Współrzędne Lemaître'a

Współrzędne Lemaître'a to szczególny zestaw współrzędnych dla metryki Schwarzschilda - sferycznie symetrycznego rozwiązania równań pola Einsteina w próżni - wprowadzonej przez Georgesa Lemaître'a w 1932 r. Zmiana współrzędnych Schwarzschilda na Lemaître'a usuwa osobliwość współrzędnych w promieniu Schwarzschilda .

równania

Oryginalne wyrażenie współrzędnych Schwarzschilda metryki Schwarzschilda w jednostkach naturalnych ( c = G = 1 ) jest podane jako

{\ Displaystyle ds ^ {2} = \ left(1-{r_{s} \over r}\right)dt^{2}-{dr^{2} \over 1-{r_{s} \over r}}-r^{2}\left (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\right)\;,}

Gdzie

{\ displaystyle ds ^ {2}}

jest niezmiennym przedziałem ;

{\ Displaystyle r_ {s} = {\ Frac {2GM} {c ^ {2}}}}

to promień Schwarzschilda;

{\ displaystyle M}

to masa korpusu centralnego;

{\ Displaystyle t, r, \ theta, \ phi}

to współrzędne Schwarzschilda (które asymptotycznie zamieniają się w mieszkanie współrzędne sferyczne );

do {\ displaystyle c}

prędkość światła ;

i jest stałą

_

.

Ta metryka ma osobliwość współrzędnych w promieniu Schwarzschilda ${\ displaystyle r = r_ {s}}$ .

Georges Lemaître jako pierwszy wykazał, że nie jest to prawdziwa osobliwość fizyczna, ale po prostu przejaw faktu, że statyczne współrzędne Schwarzschilda nie mogą być zrealizowane z ciałami materialnymi wewnątrz promienia Schwarzschilda. Rzeczywiście, wewnątrz promienia Schwarzschilda wszystko spada w kierunku środka i ciało fizyczne nie jest w stanie utrzymać stałego promienia.

Transformacja układu współrzędnych Schwarzschilda z nowych współrzędnych ${\ displaystyle \ {t, r \}$ $\ tau \ rho \},}$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} d \ tau = dt + {\ sqrt {\ Frac {r_ {s}} {r}}} \, \ lewo (1- {\ Frac {r_ {s}}} {r} }\right)^{-1}dr~\\d\rho =dt+{\sqrt {\frac {r}{r_{s}}}}\,\left(1-{\frac {r_{s} }{r}}\right)^{-1}dr~\end{aligned}}}

(licznik i mianownik są zamieniane wewnątrz pierwiastków kwadratowych), prowadzi do wyrażenia współrzędnych Lemaître'a metryki,

{\ Displaystyle ds ^ {2} = d \ tau ^ {2} - {\ Frac {r_{s}}{r}}d\rho ^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})}

Gdzie

{\ Displaystyle r = \ lewo [{\ Frac {3} {2}} (\ rho - \ tau) \ prawo] ^ {2/3} r_ {s} ^ {1/3} \;.}

Trajektorie ze stałą ρ są geodezyjnymi czasopodobnymi z τ właściwym czasem wzdłuż tych geodezyjnych. Reprezentują one ruch swobodnie spadających cząstek, które zaczynają się od zerowej prędkości w nieskończoności. W dowolnym momencie ich prędkość jest równa prędkości ucieczki z tego punktu.

We współrzędnych Lemaître'a nie ma osobliwości w promieniu Schwarzschilda, który zamiast tego odpowiada punktowi ${\ Displaystyle {\ Frac {3} {2}} (\ rho - \ tau) = r_ {s}}$ . Jednak w środku pozostaje prawdziwa osobliwość grawitacyjna, $której$ nie usunąć zmianę

Układ współrzędnych Lemaître'a jest synchroniczny , to znaczy globalna współrzędna czasowa metryki określa właściwy czas współporuszających się obserwatorów. Spadające promieniowo ciała osiągają promień Schwarzschilda i środek w skończonym czasie właściwym.

Wzdłuż trajektorii promieniowego promienia światła,

{\ Displaystyle dr = \ lewo (\ pm 1 - {\ sqrt {r_ {s} \ nad r}} \ prawej) d \ tau,}

$nie$ może uciec z wnętrza promienia Schwarzschilda, gdzie zawsze i promienie światła emitowane promieniowo do wewnątrz i na zewnątrz kończą się u źródła

Zobacz też