Klasyfikacja pól elektromagnetycznych

W geometrii różniczkowej i fizyce teoretycznej klasyfikacja pól elektromagnetycznych jest punktową klasyfikacją dwuwektorów w każdym punkcie rozmaitości Lorentza . Jest używany w badaniu rozwiązań równań Maxwella i ma zastosowanie w teorii względności Einsteina .

Twierdzenie klasyfikacyjne

Pole elektromagnetyczne w punkcie p (tj. zdarzeniu) lorentzowskiej czasoprzestrzeni jest reprezentowane przez rzeczywisty dwuwektor F = F ^ab zdefiniowany w przestrzeni stycznej w p .

Przestrzeń styczna w p jest izometryczna jako rzeczywista przestrzeń iloczynu wewnętrznego do E ^1,3 . Oznacza to, że ma to samo pojęcie wielkości wektora i kąta , co czasoprzestrzeń Minkowskiego . Aby uprościć notację, założymy, że czasoprzestrzeń jest czasoprzestrzenią Minkowskiego. To ma tendencję do zacierania rozróżnienia między przestrzenią styczną w p a leżącą u jej podstaw rozmaitością; na szczęście ta specjalizacja nic nie traci, z powodów, które omówimy na końcu artykułu.

Twierdzenie klasyfikacyjne dla pól elektromagnetycznych charakteryzuje dwuwektor F w odniesieniu do metryki Lorentza η = η _ab poprzez zdefiniowanie i zbadanie tak zwanych „głównych kierunków zerowych”. Wyjaśnijmy to.

Dwuwektor F ^ab daje skośno-symetryczny operator liniowy F ^a _b = F ^ac η _cb zdefiniowany przez obniżenie o jeden indeks z metryką. Działa na przestrzeń styczną w p przez r ^a → F ^a _b r ^b . Użyjemy symbolu F do oznaczenia dwuwektora lub operatora, w zależności od kontekstu.

Wspominamy o dychotomii zaczerpniętej z algebry zewnętrznej. Dwuwektor, który można zapisać jako F = v ∧ w , gdzie v , w są liniowo niezależne, nazywa się prostym . Każdy niezerowy dwuwektor w 4-wymiarowej przestrzeni wektorowej jest albo prosty, albo można go zapisać jako F = v ∧ w + x ∧ y , gdzie v , w , x i y są liniowo niezależne; te dwa przypadki wzajemnie się wykluczają. Ujmując to w ten sposób, dychotomia nie odnosi się do metryki η , tylko do algebry zewnętrznej. Ale łatwo zauważyć, że powiązany operator liniowy skośno-symetryczny F ^a _b ma rangę 2 w pierwszym przypadku i rangę 4 w drugim przypadku.

Aby sformułować twierdzenie klasyfikacyjne, rozważymy problem wartości własnej dla F , to znaczy problem znalezienia wartości własnych λ i wektorów własnych r , które spełniają równanie wartości własnej

${\ Displaystyle F ^ {a} {} _ {b} r ^ {b} = \ lambda \, r ^ {a}.}$

Skośna symetria F oznacza, że:

• albo wektor własny r jest wektorem zerowym (tj. η ( r , r ) = 0 ), albo wartość własna λ wynosi zero, albo jedno i drugie .

Jednowymiarowa podprzestrzeń generowana przez zerowy wektor własny nazywana jest głównym zerowym kierunkiem dwuwektora.

Twierdzenie o klasyfikacji charakteryzuje możliwe główne kierunki zerowe dwuwektora. Stwierdza, że ​​dla każdego niezerowego dwuwektora musi zachodzić jedno z poniższych stwierdzeń:

• dwuwektor ma jeden „powtarzający się” główny kierunek zerowy; w tym przypadku mówi się, że sam dwuwektor ma wartość null ,
• dwuwektor ma dwa różne główne kierunki zerowe; w tym przypadku bivector jest nazywany non-null .

Ponadto dla dowolnego dwuwektora niezerowego dwie wartości własne związane z dwoma różnymi głównymi kierunkami zerowymi mają tę samą wielkość, ale przeciwny znak, λ = ± ν , więc mamy trzy podklasy dwuwektorów niezerowych:

• przestrzennopodobny : ν = 0
• podobny do czasu : ν ≠ 0 i ranga F = 2
• nieproste : ν ≠ 0 i ranga F = 4 ,

gdzie ranga odnosi się do rangi operatora liniowego F .

Interpretacja fizyczna

Podana powyżej algebraiczna klasyfikacja dwuwektorów ma ważne zastosowanie w fizyce relatywistycznej : pole elektromagnetyczne jest reprezentowane przez skośno-symetryczne pole tensorowe drugiego rzędu ( tensor pola elektromagnetycznego ), więc od razu otrzymujemy algebraiczną klasyfikację pól elektromagnetycznych.

Na wykresie kartezjańskim w czasoprzestrzeni Minkowskiego tensor pola elektromagnetycznego ma składowe

${\ styl wyświetlania F_{ab}=\left({\begin{matrix}0&B_{z}&-B_{y}&E_{x}/c\\-B_{z}&0&B_{x}&E_{y}/c\\ B_{y}&-B_{x}&0&E_{z}/c\\-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c&0\end{macierz}}\right)}$

gdzie ${\ Displaystyle E_ {x}, E_ {y}, E_ {z}}$ i ${\ Displaystyle B_ {x}, B_ {y}, B_ {z}}$ oznaczają odpowiednio składowe pola elektrycznego i magnetycznego, zmierzone przez obserwatora inercjalnego (w spoczynku w naszych współrzędnych). Jak zwykle w fizyce relatywistycznej, wygodnie będzie nam pracować z jednostkami zgeometryzowanymi , w których ${\ displaystyle c = 1}$ . W formalizmie szczególnej teorii względności „ Gimnastyka indeksowa ” $.$ Minkowskiego służy do podnoszenia i obniżania wskaźników

Niezmienniki

Podstawowymi niezmiennikami pola elektromagnetycznego są:

${\ Displaystyle P \ równoważnik {\ Frac {1} {2} }}F_{ab}\,F^{ab}=\|{\vec {B}}\|^{2}-{\frac {\|{\vec {E}}\|^{2}} {c^{2}}}=-{\frac {1}{2}}{}^{*}F_{ab}\,{}^{*}F^{ab}}$

$ab} \, {} ^{*}F^{ab}={\frac {1}{8}}\epsilon ^{abcd}F_{ab}F_{cd}={\frac {{\vec {E}}\cdot {\ vec {B}}}{c}}}$ .

(Fundamentalny oznacza, że ​​każdy inny niezmiennik można wyrazić w kategoriach tych dwóch).

Zerowe pole elektromagnetyczne charakteryzuje się ${\ displaystyle P = Q = 0}$ . W tym przypadku niezmienniki ujawniają, że pola elektryczne i magnetyczne są prostopadłe i mają tę samą wielkość (w jednostkach zgeometryzowanych). Przykładem pola zerowego jest płaska fala elektromagnetyczna w przestrzeni Minkowskiego .

Pole inne niż zerowe charakteryzuje się ${\ Displaystyle P ^ {2} + Q ^ {2} \ neq \, 0}$ . Jeśli $, dla którego$ układ odniesienia pole elektryczne lub magnetyczne (Odpowiadają one odpowiednio polom magnetostatycznym i elektrostatycznym ). Jeśli istnieje układ bezwładności, w którym pola elektryczne i magnetyczne $są$

Zakrzywione rozmaitości lorentzowskie

Do tej pory omawialiśmy tylko czasoprzestrzeń Minkowskiego . Zgodnie z (silną) zasadą równoważności, jeśli po prostu zastąpimy „ramę inercjalną” polem ramki , wszystko działa dokładnie tak samo na zakrzywionych rozmaitościach.

Zobacz też

• Twierdzenie o peelingu elektromagnetycznym
• Roztwór elektropróżniowy
• grupa Lorentza
• Klasyfikacja Pietrowa

Notatki

•   Landau, Lew D.; Lifszyc, EM (1973). Klasyczna teoria pól . Nowy Jork: Pergamon. ISBN 0-08-025072-6 . Patrz sekcja 25 .