Równanie Bineta

Równanie Bineta , wyprowadzone przez Jacquesa Philippe'a Marie Bineta , zapewnia postać siły centralnej, biorąc pod uwagę kształt ruchu orbitalnego we współrzędnych biegunowych płaszczyzny . Równania można również użyć do wyznaczenia kształtu orbity dla danego prawa siły, ale zwykle obejmuje to rozwiązanie nieliniowego równania różniczkowego zwyczajnego drugiego rzędu . Jednoznaczne rozwiązanie jest niemożliwe w przypadku ruchu kołowego wokół środka siły.

Równanie

Kształt orbity jest często dogodnie opisywany w kategoriach $względnej$ $odległości$ funkcji . $Bineta kształt orbity$ $zamiast$ zwięźle opisany przez odwrotność funkcję Zdefiniuj $pędu$ moment jako gdzie jest momentem $_$ _ $_$ _ Równanie Bineta, wyprowadzone w następnej sekcji, daje siłę w kategoriach funkcji: ${\ Displaystyle u (\ theta)}$ :

{\ Displaystyle F (u ^ {-1}) = -mh ^ {2} u ^ {2} \ lewo ({\ Frac {\ operatorname {d} ^ {2} u} {\ operatorname {d} \ theta ^{2}}}+u\prawo).}

Pochodzenie

Drugie prawo Newtona dla czysto centralnej siły brzmi

{\ Displaystyle F (r) = m \ lewo ({\ ddot {r}} -r {\ kropka {\ teta}} ^ {2} \ prawo).}

Wymaga tego zasada zachowania momentu pędu

{\ Displaystyle r ^ {2} {\ kropka {\ teta}} = h = {\ tekst {stała}}.}

Pochodne względem czasu można przepisać jako pochodne $względem$ kąta: ${\ displaystyle u=1/r$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i {\ Frac {\ operatorname {d} u} {\ operatorname {d} \ teta}} = {\ Frac {\ mathrm {d} }{\ operatorname {d} t}} \ lewo ({\ frac {1}{r}} \ prawo) {\ frac {\ operatorname {d} t} {\ operatorname {d} \ theta } }=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}{\dot {\theta}}}}=-{\frac {\dot {r}}{h}}\\&{\ frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-{\frac {1}{h}}{\frac {\mathrm {d} {\ kropka {r}}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\ddot {r}}{h {\dot {\theta}}}}=-{\frac {\ddot {r}}{h^{2}u^{2}}}\end{wyrównane}}}

Łącząc wszystkie powyższe, dochodzimy do

{ \ Displaystyle F = m \ lewo ({\ ddot {r}} -r {\ kropka {\ theta}} ^ {2} \ prawo) = -m \ lewo (h ^ {2} u ^ {2} {\ frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+h^{2}u^{3}\right)=-mh^{2}u^ {2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)}

Ogólne rozwiązanie to

{\ Displaystyle \ theta = \ int _ {r_ {0}} ^ {r} {\ Frac {\ operatorname {\ mathrm { d} r}{r^{2}{\sqrt {{\frac {2m}{L^{2}}}(EV)-{\frac {1}{r^{2}}}}}}} +\theta_{0}}

gdzie

{\ Displaystyle (r_ {0}, \ theta _ {0})}

jest początkową współrzędną cząstki.

Przykłady

Kwestia Keplera

Klasyczny

Tradycyjny problem Keplera polegający na obliczaniu orbity prawa odwrotnych kwadratów można odczytać z równania Bineta jako rozwiązanie równania różniczkowego

{\ Displaystyle -ku ^ {2} = -mh ^ {2} u ^ {2} \ lewo ({\ Frac {\ matematyczna {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\prawo)}

{\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d} ^ {2} u} {\ operatorname {d} \ teta ^ {2}}} +u={\frac {k}{mh^{2}}}\equiv {\text{stała}}>0.}

Jeśli kąt jest mierzony od perycentrum , to ogólne rozwiązanie dla orbity wyrażonej we (odwrotnych) współrzędnych biegunowych to ${\ displaystyle \ theta}$

{\ Displaystyle lu = 1 + \ varepsilon \ cos \ teta.}

Powyższe równanie biegunowe opisuje przekroje stożkowe ${\ displaystyle h ^ {2} / \ mu = h ^ {2} m / k$ gdzie pół -latus rectum równe $k$ } ) i $orbity$ .

relatywistyczny

Równanie relatywistyczne wyprowadzone dla współrzędnych Schwarzschilda to

{\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d} ^ {2} u} {\ operatorname {d} \ teta ^ {2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}}

gdzie

jest

prędkością i

_

promieniem . _ _ A dla metryki Reissnera-Nordströma otrzymamy

{\ Displaystyle {\ Frac { \mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}} +{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}-{\frac {GQ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}\left( {\frac {c^{2}}{h^{2}}}u+2u^{3}\right)}

gdzie

jest

elektryczny i

próżni

przenikalnością . _ _

Odwrotny problem Keplera

Rozważ odwrotny problem Keplera. Jaki rodzaj prawa siły tworzy niekołową orbitę eliptyczną (lub bardziej ogólnie niekołowy przekrój stożkowy ) wokół ogniska elipsy ?

Dwukrotne zróżnicowanie powyższego równania biegunowego dla elipsy daje

{\ Displaystyle l \ {\ Frac {\ operatorname {d} ^ {2} u} {\ operatorname {d} \ theta ^ {2}}} = - \ varepsilon \ cos \ theta.}

Prawo siły jest zatem

{\ Displaystyle F = -mh ^ { 2}u^{2}\left({\frac {-\varepsilon \cos \theta }{l}}+{\frac {1+\varepsilon \cos \theta}{l}}\right)=-{ \frac {mh^{2}u^{2}}{l}}=-{\frac {mh^{2}}{lr^{2}}},}

co jest oczekiwanym prawem odwrotnych kwadratów. Dopasowanie orbity

do

m

fizycznych,

q_{1}q_{2}/m}

lub

{

odtwarza odpowiednio prawo powszechnego ciążenia Newtona lub prawo Coulomba .

Efektywna siła dla współrzędnych Schwarzschilda to

{\ Displaystyle F = -GMmu ^ {2} \ lewo (1 + 3 \ lewo ({\ Frac {hu}}} \ prawo) ^ {2} \ prawo) = - {\ Frac {GMm}} {r ^{2}}}\lewo(1+3\lewo({\frac {h}{rc}}\prawo)^{2}\prawo).}

gdzie drugi człon jest odwrotną siłą kwartalną odpowiadającą efektom kwadrupolowym, takim jak przesunięcie kątowe perycentrum (można to również uzyskać za pomocą opóźnionych potencjałów).

W sparametryzowanym formalizmie postnewtonowskim otrzymamy

{\ Displaystyle F = - {\ Frac {GMm} {r ^ {2}}} \ lewo (1 + (2 + 2 \ gamma - \ beta) \ lewo ({\ Frac {h} {rc}} \ prawo )^{2}\prawo).}

gdzie

{\ Displaystyle \ gamma = \ beta = 1}

dla ogólnej teorii względności i

{\ Displaystyle \ gamma = \ beta = 0}

w przypadku klasycznym.

Spirale Cotesa

Odwrotne prawo sześcianu siły ma postać

{\ Displaystyle F (r) = - {\ Frac {k} {r ^ {3}}}.}

Kształty orbit odwrotnego prawa sześcianu są znane jako spirale Cotesa . Równanie Bineta pokazuje, że orbity muszą być rozwiązaniami równania

{\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d} ^ {2} u} {\ operatorname {d} \ theta ^ {2}}} + u = {\ frac {ku} {mh ^ {2}}} = Cu.}

Równanie różniczkowe ma trzy rodzaje rozwiązań, analogicznie do różnych przekrojów stożkowych problemu Keplera. Kiedy rozwiązaniem jest $0}$ , w tym patologiczny przypadek linii prostej, gdy do $=$ displaystyle C Kiedy $hiperboliczna$ spirala _ _ Kiedy rozwiązaniem $Poinsota$ _ _

Ruch kołowy poza osią

Chociaż równanie Bineta nie daje unikalnego prawa siły dla ruchu kołowego wokół środka siły, równanie może zapewnić prawo siły, gdy środek koła i środek siły nie pokrywają się. Rozważmy na przykład orbitę kołową, która przechodzi bezpośrednio przez środek siły. (Odwrotne) równanie biegunowe dla takiej kołowej orbity o średnicy to $. {\ displaystyle D}$