Twierdzenie Bertranda

Józefa Bertranda

W mechanice klasycznej twierdzenie Bertranda stwierdza, że ​​wśród potencjałów sił centralnych z orbitami związanymi istnieją tylko dwa rodzaje potencjałów skalarnych sił centralnych (promieniowych) , których właściwość polega na tym, że wszystkie związane orbity są również orbitami zamkniętymi .

Pierwszym takim potencjałem jest siła centralna o odwrotności kwadratu, taka jak potencjał grawitacyjny lub elektrostatyczny :

${\ Displaystyle V (r) = - {\ Frac {k} {r}}}$ z siłą ${\ Displaystyle f ( r)=-{\frac {dV}{dr}}=-{\frac {k}{r^{2}}}}$ .

Drugi to potencjał radialnego oscylatora harmonicznego :

${\ Displaystyle V (r) = {\ Frac {1} {2}} kr ^ {2}}$ z siłą ${\ Displaystyle f (r) = - {\ Frac {dV} {dr}} = -kr}$ .

Twierdzenie nosi imię jego odkrywcy, Josepha Bertranda .

Pochodzenie

Niewielkie zmiany w sile siły skalującej się wraz z odległością doprowadzą do znacząco różnych rodzajów orbit.

Wszystkie przyciągające siły centralne mogą tworzyć orbity kołowe , które są naturalnie zamkniętymi orbitami . Jedynym wymaganiem jest to, aby siła centralna była dokładnie równa sile dośrodkowej , która określa wymaganą prędkość kątową dla danego promienia koła. Siły niecentralne (tj. te, które zależą od zmiennych kątowych oraz promienia) są tutaj ignorowane, ponieważ generalnie nie tworzą one kołowych orbit.

Równanie ruchu dla promienia r cząstki o masie m poruszającej się w potencjale centralnym V ( r ) jest dane równaniami ruchu

${\ Displaystyle m {\ Frac {d ^ {2} r} {dt ^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{ 3}}}=-{\frac {dV}{dr}},}$

gdzie $_$ moment L mr 2 . _ ^_ $Dla$ ilustracji, pierwszy człon po lewej stronie wynosi zero dla orbit kołowych, a przyłożona siła skierowana do wewnątrz jest mr ω 2 , ^zgodnie z oczekiwaniami.

Definicja momentu pędu pozwala na zmianę zmiennej niezależnej z t na θ:

$\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} = {\ Frac {L} {mr ^ {2}}} {\ Frac {d} {d \ theta }},}$

dając nowe równanie ruchu, które jest niezależne od czasu:

${\ Displaystyle {\ Frac {L} {r ^ {2}}} {\ Frac {d} {d \ theta}} \ lewo ({\ Frac {L} {mr ^ {2}}} {\ Frac { dr}{d\theta}}\right)-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}.}$

$Displaystyle {\ Frac {mr ^ {2}}{L^{2}}}}$$L$ zmianie zmiennych i stron przez (zobacz też równanie Bineta ):

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} u} {d \ theta ^ {2}}} + u = - {\ Frac {m} {L ^ {2}}} {\ Frac {d} {du }}V\lewo({\frac {1}{u}}\prawo).}$

Jak wspomniano powyżej, wszystkie siły centralne mogą wytwarzać kołowe orbity przy odpowiedniej prędkości początkowej. Jednakże, jeśli wprowadzona zostanie pewna prędkość radialna, orbity te nie muszą być stabilne (tj. pozostawać na orbicie w nieskończoność) ani zamknięte (wielokrotnie powracające dokładnie na tę samą ścieżkę). Tutaj pokazujemy, że warunkiem koniecznym dla stabilnych, dokładnie zamkniętych orbit niekołowych jest siła odwrotności kwadratu lub potencjał radialnego oscylatora harmonicznego. W następnych rozdziałach pokażemy, że te dwa prawa sił tworzą stabilne, dokładnie zamknięte orbity ( warunek wystarczający ) [nie jest jasne dla czytelnika, jaki dokładnie jest warunek wystarczający].

Zdefiniuj J ( u ) jako

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2 }u}{d\theta ^{2}}}+u=J(u)\equiv -{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left ({\frac {1}{u}}\right)=-{\frac {m}{L^{2}u^{2}}}f\left({\frac {1}{u}}\ Prawidłowy),}$

₀ gdzie f reprezentuje siłę promieniową. Kryterium doskonale kołowego ruchu na promieniu r jest takie, że pierwszy człon po lewej stronie wynosi zero:

${\ Displaystyle u_ {0} = J (u_ {0}) = - {\ Frac {m} {L ^ {2} u_ { 0}^{2}}}f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right),}$

 

 

 

 

()

gdzie ${\ displaystyle u_ {0} \ równoważnik 1 / r_ {0}}$ .

$jest$ rozważenie równania dla małych perturbacjach z kołowych orbit. Po prawej J można rozwinąć w standardowy szereg Taylora :

${\ Displaystyle J (u) \ ok J (u_ {0})+\eta J'(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J''(u_{0})+{\frac {1}{6 }}\eta ^{3}J'''(u_{0})+\cdots }$

Podstawiając to rozwinięcie do równania dla u i odejmując stałe wyrazy, otrzymujemy

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} \eta }{d\theta ^{2}}}+\eta =\eta J'(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J''(u_{ 0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J'''(u_{0})+\cdots ,}$

co można zapisać jako

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} \ eta} {d \theta ^{2}}}+\beta ^{2}\eta ={\frac {1}{2}}\eta ^{2}J''(u_{0})+{\frac {1} {6}}\eta ^{3}J'''(u_{0})+\cdots ,}$

 

 

 

 

()

gdzie ${\ Displaystyle \ beta ^ {2} \ równoważnik 1-J' (u_ {0})}$ jest stałą. β2 musi być nieujemne ^; w przeciwnym razie promień orbity zmieniałby się wykładniczo od jej początkowego promienia. (Rozwiązanie β = 0 odpowiada idealnie kołowej orbicie). Jeśli prawą stronę można pominąć (tj. dla małych perturbacji), rozwiązania są

${\ Displaystyle \ eta (\ teta) = h_ {1} \ cos (\ beta \ teta),}$

gdzie amplituda h ₁ jest stałą całkowania. Aby orbity były zamknięte, β musi być liczbą wymierną . Co więcej, musi to być ta sama liczba wymierna dla wszystkich promieni, ponieważ β nie może zmieniać się w sposób ciągły; liczby wymierne są całkowicie odłączone od siebie. Korzystając z definicji J wraz z równaniem ( 1 ),

${\ Displaystyle J' (u_ {0}) = {\ Frac {2} {u_ {0}}} \ lewo [{\ Frac {m} {L ^ {2} u_ {0} ^ {2}}} f\lewo({\frac {1}{u_{0}}}\prawo)\prawo]-\lewo[{\frac {m}{L^{2}u_{0}^{2}}}f \left({\frac {1}{u_{0}}}\right)\right]{\frac {1}{f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)} }{\frac {d}{du_{0}}}f\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)=-2+{\frac {u_{0}}{f\ left({\frac {1}{u_{0}}}\right)}}{\frac {d}{du_{0}}}f\left({\frac {1}{u_{0}}} \right)=1-\beta ^{2}.}$

₀ Ponieważ musi to obowiązywać dla dowolnej wartości u ,

${\ Displaystyle {\ Frac {df} {dr}} = (\ beta ^ {2} -3) {\ Frac {f} {r}},}$

co implikuje, że siła musi być zgodna z prawem potęgowym

${\ Displaystyle f (r) = - {\ Frac {k} {r ^ {3- \ beta ^ {2}}}}.}$

Zatem J musi mieć postać ogólną

${\ Displaystyle J (u) = {\ Frac {mk} {L ^ {2}}} u ^ {1- \ beta ^ {2}}.}$

 

 

 

 

()

Dla bardziej ogólnych odchyleń od cykliczności (tj. gdy nie możemy zaniedbać wyrazów wyższego rzędu w rozwinięciu Taylora J ), η można rozwinąć w szereg Fouriera, np.

${\ Displaystyle \ eta (\ teta) = h_ {0} + h_ {1} \cos \beta \theta +h_{2}\cos 2\beta \theta +h_{3}\cos 3\beta \theta +\cdots }$

₀ Podstawiamy to do równania ( 2 ) i przyrównujemy współczynniki należące do tej samej częstotliwości, zachowując tylko wyrazy najniższego rzędu. Jak pokazujemy poniżej, h i h ₂ są mniejsze niż h ₁ , co jest zgodne z kolejnością ${\ displaystyle h_ {1} ^ {2}}$ . h ₃ i wszystkie dalsze współczynniki są co najmniej rzędu ${\ displaystyle h_ {1} ^ {3}}$ . Ma to sens, ponieważ ${\ displaystyle h_ {0}, h_ {2}, h_ {3}, \ ldots}$ wszystkie muszą zniknąć szybciej niż h ₁ , gdy zbliża się orbita kołowa.

${\ Displaystyle h_ {0} = h_ {1} ^ {2} {\ Frac {J'' (u_ {0})} {4 \ beta ^ { 2}}},}$

${\ Displaystyle h_ {2} = - h_ {1} ^ {2} {\ Frac {J'' (u_ {0 })}{12\beta ^{2}}},}$

${\ Displaystyle h_ {3} = - {\ Frac {1} {8 \ beta ^ {2}}} \ lewo [h_ {1} h_ {2} {\ Frac {J '' (u_ {0})} {2}}+h_{1}^{3}{\frac {J'''(u_{0})}{24}}\right].}$

Z wyrażenia cos(βθ) otrzymujemy

$\ Displaystyle 0 = (2h_ {1} h_ {0} + h_ {1} h_ {2}) {\ Frac {J'' (u_ {0})} {2}} + h_ {1 }^{3}{\frac {J'''(u_{0})}{8}}={\frac {h_{1}^{3}}{24\beta ^{2}}}\left (3\beta ^{2}J'''(u_{0})+5J''(u_{0})^{2}\right),}$

₀ gdzie w ostatnim kroku podstawiliśmy wartości h i h ₂ .

₀ Korzystając z równań ( 3 ) i ( 1 ), możemy obliczyć drugą i trzecią pochodną J ocenioną w u :

${\ Displaystyle J '' (u_ {0}) = {\ Frac {\ beta ^ {2} (1- \ beta ^ {2})} {u_{0}}},}$

${\ Displaystyle J''' (u_ {0}) = - {\ Frac {\ beta ^ {2} (1- \ beta ^ {2}) (1 + \ beta ^ {2})} {u_ {0 }^{2}}}.}$

Podstawienie tych wartości do ostatniego równania daje główny wynik twierdzenia Bertranda :

${\ Displaystyle \ beta ^ {2} (1- \ beta ^ {2}) (4- \ beta ^ {2}) = 0.}$

Stąd jedynymi potencjałami , które mogą wytworzyć stabilne, zamknięte, niekołowe orbity, są prawo siły odwrotnych kwadratów (β = 1) i potencjał radialnego oscylatora harmonicznego (β = 2). Rozwiązanie β = 0 odpowiada idealnie kołowym orbitom, jak wspomniano powyżej.

Klasyczne potencjały pola

W przypadku prawa siły odwrotnej do kwadratu, takiego jak potencjał grawitacyjny lub elektrostatyczny , potencjał można zapisać

${\ Displaystyle V (\ mathbf {r}) = {\ Frac {-k} {r}} = - ku.}$

Orbitę u (θ) można wyprowadzić z ogólnego równania

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} u} {d \ teta ^ {2}} }+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)={\frac {km}{L^{2}}},}$

którego rozwiązaniem jest stała plus prosta sinusoida: ${\ Displaystyle {\ Frac {km} {L ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle u \ równoważnik {\ Frac {1} {r}} = {\ Frac {km} {L ^ {2 }}}[1+e\cos(\theta -\theta _{0})],}$

₀ gdzie e ( mimośrodowość ) i θ ( przesunięcie fazowe ) są stałymi całkowania.

To jest ogólny wzór na przekrój stożkowy , który ma jedno ognisko na początku; e = 0 odpowiada okręgowi , 0 < e < 1 odpowiada elipsie , e = 1 odpowiada paraboli , a e > 1 odpowiada hiperboli . Mimośród e jest powiązany z całkowitą energią E (patrz wektor Laplace'a – Runge – Lenza ):

${\ Displaystyle e = {\ sqrt {1 + {\ Frac {2EL ^ {2}} {k ^ {2} m}}}}.}$

Porównanie tych wzorów pokazuje, że E < 0 odpowiada elipsie, E = 0 odpowiada paraboli , a E > 0 odpowiada hiperboli . $_$ szczególności _ _ _

Oscylator harmoniczny

Aby znaleźć orbitę w promieniowym potencjale oscylatora harmonicznego , łatwiej jest pracować na składowych r = ( x , y , z ). Potencjał można zapisać jako

${\ Displaystyle V (\ mathbf {r}) = {\ Frac {1} {2}} kr ^ {2} = {\ Frac {1} {2}} k (x ^ {2} + y ^ {2} }+z^{2}).}$

Równanie ruchu cząstki o masie m jest dane trzema niezależnymi równaniami Eulera :

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} x} dt ^ {2}}} + \ omega _ {0} ^ {2} x = 0,}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} + \ omega _ {0} ^ {2} y = 0,}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} z} {dt ^ {2}}} + \ omega _ {0} ^ {2} z = 0,}$

$ograniczone$ stała musi być dodatnia (tj. > 0), aby zapewnić ; w przeciwnym razie cząstka odleci w nieskończoność . Wszystkie rozwiązania tych prostych równań oscylatora harmonicznego są podobne:

${\ Displaystyle x = A_ {x} \ cos (\ omega _ {0} t + \ phi _ {x}),}$

${\ Displaystyle y = A_ {y} \ cos (\ omega _ {0} t + \ phi _ {y}),} z$

$\ styl wyświetlania z=A_{z}\cos(\omega _{0}t+\phi _{z}),}$

gdzie stałe dodatnie A _x , A _y i A _z reprezentują amplitudy oscylacji, a kąty φ _x , φ _y i φ _z reprezentują ich fazy . Wynikowa orbita r ( t ) = [ x ( t ), y ( y ), z ( t )] jest domknięta, ponieważ powtarza się dokładnie po jednym okresie

${\ Displaystyle T \ równoważnik {\ Frac {2 \ pi} {\ omega _ {0}}}.}$

System jest również stabilny, ponieważ małe zaburzenia amplitud i faz powodują odpowiednio małe zmiany ogólnej orbity.

Dalsza lektura

•   Goldstein, H. (1980). Mechanika klasyczna (wyd. 2). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-02918-5 .
• Santos, FC; Soares, V.; Tort, AC (2011). „Angielskie tłumaczenie twierdzenia Bertranda”. Latin American Journal of Physics Education . 5 (4): 694–696. ar Xiv : 0704.2396 . Bibcode : 2007arXiv0704.2396S .