Roztwór elektropróżniowy

W ogólnej teorii względności rozwiązanie elektropróżniowe ( elektropróżnia ) jest dokładnym rozwiązaniem równania pola Einsteina , w którym jedyną niegrawitacyjną masą-energią jest energia pola elektromagnetycznego , które musi spełniać (zakrzywioną czasoprzestrzeń) wolny od źródła Maxwell równania odpowiednie dla danej geometrii. Z tego powodu elektropróżnie są czasami nazywane (bezźródłowymi) rozwiązaniami Einsteina-Maxwella .

Definicja

W ogólnej teorii względności geometrycznym ustawieniem zjawisk fizycznych jest rozmaitość Lorentza , która jest interpretowana jako zakrzywiona czasoprzestrzeń i która jest określona przez zdefiniowanie tensora metrycznego (lub przez zdefiniowanie pola ramki ${\ displaystyle g_ {ab}}$ ). Tensor krzywizny Riemanna $rozmaitości$ $,$ takie jak tensor Einsteina . W ogólnej teorii względności można je interpretować jako geometryczne manifestacje (krzywizny i siły) pola grawitacyjnego .

$,$ definiując pola elektromagnetycznego na naszej rozmaitości Lorentza. Aby zostać sklasyfikowanym jako rozwiązanie elektropróżniowe, te dwa tensory muszą spełniać dwa następujące warunki

Tensor pola elektromagnetycznego musi spełniać równania pola Maxwella zakrzywionej czasoprzestrzeni bez źródła ${\ Displaystyle \, F_ {ab; c} + F_ {bc; a} + F_ {ca; b} = 0}$ i ${\ Displaystyle {F ^ {jb}} _ {; j} = 0}$
Tensor Einsteina musi pasować do tensora naprężenia i energii elektromagnetycznej $\ Displaystyle G ^ {ab} = 2 \, \ left(F^{a}{}_{j}F^{bj}-{\frac {1}{4}}g^{ab}\,F^{mn}\,F_{mn}\right) }$ sol za .

Pierwsze równanie Maxwella jest spełnione automatycznie, jeśli zdefiniujemy tensor pola za pomocą wektora potencjału elektromagnetycznego ${\ displaystyle {\ vec {A}}}$ . Jeśli chodzi $lub$ podwójny kowektor ( potencjalną jednoformę ) i dwuformę elektromagnetyczną , możemy to , Następnie musimy tylko upewnić się, że rozbieżności zniknęły (tj. że drugie równanie Maxwella jest spełnione dla pola bez źródła ) i że energia naprężenia elektromagnetycznego odpowiada tensorowi Einsteina.

Niezmienniki

Tensor pola elektromagnetycznego jest antysymetryczny i ma tylko dwa algebraicznie niezależne niezmienniki skalarne,

{\ Displaystyle I = \ gwiazda (F \ klin \ gwiazda F) = F_ { ab}\,F^{ab}=-2\,\left(\|{\vec {E}}\|^{2}-\|{\vec {B}}\|^{2}\right )}

{\ Displaystyle J = \ gwiazda (F \ klin F) = F_ {ab} \, {\ gwiazda F }^{ab}=-4\,{\vec {E}}\cdot {\vec {B}}}

Tutaj gwiazdą jest gwiazda Hodge'a .

Korzystając z nich, możemy sklasyfikować możliwe pola elektromagnetyczne w następujący sposób:

Jeśli $niektórzy$ pole elektrostatyczne $pole$ co oznacza, że obserwatorzy zmierzą statyczne pole elektryczne, a nie
Jeśli ${\ displaystyle I> 0}$ $ale$ mamy magnetostatyczne , co oznacza, że obserwatorzy zmierzą statyczne pole magnetyczne, a nie pole elektryczne.
Jeśli $się, że$ pole elektromagnetyczne jest i mamy próżnię elektryczną

Zerowe elektropróżnie są związane z promieniowaniem elektromagnetycznym. Pole elektromagnetyczne, które nie jest zerowe, nazywamy niezerowym , a wtedy mamy niezerową elektropróżnię .

Tensor Einsteina

Składowe tensora obliczane w odniesieniu do pola ramy , a nie podstawy współrzędnych , są często nazywane składnikami fizycznymi , ponieważ są to składowe, które obserwator może (w zasadzie) zmierzyć.

W przypadku rozwiązania elektroodkurzającego, dostosowana rama

{\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {0}, \; {\ vec {e}} _ {1}, \; {\ vec {e }}_{2},\;{\vec {e}}_{3}}

zawsze można znaleźć taki, w którym tensor Einsteina ma szczególnie prosty wygląd. Tutaj pierwszy wektor jest rozumiany jako pole wektora jednostkowego podobne do czasu ; jest to wszędzie styczne do linii świata odpowiedniej rodziny przystosowanych obserwatorów , których ruch jest „wyrównany” z polem elektromagnetycznym. Ostatnie trzy to kosmiczne pola wektorów jednostkowych.

W przypadku niezerowej elektropróżni można znaleźć dostosowany układ, w którym tensor Einsteina przyjmuje postać

^ {{\ kapelusz {a}} {\ kapelusz {b}}} = 8 \ pi \ epsilon \, \ lewo [{\ początek{macierz}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\koniec{macierz}}\prawo]}

gdzie jest $.$ energii pola elektromagnetycznego, mierzoną przez dowolnego przystosowanego obserwatora Z tego wyrażenia łatwo zauważyć, że grupa izotropowa naszej niezerowej elektropróżni jest generowana przez wzmocnienia w kierunku i obroty wokół $\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {3}$ ${\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {3}}$ oś. Innymi słowy, grupa izotropowa dowolnej niezerowej elektropróżni jest dwuwymiarową abelową grupą Liego izomorficzną z SO (1,1) x SO (2).

Dla zerowej elektropróżni można znaleźć zaadaptowaną ramkę, w której tensor Einsteina przyjmuje postać

{\ Displaystyle G ^ {{\ kapelusz {a}} {\ kapelusz {b}}} = 8 \ pi \ epsilon \, \ lewo [{

Z tego łatwo zauważyć, że grupa izotropowa naszej zerowej elektropróżni obejmuje obroty wokół osi ${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {3}}$ ; dwa kolejne $generatory$ to dwie paraboliczne transformacje wyrównane z kierunkiem podanym w artykule o grupie Innymi słowy, grupa izotropowa dowolnej zerowej próżni jest trójwymiarową grupą Liego izomorficzną z E (2), grupą izometrii płaszczyzny euklidesowej.

Fakt, że wyniki te są dokładnie takie same w zakrzywionych czasoprzestrzeniach, jak w przypadku elektrodynamiki w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego, jest jednym z przejawów zasady równoważności .

Wartości własne

Charakterystyczny wielomian tensora Einsteina niezerowej elektropróżni musi mieć postać

{\ Displaystyle \ chi (\ lambda) = \ lewo (\ lambda + 8 \ pi \ epsilon \ prawo) ^ {2} \ ,\left(\lambda -8\pi \epsilon \right)^{2}}

Używając tożsamości Newtona , warunek ten można ponownie wyrazić za pomocą śladów potęg tensora Einsteina jako

{\ Displaystyle t_ {1} = t_ {3} = 0, \; t_ {4} = t_ {2} ^ {2}/4}

Gdzie

\ Displaystyle t_ { 1}={G^{a}}_{a},\;t_{2}={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a},\;t_ {3}={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a},\;t_{4}={ G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}}

To niezbędne kryterium może być przydatne do sprawdzania, czy przypuszczalne niezerowe rozwiązanie elektropróżniowe jest wiarygodne, a czasami jest przydatne do znajdowania niezerowych roztworów elektropróżniowych.

Charakterystyczny wielomian zerowej elektropróżni znika identycznie , nawet jeśli gęstość energii jest różna od zera . Ta możliwość jest tensorowym odpowiednikiem dobrze znanego faktu, że wektor zerowy zawsze ma zanikającą długość, nawet jeśli nie jest wektorem zerowym. Zatem każda zerowa elektropróżnia ma jedną poczwórną wartość własną , czyli zero.

Warunki Rainicha

W 1925 roku George Yuri Rainich przedstawił czysto matematyczne warunki, które są zarówno konieczne, jak i wystarczające, aby rozmaitość Lorentza dopuszczała interpretację w ogólnej teorii względności jako niezerową elektropróżnię. Obejmują one trzy warunki algebraiczne i jeden warunek różniczkowy. Warunki są czasami przydatne do sprawdzania, czy domniemana niezerowa elektropróżnia naprawdę jest tym, co twierdzi, a nawet do znajdowania takich rozwiązań.

Analogiczne warunki konieczne i wystarczające dla zerowej elektropróżni zostały znalezione przez Charlesa Torre.

Pola testowe

Czasami można założyć, że energia pola dowolnego pola elektromagnetycznego jest tak mała, że jego efekty grawitacyjne można pominąć. Następnie, aby otrzymać przybliżone rozwiązanie elektropróżniowe, wystarczy rozwiązać równania Maxwella na danym roztworze próżniowym . W tym przypadku pole elektromagnetyczne jest często nazywane polem testowym , analogicznie do terminu „ cząstka testowa” (oznaczającego mały obiekt, którego masa jest zbyt mała, aby znacząco wpływać na otaczające pole grawitacyjne).

Tutaj warto wiedzieć, że wszelkie wektory zabijania, które mogą być obecne, będą (w przypadku rozwiązania próżniowego) automatycznie spełniać równania Maxwella zakrzywionej czasoprzestrzeni .

Zauważ, że ta procedura sprowadza się do założenia, że pole elektromagnetyczne, ale nie pole grawitacyjne, jest „słabe”. Czasami możemy pójść jeszcze dalej; jeśli pole grawitacyjne jest również uważane za „słabe”, możemy niezależnie rozwiązać zlinearyzowane równania pola Einsteina i (płaska czasoprzestrzeń) równania Maxwella na tle próżni Minkowskiego. Wtedy (słaby) tensor metryczny daje przybliżoną geometrię; tło Minkowskiego jest nieobserwowalne metodami fizycznymi, ale matematycznie znacznie prostsze w użyciu, ilekroć taka sztuczka może ujść na sucho.

Przykłady

Godne uwagi indywidualne niezerowe rozwiązania elektropróżniowe obejmują:

Elektropróżnia Reissnera – Nordströma (która opisuje geometrię wokół naładowanej kulistej masy),
Elektropróżnia Kerra – Newmana (która opisuje geometrię wokół naładowanego, obracającego się obiektu),
Elektropróżnia Melvina (model cylindrycznie symetrycznego pola magnetostatycznego),
Elektropróżnia Garfinkle – Melvina (podobnie jak poprzednia, ale zawierająca falę grawitacyjną przemieszczającą się wzdłuż osi symetrii),
Elektropróżnia Bertottiego – Robinsona: jest to prosta czasoprzestrzeń o niezwykłej strukturze produktu; wynika to ze swoistego „wysadzenia” horyzontu elektropróżni Reissnera-Nordströma,
Elektropróżnia Wittena (odkryta przez Louisa Wittena , ojca Edwarda Wittena ).

Godne uwagi indywidualne zerowe rozwiązania elektropróżniowe obejmują:

monochromatyczna elektromagnetyczna fala płaska , dokładne rozwiązanie, które jest ogólnym relatywistycznym odpowiednikiem fal płaskich w klasycznym elektromagnetyzmie,
Elektropróżnia Bella – Szekeresa (model zderzającej się fali płaskiej).

Niektóre dobrze znane rodziny elektropróżni to:

Elektropróżnia Weyla – Maxwella : to rodzina wszystkich statycznych osiowosymetrycznych roztworów elektropróżni; obejmuje elektropróżnię Reissnera – Nordströma,
Elektropróżnia Ernsta – Maxwella : to rodzina wszystkich stacjonarnych osiowosymetrycznych roztworów elektropróżni; obejmuje elektropróżnię Kerra – Newmana,
Elektropróżnie Becka – Maxwella : wszystkie nieobrotowe cylindrycznie symetryczne rozwiązania elektropróżni,
Elektropróżnia Ehlersa – Maxwella : wszystkie stacjonarne cylindrycznie symetryczne rozwiązania elektropróżniowe,
Elektropróżnie Szekeresa: wszystkie pary zderzających się fal płaskich, gdzie każda fala może zawierać zarówno promieniowanie grawitacyjne, jak i elektromagnetyczne; te rozwiązania są zerowymi elektropróżniami poza strefą interakcji , ale generalnie niezerowymi elektropróżniami wewnątrz strefy interakcji, ze względu na nieliniowe oddziaływanie dwóch fal po ich zderzeniu.

Wiele czasoprzestrzeni fal pp dopuszcza tensor pola elektromagnetycznego, który zamienia je w dokładne zerowe rozwiązania elektropróżniowe.

Zobacz też

Stefani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Korneliusz; Herlt, Eduard (2003). Dokładne rozwiązania równań pola Einsteina . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-46136-7 . Zobacz sekcję 5.4 dla warunków Rainicha, sekcję 19.4 dla elektropróżni Weyla-Maxwella, sekcję 21.1 dla elektropróżni Ernsta-Maxwella, sekcję 24.5 dla fal pp, sekcję 25.5 dla elektropróżni Szekeresa itp.
Griffiths, JB (1991). Zderzające się fale płaskie w ogólnej teorii względności . Oksford: Clarendon Press . ISBN 0-19-853209-1 . Ostateczne źródło informacji o zderzających się falach płaskich, w tym przykłady wspomniane powyżej.