Efekt geodezyjny

Ten artykuł jest o precesji orbitujących ciał. Aby zapoznać się z obserwacjami gwiazd podwójnych, zobacz eksperyment z podwójną gwiazdą de Sittera .

Reprezentacja efektu geodezyjnego z wartościami dla sondy grawitacyjnej B .

Efekt geodezyjny ( znany również jako precesja geodezyjna , precesja de Sittera lub efekt de Sittera ) reprezentuje wpływ krzywizny czasoprzestrzeni , przewidywanej przez ogólną teorię względności , na wektor niesiony wraz z orbitującym ciałem. Na przykład wektorem może być moment pędu żyroskopu krążącego wokół Ziemi, co zostało przeprowadzone w eksperymencie Gravity Probe B. Efekt geodezyjny został po raz pierwszy przewidziany przez Willema de Sittera w 1916 r., Który przedstawił relatywistyczne poprawki do ruchu układu Ziemia-Księżyc. Dzieło De Sittera zostało rozszerzone w 1918 roku przez Jana Schoutena , aw 1920 roku przez Adriaana Fokkera . Można go również zastosować do określonej świeckiej precesji orbit astronomicznych, równoważnej obrotowi wektora Laplace'a – Runge – Lenza .

Termin efekt geodezyjny ma dwa nieco różne znaczenia, ponieważ poruszające się ciało może się obracać lub nie. Ciała nieobracające się poruszają się w geodezji , podczas gdy ciała wirujące poruszają się po nieco innych orbitach.

Różnica między precesją de Sittera a precesją Lense-Thirringa (przeciąganie ramki) polega na tym, że efekt de Sittera wynika po prostu z obecności centralnej masy, podczas gdy precesja Lense-Thirringa jest spowodowana obrotem centralnej masy. Całkowita precesja jest obliczana przez połączenie precesji de Sittera z precesją Lense-Thirringa.

Eksperymentalne potwierdzenie

Efekt geodezyjny został zweryfikowany z dokładnością lepszą niż 0,5% w eksperymencie Gravity Probe B , który mierzy nachylenie osi obrotu żyroskopów na orbicie okołoziemskiej. Pierwsze wyniki ogłoszono 14 kwietnia 2007 roku na spotkaniu Amerykańskiego Towarzystwa Fizycznego .

Formuły

Aby wyprowadzić precesję, załóżmy, że system jest w obracającej się metryce Schwarzschilda . Metryka nierotująca to

${\ Displaystyle ds ^ {2}=dt^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)-dr^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right )^{-1}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi '^{2}),}$

gdzie c = G = 1.

Wprowadzamy obrotowy układ współrzędnych z prędkością kątową $,$ że satelita na orbicie kołowej w płaszczyźnie θ = π/2 pozostaje w spoczynku. To nam daje

${\ Displaystyle d \ phi = d \ phi '- \ omega \, dt.}$

W tym układzie współrzędnych obserwator znajdujący się w położeniu promieniowym r widzi, że wektor znajdujący się w punkcie r obraca się z częstotliwością kątową ω. Ten obserwator widzi jednak, że wektor ustawiony na innej wartości r obraca się z inną prędkością, z powodu relatywistycznej dylatacji czasu. Przekształcając metrykę Schwarzschilda w obracającą się ramę i zakładając, że $stałą$ , znajdujemy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} ds ^ {2} & = \ lewo (1 -{\frac {2m}{r}}-r^{2}\beta \omega ^{2}\right)\left(dt-{\frac {r^{2}\beta \omega}{1- 2m/rr^{2}\beta \omega ^{2}}}\,d\phi \right)^{2}-\\&-dr^{2}\left(1-{\frac {2m} {r}}\right)^{-1}-{\frac {r^{2}\beta -2mr\beta }{1-2m/rr^{2}\beta \omega ^{2}}}\ ,d\phi ^{2},\end{wyrównane}}}$

z ${\ Displaystyle \ beta = \ grzech ^ {2} (\ teta)}$ . Dla ciała orbitującego w płaszczyźnie θ = π/2 będziemy mieli β = 1, a linia świata ciała będzie przez cały czas utrzymywać stałe współrzędne przestrzenne. Teraz metryka jest w postaci kanonicznej

${\ Displaystyle ds ^ {2} = e ^ {2 \ Phi} \ lewo (dt-w_ {i} \, dx ^ {i} \ prawo) ^ {2} -k_ {ij} \, dx ^ {i }\,dx^{j}.}$

Z tej postaci kanonicznej możemy łatwo wyznaczyć prędkość obrotową żyroskopu we właściwym czasie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Omega & = {\ Frac {\ sqrt {2}} {4}} e ^ {\ Phi} [k ^ {ik} k ^ {jl} (\ omega _ {i ,j}-\omega _{j,i})(\omega _{k,l}-\omega _{l,k})]^{1/2}=\\&={\frac {{\ sqrt {\beta}}\omega (r-3m)}{r-2m-\beta \omega ^{2}r^{3}}}={\sqrt {\beta}}\omega .\end{wyrównane }}}$

gdzie ostatnia równość jest prawdziwa tylko dla swobodnie spadających obserwatorów, dla których nie ma przyspieszenia, a zatem ${\ Displaystyle \ Phi, _ {i} = 0}$ . To prowadzi do

${\ Displaystyle \ Phi, _ {i} = {\ Frac {2 m / r^{2}-2r\beta \omega ^{2}}{2(1-2m/rr^{2}\beta \omega ^{2})}}=0.}$

Rozwiązanie tego równania dla wydajności ω

${\ Displaystyle \ omega ^ {2} = {\ Frac {m} {r ^ {3} \ beta}}.}$

Zasadniczo jest to prawo okresów Keplera , które okazuje się relatywistycznie dokładne, gdy jest wyrażone jako współrzędna czasowa t tego konkretnego obracającego się układu współrzędnych. W obracającej się klatce satelita pozostaje w spoczynku, ale obserwator na pokładzie satelity widzi, że wektor momentu pędu żyroskopu postępuje z prędkością ω. Ten obserwator również widzi odległe gwiazdy jako obracające się, ale obracają się one z nieco inną prędkością z powodu dylatacji czasu. czasem własnym żyroskopu . Następnie

${\ Displaystyle \ Delta \ tau = \ lewo (1- {\ Frac {2m} {r}} -r ^ {2} \ beta \ omega ^ {2} \ prawo) ^ {1/2} \, dt = \left(1-{\frac {3m}{r}}\right)^{1/2}\,dt.}$

−2 m / r jest interpretowany jako dylatacja czasu grawitacyjnego, podczas gdy dodatkowy − m / r wynika z obrotu tego układu odniesienia. Niech α' będzie skumulowaną precesją w obracającym się układzie. Ponieważ ${\ Displaystyle \ alpha '= \ Omega \ Delta \ tau}$ , precesja na przebiegu jednej orbity względem odległych gwiazd jest dana wzorem: α ′ = Ω Δ τ {\ Displaystyle \ alpha '= \ Omega \ Delta \ tau}

${\ Displaystyle \ alfa = \ alfa '+ 2 \ pi = -2 \ pi {\ sqrt {\ beta}} {\ Bigg (} \ lewo (1- {\ Frac {3m} {r}} \ prawej) ^ {1/2}-1{\Bigg}}.}$

szeregiem Taylora pierwszego rzędu, który znajdujemy

${\ Displaystyle \ alfa \ około {\ Frac {3 \ pi m} {r}} {\ sqrt {\ beta}} = {\ Frac {3 \ pi m} {r}} \ sin (\ teta).}$

precesja Tomasza

Można spróbować rozbić precesję de Sittera na efekt kinematyczny zwany precesją Thomasa połączony z efektem geometrycznym spowodowanym grawitacyjnie zakrzywioną czasoprzestrzenią. Przynajmniej jeden autor opisuje to w ten sposób, ale inni twierdzą, że „Precesja Thomasa wchodzi w grę w przypadku żyroskopu na powierzchni Ziemi…, ale nie w przypadku żyroskopu w swobodnie poruszającym się satelicie”. Zastrzeżeniem wobec poprzedniej interpretacji jest to, że wymagana precesja Thomasa ma zły znak. Równanie transportu Fermiego-Walkera daje zarówno efekt geodezyjny, jak i precesję Thomasa i opisuje transport spinowego 4-wektora dla przyspieszonego ruchu w zakrzywionej czasoprzestrzeni. 4-wektor spinu jest prostopadły do ​​4-wektora prędkości. Transport Fermi-Walker zachowuje tę relację. Jeśli nie ma przyspieszenia, transport Fermiego-Walkera jest po prostu transportem równoległym wzdłuż geodezji i daje precesję spinu z powodu efektu geodezyjnego. Dla przyspieszenia spowodowanego ruchem jednostajnym po okręgu w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego transport Fermiego Walkera daje precesję Thomasa.

Zobacz też

• Przeciąganie ramek
• Geodezja w ogólnej teorii względności
• Studnia grawitacyjna
• Kalendarium fizyki grawitacji i teorii względności

Notatki

•   Wolfgang Rindler (2006) Teoria względności: specjalna, ogólna i kosmologiczna (wyd. 2), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-856731-8

Linki zewnętrzne

• Witryny Gravity Probe B w NASA i Uniwersytecie Stanforda
• Precesja w zakrzywionej przestrzeni „Efekt geodezyjny”
• Efekt geodezyjny