Współrzędne Schwarzschilda

W teorii rozmaitości lorentzowskich sferycznie symetryczne czasoprzestrzenie dopuszczają rodzinę zagnieżdżonych okrągłych sfer . W takiej czasoprzestrzeni szczególnie ważnym rodzajem wykresu współrzędnych jest wykres Schwarzschilda , rodzaj biegunowego wykresu współrzędnych sferycznych na statycznej i sferycznie symetrycznej czasoprzestrzeni , który jest dostosowany do tych zagnieżdżonych okrągłych sfer. Charakterystyczną cechą wykresu Schwarzschilda jest to, że współrzędna promieniowa ma naturalną interpretację geometryczną pod względem pola powierzchni i krzywizny Gaussa każdej sfery. Jednak promieniowe odległości i kąty nie są dokładnie reprezentowane.

Wykresy te mają wiele zastosowań w metrycznych teoriach grawitacji, takich jak ogólna teoria względności . Najczęściej stosuje się je w statycznych czasoprzestrzeniach sferycznie symetrycznych. W przypadku ogólnej teorii względności twierdzenie Birkhoffa stwierdza, że ​​każde izolowane sferycznie symetryczne próżniowe lub elektropróżniowe rozwiązanie równania pola Einsteina jest statyczne, ale z pewnością nie jest to prawdą w przypadku płynów doskonałych . Przedłużenie zewnętrznego obszaru próżni Schwarzschilda rozwiązanie wewnątrz horyzontu zdarzeń sferycznie symetrycznej czarnej dziury nie jest statyczne wewnątrz horyzontu, a rodziny (podobnych do przestrzeni) zagnieżdżonych sfer nie można rozszerzyć wewnątrz horyzontu, więc wykres Schwarzschilda dla tego rozwiązania koniecznie załamuje się na horyzoncie.

Definicja

Określenie $rozmaitości$ metrycznego jest częścią definicji dowolnej Lorentza . Najprostszym sposobem zdefiniowania tego tensora jest zdefiniowanie go na zgodnych lokalnych wykresach współrzędnych i sprawdzenie, czy ten sam tensor jest zdefiniowany na nakładających się domenach wykresów. W tym artykule spróbujemy zdefiniować tensor metryczny tylko w dziedzinie pojedynczego wykresu.

Na wykresie Schwarzschilda (na statycznej sferycznie symetrycznej czasoprzestrzeni) element liniowy przyjmuje postać

${\ Displaystyle g = - a (r) ^ {2} \, dt ^ {2} + b (r) ^ {2} \, dr ^ {2} + r ^ {2} \left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b (r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}g_{\Omega}}$

${\ Displaystyle - \ infty <t <\ infty, \, r_ {0}<r <r_ {1}, \, 0 <\ theta <\ pi, \, - \ pi <\ phi <\ pi}$

Gdzie $sferyczną$ standardową $i$ standardową Zobacz Wyprowadzanie rozwiązania Schwarzschilda, aby uzyskać bardziej szczegółowe wyprowadzenie tego wyrażenia.

W zależności od kontekstu właściwe może być traktowanie a i b jako nieokreślonych funkcji współrzędnej promieniowej (na przykład przy wyprowadzaniu dokładnego statycznego, sferycznie symetrycznego rozwiązania równania pola Einsteina ). Alternatywnie możemy podłączyć określone funkcje (być może w zależności od niektórych parametrów), aby uzyskać wykres współrzędnych Schwarzschilda w określonej czasoprzestrzeni Lorentza.

Jeśli okaże się, że dopuszcza to tensor energii naprężenia taki, że wynikowy model spełnia równanie pola Einsteina (powiedzmy dla statycznego sferycznie symetrycznego doskonałego płynu spełniającego odpowiednie warunki energetyczne i inne właściwości oczekiwane od rozsądnego doskonałego płynu), to z odpowiednim tensorem pola reprezentujące wielkości fizyczne, takie jak gęstość materii i pędu, mamy kawałek możliwie większej czasoprzestrzeni; kawałek, który można uznać za lokalne rozwiązanie równania pola Einsteina.

Zabijanie pól wektorowych

W odniesieniu do wykresu Schwarzschilda, algebra Liego pól wektorowych Killing jest generowana przez podobne do czasu irrotacyjne pole wektorowe Killing

${\ Displaystyle \ częściowe _ {t}}$

i trzy kosmiczne pola wektorowe Killing

${\ Displaystyle \ częściowy _ {\ phi}}$

${\ Displaystyle \ sin \ phi \, \ częściowy _ {\ teta} + \ łóżeczko \ teta \, \ cos \ phi \, \ częściowe _ {\ phi}}$

${\ Displaystyle \ cos \ phi \, \ częściowe _ {\ teta} - \ łóżeczko \ theta \ ,\sin \phi \,\częściowe _{\phi}}$

Tutaj powiedzenie, że $oznacza,$ że ​​tensor wirowości odpowiedniej kongruencji znika zatem to pole wektora Killing jest hiperpowierzchniowo ortogonalne . Fakt, że nasza czasoprzestrzeń dopuszcza istnienie nierotacyjnego czasopodobnego pola wektorowego Killinga, jest w rzeczywistości cechą definiującą czasoprzestrzeń statyczną . Bezpośrednią konsekwencją jest to, że stała powierzchnia współrzędnych czasowych ${\ displaystyle t = t_ {0}}$ tworzą rodzinę (izometrycznych) przestrzennych hiperplastrów . (Nie jest to prawdą na przykład na wykresie Boyera – Lindquista dla zewnętrznego obszaru próżni Kerra , gdzie wektor współrzędnych czasowych nie jest ortogonalny hiperpowierzchni).

Zwróć uwagę, że ostatnie dwa pola to wzajemne obroty w ramach transformacji współrzędnych ${\ Displaystyle \ phi \ mapsto \ phi + \ pi / 2$ } Artykuł na temat zabijania pól wektorowych zawiera szczegółowe wyprowadzenie i omówienie trzech pól kosmicznych.

Rodzina statycznych sfer zagnieżdżonych

wykresie Schwarzschilda powierzchnie pojawiają $się$ okrągłe kule (kiedy wykreślamy polarny sposób sferyczny widzimy, że metryka Schwarzschilda ograniczona do którejkolwiek z tych powierzchni jest dodatnio określona i dana przez

${\ Displaystyle g | _ {t = t_ {0}, r = r_ {0}} = r_ {0} ^ {2} g _ {\ Omega} = r_ {0} ^ {2} \ lewo (d \ theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right),\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

Gdzie jest standardową metryką Riemanna na promieniu jednostkowym 2 $.$ Oznacza to, że te zagnieżdżone sfery współrzędnych faktycznie reprezentują sfery geometryczne z

1. powierzchnia ${\ Displaystyle A = 4 \ pi r_ {0} ^ {2}}$
2. Krzywizna Gaussa ${\ Displaystyle K = 1/r_ {0} ^ {2}}$

W szczególności są to geometryczne okrągłe kule . Co więcej $}$ współrzędne kątowe dokładnie zwykłymi biegunowymi sferycznymi współrzędnymi kątowymi: $displaystyle \$$theta$ nazywany colatitude i $\displaystyle \phi }$ jest zwykle nazywany długością geograficzną . Jest to zasadniczo definiująca cecha geometryczna wykresu Schwarzschilda.

Pomocne może być dodanie, że podane powyżej cztery pola zabijania, uważane za abstrakcyjne pola wektorowe na naszej rozmaitości lorentzowskiej, dają najprawdziwszy wyraz obu symetrii statycznej sferycznie symetrycznej czasoprzestrzeni, podczas gdy szczególna postać trygonometryczna , jaką przyjmują na naszym wykresie, to najprawdziwszym wyrazem znaczenia terminu wykres Schwarzschilda . W szczególności, trzy przestrzenne pola wektorowe Killing mają dokładnie taką samą postać jak trzy nietranslacyjne pola wektorowe Killing na sferycznie symetrycznym wykresie na E ³ ; to znaczy, wykazują pojęcie arbitralnej rotacji euklidesowej wokół początku lub symetrii sferycznej.

$. odległości pobranych wzdłuż$ generalnie współrzędna promieniowa Schwarzschilda nie oddaje dokładnie odległości promieniowych , tj kongruencji geodezyjnej, które powstają jako całkowe krzywe . Zamiast tego, aby znaleźć odpowiednie pojęcie „ odległości przestrzennej ” między dwiema naszymi zagnieżdżonymi sferami, powinniśmy zintegrować wzdłuż pewnego promienia współrzędnych od początku: ${\ displaystyle b (r) dr}$

${\ Displaystyle \ Delta \ rho = \ int _ {r_ {1}} ^ {r_ {2}} b (r) dr}$

Podobnie możemy traktować każdą kulę jako miejsce kulistej chmury wyidealizowanych obserwatorów, którzy muszą (ogólnie) używać silników rakietowych do przyspieszania promieniowego na zewnątrz, aby utrzymać swoją pozycję. Są to obserwatorzy statyczni i mają linie świata postaci ${\ Displaystyle r = r_ {0}, \ theta = \ theta _ {0}, \ phi = \ phi _ { 0}} , które$ na wykresie Schwarzschilda mają oczywiście postać pionowych linii współrzędnych .

Aby obliczyć właściwy odstęp czasu między dwoma zdarzeniami na linii świata jednego z tych obserwatorów, musimy zintegrować ${\ Displaystyle a (r) dt}$ odpowiedniej linii współrzędnych: za

${\ Displaystyle \ Delta \ tau = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} a (r) dt}$

Osobliwości współrzędnych

Patrząc wstecz na powyższe zakresy współrzędnych, zauważ, że osobliwość współrzędnych w ${\ Displaystyle t = t_ {0}, \, r = r_ {0}, \, \ theta = 0}$ oznacza położenie bieguna północnego jednej z naszych statycznych zagnieżdżonych sfer, podczas gdy ${\ Displaystyle t = t_ {0}, \, r = r_ {0}, \, \ theta =\pi }$ oznacza położenie bieguna południowego . Podobnie jak w przypadku zwykłego biegunowego wykresu sferycznego na E ³ , z przyczyn topologicznych nie możemy uzyskać ciągłych współrzędnych na całej kuli; musimy wybrać pewną długość geograficzną (wielkie koło), która będzie działać jako $południk zerowy$ i to z wykresu W rezultacie wycinamy zamkniętą półpłaszczyznę z każdego przestrzennego hiperplastra, $tym$$półpłaszczyznę$ rozciągającą się od tej

Kiedy powiedzieliśmy powyżej, że $polem wektorowym Killing, pominęliśmy pedantyczny$ , ale kwalifikator, o którym myślimy jako o $współrzędnej$ i rzeczywiście myśląc o naszych trzech kosmicznych wektorach zabijania działających na okrągłe kule.

Ewentualnie, oczywiście, ${\ displaystyle r_ {1}> 0}$ lub ${\ displaystyle r_ {2}<\ infty}$ , w takim przypadku musimy również wyciąć obszar na zewnątrz jakiejś piłki lub wewnątrz jakąś piłkę z dziedziny naszego wykresu. Dzieje się tak zawsze, gdy f lub g wybuchają przy jakiejś wartości współrzędnej promieniowej r Schwarzschilda.

Wizualizacja statycznych hiperplastrów

Aby lepiej zrozumieć znaczenie współrzędnej promieniowej Schwarzschilda, pomocne może być osadzenie jednego z przestrzennych hiperplastrów (oczywiście wszystkie są względem siebie izometryczne) w płaskiej przestrzeni euklidesowej t $\ displaystyle t = t_ {0}}$ . Osoby, które mają trudności z wizualizacją czterowymiarowej przestrzeni euklidesowej, z przyjemnością zauważą, że możemy wykorzystać symetrię sferyczną do wyeliminowania jednej współrzędnej . Można to wygodnie osiągnąć przez ustawienie ${\ displaystyle t = 0, \ teta = \ pi / 2}$ . Teraz mamy dwuwymiarową rozmaitość Riemanna z lokalnym wykresem współrzędnych promieniowych,

${\ Displaystyle g | _ {t = 0, \ theta =\pi /2}=b(r)^{2}dr^{2}+r^{2}d\phi ^{2},\;\;r_{1}<r<r_{2} ,\,-\pi <\phi <\pi }$

Aby osadzić tę powierzchnię (lub na pierścieniu ) w E ³ , przyjmujemy pole ramki w E ^3, które

1. jest zdefiniowana na sparametryzowanej powierzchni, która odziedziczy pożądaną metrykę z przestrzeni osadzania,
2. jest dostosowany do naszego wykresu radialnego,
3. ma nieokreśloną funkcję ${\ Displaystyle f (r)}$ .

Mianowicie, rozważ sparametryzowaną powierzchnię

${\ Displaystyle (z, r, \ phi) \ strzałka w prawo (f (r), \, r \ cos \ phi ,\,r\sin \phi )}$

Pola wektorów współrzędnych na tej powierzchni to

${\ Displaystyle \ częściowe _ {r} = (f ^ {\ liczba pierwsza }(r),\,\cos \phi ,\,\sin \phi ),\;\;\częściowa _{\phi }=(0,-r\sin \phi ,r\cos \phi )}$

Indukowana metryka odziedziczona, gdy ograniczymy metrykę euklidesową na E ³ do naszej sparametryzowanej powierzchni to

${\ Displaystyle d \ rho ^ {2} = \ left(1+f^{\prime }(r)^{2}\right)\,dr^{2}+r^{2}\,d\phi ^{2},\;r_{1}< r<r_{2},\,-\pi <\phi <\pi }$

Aby utożsamić to z metryką naszego hiperwycinka, powinniśmy ewidentnie wybrać takie, że ${\ displaystyle f (r)}$

${\ Displaystyle f ^ {\ pierwsza} (r) = {\ sqrt {1-b (r) ^ {2}}}}$

Aby wziąć nieco głupi przykład, możemy mieć ${\ Displaystyle b (r) = f (r) = \ sin (r)}$ .

Działa to w przypadku powierzchni, na których rzeczywiste odległości między dwoma promieniowo oddalonymi punktami są większe niż różnica między ich współrzędnymi promieniowymi. Jeśli rzeczywiste odległości są mniejsze , zamiast tego powinniśmy osadzić naszą rozmaitość riemannowską jako powierzchnię podobną do przestrzeni w E ^1,2 . Na przykład możemy mieć ${\ Displaystyle b (r) = f (r) = \ sinh (r)}$ . Czasami możemy potrzebować dwóch lub więcej lokalnych osadzania pierścieni pierścieniowych (dla obszarów o dodatniej lub ujemnej krzywiźnie Gaussa). Ogólnie rzecz biorąc, nie powinniśmy oczekiwać, że uzyskamy globalne osadzenie w dowolnej płaskiej przestrzeni (ze znikającym tensorem Riemanna).

Chodzi o to, że definiująca charakterystyka wykresu Schwarzschilda pod względem geometrycznej interpretacji współrzędnej radialnej jest właśnie tym, czego potrzebujemy do przeprowadzenia (w zasadzie) tego rodzaju sferycznie symetrycznego osadzania przestrzennych hiperplastrów.

Metryczny Ansatz

Podany powyżej element liniowy, gdzie f , g jest uważany za nieokreśloną funkcję współrzędnej promieniowej Schwarzschilda r , jest często używany jako metryczny ansatz w wyprowadzaniu statycznych rozwiązań sferycznie symetrycznych w ogólnej teorii względności (lub innych metrycznych teoriach grawitacji ).

Jako ilustrację wskażemy, jak obliczyć połączenie i krzywiznę za pomocą metody rachunku różniczkowego Cartana . Najpierw odczytujemy z elementu liniowego pole współramki ,

${\ Displaystyle \ sigma ^ {0} = - a (r) \ dt}$

${\ Displaystyle \ sigma ^ {1} = b (r ) \, dr}$

${\ Displaystyle \ sigma ^ {2} = rd \ teta \,}$

${\ Displaystyle \ sigma ^ {3} = r \ sin \ theta \,d\phi }$

$że$ uważamy, jeszcze nieokreślonymi $gładkimi$ . (Fakt, że nasza czasoprzestrzeń dopuszcza ramę mającą tę szczególną postać trygonometryczną, jest kolejnym równoważnym wyrażeniem pojęcia wykresu Schwarzschilda w statycznej, sferycznie symetrycznej rozmaitości Lorentza).

Po drugie, obliczamy zewnętrzne pochodne tych jedno-form kobazowych:

${\ Displaystyle d \ sigma ^ {0} = - a '(r) \, dr \ klin dt = {\ frac {a' (r)} {b (r)}} \, dt \ klin \ sigma ^ {1}}$

${\ Displaystyle d \ sigma ^ {1} = 0 \, }$

${\ Displaystyle d \ sigma ^ {2} = dr \ klin d \ teta}$

${\ Displaystyle d \ sigma ^ {3} = \ sin \ theta \, dr \ klin d \ phi + r \, \ cos \ theta \, d \ theta \ klin d \ phi = - \ lewo ({\ frac { \sin \theta \,d\phi }{b(r)}}\wedge \sigma ^{1}+\cos \theta \,d\phi \wedge \sigma ^{2}\right)}$

pierwszym równaniem strukturalnym Cartana (a raczej jego warunkiem całkowalności),

${\ Displaystyle d \ sigma ^ {\ kapelusz {m}} = - {\ omega ^ {\ kapelusz {m.}}} _ {\ kapelusz {n} }\,\klin \sigma ^{\kapelusz {n}}}$

zgadujemy wyrażenia dla połączenia jedno-formy . (Kapelusze są tylko narzędziem notacyjnym przypominającym nam, że indeksy odnoszą się do naszych jedno-form kobazowych, a nie do jedno-form współrzędnych ${\ Displaystyle dt, \, dr, \ ,d\theta ,d\phi }$ .)

Jeśli przypomnimy sobie, które pary indeksów są symetryczne (przestrzeń-czas), a które są antysymetryczne (przestrzeń-przestrzeń) w ${\ Displaystyle {\ omega ^ {\ kapelusz {m}}} _ {\ kapelusz {n }}}$ , możemy potwierdzić, że sześć jednoformatowych połączeń jest

${\ Displaystyle {\ omega ^ {0}} _ {1} = {\ Frac {a'} {b}} (r) \, dt} ω$

$\ displaystyle {\ omega ^ {0}} _ {2} = 0}$

${\ Displaystyle {\ omega ^ {0}} _ {3} = 0}$

${\ displaystyle {\ omega ^ {1}} _ {2} = - {\ Frac {d \ theta }{ b (r)}}}$

${\ Displaystyle {\ omega ^ {1}} _ {3} = - {\ Frac {\ sin \ teta \, d \ phi} {b (r)}}}$

${\ Displaystyle {\ omega ^ {2}} _ {3} = - \ sałata \ teta \, d \ phi}$

(W tym przykładzie tylko cztery z sześciu nie znikają.) Możemy zebrać te jedynki w macierz jedynki, a jeszcze lepiej w jedynkę o wartości SO(1,3). Należy zauważyć, że wynikowa macierz jednopostaci nie będzie całkiem antysymetryczna , jak w przypadku jednoformy o wartości SO(4); zamiast tego musimy użyć pojęcia transpozycji wynikającego z lorentzowskiego sprzężenia.

Po trzecie, obliczamy zewnętrzne pochodne postaci jednokierunkowych i używamy drugiego równania strukturalnego Cartana

${\ Displaystyle {\ Omega ^ {\ kapelusz {m}}} _ {\ kapelusz {n}} = d { \omega ^{\kapelusz {m}}}_{\kapelusz {n}}-{\omega ^{\kapelusz {m}}}_{\kapelusz {\ell}}\klin {\omega ^{\kapelusz {\ell}}}_{\kapelusz {n}}}$

obliczyć krzywiznę dwóch postaci. Po czwarte, używając formuły

${\ Displaystyle {\ Omega ^ {\ kapelusz {m}}} _ {\ kapelusz {n}} = {R ^ {\ kapelusz {m.}}} _ {{\ kapelusz {n} }|{\kapelusz {\imath }}{\kapelusz {\jmath}}|}\,\sigma ^{\kapelusz {\imath}}\klin \sigma ^{\kapelusz {\jmath}}}$

gdzie słupki Bacha wskazują, że powinniśmy sumować tylko po sześciu rosnących parach wskaźników ( i , j ), możemy odczytać liniowo niezależne składowe tensora Riemanna w odniesieniu do naszej współramki i jej pola układu podwójnego . Otrzymujemy:

${\ Displaystyle {R ^ {0}} _ {101} = {\ Frac {-a '' \, b + a' \ b '} {a \, b ^ {3}}} (r)}$

${\ Displaystyle {R ^ {0}} _ {202} = { \frac {1}{r}}{\frac {-a'}{a\,b^{2}}}(r)={R^{0}}_{303}}$

${\ Displaystyle {R ^ {1}} _ {212} = {\ Frac {1} {r}} {\ Frac {b'} {b ^ {3}}} (r) = {R ^ {1}} _ {313}}$

${\ Displaystyle {R ^ {2}} _ {323 }={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {b^{2}-1}{b^{2}}}(r)}$

$_ }}}}$ komponenty do macierzy

${\ Displaystyle \ lewo [{\ rozpocząć {macierz} R_ {0101} & R_ {0102} & R_ {0103} & R_ {0123} & R_ {0131} & R_ {0112} \\ R_ {0201} i R_ {0202} i R_ {0203} &R_{0223}&R_{0231}&R_{0212}\\R_{0301}&R_{0302}&R_{0303}&R_{0323}&R_{0331}&R_{0312}\\R_{2301}&R_{2302}&R_{ 2303}&R_{2323}&R_{2331}&R_{2312}\\R_{3101}&R_{3102}&R_{3103}&R_{3123}&R_{3131}&R_{3112}\\R_{1201}&R_{1202} &R_{1203}&R_{1223}&R_{1231}&R_{1212}\end{macierz}}\right]=\left[{\begin{macierz}E&B\\B^{T}&L\end{macierz}} \Prawidłowy]}$

gdzie E, L są symetryczne (ogólnie sześć liniowo niezależnych składowych), a B jest bezśladowe (ogólnie osiem liniowo niezależnych składowych), co uważamy za reprezentujące operator liniowy w sześciowymiarowej przestrzeni wektorowej dwóch postaci (w każde wydarzenie). Z tego możemy odczytać rozkład Bela w odniesieniu do czasowego pola wektora jednostkowego ${\ Displaystyle {\ vec {X}} = {\ vec {e}} _ { 0}={\frac {1}{a(r)}}\,\częściowe _{t}}$ . The tensor elektrograwitacyjny

$\ Displaystyle E [{\vec {X}}]_{11}={\frac {a''\,ba'\,b'}{a\,b^{3}}}(r),\;E[{ \vec {X}}]_{22}=E[{\vec {X}}]_{33}={\frac {1}{r}}{\frac {a'}{a\,b^ {2}}}(r)}$

Tensor magnetograwitacyjny znika identycznie, a tensor topograwitacyjny , z którego (wykorzystując fakt, że jest nierotacyjny) możemy wyznaczyć trójwymiarowy tensor Riemanna przestrzennych hiperplastrów, to ${\ displaystyle {\ vec {X}}}$

${\ Displaystyle L [{\ vec {X}}] _ {11} = {\ Frac {1} {r ^ {2}}} {\ Frac {1-b ^ {2}} {b ^ {2} }}(r),\;L[{\vec {X}}]_{22}=L[{\vec {X}}]_{33}={\frac {1}{r}}{\ frac {-b'}{b^{3}}}(r)}$

To wszystko dotyczy dowolnej rozmaitości Lorentza, ale zauważamy, że w ogólnej teorii względności tensor elektrograwitacyjny kontroluje naprężenia pływowe na małych obiektach, mierzone przez obserwatorów odpowiadających naszemu układowi, a tensor magnetograwitacyjny kontroluje wszelkie siły spin-spin działające na wirujące obiekty , jak zmierzyli obserwatorzy odpowiadający naszemu układowi.

podwójnej ramki naszego pola współramki to

${\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {0} = {\ Frac {1} {a (r)}} \, \ częściowe _ {t}}$

${\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {1} = {\ Frac {1} {b (r)}} \, \ częściowe _ {r}}$

${\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {2} = {\ Frac {1} {r}} \ \ częściowe _ {\ teta}}$

${\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {3} = {\ Frac {1} {r \ sin \ teta}} \, \ częściowe _ {\ phi}}$

Fakt, że współczynnik $, że ​​​​wykresy$ tutaj tylko pierwsze z trzech ortonormalnych przestrzennopodobnych pól wektorowych nie są przestrzennie izotropowe z wyjątkiem trywialny przypadek lokalnie płaskiej czasoprzestrzeni); pojawiają się raczej stożki światła (promieniowo spłaszczone) lub (promieniowo wydłużone). Jest to oczywiście tylko inny sposób na stwierdzenie, że wykresy Schwarzschilda poprawnie przedstawiają odległości w każdej zagnieżdżonej okrągłej kuli, ale współrzędna promieniowa nie odzwierciedla wiernie właściwej odległości promieniowej.

Niektóre dokładne rozwiązania dopuszczające wykresy Schwarzschilda

Niektóre przykłady dokładnych rozwiązań, które można uzyskać w ten sposób, obejmują:

• zewnętrzny obszar próżni Schwarzschilda ,
• to samo, dla elektropróżni Reissnera – Nordströma , która obejmuje poprzedni przykład jako przypadek szczególny,
• to samo, dla Reissner – Nordström – de Sitter electrolambdavacuum, które obejmuje poprzedni przykład jako przypadek szczególny,
• rozwiązanie Janisa-Newmana-Winacour (które modeluje zewnętrzną stronę statycznego obiektu sferycznie symetrycznego wyposażonego w bezmasowe pole skalarne o minimalnym sprzężeniu),
• modele gwiazd uzyskane przez dopasowanie obszaru wewnętrznego, który jest statycznym, sferycznie symetrycznym, doskonałym płynem w kulistym miejscu zanikającego ciśnienia , do obszaru zewnętrznego, który jest lokalnie izometryczny z częścią obszaru próżni Schwarzschilda.

Uogólnienia

Naturalne jest rozważenie niestatycznych, ale sferycznie symetrycznych czasoprzestrzeni z uogólnionym wykresem Schwarzschilda, w którym metryka przyjmuje postać

${\ Displaystyle g = -a (t ,r)^{2}\,dt^{2}+b(t,r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\ sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right),}$

${\ Displaystyle - \ infty <t <\ infty, \, r_ {0}<r <r_ {1}, \ ,0<\theta <\pi ,\,-\pi <\phi <\pi }$

Uogólniając w innym kierunku, możemy użyć innych układów współrzędnych na naszych okrągłych dwóch sferach, aby uzyskać na przykład stereograficzny wykres Schwarzschilda , który jest czasem przydatny:

${\ Displaystyle g = -a (r) ^ {2} \, dt ^ {2} + b (r) ^ {2} \, dr ^ {2} + {\ Frac {dx ^ {2} }+dy^{2}}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}},\;-\infty <t,x,y<\infty ,r_{1} <r<r_{2}}$

Zobacz też

• statyczna czasoprzestrzeń ,
• sferycznie symetryczna czasoprzestrzeń ,
• płyny doskonałe statyczne sferycznie symetryczne ,
• współrzędne izotropowe , kolejny popularny wykres statycznych czasoprzestrzeni sferycznie symetrycznych,
• Współrzędne biegunowe Gaussa , mniej powszechny wykres alternatywny dla statycznych czasoprzestrzeni sferycznie symetrycznych,
• Współrzędne Gullstrand-Painlevé , prosty wykres obowiązujący w horyzoncie zdarzeń statycznej czarnej dziury.
• pola ramek w ogólnej teorii względności , aby uzyskać więcej informacji o polach ramek i polach współramek,
• Rozkład Bela tensora Riemanna,
• kongruencja (ogólna teoria względności) , aby uzyskać więcej informacji na temat kongruencji, takich jak ${\ displaystyle {\ vec {X}}}$ powyżej,
• Współrzędne Kruskala – Szekeresa , wykres obejmujący całą rozmaitość czasoprzestrzenną maksymalnie rozszerzonego rozwiązania Schwarzschilda i zachowują się dobrze wszędzie poza fizyczną osobliwością,
• Współrzędne Eddingtona – Finkelsteina , alternatywny wykres statycznych czasoprzestrzeni sferycznie symetrycznych,
• Współrzędne Lemaître'a , najwcześniejszy wykres, który jest regularny na horyzoncie zdarzeń.