Wzór na dodawanie prędkości

Szczególna teoria względności, sformułowana w 1905 roku przez Alberta Einsteina , implikuje, że dodawanie prędkości nie przebiega zgodnie z prostym dodawaniem wektorów .

W fizyce relatywistycznej wzór na dodawanie prędkości jest równaniem, które określa, w jaki sposób połączyć prędkości obiektów w sposób zgodny z wymaganiem, że prędkość żadnego obiektu nie może przekroczyć prędkości światła . Takie wzory odnoszą się do kolejnych przekształceń Lorentza , a więc odnoszą się również do różnych układów. Towarzyszące dodawanie prędkości jest efektem kinematycznym znanym jako precesja Thomasa , w wyniku którego kolejne niewspółliniowe wzmocnienia Lorentza stają się równoważne złożeniu obrotu układu współrzędnych i wzmocnienia.

Standardowe zastosowania wzorów dodawania prędkości obejmują przesunięcie Dopplera , nawigację Dopplera , aberrację światła i przeciąganie światła w poruszającej się wodzie obserwowane w eksperymencie Fizeau z 1851 roku .

Notacja wykorzystuje u jako prędkość ciała w układzie Lorentza S , v jako prędkość drugiej klatki S ′ , mierzoną w S , oraz u ′ jako przekształconą prędkość ciała w drugiej klatce.

Historia

Prędkość światła w płynie jest mniejsza niż prędkość światła w próżni i zmienia się, jeśli płyn porusza się razem ze światłem. W 1851 Fizeau zmierzył prędkość światła w płynie poruszającym się równolegle do światła za pomocą interferometru . Wyniki Fizeau nie były zgodne z dominującymi wówczas teoriami. Fizeau eksperymentalnie poprawnie wyznaczył zerowy wyraz rozwinięcia relatywistycznie poprawnego prawa dodawania w kategoriach V / c , jak opisano poniżej. Wynik Fizeau skłonił fizyków do zaakceptowania empirycznej słuszności raczej niezadowalającej teorii przez Fresnela , że ​​płyn poruszający się względem stacjonarnego eteru częściowo ciągnie ze sobą światło, tj. prędkość wynosi c ⁄ n + (1 − 1 ⁄ n ² ) V zamiast c ⁄ n + V , gdzie c jest prędkością światła w eter, n to współczynnik załamania światła płynu, a V to prędkość płynu względem eteru.

Aberracja światła , której najłatwiejszym wyjaśnieniem jest relatywistyczny wzór dodawania prędkości, wraz z wynikiem Fizeau, zapoczątkowały rozwój teorii, takich jak eterowa teoria elektromagnetyzmu Lorentza w 1892 r. W 1905 r . wzór na konfigurację standardową ( V w kierunku x ) dla dodawania prędkości relatywistycznych. Kwestie związane z eterem były stopniowo przez lata rozstrzygane na korzyść szczególnej teorii względności.

teoria względności Galileusza

Galileusz zauważył , że osoba na statku poruszającym się ruchem jednostajnym ma wrażenie, że jest w spoczynku i widzi ciężkie ciało spadające pionowo w dół. Ta obserwacja jest obecnie uważana za pierwsze jasne stwierdzenie zasady mechanicznej teorii względności. Galileusz zauważył, że z punktu widzenia osoby stojącej na brzegu ruch opadania statku w dół będzie połączony z ruchem statku do przodu lub do niego dodany. Jeśli chodzi o prędkości, można powiedzieć, że prędkość spadającego ciała względem brzegu jest równa prędkości tego ciała względem statku plus prędkość statku względem brzegu.

Ogólnie dla trzech obiektów A (np. Galileo na brzegu), B (np. Statek), C (np. Spadające ciało na statek) wektor prędkości C względem A (prędkość spadania) ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ obiekt widziany przez Galileusza) jest sumą prędkości $v$ względem B (prędkość spadającego obiektu względem statku) plus prędkość względem A (prędkość statku daleko od brzegu). Dodawanie tutaj jest dodawaniem wektorów algebry wektorów, a wynikowa prędkość jest zwykle reprezentowana w postaci

$${\ Displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {v} + \ mathbf {u'}.}$$

Kosmos Galileusza składa się z absolutnej przestrzeni i czasu , a dodanie prędkości odpowiada złożeniu przekształceń Galileusza . Zasada względności nazywa się teorią względności Galileusza . Przestrzega tego mechanika Newtona .

Szczególna teoria względności

Zgodnie z teorią szczególnej teorii względności rama statku ma inną częstotliwość zegara i miarę odległości, a pojęcie jednoczesności w kierunku ruchu jest zmienione, więc zmienia się prawo dodawania prędkości. Ta zmiana nie jest zauważalna przy małych prędkościach, ale wraz ze wzrostem prędkości do prędkości światła staje się istotna. Prawo dodawania jest również nazywane prawem składu dla prędkości . W przypadku ruchów współliniowych prędkość obiektu (np. kuli armatniej wystrzelonej poziomo w morze) mierzona od statku byłaby mierzona przez osobę stojącą na brzegu i obserwującą całą scenę przez teleskop jako

$${\ Displaystyle u = {v + u' \ ponad 1 + (vu '/ c ^ {2})}.}$$

Formuła składu może przybrać algebraicznie równoważną postać, którą można łatwo wyprowadzić, posługując się jedynie zasadą stałości prędkości światła,

$${\ Displaystyle {c \ nad c + u} = \ lewo ({cu '\ ponad c + u'} \ prawo) \ lewo ({cv \ ponad c + v} \ prawo).}$$

Kosmos szczególnej teorii względności składa się z czasoprzestrzeni Minkowskiego , a dodanie prędkości odpowiada złożeniu przekształceń Lorentza . W szczególnej teorii względności mechanika Newtona jest modyfikowana w mechanikę relatywistyczną .

Standardowa konfiguracja

Wzory na wzmocnienia w standardowej konfiguracji wynikają najprościej z różniczkowania odwrotnego wzmocnienia Lorentza w standardowej konfiguracji. Jeśli ramka $torowana$ porusza się z prędkością z czynnikiem Lorentza ${\ textstyle \ gamma _ {_ {v}} = 1 / {\ sqrt {$ w dodatnim kierunku x względem ramy nieprimowanej, to różnice są

$${\ Displaystyle dx = \ gamma _ {_ {v}} (dx '+ vdt'), \ quad dy = dy', \ quad dz = dz', \ quad dt = \ gamma _ {_ {v}} \ left(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx'\right).}$$

Podziel pierwsze trzy równania przez czwarte,

$${\ Displaystyle {\ Frac {dx} {dt}} = {\ Frac {\ gamma _ {_ {v }}(dx'+vdt')}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},\quad {\frac { dy}{dt}}={\frac {dy'}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')}},\quad {\frac {dz}{dt}}={\frac {dz'}{\gamma _{_{v}}(dt'+{\frac {v}{c^{2}}}dx')} },}$$

Lub

$${\ Displaystyle u_ {x} = {\ Frac {dx} {dt}} = {\ Frac {{\ Frac {dx'} {dt'}} + v} {(1 + {\ Frac {v}} ^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},\quad u_{y}={\frac {dy}{dt}}={\frac {\frac {dy'} {dt'}}{\gamma _{_{v}}\ (1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},\ quad u_{z}={\frac {dz}{dt}}={\frac {\frac {dz'}{dt'}}{\gamma _{_{v}}\ (1+{\frac { v}{c^{2}}}{\frac {dx'}{dt'}})}},}$$

który jest

Transformacja prędkości ( składowe kartezjańskie )

$${\ Displaystyle u_ {x} = {\ Frac {u_ {x} ' +v}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{x}'={\frac {u_{x}-v}{1- {\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},}$$

$${\ Displaystyle u_ {y} = {\ Frac {u_ {y} '{\ sqrt {1- {\ Frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} {1+ {\ frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{y}'={\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2} }{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},}$$

$${\ Displaystyle u_ {z} = {\ Frac {u_ {z} '{\ sqrt {1- {\ Frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} {1+ {\ frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}},\quad u_{z}'={\frac {u_{z}{\sqrt {1-{\frac {v^{2} }{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}}},}$$

w którym wyrażenia na prędkości primowane uzyskano przy użyciu standardowej receptury, zastępując v przez – v i zamieniając współrzędne primowane i nieprimowane. Jeśli współrzędne są tak dobrane, że wszystkie prędkości leżą na (wspólnej) x - y , to prędkości można wyrazić jako

$${\ Displaystyle u_ {x} = u \ cos \ theta ,u_{y}=u\sin \theta ,\quad u_{x}'=u'\cos \theta ',\quad u_{y}'=u'\sin \theta ',}$$

(patrz współrzędne biegunowe ) i znajdujemy

Transformacja prędkości ( płaskie składowe biegunowe )

$${\ Displaystyle u = {\ Frac {\ sqrt {u' ^ {2} + v ^ {2} + 2 vu ' \ cos \ teta '- \ lewo ({\ Frac {vu' \ sin \ teta '} {c }}\right)^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u'\cos \theta '}},}$$

${\ Displaystyle \ tan \ theta = {\ Frac {u_ {y}} {u_ {x}}} = {\ Frac {{\ sqrt {1- {\ Frac {v ^ {2}}} {c ^ {2 }}}}}u_{y}'}{u_{x}'+v}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}} }}u'\sin \theta '}{u'\cos \theta '+v}}.}$

Szczegóły dla ciebie

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} u & = {\ sqrt {u_ {x} ^ {2} + u_ {y} ^ {2}}} = {\ Frac {\ sqrt {(u_ {x} „+ v )^{2}+(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})u_{y}'^{2}}}{1+{\frac {v}{c ^{2}}}u_{x}'}}={\frac {\sqrt {u_{x}'^{2}+v^{2}+2u_{x}'v+(1-{\frac { v^{2}}{c^{2}}})u_{y}'^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}'}} \\&={\frac {\sqrt {u'^{2}\cos ^{2}\theta '+v^{2}+2vu'\cos \theta '+u'^{2}\sin ^ {2}\theta '-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}u'^{2}\sin ^{2}\theta '}}{1+{\frac {v }{c^{2}}}u_{x}'}}\\&={\frac {\sqrt {u'^{2}+v^{2}+2vu'\cos \theta '-({ \frac {vu'\sin \theta '}{c}})^{2}}}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u'\cos \theta '}}\end {wyrównany}}}$$

---

Podany dowód jest wysoce formalny. Istnieją inne bardziej złożone dowody, które mogą być bardziej pouczające, takie jak ten poniżej.

Dowód z wykorzystaniem 4 -wektorów i macierzy transformacji Lorentza

Ponieważ transformacja relatywistyczna obraca przestrzeń i czas względem siebie, podobnie jak geometryczne obroty w płaszczyźnie obracają osie x i y , wygodnie jest używać tych samych jednostek dla przestrzeni i czasu, w przeciwnym razie we wzorach relatywistycznych pojawia się współczynnik konwersji jednostek, będąc prędkością światła . W systemie, w którym długości i czasy są mierzone w tych samych jednostkach, prędkość światła jest bezwymiarowa i równa 1 . Następnie prędkość wyraża się jako ułamek prędkości światła.

Aby znaleźć relatywistyczne prawo transformacji, przydatne jest wprowadzenie czterech prędkości ₀ V = ( V , V ₁ , 0, 0) , czyli ruchu statku od brzegu, mierzonego od brzegu, oraz ₀ U′ = ( U′ , U′ ₁ , U′ ₂ , U′ ₃ ) , czyli ruch muchy w kierunku od statku, mierzony od statku. Czteroprędkość jest zdefiniowana jako czterowektor z relatywistyczna długość równa 1 , skierowana w przyszłość i styczna do linii świata obiektu w czasoprzestrzeni. Tutaj V ₀ odpowiada składowej czasu, a V1 _. składowej x prędkości statku widzianej z brzegu Wygodnie jest przyjąć, że oś x jest kierunkiem ruchu statku od brzegu, a oś y tak, że x – y płaszczyzna to płaszczyzna, na której rozciąga się ruch statku i muchy. Powoduje to, że kilka składowych prędkości wynosi zero: V ₂ = V ₃ = U′ ₃ = 0

Zwykła prędkość to stosunek szybkości, z jaką współrzędne przestrzenne rosną, do szybkości, z jaką rośnie współrzędna czasowa:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {v} & = (v_ {1}, v_ {2}, v_ {3}) = (V_ {1} / V_ {0}, 0,0) ,\\\mathbf {u} '&=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})=(U'_{1}/U'_{0},U '_{2}/U'_{0},0)\end{wyrównane}}}$$

Ponieważ relatywistyczna długość V wynosi 1 ,

$${\ Displaystyle V_ {0} ^ {2} -V_ {1} ^ {2} = 1,}$$

Więc

$${\ Displaystyle V_ {0} = 1 / {\ sqrt {1-v_ {1} ^ {2}}} \ = \ gamma, \ quad V_ {1} = v_ {1} / {\ sqrt {1-v_ {1}^{2}}}=v_{1}\gamma .}$$

Macierz transformacji Lorentza, która zamienia prędkości mierzone w ramie statku na ramę brzegową, jest odwrotnością transformacji opisanej na stronie transformacji Lorentza , więc pojawiające się tam znaki minus należy tutaj odwrócić:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} \ gamma & v_ {1} \ gamma i 0 i 0 \\ v_ {1} \ gamma i \ gamma i 0 i 0 \\ 0 i 0 i 1 i 0 \\ 0 i 0 i 0 i 1 \ koniec {pmacierz}}}$$

Ta macierz obraca czysty wektor osi czasu (1, 0, 0, 0) do ₀ ( V , V ₁ , 0, 0) , a wszystkie jej kolumny są relatywistycznie ortogonalne względem siebie, więc definiuje transformację Lorentza.

Jeśli mucha porusza się z czterobiegową prędkością U′ w ramie statku i jest wzmacniana przez pomnożenie przez powyższą macierz, nowa czteroszybkość w ramie brzegowej wynosi ₀ U = ( U , U ₁ , U ₂ , U ₃ ) ,

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} U_ {0} & = V_ {0} U'_ {0} + V_ {1} U'_ {1}, \\ U_ {1} i = V_ {1} U '_{0}+V_{0}U'_{1},\\U_{2}&=U'_{2},\\U_{3}&=U'_{3}.\end{ wyrównany}}}$$

Dzieląc przez składową czasu U ₀ i podstawiając składowe czterech wektorów U ′ i V pod względem składowych trzech wektorów u ′ i v , otrzymujemy relatywistyczne prawo składu jako

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} u_ {1} & = {v_ {1} + u'_ {1} \ ponad 1 + v_ {1} u'_ {1}}, \\ u_ {2} &={u'_{2} \over (1+v_{1}u'_{1})}{1 \over V_{0}}={u'_{2} \over 1+v_{1 }u'_{1}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}}},\\u_{3}&=0\end{wyrównane}}}$$

Formę relatywistycznego prawa kompozycji można rozumieć jako efekt załamania się równoczesności na odległość. W przypadku składowej równoległej dylatacja czasu zmniejsza prędkość, skrócenie długości ją zwiększa, a oba efekty znoszą się. Niepowodzenie równoczesności oznacza, że ​​mucha zmienia wycinki równoczesności w miarę rzutowania u′ na v . Ponieważ efekt ten jest całkowicie spowodowany przekrojem czasu, ten sam czynnik mnoży składową prostopadłą, ale dla składowej prostopadłej nie ma skrócenia długości, więc dylatacja czasu mnoży się przez współczynnik 1 / V ₀ = √ (1 - v ₁ ² ) .

Konfiguracja ogólna

Rozkład 3-prędkości u na składowe równoległe i prostopadłe oraz obliczanie składowych. Procedura dla u ′ jest identyczna.

Zaczynając od wyrażenia we współrzędnych dla v równoległych do osi x , wyrażenia dla składowych prostopadłych i równoległych można przedstawić w postaci wektorowej w następujący sposób, sztuczka, która działa również w przypadku transformacji Lorentza innych wielkości fizycznych 3D pierwotnie w ustawionej standardowej konfiguracji . Wprowadź wektor prędkości u w układzie nieprimowanym i u ′ w układzie torowanym i podziel je na składowe równoległe (∥) i prostopadłe (⊥) do wektora prędkości względnej v (patrz ukryj ramkę poniżej) w ten sposób

$${\ Displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {u} _ {\ równoległy} + \ mathbf {u} _ {\ perp}, \quad \mathbf {u} '=\mathbf {u} '_{\równoległy}+\mathbf {u} '_{\sprawca},}$$

następnie ze zwykłymi kartezjańskimi standardowymi wektorami bazowymi e _x , e _y , e _z ustaw prędkość w układzie nieprimowanym na

$$\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {\ równoległy} = u_ {x} \ mathbf {e} _{x},\quad \mathbf {u} _{\perp }=u_{y}\mathbf {e} _{y}+u_{z}\mathbf {e} _{z},\quad \mathbf {v} =v\mathbf {e} _{x},}$$

co daje, wykorzystując wyniki dla konfiguracji standardowej,

$${\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {\ równoległy} = {\ Frac {\ mathbf {u} _ {\ równoległy} '+ \ mathbf {v}} {1+ {\ Frac {\ mathbf {v} \ cdot \mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}},\quad \mathbf {u} _{\perp }={\frac {{\sqrt {1-{\frac { v^{2}}{c^{2}}}}}\mathbf {u} _{\perp}'}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\ równolegle }'}{c^{2}}}}}.}$$

gdzie · jest iloczynem skalarnym . Ponieważ są to równania wektorowe, nadal mają taką samą postać dla v w dowolnym kierunku. Jedyną różnicą w stosunku do wyrażeń współrzędnych jest to, że powyższe wyrażenia odnoszą się do wektorów , a nie składowych.

Jeden uzyskuje

$${\ Displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {u} _ {\ równolegle} + \ mathbf {u} _ {\ sprawca} = {\ Frac {1} {1 + {\ Frac {\ mathbf {v} \ cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}) {\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right]\equiv \mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ',}$$

gdzie α _v = 1/ γ _v jest odwrotnością czynnika Lorentza . Kolejność operandów w definicji jest dobrana tak, aby pokrywała się ze standardową konfiguracją, z której pochodzi formuła.

algebra

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {\ mathbf {u} '_ {\ równoległy} + \ mathbf {v}} {1 + {\ Frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha _{v}\mathbf {u} '_{\perp }}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \ mathbf {u} '}{c^{2}}}}}&={\frac {\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{ 2}}}\mathbf {v} }{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}+{\frac {\alpha _{ v}\mathbf {u} '-\alpha _{v}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}\mathbf {v} }{1+ {\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\\&={\frac {1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \ mathbf {u} '}{v^{2}}}(1-\alpha _{v})}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{ 2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2 }}}}}\mathbf {u} '\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}} }}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}} }\mathbf {u} '+{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\ mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{ \frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\ frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{v^{2}/c^{2}}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {v} +\alpha _{v}{\frac {1}{1+{\frac {\mathbf { v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {1}{1 +{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{(1 -\alpha _{v})(1+\alpha _{v})}}(1-\alpha _{v})\mathbf {v} \\&={\frac {1}{1+{\ frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1 -\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v} \right].\end{aligned} }}$$

---

Rozkład na składowe równoległe i prostopadłe pod względem V

Należy znaleźć składową równoległą lub prostopadłą dla każdego wektora, ponieważ druga składowa zostanie wyeliminowana przez podstawienie pełnych wektorów.

Składową równoległą u ′ można znaleźć, rzutując pełny wektor w kierunku ruchu względnego

$${\ Displaystyle \ mathbf {u} '_ {\ równoległy} = {\ Frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {v ^ {2 }}}\mathbf {v} ,}$$

a składową prostopadłą u ' ′ można znaleźć na podstawie właściwości geometrycznych iloczynu krzyżowego (patrz rysunek powyżej po prawej),

$${\ Displaystyle \ mathbf {u} '_ {\ sprawca} = - {\ Frac {\ mathbf {v} \ razy (\ mathbf {v} \ razy \ mathbf {u} ')} {v ^ {2}} }.}$$

W każdym przypadku v / v jest wektorem jednostkowym w kierunku ruchu względnego.

Wyrażenia dla u _|| i u _⊥ można znaleźć w ten sam sposób. Zastąpienie składnika równoległego do

$${\ Displaystyle \ mathbf {u} = {\ Frac {\ mathbf {u} _ {\ równolegle} '+ \ mathbf {v}} {1 + {\ Frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} _{\parallel }'}{c^{2}}}}}+{\frac {{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}(\ mathbf {u} -\mathbf {u} _{\równoległy}')}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} _{\równoległy}'}{c^{2} }}}},}$$

skutkuje powyższym równaniem.

---

Używając tożsamości w i $Displaystyle$$\ gamma _ {v}$ ,

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} '\ równoważnik \ mathbf {u} & = {\ Frac {1} {1} {1 + {\ Frac {\ mathbf {u} ' \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {u} '}{\gamma _{v}}}+{\ frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} )\ mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left [\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}} \mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right],\end{wyrównane}}}$$

oraz w kierunku do przodu (v dodatni, S → S').

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} \ równoważnik \ mathbf {u} '& = {\ Frac {1} {1} {1 - {\ Frac {\ mathbf {u} \ cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {u} }{\gamma _{v}}}-\mathbf {v} +{\frac { 1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v } \right]\\&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf { u} -\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} )\right]\end{wyrównane}}}$$

gdzie ostatnie wyrażenie jest według standardowego wzoru analizy wektorowej v × ( v × u ) = ( v ⋅ u ) v - ( v ⋅ v ) u . Pierwsze wyrażenie rozciąga się na dowolną liczbę wymiarów przestrzennych, ale iloczyn krzyżowy jest zdefiniowany tylko w trzech wymiarach. Obiekty A , B , C , w których B ma prędkość v względem A i C mające prędkość u względem A może być dowolne. W szczególności mogą to być trzy ramy lub laboratorium, rozpadająca się cząstka i jeden z produktów rozpadu rozpadającej się cząstki.

Nieruchomości

Relatywistyczne dodawanie 3-prędkości jest nieliniowe , więc ogólnie

$${\ Displaystyle (\ lambda \ mathbf {v}) \ oplus (\ lambda \ mathbf {u}) \ neq \ lambda (\ mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ),}$$

dla liczby rzeczywistej λ , chociaż to prawda

$${\ Displaystyle (- \ mathbf {v}) \ oplus (- \ mathbf {u}) = - (\ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} ),}$$

Ponadto, ze względu na ostatnie wyrazy, na ogół nie jest ani przemienny

$${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} \ neq \ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v}}$$

ani asocjacyjne

$${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ oplus (\ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {w}) \ neq (\ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u}) \ oplus \ mathbf {w}.}$$

Na szczególną uwagę zasługuje fakt, że jeśli u i v′ odnoszą się do prędkości parami układów równoległych (wyrównywanych równolegle do nietorowanych i podwójnie torowanych równoległych do torowanych), to zgodnie z zasadą wzajemności prędkości Einsteina układ nieprimowany porusza się z prędkością − u względem ramka torowana, a ramka torowana porusza się z prędkością − v′ względem klatki podwójnie torowanej stąd (− v′ ⊕ − u ) jest prędkością ramki nieprimowanej względem ramki podwójnie primowanej i można by oczekiwać, że u ⊕ v′ = −(− v′ ⊕ − u ) przez naiwne zastosowanie zasady wzajemności. To nie obowiązuje, chociaż wielkości są równe. Niezagruntowane i podwójnie zagruntowane ramki nie są równoległe, ale powiązane poprzez obrót. Jest to związane ze zjawiskiem precesji Thomasa i nie jest tutaj omawiane.

Normy podaje wg

$${\ Displaystyle | \ mathbf {u} | ^ {2} \ równoważnik | \ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} '| ^ {2} = {\ Frac {1} {\ lewo (1 + {\ frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {v} +\mathbf {u} '\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} '\right)^{2}\right]= |\mathbf {u} '\oplus \mathbf {v} |^{2}.}$$

I

$${\ Displaystyle |\ mathbf {u} '| ^ {2} \ równoważnik | \ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} | ^ {2} = {\ Frac {1} {\ lewo (1- {\ frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {u} -\mathbf {v} \ prawo)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} \right)^{2}\right]=|\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} |^{2}.}$$

Dowód

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ lewo (1 + {\ Frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} '} {c ^ {2}}} \ prawej) ^ {2} |\ mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}\\&=\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}} }{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right]^{ 2}\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v} }{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )( \mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {1}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )^{2}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )\right]\\&=(\mathbf {v} + \mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\ lewo[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {v^{2}}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\ prawo)^{2}\lewo[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}} {\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} } \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\alpha _{v})(1+\alpha _{ v})}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right] \\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{ \gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(\gamma _{v}-1)}{c^{2}(\gamma _{v}+1)}} \left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^ {2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf { v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\gamma _{v})}{c^{2}(\gamma _{v} }+1)}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} ' \cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{ \frac {\gamma _{v}+1}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf { v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2 }-{\frac {1}{c^{2}}}|\mathbf {v} \times \mathbf {u} '|^{2}\end{wyrównane}}}$$

Formuła odwrotna znaleziona przy użyciu standardowej procedury zamiany v na -v i u na u′ .

Oczywiste jest, że nieprzemienność przejawia się jako dodatkowy obrót układu współrzędnych, gdy w grę wchodzą dwa wzmocnienia, ponieważ kwadrat normy jest taki sam dla obu rzędów wzmocnień.

Współczynniki gamma dla połączonych prędkości są obliczane jako

$${\ Displaystyle \ gamma _ {u} = \ gamma _ {\ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} '} = \ lewo [1- {\ Frac {1} {c ^ {2}}}} {\ frac {1}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\left((\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}\right)\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{ \frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right),\quad \quad \gamma _{u}'=\gamma _{v}\gamma _ {u}\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)}$$

Szczegółowy dowód

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ gamma _ {\ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} '} & = \ lewo [{\ Frac {c ^ {3} (1 + {\ Frac {\ mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u } '}{c^{2}}})^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {(\mathbf {v} +\mathbf {u} ' )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{ 2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2 }}})^{2}-(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(v^{2}u' ^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{2}(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u } '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {c^{2 }(1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ' )^{2}}{c^{4}}})-v^{2}-u'^{2}-2(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac { 1}{c^{2}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{c^{2} (1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2 }}}\\&=\left[{\frac {1+2{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}+{\frac {(\ mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac { u'^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2}{c^{2}}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')+{\frac { 1}{c^{4}}}(v^{2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\ frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\ &=\left[{\frac {1+{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}}{c^{4}}}-{\frac {v^ {2}}{c^{2}}}-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}+{\frac {1}{c^{4}}}(v^ {2}u'^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2})}{(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u } '}{c^{2}}})^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\&=\left[{\frac {\left(1 -{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {u'^{2}}{c^{2}}}\right)} {\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}=\lewo[{\frac {1}{\gamma _{v}^{2}\gamma _{u}'^{2}\left(1+{\frac {\ mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\& =\gamma _{v}\gamma _{u}'\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)\end {wyrównany}}}$$

Formuła odwrotna znaleziona przy użyciu standardowej procedury zamiany v na − v i u na u′ .

Konwencje notacyjne

Notacje i konwencje dotyczące dodawania prędkości różnią się w zależności od autora. Do operacji lub związanych z nią prędkości można użyć różnych symboli, a operandy mogą być przełączane dla tego samego wyrażenia lub symbole mogą być przełączane dla tej samej prędkości. Można również użyć całkowicie oddzielnego symbolu dla przekształconej prędkości, zamiast użytej tutaj liczby pierwszej. Ponieważ dodawanie prędkości jest nieprzemienne, nie można przełączać operandów ani symboli bez zmiany wyniku.

Przykłady alternatywnej notacji obejmują:

Brak określonego operandu

Landau i Lifshitz (2002) (przy użyciu jednostek, gdzie c = 1)

$${\ Displaystyle | \ mathbf {v_ {rel}} | ^ {2} = {\ Frac {1} {(1- \ mathbf {v_ {1}} \ cdot \ mathbf {v_ {2}}) ^ {2 }}}\left[(\mathbf {v_{1}} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} ) ^{2}\prawo]}$$

Kolejność operandów od lewej do prawej

Mocanu (1992)

$${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v} = {\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v}}}{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u}}}{\gamma _{\mathbf {u}}+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]}$$

Ungar (1988)

$${\ Displaystyle \ mathbf {u} * \ mathbf {v} = {\ Frac {1} {1 + {\ Frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}} {c ^ {2}}}} }\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u}}}{\gamma _{ \mathbf {u} }+1}}\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\right]}$$

Kolejność operandów od prawej do lewej

Sexl & Urbantke (2001)

$${\ Displaystyle \ mathbf {w} \ circ \ mathbf {v} = {\ Frac {1} {1}}} }}\left[{\frac {\mathbf {w}}}{\gamma _{\mathbf {v}}}}+\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{ \frac {\gamma _{\mathbf {v}}}{\gamma _{\mathbf {v}}+1}}(\mathbf {w} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right ]}$$

Aplikacje

Niektóre klasyczne zastosowania wzorów na addycję prędkości, przesunięcie Dopplera, aberrację światła i ciągnięcie światła w poruszającej się wodzie, dające relatywistycznie poprawne wyrażenia dla tych zjawisk, są szczegółowo opisane poniżej. Możliwe jest również zastosowanie wzoru na dodawanie prędkości, zakładając zachowanie pędu (odwołując się do zwykłej niezmienniczości obrotowej), poprawną postać 3 -wektorowej części czterowektora pędu , bez uciekania się do elektromagnetyzmu lub a priori nieznane za ważne, relatywistyczne wersje formalizmu Lagrange'a . Wiąże się to z odbijaniem przez eksperymentatora relatywistycznych kul bilardowych od siebie. Nie jest to tutaj szczegółowo opisane, ale patrz dla odniesienia Lewis & Tolman (1909) Wersja Wikiźródła (główne źródło) i Sard (1970 , Sekcja 3.2).

Eksperyment Fizeau

Hippolyte Fizeau (1819-1896), francuski fizyk, jako pierwszy w 1851 roku zmierzył prędkość światła w płynącej wodzie.

Główny artykuł: eksperyment Fizeau

Kiedy światło rozchodzi się w ośrodku, jego prędkość jest zmniejszana w układzie spoczynkowym ośrodka do c _m = c ⁄ n _m , gdzie n _m jest współczynnikiem załamania ośrodka m . Prędkość światła w ośrodku poruszającym się ruchem jednostajnym z prędkością V w dodatnim kierunku x , mierzona w układzie laboratoryjnym, jest wyrażona bezpośrednio za pomocą wzorów na dodanie prędkości. Dla kierunku do przodu (konfiguracja standardowa, indeks spadku m na n ) otrzymujemy,

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} c_ {m} & = {\ Frac {V + c_ {m} '} {1 + {\ Frac {Vc_ {m} '} {c ^ {2}}}}} ={\frac {V+{\frac {c}{n}}}{1+{\frac {Vc}{nc^{2}}}}}={\frac {c}{n}}{\frac {1+{\frac {nV}{c}}}{1+{\frac {V}{nc}}}}\\&={\frac {c}{n}}\left(1+{\ frac {nV}{c}}\right){\frac {1}{1+{\frac {V}{nc}}}}=\left({\frac {c}{n}}+V\right )\left(1-{\frac {V}{nc}}+\left({\frac {V}{nc}}\right)^{2}-\cdots \right).\end{aligned}} }$$

Zbierając jawnie największe składki,

$${\ Displaystyle c_ {m} = {\ Frac {c} {n}} + V \ lewo (1- {\ Frac {1} {n ^ {2}}} - {\ Frac {V} {nc}} +\cdots \po prawej).}$$

Fizeau znalazł pierwsze trzy wyrazy. Klasyczny wynik to pierwsze dwa wyrazy.

Aberracja światła

Główny artykuł: Aberracja światła

Innym podstawowym zastosowaniem jest uwzględnienie odchylenia światła, czyli zmiany jego kierunku, podczas przekształcania do nowego układu odniesienia o równoległych osiach, zwanego aberracją światła . W tym przypadku v ′ = v = c , a wstawienie do wzoru na tan θ daje

$${\ Displaystyle \ tan \ theta = {\ Frac {{\ sqrt {1- {\ Frac {V ^ {2}} {c ^ {2}}}}} c \ sin \ theta '} {c \ cos \ theta '+V}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\cos \theta '+ {\ frac {V} {c}}}}.}$$

W tym przypadku można również obliczyć sin θ i cos θ ze standardowych wzorów,

$${\ Displaystyle \ sin \ theta = {\ Frac {{\ sqrt {1- {\ Frac {V ^ {2} }{c^{2}}}}}\sin \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},}$$

Trygonometria

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane}} {\ Frac {v_ {y}}} {v}} & = {\ Frac {\ Frac {{\ sqrt {1- {\ Frac {V ^ {2}} {c ^ {2}}}}}v_{y}'}{1+{\frac {V}{c^{2}}}v_{x}'}}{\frac {\sqrt {v'^{2} +V^{2}+2Vv'\cos \theta '-({\frac {Vv'\sin \theta '}{c}})^{2}}}{1+{\frac {V}{c ^{2}}}v'\cos \theta '}}}\\&={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}} }\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+V^{2}+2Vc\cos \theta '-V^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\& ={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+V^ {2}+2Vc\cos \theta '-V^{2}(1-\cos ^{2}\theta ')}}}={\frac {c{\sqrt {1-{\frac {V^ {2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{\sqrt {c^{2}+2Vc\cos \theta '+V^{2}\cos ^{2}\theta '}}}\\&={\frac {{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}\sin \theta '}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},\end{wyrównane}}}$$

---

$$\ Displaystyle \ sałata \ teta = {\ Frac {{\ Frac {V} {c}} + \ sałata \ teta '} { 1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}},}$$

James Bradley (1693-1762) FRS dostarczył wyjaśnienia aberracji światła poprawnego na poziomie klasycznym, sprzecznego z późniejszymi teoriami panującymi w XIX wieku, opartymi na istnieniu eteru .

manipulacje trygonometryczne są zasadniczo identyczne w przypadku co do manipulacji w przypadku grzechu . Rozważ różnicę,

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ sin \ teta - \ sin \ teta '& = \ sin \ teta '\ lewo ({\ Frac {\ sqrt {1- {\ frac {V^{2}}{c^{2}}}}}{1+{\frac {V}{c}}\cos \theta '}}-1\right)\\&\około \sin \ theta '\left(1-{\frac {V}{c}}\cos \theta '-1\right)=-{\frac {V}{c}}\sin \theta '\cos \theta ', \end{wyrównane}}}$$

poprawna kolejność v / do . Zastosuj, aby przybliżenia małych kątów były formułą trygonometryczną,

$${\ Displaystyle \ sin \ theta '- \ sin \ theta = 2 \ sin {\ Frac {1} {2}} (\ theta '- \ theta) \ cos {\ Frac {1} {2}} (\ theta +\theta ')\około (\theta '-\theta )\cos \theta ',}$$

gdzie cos 1 / 2 ( θ + θ ′) ≈ cos θ ′, sin 1 / 2 ( θ - θ ′) ≈ 1 / 2 ( θ - θ ′) zostały użyte.

Stąd ilość

$${\ Displaystyle \ Delta \ teta \ równoważnik \ teta '- \ teta = {\ Frac {V} {c}} \ sin \ teta ',}$$

klasyczny kąt aberracji , uzyskuje się w granicy V ⁄ c → 0 .

Relatywistyczne przesunięcie Dopplera

Christian Doppler (1803-1853) był austriackim matematykiem i fizykiem, który odkrył, że obserwowana częstotliwość fali zależy od względnej prędkości źródła i obserwatora.

Główny artykuł: relatywistyczny efekt Dopplera

Tutaj komponenty prędkości zostaną użyte w przeciwieństwie do prędkości dla większej ogólności iw celu uniknięcia być może pozornie pozornie ad hoc wprowadzania znaków minus. Występujące tutaj znaki minus będą zamiast tego służyć do oświetlania obiektów, gdy brane są pod uwagę prędkości mniejsze niż prędkość światła.

Dla fal świetlnych w próżni dylatacja czasu wraz z prostą obserwacją geometryczną wystarczy do obliczenia przesunięcia Dopplera w standardowej konfiguracji (współliniowa prędkość względna emitera i obserwatora oraz obserwowanej fali świetlnej).

Wszystkie prędkości w poniższym tekście są równoległe do wspólnego dodatniego kierunku x , więc indeksy dolne składowych prędkości są odrzucane. W ramce obserwatorów wprowadź obserwację geometryczną

$${\ Displaystyle \ lambda = -sT + VT = (-s + V) T}$$

jako odległość przestrzenna lub długość fali między dwoma impulsami (grzbietami fal), gdzie T to czas, jaki upłynął między emisją dwóch impulsów. Czas, jaki upłynął między przejściem dwóch impulsów w tym samym punkcie przestrzeni, to okres czasu τ , a jego odwrotność ν = 1 ⁄ τ to obserwowana (czasowa) częstotliwość . Odpowiednie wielkości w układzie emiterów są wyposażone w liczby pierwsze.

Dla fal świetlnych

$${\ Displaystyle s = s '= -c,}$$

a obserwowana częstotliwość wynosi

$${\ Displaystyle \ nu = {-s \ ponad \ lambda} = {-s \ ponad (Vs) T} = {c \ ponad (V + c) \ gamma _ {_ {V}} T'} = \ nu '{\frac {c{\sqrt {1-{V^{2} \over c^{2}}}}}{c+V}}=\nu '{\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,.}$$

gdzie T = γ _V T ′ jest standardowym wzorem na dylatację czasu .

Załóżmy zamiast tego, że fala nie składa się z fal świetlnych o prędkości c , ale zamiast tego, dla łatwej wizualizacji, pocisków wystrzelonych z relatywistycznego karabinu maszynowego o prędkości s ′ w układzie emitera. Wtedy na ogół obserwacja geometryczna jest dokładnie taka sama . Ale teraz s ′ ≠ s , a s jest dane przez dodanie prędkości,

$${\ Displaystyle s = {\ Frac {s' + V} {1 + {s' V \ nad c ^ {2}}}}.}$$

Obliczenia są wtedy zasadniczo takie same, z wyjątkiem tego, że tutaj łatwiej jest przeprowadzić je do góry nogami z τ = 1 ⁄ ν zamiast ν . Jeden znajduje

${\ Displaystyle \ tau = {1 \ ponad \ gamma _ {_ {V}} \ nu '}\left({\frac {1}{1+{V \over s'}}}\right),\quad \nu =\gamma _{_{V}}\nu '\left(1+{ V \nad s'}\right)}$

Szczegóły w wyprowadzeniu

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {L \ nad -s} i = {\ Frac {\ lewo ({\ Frac {-s'-V} {1 + {s' V \ nad c ^ {2}} }}+V\right)T}{\frac {-s'-V}{1+{s'V \over c^{2}}}}}\\&={\gamma _{_{V} } \over \nu '}{\frac {-s'-V+V(1+{s'V \over c^{2}})}{-s'-V}}\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}\left({\frac {s'\left(1-{V^{2} \over c^{2}}\right)}{s'+V }}\right)\\&={\gamma _{_{V}} \over \nu '}\left({\frac {s'\gamma ^{-2}}{s'+V}}\ po prawej)\\&={1 \pon\gamma _{_{V}}\nu '}\left({\frac {1}{1+{V \nad s'}}}\prawo).\\ \end{wyrównane}}}$$

---

Zauważ, że w typowym przypadku wprowadzane s ′ jest ujemne . Formuła ma jednak ogólną ważność. Kiedy s ′ = − c , wzór sprowadza się do wzoru obliczonego bezpośrednio dla fal świetlnych powyżej,

$${\ Displaystyle \ nu = \ nu '\ gamma _ {_ {V}} (1- \ beta) = \ nu '{\ Frac {1- \ beta} {{\ sqrt {1- \ beta}}} {\ sqrt {1+\beta}}}}=\nu '{\sqrt {\frac {1-\beta}}{1+\beta}}}\,.}$$

Jeśli emiter nie strzela pociskami w pustej przestrzeni, ale emituje fale w ośrodku, to wzór nadal ma zastosowanie , ale teraz może być konieczne najpierw obliczenie s ′ na podstawie prędkości emitera względem ośrodka.

Wracając do przypadku emitera światła, w przypadku gdy obserwator i emiter nie są współliniowe, wynik ulega niewielkiej modyfikacji,

$${\ Displaystyle \ nu = \ gamma _ {_ {V}} \ nu '\ lewo (1 + {\ Frac {V} {s'} }\cos \theta \right),}$$

gdzie θ jest kątem między emiterem światła a obserwatorem. Zmniejsza się to do poprzedniego wyniku dla ruchu współliniowego, gdy θ = 0 , ale dla ruchu poprzecznego odpowiadającego θ = π /2 , częstotliwość jest przesuwana o współczynnik Lorentza . Nie dzieje się tak w klasycznym optycznym efekcie Dopplera.

Geometria hiperboliczna

Funkcje sinh , cosh i tanh . Funkcja tanh wiąże szybkość −∞ < ς < +∞ z prędkością relatywistyczną −1 < β < +1 .

Z relatywistyczną prędkością obiektu związana $nazywana$ wielkość, $której$ jest szybkością . Są one powiązane poprzez

$${\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} (3,1) \ supset \ operatorname {span} \ {K_ {1}, K_ {2}, K_ {3} \} \ około \ mathbb {R} ^ {3 }\ ni {\boldsymbol {\zeta}}={\boldsymbol {\hat {\beta}}}\tanh ^{-1}\beta,\quad {\boldsymbol {\beta}}\w \mathbb {B } ^{3},}$$

gdzie wektor jest uważany za współrzędne kartezjańskie w trójwymiarowej podprzestrzeni algebry Liego $} (3,1)}$$($ grupy Lorentza rozpiętej przez generatory doładowania ${\ Displaystyle K_ {1}, K_ {2}, K_ {3}}$ . Ta przestrzeń, nazwijmy ją przestrzenią szybkości , jest izomorficzna do ℝ ^{3 jako przestrzeni wektorowej i jest} $odwzorowywany$ na otwartą kulę jednostkową , przestrzeń prędkości , poprzez powyższą Prawo dodawania dotyczące formy współliniowej pokrywa się z prawem dodawania stycznych hiperbolicznych

$${\ Displaystyle \ tanh (\ zeta _ {v} + \ zeta _ {u '})={\tanh \zeta _{v}+\tanh \zeta _{u'} \over 1+\tanh \zeta _{v}\tanh \zeta _{u'}}}$$

z

$${\ Displaystyle {\ Frac {v} {c}} = \ tanh \ zeta _ {v} \ \ quad {\ Frac {u'} {c}} = \ tanh \ zeta _ {u'} \, \ quad \,{\frac {u}{c}}=\tanh(\zeta _{v}+\zeta _{u'}).}$$

Element liniowy w przestrzeni prędkości wynika z wyrażenia na relatywistyczną prędkość względną w dowolnej klatce, ${\ displaystyle \ mathbb {B} ^ {3}}$

$${\ Displaystyle v_ {r} = {\ Frac {\ sqrt {(\ mathbf {v_ {1 }} -\mathbf {v_{2}} )^{2}-(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}}}{1-\mathbf {v_ {1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }},}$$

$i$ prędkość światła jest ustawiona na jedność $tak$ się . W tym wyrażeniu i ${\ displaystyle \ mathbf {v$$_ {2}}$ są prędkościami dwóch obiektów w dowolnej klatce Wielkość $danej$ prędkość jednego lub drugiego obiektu względem drugiego obiektu, jak widać klatce . Wyrażenie jest niezmiennikiem Lorentza, tzn. niezależnie od tego, który układ jest danym układem, ale obliczona przez nie wielkość nie jest . Na przykład, jeśli dana klatka jest resztą klatki obiektu pierwszego, to ${\ displaystyle v_ {r} = v_ {2}}$ .

Element liniowy można znaleźć, umieszczając lub równoważnie ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}} _ {2} = {\ boldsymbol {\ beta}} _ {1} + d {\ boldsymbol {\ beta}}}$$v} _ {1} + d \ mathbf {v}$ ,

$${\ Displaystyle dl _ {\ boldsymbol {\ beta}} ^ {2} = {\ Frac {d {\ boldsymbol {\ beta}} ^ {2} - ({\ boldsymbol {\ beta}} \ razy d { \boldsymbol {\beta }})^{2}}{(1-\beta ^{2})^{2}}}={\frac {d\beta ^{2}}{(1-\beta ^ {2})^{2}}}+{\frac {\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}),}$$

z θ i φ zwykłymi współrzędnymi kąta sferycznego dla wziętych w kierunku z . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}}}$ Teraz wprowadź ζ przez

$${\ Displaystyle \ zeta = | {\ boldsymbol {\ zeta}} | = \ tanh ^ {- 1} \ beta,}$$

a element liniowy w przestrzeni szybkości staje się ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

$${\ Displaystyle dl_ {\ boldsymbol {\ zeta}} ^ {2} = d \ zeta ^ {2} + \ sinh ^ {2} \ zeta (d \ teta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ teta d\varphi ^{2}).}$$

Relatywistyczne zderzenia cząstek

W eksperymentach z rozpraszaniem głównym celem jest zmierzenie niezmiennego przekroju poprzecznego rozpraszania . To wchodzi we wzór na rozpraszanie dwóch typów cząstek do stanu końcowego, w którym zakłada się, że ma dwie lub więcej cząstek, ${\ displaystyle f}$

$${\ Displaystyle dN_ {f} = R_ {f} \ dV \ dt = \ sigma F \ dV \ dt}$$

lub, w większości podręczników,

$${\ Displaystyle dN_ {f} = \ sigma n_ {1} n_ {2} v_ {r} \ dV \ dt}$$

Gdzie

• ${\ displaystyle dVdt}$ to objętość czasoprzestrzeni. Jest to niezmiennik w ramach transformacji Lorentza.
• $f}}$$\ Displaystyle dVdt}$ to całkowita liczba reakcji prowadzących do stanu końcowego w objętości czasoprzestrzeni $re$ . Będąc liczbą, jest niezmienna, gdy bierze się pod uwagę tę samą objętość czasoprzestrzeni.
• ${\ Displaystyle R_ {f} = F \ sigma}$ to liczba reakcji powodujących stan końcowy $czasoprzestrzeni$ lub szybkość reakcji . To jest niezmienne.
• ${\ Displaystyle F = n_ {1} n_ {2} v_ {r}}$ nazywa się strumieniem padającym . To musi być niezmienne, ale nie jest w najbardziej ogólnym ustawieniu.
• ${\ displaystyle \ sigma}$ to przekrój poprzeczny rozpraszania. Wymagana jest niezmienność.
• ${\ displaystyle n_ {1}, n_ {2}}$ to gęstości cząstek w padających wiązkach. Nie są one niezmienne, co jest oczywiste ze względu na skrócenie długości .
• ${\ Displaystyle v_ {r} = | \ mathbf {v} _ {2} - \ mathbf {v} _ {1} |}$ to względna prędkość dwóch padających wiązek. To nie może być niezmienne, ponieważ musi tak być ${\ displaystyle F = n_ {1} n_ {2} v_ {r}}$

Celem jest znalezienie poprawnego wyrażenia na $.$ prędkość względną wyrażenia na strumień

Nierelatywistycznie, dla prędkości względnej ${\ Displaystyle v_ {r} = | \ mathbf {v} _ {2} - \ mathbf {v} _ {1} |}$ . Jeśli układ, w którym mierzone są prędkości, jest ramką spoczynkową typu cząstek $,$ jest, aby ${\ Displaystyle v_ {rel} = v_ {r} = | \ mathbf {v} _ {2} |.}$ Ustawiając prędkość światła , wyrażenie na $c =$ bezpośrednio ze wzoru na normę (druga formuła) w ogólnej konfiguracji . $= 1 {$

$${\ Displaystyle v_ {\ tekst {rel}} = {\ Frac {\ sqrt {(\ mathbf {v_ {1}} - \ mathbf {v_ {2}}) ^ {2} - (\ mathbf {v_ {1} }} \times \mathbf {v_{2}} )^{2}}}{1-\mathbf {v_{1}} \cdot \mathbf {v_{2}} }}.}$$

Formuła redukuje się w klasycznej granicy do ${\ Displaystyle v_ {r} = | \ mathbf {v} _ {1} - \ mathbf {v} _ {2} |}$ tak, jak powinno, i daje poprawny wynik w pozostałych klatkach cząstek. Prędkość względna jest błędnie podana w większości, być może we wszystkich książki o fizyce cząstek elementarnych i kwantowej teorii pola. Jest to w większości nieszkodliwe, ponieważ jeśli jeden typ cząstek jest nieruchomy lub względny ruch jest współliniowy, to właściwy wynik uzyskuje się z nieprawidłowych wzorów. Formuła jest niezmienna, ale nie w sposób oczywisty. Można go przepisać w kategoriach czterech prędkości jako

$${\ Displaystyle v _ {\ tekst {rel}} = {\ Frac {\ sqrt {(u_ {1} \ cdot u_ {2}) ^ {2} -1}} {u_ {1} \ cdot u_ {2} }}.}$$

Prawidłowe wyrażenie strumienia, opublikowane przez Christiana Møllera w 1945 r., Podano przez

$${\ Displaystyle F = n_ {1} n_ {2} {\ sqrt {(\ mathbf {v} _ {1} - \ mathbf {v} _ {2}) ^ {2} - (\ mathbf {v} _ {1}\times \mathbf {v} _{2})^{2}}}\equiv n_{1}n_{2}{\bar {v}}.}$$

Można zauważyć, że dla prędkości współliniowych ${\ Displaystyle F = n_ {1} n_ {2} | \ mathbf {v} _ {2} - \ mathbf {v} _ {1} | = n_ {1} n_ {2} v_{r}}$ . Aby otrzymać jawnie niezmienne wyrażenie lorentzowskie, piszemy ${\ Displaystyle J_ {i} = (n_ {i}, n_ {i} \ mathbf {v} _ {i})} z n ja = γ ja n ja {\ Displaystyle n_$ { $i } n_ {i} ^ {0}}$$,$ gdzie gęstością w układzie spoczynkowym, dla poszczególnych strumieni cząstek i dociera

$${\ Displaystyle F = (J_ {1} \ cdot J_ {2}) v _ {\ tekst {rel}}.}$$

W literaturze zarówno wielkość, $jak$$prędkość$ są względna. W niektórych przypadkach (fizyka statystyczna i literatura dotycząca ciemnej materii) $określana$$Møllera$ , w którym to przypadku oznacza względną. Prawdziwa prędkość względna jest w każdym razie ${\ displaystyle v_ {rel}}$ . Rozbieżność między $, chociaż$$jest$ w . W LHC kąt skrzyżowania jest mały, około 300 μrad , ale w starym Przecinającym się Pierścieniu Magazynującym w CERN wynosił około 18 ^° .

Zobacz też

• Hiperboliczne twierdzenie cosinusów
• biquaternion

Notatki

•   Cannoni, Mirco (2017). „Niezmienna prędkość względna Lorentza i relatywistyczne zderzenia binarne”. International Journal of Modern Physics A. 32 (2n03): 1730002. arXiv : 1605.00569 . Bibcode : 2017IJMPA..3230002C . doi : 10.1142/S0217751X17300022 . S2CID 119223742 – za pośrednictwem World Scientific .
• Einstein, A. (1905). „O elektrodynamice ciał w ruchu” [Zur Elektrodynamik bewegter Körper] (PDF) . Annalen der Physik . 10 (322): 891–921. Bibcode : 1905AnP...322..891E . doi : 10.1002/andp.19053221004 .
•   Fock, Wirginia (1964). Teoria przestrzeni, czasu i grawitacji (wyd. 2). ISBN 978-0-08-010061-6 – za pośrednictwem ScienceDirect .
•   Francuski, AP (1968). Szczególna Teoria Względności . Seria wprowadzająca do fizyki MIT . WW Norton & Company . ISBN 978-0-393-09793-1 .
•   Friedman, Jakow; Blizna, Cwi (2005). Fizyczne zastosowania kul jednorodnych . Birkäuser. s. 1–21. ISBN 978-0-8176-3339-4 .
•   Jackson, JD (1999) [1962]. „Rozdział 11”. Elektrodynamika klasyczna (wyd. 3). John Wiley & Synowie . ISBN 978-0-471-30932-1 . (poziom wykształcenia)
•   Kleppner, D .; Kolenkow, RJ (1978) [1973]. Wprowadzenie do mechaniki . Londyn: McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-035048-9 . (poziom wprowadzający)
•   Landau, LD ; Lifszyc, EM (2002) [1939]. Klasyczna teoria pól . Kurs Fizyki Teoretycznej. Tom. 2 (wyd. 4). Butterwortha-Heinemanna . ISBN 0-7506-2768-9 . (poziom wykształcenia)
•   Lerner, RG ; Trigg, GL (1991). Encyklopedia fizyki (wyd. 2). Wydawcy VHC, Springer. ISBN 978-0-07-025734-4 .
•   Mermin, Dakota Północna (2005). Najwyższy czas: zrozumienie teorii względności Einsteina . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton. ISBN 978-0-691-12201-4 .
•    Mocanu, CI (1992). „O relatywistycznym paradoksie składu prędkości i rotacji Thomasa”. Znaleziony. fizyka Lett . 5 (5): 443–456. Bibcode : 1992FoPhL...5..443M . doi : 10.1007/BF00690425 . ISSN 0894-9875 . S2CID 122472788 .
• Moller, C. (1945). „Ogólne właściwości macierzy charakterystycznej w teorii cząstek elementarnych I” (PDF) . D. KGL Danske Vidensk. Selsk. Mat.-Fys. med . 23 (1).
•   Parkera, SP (1993). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (wyd. 2). Wzgórze McGrawa. ISBN 978-0-07-051400-3 .
•   Sard, RD (1970). Mechanika relatywistyczna - szczególna teoria względności i klasyczna dynamika cząstek . Nowy Jork: WA Benjamin. ISBN 978-0-8053-8491-8 .
•   Seksl, Rumunia; Urbantke, HK (2001) [1992]. Teoria Względności, Grupy Cząstek. Szczególna teoria względności i symetria relatywistyczna w fizyce pola i cząstek elementarnych . Skoczek. s. 38–43. ISBN 978-3-211-83443-5 .
•   Tipler, P.; Mosca, G. (2008). Fizyka dla naukowców i inżynierów (wyd. 6). Obywatel. s. 1328–1329. ISBN 978-1-4292-0265-7 .
•    Ungar, AA (1988). „Obrót Thomasa i parametryzacja grupy Lorentza”. Podstawy fizyki Listy . 1 (1): 57–81. Bibcode : 1988FoPhL...1...57U . doi : 10.1007/BF00661317 . ISSN 0894-9875 . S2CID 121240925 .

Historyczny

• Bradley, James (1727–1728). „List od wielebnego pana Jamesa Bradleya Saviliana, profesora astronomii w Oksfordzie i FRS do dr. Edmonda Halleya Astronom. Reg. & c. Przedstawienie nowego odkrytego ruchu gwiazd stałych” . Phil. Trans. R. Soc. (PDF). 35 (399-406): 637-661. Bibcode : 1727RSPT...35..637B . doi : 10.1098/rstl.1727.0064 .
• Doppler, C. (1903) [1842], Über das farbige Licht der Doppelsterne und einiger anderer Gestirne des Himmels [ O kolorowym świetle gwiazd podwójnych i niektórych innych gwiazd nieba ] (w języku niemieckim), tom. 2, Praga: Abhandlungen der Königl. Böhm. Gesellschaft der Wissenschaften, s. 465–482
• Fizeau, H. (1851F). „Sur les hypothèses krewni à l'éther lumineux” [Hipotezy dotyczące świetlistego eteru]. Comptes Rendus (w języku francuskim). 33 : 349–355.
• Fizeau, H. (1851E). „Hipotezy dotyczące świetlistego eteru” . Magazyn filozoficzny . 2 : 568–573.
• Fizeau, H. (1859). „Sur les hypothèses krewni à l'éther lumineux” [Hipotezy dotyczące świetlistego eteru]. Ann. Chim. fizyka (po francusku). 57 : 385–404.
• Fizeau, H. (1860). „O wpływie ruchu ciała na prędkość, z jaką przechodzi przez nie światło” . Magazyn filozoficzny . 19 : 245–260.
•   Galilei, G. (2001) [1632]. Dialog dotyczący dwóch głównych systemów światowych [ Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo ]. Stillman Drake (redaktor, tłumacz), Stephen Jay Gould (redaktor), JL Heilbron (wprowadzenie), Albert Einstein (przedmowa). Nowoczesna biblioteka. ISBN 978-0-375-75766-2 .
•   Galilei, G. (1954) [1638]. Dialogi dotyczące dwóch nowych nauk [ Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze ]. Henry Crew, Alfonso de Salvio (tłumacze). Digiread.com. ISBN 978-1-4209-3815-9 .
• Lewis, GN ; Tolman RC (1909). „Zasada względności i mechanika nienewtonowska” . Phil. Mag . 6. 18 (106): 510–523. doi : 10.1080/14786441008636725 . Wersja Wikiźródeł

Linki zewnętrzne

• Sommerfeld, A. (1909). „O składzie prędkości w teorii względności” [Über die Zusammensetzung der Geschwindigkeiten in der Relativtheorie]. Verh. Dtsch. fizyka Ges . 21 : 577–582.