Zerowy roztwór pyłu

W fizyce matematycznej rozwiązanie pyłu zerowego (czasami nazywane płynem zerowym ) to rozmaitość Lorentza, w której tensor Einsteina jest równy zeru . Taką czasoprzestrzeń można interpretować jako dokładne rozwiązanie równania pola Einsteina , w którym jedyna masa-energia obecna w czasoprzestrzeni pochodzi z pewnego rodzaju bezmasowego promieniowania .

Definicja matematyczna

Z definicji tensor Einsteina zerowego roztworu pyłu ma postać sol za $Displaystyle G ^ {ab} = 8 \ pi \ Phi \, k ^ {a} \, k$ gdzie ${\ displaystyle {\ vec {k}}}$ jest zerowym polem wektorowym . Ta definicja ma sens czysto geometryczny, ale jeśli umieścimy tensor energii naprężenia w naszej czasoprzestrzeni w postaci ${\ Displaystyle T ^ {ab} = \ Phi \, k ^ {a} \, k ^ {b}}$ , wtedy równanie pola Einsteina jest spełnione, a taki tensor energii naprężenia ma jasną interpretację fizyczną w postaci bezmasowej promieniowanie. Pole wektorowe określa kierunek, w którym porusza się promieniowanie; mnożnik skalarny określa jego intensywność.

Interpretacja fizyczna

Fizycznie rzecz biorąc, pył zerowy opisuje albo promieniowanie grawitacyjne , albo jakiś rodzaj promieniowania niegrawitacyjnego, który jest opisywany przez relatywistyczną klasyczną teorię pola (taką jak promieniowanie elektromagnetyczne ), lub kombinację tych dwóch. Pyły zerowe obejmują roztwory próżniowe jako szczególny przypadek.

Zjawiska, które można modelować za pomocą zerowych roztworów pyłowych, obejmują:

wiązka neutrin uznana dla uproszczenia za bezmasową (traktowana zgodnie z fizyką klasyczną),
fala elektromagnetyczna o bardzo wysokiej częstotliwości,
wiązka niespójnego promieniowania elektromagnetycznego.

W szczególności płaska fala niespójnego promieniowania elektromagnetycznego jest liniową superpozycją fal płaskich, z których wszystkie poruszają się w tym samym kierunku, ale mają losowo wybrane fazy i częstotliwości. (Chociaż równanie pola Einsteina jest nieliniowe, możliwa jest liniowa superpozycja współprzemieszczających się fal płaskich). Tutaj każda płaska fala elektromagnetyczna ma dobrze określoną częstotliwość i fazę, ale superpozycja nie. Pojedyncze elektromagnetyczne fale płaskie są modelowane przez zerowe roztwory elektropróżni , podczas gdy niespójna mieszanina może być modelowana przez zerowy pył.

Tensor Einsteina

Składowe tensora obliczane w odniesieniu do pola ramy , a nie podstawy współrzędnych , są często nazywane składnikami fizycznymi , ponieważ są to składowe, które obserwator może (w zasadzie) zmierzyć.

W przypadku rozwiązania zerowego pyłu, dostosowana rama

{\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {0}, \; {\ vec {e}} _ {1}, \; {\ vec {e }}_{2},\;{\vec {e}}_{3}}

( odpowiednio czasopodobne pole wektora jednostkowego i trzy podobne do przestrzeni pola wektora jednostkowego) zawsze można znaleźć, w którym tensor Einsteina ma szczególnie prosty wygląd:

{\ Displaystyle G ^ {{\ kapelusz {a}} {\ kapelusz {b}}} = 8 \ pi \ epsilon \, \ lewo [{

Tutaj $obserwatorzy$ styczna do linii świata naszych przystosowanych obserwatorów , a ci mierzą gęstość energii niespójnego promieniowania jako ${\ displaystyle \ epsilon }$ .

Z podanej powyżej postaci ogólnego wyrażenia na podstawie współrzędnych widać, że tensor energii naprężenia ma dokładnie tę samą grupę izotropii , co zerowe pole wektorowe ${\ displaystyle {\ vec {k}}}$ . Jest generowany przez dwie paraboliczne transformacje Lorentza (wskazujące w kierunku ${e}} }_{3}}$ $\$ displaystyle osi) i jest izometryczna względem trójwymiarowej grupy Liego ${\ Displaystyle E (2)}$ , grupa izometrii płaszczyzny euklidesowej.

Przykłady

Rozwiązania zerowego pyłu obejmują dwie duże i ważne rodziny dokładnych rozwiązań:

czasoprzestrzenie falowe pp (które modelują uogólnienia fal płaskich znanych z elektromagnetyzmu ),
Zerowe pyły Robinsona-Trautmana (które modelują promieniowanie rozszerzające się od promieniującego obiektu).

Fale pp obejmują płaskie fale grawitacyjne i monochromatyczne elektromagnetyczne fale płaskie . Szczególnym przykładem cieszącym się dużym zainteresowaniem jest

wiązka Bonnora , dokładne rozwiązanie modelujące nieskończenie długą wiązkę światła otoczoną obszarem próżni.

Pyły zerowe Robinsona – Trautmana obejmują rozwiązania rakiet fotonowych Kinnersleya – Walkera , które obejmują zerowy pył Vaidya , w tym próżnię Schwarzschilda .

Zobacz też

Stefani, Hans; Kramer, Dietrich; Maccallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius & Herlt, Eduard (2003). Dokładne rozwiązania równań pola Einsteina . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-46136-7 . . Ta standardowa monografia podaje wiele przykładów zerowych roztworów pyłu.