Metryka Kerra-Newmana

Metryka Kerra-Newmana jest najbardziej ogólnym asymptotycznie płaskim , stacjonarnym rozwiązaniem równań Einsteina -Maxwella w ogólnej teorii względności , które opisuje geometrię czasoprzestrzeni w obszarze otaczającym naładowaną elektrycznie, wirującą masę. Uogólnia metrykę Kerra , biorąc pod uwagę energię pola elektromagnetycznego , oprócz opisu rotacji. Jest to jedno z wielu różnych rozwiązań elektropróżniowych , to znaczy rozwiązań równań Einsteina-Maxwella, które uwzględniają energię pola elektromagnetycznego . Takie rozwiązania nie zawierają żadnych ładunków elektrycznych innych niż związane z polem grawitacyjnym i dlatego są nazywane rozwiązaniami próżniowymi .

To rozwiązanie nie było szczególnie przydatne do opisywania zjawisk astrofizycznych, ponieważ obserwowane obiekty astronomiczne nie posiadają znaczącego ładunku elektrycznego netto , a pola magnetyczne gwiazd powstają w wyniku innych procesów. Jako model realistycznych czarnych dziur pomija jakikolwiek opis opadającej materii barionowej , światła ( pyły zerowe ) lub ciemnej materii , a tym samym dostarcza co najwyżej niepełnego opisu czarnych dziur o masie gwiazdowej i aktywnych jąder galaktycznych . Rozwiązanie ma znaczenie teoretyczne i matematyczne, ponieważ stanowi dość prosty kamień węgielny do dalszych badań.

Rozwiązanie Kerra – Newmana jest szczególnym przypadkiem bardziej ogólnych dokładnych rozwiązań równań Einsteina – Maxwella z niezerową stałą kosmologiczną .

Historia

W grudniu 1963 roku Kerr i Schild znaleźli metryki Kerra-Schilda, które dały wszystkie przestrzenie Einsteina, które są dokładnymi perturbacjami liniowymi przestrzeni Minkowskiego. Na początku 1964 roku Roy Kerr szukał wszystkich przestrzeni Einsteina-Maxwella o tej samej właściwości. Do lutego 1964 r. Znany był specjalny przypadek, w którym naładowano przestrzenie Kerra – Schilda (obejmuje to rozwiązanie Kerra – Newmana), ale ogólny przypadek, w którym kierunki specjalne nie były geodezją podstawowej przestrzeni Minkowskiego, okazał się bardzo trudny. Problem został powierzony George'owi Debneyowi do rozwiązania, ale porzucono go w marcu 1964 r. Mniej więcej w tym czasie Ezra T. Newman znalazł rozwiązanie dla oskarżonego Kerra na podstawie domysłów. w 1965 roku Ezra „Ted” Newman znalazł osiowosymetryczne rozwiązanie równania pola Einsteina dla czarnej dziury, która zarówno się obraca, jak i ma ładunek elektryczny. Ten wzór na $jest$ metryczny nazywany metryką Kerra – Jest to uogólnienie metryki Kerra dla nienaładowanej wirującej masy punktowej, którą Roy Kerr odkrył dwa lata wcześniej.

W poniższej tabeli można podsumować cztery powiązane rozwiązania:

	Nieobrotowe ( J = 0)	Obracanie ( J ≠ 0)
Nienaładowany ( Q = 0)	Schwarzschilda	Kerr
Naładowany ( Q ≠ 0)	Reissner-Nordström	Kerra-Newmana

gdzie Q reprezentuje ładunek elektryczny ciała , a J jego spinowy moment pędu .

Przegląd rozwiązania

Wynik Newmana reprezentuje najprostsze stacjonarne , osiowosymetryczne , asymptotycznie płaskie rozwiązanie równań Einsteina w obecności pola elektromagnetycznego w czterech wymiarach. Jest to czasami określane jako „elektropróżniowe” rozwiązanie równań Einsteina.

Każde źródło Kerra-Newmana ma oś obrotu wyrównaną z osią magnetyczną. Zatem źródło Kerra-Newmana różni się od powszechnie obserwowanych ciał astronomicznych, dla których istnieje znaczny kąt między osią obrotu a momentem magnetycznym . W szczególności ani Słońce , ani żadna z planet Układu Słonecznego nie mają pól magnetycznych wyrównanych z osią obrotu. Tak więc, podczas gdy rozwiązanie Kerra opisuje pole grawitacyjne Słońca i planet, pola magnetyczne powstają w wyniku innego procesu.

Jeśli potencjał Kerra-Newmana jest uważany za model klasycznego elektronu, przewiduje on, że elektron ma nie tylko magnetyczny moment dipolowy, ale także inne momenty wielobiegunowe, takie jak elektryczny moment kwadrupolowy. Moment kwadrupolowy elektronu nie został jeszcze wykryty eksperymentalnie; wydaje się być zerowa.

W granicy G = 0 pola elektromagnetyczne są polami naładowanego obracającego się dysku wewnątrz pierścienia, w którym pola są nieskończone. Całkowita energia pola dla tego dysku jest nieskończona, więc ta G = 0 nie rozwiązuje problemu nieskończonej energii własnej .

Podobnie jak metryka Kerra dla nienaładowanej wirującej masy, wewnętrzne rozwiązanie Kerra-Newmana istnieje matematycznie, ale prawdopodobnie nie jest reprezentatywne dla rzeczywistej metryki fizycznie realistycznej obracającej się czarnej dziury z powodu problemów ze stabilnością horyzontu Cauchy'ego , z powodu inflacji masy napędzanej przez opadającą materię. Chociaż stanowi uogólnienie metryki Kerra, nie jest uważane za bardzo ważne dla celów astrofizycznych, ponieważ nie oczekuje się, że realistyczne czarne dziury mają znaczny ładunek elektryczny (oczekuje się, że będą miały niewielki ładunek dodatni, ale tylko dlatego, że proton ma znacznie większy pęd niż elektron, a zatem jest bardziej prawdopodobne, że pokona odpychanie elektrostatyczne i zostanie przeniesiony przez pęd przez horyzont).

Metryka Kerra – Newmana definiuje czarną dziurę z horyzontem zdarzeń tylko wtedy, gdy połączony ładunek i moment pędu są wystarczająco małe:

${\ Displaystyle J ^ {2} / M ^ {2} + Q ^ {2} \ równoważnik M ^ {2}.}$

Moment pędu elektronu J i ładunek Q (odpowiednio określony w jednostkach zgeometryzowanych ) przekraczają jego masę M , w którym to przypadku metryka nie ma horyzontu zdarzeń, a zatem nie może istnieć coś takiego jak elektron czarnej dziury - tylko osobliwość nagiego wirującego pierścienia . Taka metryka ma kilka pozornie niefizycznych właściwości, takich jak naruszenie przez pierścień hipotezy kosmicznej cenzury , a także pojawienie się łamiących przyczynowość zamkniętych krzywych czasopodobnych w bezpośrednim sąsiedztwie pierścienia.

Artykuł rosyjskiego teoretyka Aleksandra Burinskiego z 2009 roku uważał elektron za uogólnienie poprzednich modeli Israela (1970) i ​​Lopeza (1984), które obcięły „ujemny” arkusz metryki Kerra-Newmana, uzyskując źródło Kerr- Rozwiązanie Newmana w postaci relatywistycznie obracającego się dysku. Obcięcie Lopeza uregulowało metrykę Kerra-Newmana przez odcięcie w miejscu : ${\ Displaystyle r = r_ {e} = e ^ {2}/2M}$ , zastępując osobliwość płaską regularną przestrzenią -czas, tzw. „bańka”. Zakładając, że bańka Lopeza odpowiada przejściu fazowemu podobnemu do mechanizmu łamania symetrii Higgsa, Burinskii wykazał, że osobliwość pierścienia utworzona przez grawitację tworzy poprzez regularyzację nadprzewodzący rdzeń modelu elektronu i powinna być opisana przez supersymetryczny model pola Landaua-Ginzburga przejście fazowe:

Pomijając pośrednią pracę Burinsky'ego, dochodzimy do niedawnej nowej propozycji: uznać obciętą przez Israela i Lopeza negatywną warstwę rozwiązania KN za warstwę pozytonu.

Ta modyfikacja łączy rozwiązanie KN z modelem QED i pokazuje ważną rolę linii Wilsona utworzonych przez przeciąganie ramek potencjału wektora.

W rezultacie zmodyfikowane rozwiązanie KN wchodzi w silną interakcję z grawitacją Kerra, spowodowaną dodatkowym wkładem energetycznym próżni elektronowo-pozytonowej i tworzy relatywistyczną okrągłą strunę Kerra – Newmana o wielkości Comptona.

Przypadki ograniczające

Można zauważyć, że metryka Kerra – Newmana sprowadza się do innych dokładnych rozwiązań ogólnej teorii względności w granicznych przypadkach. Zmniejsza się do:

• Metryka Kerra , gdy ładunek Q dąży do zera.
• Reissnera – Nordströma , gdy moment pędu J (lub a = J / M ) dąży do zera.
• Metryka Schwarzschilda jako zarówno ładunek Q, jak i moment pędu J (lub a ) są sprowadzane do zera.
• Przestrzeń Minkowskiego , jeśli masa M , ładunek Q i parametr rotacyjny a są równe zeru. Alternatywnie, jeśli grawitacja ma zostać usunięta, przestrzeń Minkowskiego powstaje, jeśli stała grawitacji G wynosi zero, bez sprowadzania masy i ładunku do zera. W tym przypadku pola elektryczne i magnetyczne są bardziej skomplikowane niż zwykłe pola naładowanego dipola magnetycznego ; granica zerowej grawitacji nie jest trywialna.

Metryka

Metryka Kerra-Newmana opisuje geometrię czasoprzestrzeni obracającej się naładowanej czarnej dziury o masie M , ładunku Q i momencie pędu J . Formuła tej metryki zależy od wybranych współrzędnych lub warunków współrzędnych . Poniżej podano dwie formy: współrzędne Boyera – Lindquista i współrzędne Kerra – Schilda. Sama metryka grawitacyjna nie wystarczy do określenia rozwiązania równań pola Einsteina; należy również podać tensor naprężenia elektromagnetycznego. Oba są dostępne w każdej sekcji.

Współrzędne Boyera-Lindquista

Główny artykuł: współrzędne Boyera – Lindquista

Jednym ze sposobów wyrażenia tej metryki jest zapisanie jej elementu liniowego w określonym zestawie współrzędnych sferycznych , zwanych także współrzędnymi Boyera-Lindquista :

${\ Displaystyle c ^ {2} d \ tau ^ {2} = - \ lewo ({\ Frac {dr ^ {2}} {\ Delta}} + d \ teta ^ {2 }\right)\rho ^{2}+\left(c\,dt-a\sin ^{2}\theta \,d\phi \right)^{2}{\frac {\Delta }{\rho ^{2}}}-\left(\left(r^{2}+a^{2}\right)d\phi -ac\,dt\right)^{2}{\frac {\sin ^{ 2}\theta }{\rho ^{2}}}}$

gdzie współrzędne ( r , θ , ϕ ) są standardowym sferycznym układem współrzędnych , a skale długości:

${\ Displaystyle a = {\ Frac {J} {Mc}} \ ,}$

$\ Displaystyle \ \ rho ^ {2} = r ^ {2} + a ^ {2} \ cos ^ {2} \ teta \,,}$

$\ Displaystyle \ \ Delta = r ^ {2} -r_{s}r+a^{2}+r_{Q}^{2}\,,}$

zostały wprowadzone dla zwięzłości. Tutaj r _s jest promieniem Schwarzschilda masywnego ciała, który jest powiązany z jego całkowitym równoważnikiem masy M przez

${\ Displaystyle r_ {s} = {\ Frac {2GM} {c ^ {2}}}}$

gdzie G jest stałą grawitacji , a r _Q jest skalą długości odpowiadającą ładunkowi elektrycznemu Q masy

${\ Displaystyle r_ {Q} ^ {2} = {\ Frac {Q ^ {2} G} {4 \ pi \ epsilon _ {0} c ^ {4} }}}$

₀ gdzie 1/(4π ε ) jest stałą kulombowską .

Tensor pola elektromagnetycznego w postaci Boyera-Lindquista

Potencjał elektromagnetyczny we współrzędnych Boyera – Lindquista wynosi

${\ Displaystyle A _ {\ mu} = \ lewo ({\ Frac {r \ r_ {Q}}} {\ rho ^{2}}},0,0,-{\frac {\ a\ r\ r_ {Q}\sin ^{2}\theta}} {\rho ^{2}}}\right)}$

podczas gdy tensor Maxwella jest zdefiniowany przez

${\ Displaystyle F _ {\ mu \ nu} = {\ Frac {\ częściowe A_$

W połączeniu z symbolami Christoffela można wyprowadzić równania ruchu drugiego rzędu

${\ Displaystyle {{{\ ddot {x}} ^ {i} = - \ Gamma _ {jk$

gdzie jest $.$ masy badanej cząstki

Współrzędne Kerra – Schilda

Metrykę Kerra – Newmana można wyrazić w postaci Kerra – Schilda przy użyciu określonego zestawu współrzędnych kartezjańskich , zaproponowanego przez Kerra i Schilda w 1965 r. Metryka jest następująca.

${\ Displaystyle g _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} + fk_ {\ mu} k_ {\ nu} \!}$

${\ Displaystyle f = {\ Frac {Gr ^ {2}} {r ^ {4} + a ^ {2} z ^ {2}} }\left[2Mr-Q^{2}\right]}$

${\ Displaystyle \ mathbf {k} = (k_ {x}, k_ {y} ,k_{z})=\left({\frac {rx+ay}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {ry-ax}{r^{2}+a^ {2}}}, {\ Frac {z} {r}} \ prawej)}$

${\ Displaystyle k_ {0} = 1. \!}$

Zauważ, że k jest wektorem jednostkowym . Tutaj M jest stałą masą wirującego obiektu, Q jest stałym ładunkiem wirującego obiektu, η jest metryką Minkowskiego , a a = J / M jest stałym parametrem obrotowym wirującego obiektu. Rozumie się, że wektor $jest$ dodatniej osi z, tj. ${\ Displaystyle {\ vec {a}} = a {\ kapelusz {z}}}$ . Wielkość r nie jest promieniem, ale jest domyślnie zdefiniowana w następujący sposób:

${\ Displaystyle 1 = {\ Frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {r ^ {2} + a ^ {2} }}+{\frac {z^{2}}{r^{2}}}}$

Zauważ, że wielkość r staje się zwykłym promieniem R

${\ Displaystyle r \ do R = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}$

gdy parametr obrotowy a zbliża się do zera. W tej formie rozwiązania jednostki są tak dobrane, aby prędkość światła wynosiła jedność ( c = 1). Aby zapewnić kompletne rozwiązanie równań Einsteina-Maxwella , rozwiązanie Kerra-Newmana zawiera nie tylko wzór na tensor metryczny, ale także wzór na potencjał elektromagnetyczny:

${\ Displaystyle A _ {\ mu} = {\ Frac {Qr ^ {3}} {r ^ {4} + a ^ {2} z ^ {2 }}}k_{\mu}}$

Przy dużych odległościach od źródła ( R ≫ a ) równania te redukują się do metryki Reissnera – Nordströma z:

${\ Displaystyle A _ {\ mu} = {\ Frac {Q} {R}} k_ {\ mu}}$

W postaci Kerra – Schilda metryki Kerra – Newmana wyznacznik tensora metryki jest wszędzie równy ujemnej, nawet w pobliżu źródła.

Pola elektromagnetyczne w postaci Kerra-Schilda

Pola elektryczne i magnetyczne można uzyskać w zwykły sposób, różniczkując czteropotencjał w celu uzyskania tensora natężenia pola elektromagnetycznego . Wygodnie będzie przejść na trójwymiarową notację wektorową.

${\ Displaystyle A_ {\ mu} = \ lewo (- \ phi, A_ {x}, A_ {y}, A_ {z} \ prawej) \ ,}$

Statyczne pola elektryczne i magnetyczne są wyprowadzane z potencjału wektorowego i potencjału skalarnego w następujący sposób:

${\ Displaystyle {\ vec {E}} = - {\ vec {\ nabla}} \ phi \,} B → = ∇ → ×$

${B}} ={\vec {\nabla}}\razy {\vec {A}}\,}$

Zastosowanie wzoru Kerra – Newmana dla czteropotencjału w postaci Kerra – Schilda, w granicy masy dążącej do zera, daje następujący zwięzły, złożony wzór na pola:

${\ Displaystyle {\ vec {E}} + i {\ vec {B}} = - {\ vec {\ nabla}} \ Omega \,}$

${\ Displaystyle \ Omega = {\ Frac {Q} {\ sqrt {({\ vec {R}} -i {\ vec {a}}) ^ {2}}}} \, }$

Wielkość omega ( $równaniu$ jest podobna do potencjału Coulomba , z wyjątkiem tego, że wektor promienia jest przesunięty o wyimaginowaną wielkość. Ten złożony potencjał omówił już w XIX wieku francuski matematyk Paul Émile Appell .

Nieredukowalna masa

Całkowity równoważnik masy M , który zawiera energię pola elektrycznego i energię rotacji , oraz masę nierozkładalną M _irr są powiązane wzorem

${\ Displaystyle M _ {\ rm {irr}} = {\frac {1}{2}}{\sqrt {2M^{2}-r_{Q}^{2}c^{4}/G^{2}+2M{\sqrt {M^{2} -(r_{Q}^{2}+a^{2})c^{4}/G^{2}}}}}}$

które można odwrócić, aby uzyskać

$\ Displaystyle M = {\ Frac {4M _ {\ rm {irr}} ^ {2}+r_{Q}^{2}c^{4}/G^{2}}{2{\sqrt {4M_{\rm {irr}}^{2}-a^{2}c^ {4}/G^{2}}}}}}$

Aby naładować elektrycznie i/lub obrócić neutralne i statyczne ciało, do układu należy przyłożyć energię. Ze względu na równoważność masy i energii ta energia ma również równoważnik masy; dlatego M jest zawsze wyższe _niż Mirr . Jeśli na przykład energia rotacji czarnej dziury zostanie pobrana za pomocą procesów Penrose'a , pozostała masa-energia zawsze pozostanie większa lub _równa Mirr .

Ważne powierzchnie

Horyzonty zdarzeń i ergosfery naładowanej i wirującej czarnej dziury w pseudosferycznych współrzędnych r , θ , φ i kartezjańskich x , y , z .

Ustawienie ${rr}}$$daje$ na 0 i rozwiązanie dla wewnętrzny i zewnętrzny horyzont zdarzeń , który znajduje się na współrzędnej Boyera-Lindquista

${\ Displaystyle r _ {\ tekst {H}} ^ {\ pm} = {\ Frac {r _ {\ rm {s}}} {2}} \ pm {\ sqrt {{\ Frac {r_ {\ rm {s }}^{2}}{4}}-a^{2}-r_{Q}^{2}}}.}$

Powtarzanie tego kroku z ergosferą wewnętrzną i zewnętrzną daje ${\ displaystyle g_ {tt}}$

${\ Displaystyle r _ {\ tekst {E}} ^ {\ pm} = {\ Frac {r _ {\ rm {s}}} {2}} \ pm {\ sqrt {{\ Frac {r_ {\ rm {s }}^{2}}{4}}-a^{2}\cos^{2}\theta -r_{Q}^{2}}}.}$

Badana cząstka na orbicie wokół obracającej się i naładowanej czarnej dziury ( a / M = 0,9, Q / M = 0,4)

Równania ruchu

$displaystyle$$Coulomba$ używamy jednostek $}$$,$ ze stałą redukuje się do $\ Displaystyle$$}$ do M ${\ textstyle Q/M \ {\ sqrt {K/G}}}$ i równania ruchu dla badanej cząstki o ładunku ${\ displaystyle q}$ stają się

${\ Displaystyle {\ kropka {t}} = {\ Frac {\ csc ^ {2} \ teta \ ({L_ {$

${\ Displaystyle {\ kropka {r}} = \ pm {\ Frac {\ sqrt {((r ^ {2} + a ^{2})\ Ea\ L_{z}-q\ Q\ r)^{2}-\Delta \ (C+r^{2})}}{\rho ^{2}}}}$

${\ Displaystyle {\ kropka {\ teta}} = \ pm {\ Frac {\ sqrt {C- (a \ cos \ teta) ^ {2} - (a \ \ sin ^{2}\theta \ E-L_{z})^{2}/\sin ^{2}\theta }}{\rho ^{2}}}}$

${\ Displaystyle {\ kropka {\ phi}} = {\ Frac {E \ (a \ \ sin ^ {2 }\theta \ (r^{2}+a^{2})-a\ \sin ^{2}\theta \ \Delta )+L_{z}\ (\Delta -a^{2}\ \sin ^{2}\theta )-q\ Q\ r\ a\ \sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}\ \Delta \ \sin ^{2}\theta }}}$

gdzie $osiowego$$całkowitej$ energii i momentu pędu jest stałą Cartera : $do {\ displaystyle C$

${\ Displaystyle C = p _ {\ teta} ^ {2} + \ cos ^ {2} \ teta \ lewo (a ^ {2} (1-E ^ {2}) + {\ Frac {L_ {z} ^ {2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)=a^{2}\ (1-E^{2})\ \sin ^{2}\delta +L_{z}^{ 2}\ \tan ^{2}\delta ={\rm {stała}}}$

gdzie $rho ^ {2}}$ { $}$$\$ kąt nachylenia orbity.

Śledzony promieniami cień wirującej i naładowanej czarnej dziury z dyskiem akrecyjnym i parametrami a/M =0,95, Q/M =0,3. Lewa strona czarnej dziury obraca się w kierunku obserwatora, nachylenie osi obrotu względem obserwatora wynosi 45°.

${\ Displaystyle L_ {z} = {\ Frac {v ^ {\ fi} \ {\ bar {R}}} {\ sqrt {1-v ^ {2}}}} = {\ rm {stała}} }$

I

${\ Displaystyle E = {\ sqrt {\ Frac {\ Delta \ \ rho ^ {2}} {(1-v ^ {2}) \ \ chi}}} + \ Omega \ L_ {z} = {\ rm {konst.}}}$

są również wielkościami konserwowanymi.

${\ Displaystyle \ Omega = - {\ Frac {g_ {t \ phi}} {g_ {\ phi \ phi}}} = {\ frac {a\left(2r-Q^{2}\right)}{\chi }}}$

jest prędkością kątową indukowaną przez przeciąganie ramki. Skrócony termin jest zdefiniowany przez ${\ displaystyle \ chi}$

${\ Displaystyle \ chi = \ lewo (a ^ {2} + r ^ {2} \ prawo) ^ {2} -a ^ {2 }\ \sin ^{2}\theta \ \Delta }$

Relacja między pochodnymi współrzędnych ${\ Displaystyle {\ kropka {r}}, \ {\ kropka {\ theta}}, \ {\ kropka {\ phi}}} a lokalnym$ 3- prędkość jest ${\ displaystyle v}$

${\ Displaystyle v ^ {r} = {\ kropka {r}} \ {\ sqrt {\ Frac {\ rho ^ {2} \ (1-v ^ {2})}{\Delta}}}}$

dla radialnego,

${\ Displaystyle v ^ {\ teta} = {\ kropka {\ teta}} \ {\ sqrt {\ rho ^ {2} \ (1-v ^ {2 })}}}$

dla poloidii,

${\ Displaystyle v ^ {\ phi} = {\ Frac {L_ {z} {\ sqrt {1-v ^ {2}}}} {\ bar {R}} }}$

dla osiowego i

${\ Displaystyle v = {\ Frac {\ sqrt {{\ kropka {t }}^{2}-\varsigma ^{2}}}{\dot {t}}}={\sqrt {\frac {\chi \ (E-L_{z}\ \Omega)^{2}- \Delta \ \rho ^{2}}{\chi \ (E-L_{z}\ \Omega )^{2}}}}}$

dla całkowitej prędkości lokalnej, gdzie

${\ Displaystyle {\ bar {R}} = {\ sqrt {-g _ {\ phi \ phi}}} = {\ sqrt {\ Frac {\ chi} {\rho ^{2}}}}\ \sin \theta}$

jest osiowym promieniem bezwładności (obwód lokalny podzielony przez 2π) oraz

${\ Displaystyle \ varsigma = {\ sqrt {g ^ {tt}}} = {\ Frac {\ chi} {\ Delta \ \ rho ^ {2}}}}$

składnik grawitacyjnej dylatacji czasu. Lokalna radialna prędkość ucieczki dla neutralnej cząstki wynosi zatem

${\ Displaystyle v _ {\ rm {esc}} = {\ Frac {\ sqrt {\ varsigma ^ {2} -1}} {\ varsigma}}}$ .

Bibliografia

•   Wald, Robert M. (1984). ogólna teoria względności . Chicago: University of Chicago Press. s. 312–324. ISBN 978-0-226-87032-8 .

Linki zewnętrzne

• Adamo, Tim; Newman, Ezdrasz (2014). „Metryka Kerra – Newmana” . Scholarpedia . 9 (10): 31791. arXiv : 1410,6626 . Bibcode : 2014SchpJ...931791N . doi : 10.4249/scholarpedia.31791 . współautorem jest sam Ezra T. Newman
• SR Made Easy, rozdział 11: Naładowane i obracające się czarne dziury i ich termodynamika