czynnik Lorentza

Współczynnik Lorentza lub termin Lorentza to wielkość wyrażająca, jak bardzo zmieniają się pomiary czasu, długości i innych właściwości fizycznych obiektu, gdy ten obiekt się porusza. Wyrażenie pojawia się w kilku równaniach szczególnej teorii względności i powstaje w wyprowadzeniach transformacji Lorentza . Nazwa pochodzi od jej wcześniejszego pojawienia się w elektrodynamice Lorentza – nazwanej na cześć holenderskiego fizyka Hendrika Lorentza .

Jest ogólnie oznaczany jako $γ$ (grecka mała litera gamma ). Czasami (zwłaszcza w dyskusji nad ruchem nadświetlnym ) współczynnik jest zapisywany jako $Γ$ (greckie wielkie litery-gamma), a nie $γ$ .

Definicja

Współczynnik Lorentza $γ$ jest zdefiniowany jako

{\ Displaystyle \ gamma = {\ Frac {1} {\ sqrt {1 - {\ Frac {v ^ {2}} {c ^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau}}}

,

Gdzie:

v jest prędkością względną między inercjalnymi układami odniesienia,
c to prędkość światła w próżni,
$β$ jest stosunkiem v do c ,
t to czas współrzędnych ,
$τ$ to czas właściwy dla obserwatora (pomiar przedziałów czasu we własnym układzie obserwatora).

Jest to forma najczęściej stosowana w praktyce, choć nie jedyna (forma alternatywna poniżej).

Aby uzupełnić definicję, niektórzy autorzy definiują odwrotność

{\ Displaystyle \ alfa = {\ Frac {1} {\ gamma}} = {\ sqrt {1- {\ Frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ = {\ sqrt { 1-{\beta}^{2}}};}

zobacz wzór na dodanie prędkości .

Występowanie

Poniżej znajduje się lista wzorów ze szczególnej teorii względności, które używają $γ$ jako skrótu:

Transformacja Lorentza : Najprostszym przypadkiem jest wzmocnienie w kierunku x (bardziej ogólne formy, w tym dowolne kierunki i obroty nie wymienione tutaj), które opisuje, jak współrzędne czasoprzestrzenne zmieniają się z jednego układu inercjalnego za pomocą współrzędnych ( x , y , z , t ) do innego ( x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ) z prędkością względną v : ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} t'& = \ gamma \ lewo (t- {\ Frac {vx} {c ^ {2}}} \ prawo), \\ [2pt] x '& = \ gamma \ lewo(x-vt\prawo).\end{wyrównane}}}$

Następstwami powyższych przekształceń są wyniki:

Dylatacja czasu : Czas (∆ t ′ ) między dwoma taktami mierzony w ramce, w której zegar się porusza, jest dłuższy niż czas (∆ t ) między tymi taktami mierzony w pozostałej klatce zegara: ${\ Displaystyle \ Delta t '= \ gamma \ Delta t.}$
Skrócenie długości : Długość (∆ x ′ ) obiektu mierzona w układzie, w którym się porusza, jest mniejsza niż jego długość (∆ x ) we własnym układzie spoczynkowym: ${\ Displaystyle \ Delta x '= \ Delta x/\ gamma.}$

Zastosowanie zasady zachowania pędu i energii prowadzi do następujących wyników:

Masa relatywistyczna : masa m poruszającego się obiektu zależy od masy spoczynkowej m : γ $\ displaystyle \ gamma$ } ₀ ${\ displaystyle m = \ gamma m_ {0}.}$
Pęd relatywistyczny : relatywistyczna relacja pędu ma taką samą postać jak pęd klasyczny, ale przy użyciu powyższej masy relatywistycznej: ${\ Displaystyle {\ vec {p}} = m {\ vec {v}} = \ gamma m_ {0} {\ vec {v}}.}$
Relatywistyczna energia kinetyczna : Relatywistyczna relacja energii kinetycznej przyjmuje nieco zmodyfikowaną postać: ${\ Displaystyle E_ {k} = EE_ {0} = (\ gamma -1) m_ {0} c ^ {2}}$ Ponieważ $\ γ {$ funkcją , nierelatywistyczna granica daje $} textstyle \lim _{v/c\to 0}E_{k}={\tfrac {1}{2}}m_{0}v^{2}}$ $do$ , zgodnie z oczekiwaniami wynikającymi z rozważań newtonowskich.

Wartości liczbowe

Współczynnik Lorentza

γ

jako funkcja prędkości. Jego początkowa wartość to 1 (gdy v = 0 ); a gdy prędkość zbliża się do prędkości światła ( v → c )

γ

wzrasta bez ograniczeń (

γ

→ ∞ ) .

α (czynnik Lorentza odwrotny) jako funkcja prędkości - łuk kołowy.

W poniższej tabeli lewa kolumna pokazuje prędkości jako różne ułamki prędkości światła (tj. w jednostkach c ). Środkowa kolumna pokazuje odpowiedni współczynnik Lorentza, ostateczna jest odwrotnością. Wartości pogrubione są dokładne.

Prędkość (jednostki c), β = v / c	Współczynnik Lorentza, γ	Odwrotność, 1/γ
0	1	1
0,050	1.001	0,999
0,100	1.005	0,995
0,150	1.011	0,989
0,200	1.021	0,980
0,250	1.033	0,968
0,300	1.048	0,954
0,400	1.091	0,917
0,500	1.155	0,866
0,600	1,25	0,8
0,700	1.400	0,714
0,750	1.512	0,661
0,800	1.667	0,6
0,866	2	0,5
0,900	2.294	0,436
0,990	7.089	0,141
0,999	22.366	0,045
0,99995	100,00	0,010

Alternatywne reprezentacje

Istnieją inne sposoby zapisania współczynnika. Powyżej użyto prędkości v , ale powiązane zmienne, takie jak pęd i prędkość , mogą być również wygodne.

Pęd

Rozwiązanie poprzedniego relatywistycznego równania pędu dla $γ$ prowadzi do

{\ Displaystyle \ gamma = {\ sqrt {1 + \ lewo ({\ Frac {p} {m_ {0} c}} \ prawej) ^ {2}}}}

.

Ta forma jest rzadko używana, chociaż pojawia się w rozkładzie Maxwella – Jüttnera .

Szybkość

Stosując definicję szybkości jako kąt hiperboliczny : ${\ displaystyle \ varphi}$ :

{\ Displaystyle \ tanh \ varphi = \ beta}

prowadzi również do $γ$ (za pomocą tożsamości hiperbolicznych ):

{\ Displaystyle \ gamma = \ cosh \ varphi = {\ Frac {1} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} \ varphi}}} = {\ Frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}.}

Korzystając z własności transformacji Lorentza , można wykazać, że szybkość jest addytywna, użyteczna właściwość, której prędkość nie ma. Zatem parametr szybkości tworzy grupę jednoparametrową , podstawę modeli fizycznych.

Rozszerzenie serii (prędkość)

Czynnik Lorentza ma szereg Maclaurina :

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ gamma & = {\ dfrac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} \\& = \ suma _ {n = 0 }^{\infty }\beta ^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)\\&=1+{\ tfrac {1}{2}}\beta ^{2}+{\tfrac {3}{8}}\beta ^{4}+{\tfrac {5}{16}}\beta ^{6}+{ \tfrac {35}{128}}\beta ^{8}+{\tfrac {63}{256}}\beta ^{10}+\cdots ,\\\end{wyrównane}}}

co jest szczególnym przypadkiem szeregu dwumianowego .

Przybliżenie $γ$ ≈ 1 + 1 / 2 $β$ ² może być użyte do obliczenia efektów relatywistycznych przy małych prędkościach. Utrzymuje się w granicach błędu 1% dla v <0,4 c ( v <120 000 km/s) i w granicach błędu 0,1% dla v <0,22 c ( v <66 000 km/s) .

Skrócone wersje tej serii pozwalają również fizykom udowodnić, że szczególna teoria względności sprowadza się do mechaniki Newtona przy niskich prędkościach. Na przykład w szczególnej teorii względności zachodzą następujące dwa równania:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ vec {p}} & = \ gamma m {\ vec {v}}, \\ E & = \ gamma mc ^ {2}. \ koniec {wyrównane}}}

Dla odpowiednio $γ$ ≈ 1 i $γ$ ≈ 1 + 1 / 2 $β$ ² redukują się one do ich newtonowskich odpowiedników:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {p} & = m \ mathbf {v}, \\ E & = mc ^ {2} + {\ tfrac {1} {2}} mv ^ {2}. \ koniec {wyrównany}}}

Równanie czynnika Lorentza można również odwrócić, aby uzyskać wydajność

{\ Displaystyle \ beta = {\ sqrt {1- {\ Frac {1} {\ gamma ^ {2}}}}}.}

Ma to postać asymptotyczną

{\ Displaystyle \ beta = 1 - {\ tfrac {1} {2}} \ gamma ^ {-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128} }\gamma ^{-8}+\cdots }

.

Pierwsze dwa terminy są czasami używane do szybkiego obliczania prędkości na podstawie dużych wartości $γ$ . Przybliżenie $β$ ≈ 1 - 1 / 2 $γ$ ^-2 utrzymuje się w granicach 1% tolerancji dla $γ$ > 2 i w granicach 0,1% tolerancji dla $γ$ > 3,5 .

Zastosowania w astronomii

Standardowy model długotrwałych rozbłysków gamma (GRB) utrzymuje, że te eksplozje są ultrarelatywistyczne (początkowa wartość większa niż około 100), co jest przywoływane w celu wyjaśnienia tak zwanego problemu „zwartości” ${\ displaystyle \ gamma}$ : bez tej ultrarelatywistycznej ekspansji, wyrzut byłby optycznie gruby, aby wytwarzać pary przy typowych szczytowych energiach widmowych rzędu kilku 100 keV, podczas gdy obserwuje się, że natychmiastowa emisja nie jest termiczna.

Cząsteczki subatomowe zwane mionami poruszają się z taką prędkością, że mają stosunkowo wysoki współczynnik Lorentza i dlatego doświadczają ekstremalnego dylatacji czasu . Na przykład miony mają średni czas życia około 2,2 μs , co oznacza, że miony powstałe w wyniku zderzeń promieniowania kosmicznego na wysokości około 10 km w atmosferze powinny być niewykrywalne na ziemi ze względu na szybkość rozpadu. Stwierdzono jednak, że około 10% mionów jest nadal wykrywanych na powierzchni, co dowodzi, że aby były wykrywalne, mają spowolnione tempo rozpadu w stosunku do naszego inercyjnego układu odniesienia.

Zobacz też

Linki zewnętrzne

Merrifield, Michael. „γ - Czynnik Lorentza (i dylatacja czasu)” . Sześćdziesiąt symboli . Brady Haran z Uniwersytetu w Nottingham .
Merrifield, Michael. „γ2 - Gamma ponownie załadowana” . Sześćdziesiąt symboli . Brady Haran z Uniwersytetu w Nottingham .