płaskich
• Współrzędne ortogonalne
• Reaktywna siła odśrodkowa
• Statyka

Dalsza lektura

•   Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Fizyka dla naukowców i inżynierów (wyd. 6). Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-40842-8 .
•   Tipler, Paweł (2004). Fizyka dla naukowców i inżynierów: mechanika, oscylacje i fale, termodynamika (wyd. 5). WH Freemana. ISBN 978-0-7167-0809-4 .
• Siła dośrodkowa a siła odśrodkowa , z internetowego samouczka fizyki Regents Exam przeprowadzonego przez Oswego City School District

Linki zewnętrzne

• Notatki z University of Winnipeg
• Notatki z Fizyki i Astronomii HyperPhysics na Georgia State University ; zobacz także stronę główną
• Notatki z Britannica
• Notatki z PhysicsNet
• Notatki NASA autorstwa Davida P. Sterna
• Notatki z U Texas .
• Analiza inteligentnego jo-jo
• Inuickie jo-jo
• 
  Kinematic Models for Design Digital Library (KMODDL) Filmy i zdjęcia setek działających modeli systemów mechanicznych na Cornell University. Zawiera również bibliotekę e-booków z klasycznymi tekstami na temat projektowania mechanicznego i inżynierii.