Warunki współrzędnych

W ogólnej teorii względności prawa fizyki można wyrazić w ogólnie kowariantnej formie. Innymi słowy, opis świata podany przez prawa fizyki nie zależy od naszego wyboru układów współrzędnych. Jednak często przydatne jest ustalenie określonego układu współrzędnych, aby rozwiązać rzeczywiste problemy lub dokonać rzeczywistych prognoz. Warunek współrzędnych wybiera taki układ(y) współrzędnych.

Nieoznaczoność w ogólnej teorii względności

Równania pola Einsteina nie określają metryki w sposób jednoznaczny, nawet jeśli wiadomo, ile wynosi tensor metryki wszędzie w czasie początkowym. Ta sytuacja jest analogiczna do niepowodzenia równań Maxwella w unikalnym określeniu potencjałów. W obu przypadkach niejednoznaczność można usunąć przez ustalenie miernika . Zatem warunki współrzędnych są rodzajem warunków skrajni. Żaden warunek współrzędnych nie jest generalnie kowariantny, ale wiele warunków współrzędnych jest kowariantnych Lorentza lub kowariantnych rotacyjnie .

Naiwnie można by sądzić, że warunki współrzędnych przyjmą postać równań ewolucji czterech współrzędnych i rzeczywiście w niektórych przypadkach (np. warunek współrzędnych harmonicznych) można je przedstawić w takiej postaci. Jednak częściej pojawiają się one jako cztery dodatkowe równania (poza równaniami pola Einsteina) dla ewolucji tensora metrycznego. Same równania pola Einsteina nie określają w pełni ewolucji metryki względem układu współrzędnych. Mogłoby się wydawać, że tak, ponieważ istnieje dziesięć równań określających dziesięć składników metryki. Jednak ze względu na drugą tożsamość Bianchiego tensora krzywizny Riemanna rozbieżność tensora Einsteina wynosi zero, co oznacza, że cztery z dziesięciu równań są zbędne, pozostawiając cztery stopnie swobody, które można powiązać z wyborem czterech współrzędnych. Ten sam wynik można uzyskać z rozwinięcia równania Master przez Kramersa-Moyala-vana-Kampena (przy użyciu współczynników Clebscha-Gordana do rozkładu iloczynów tensorowych) ^{[ potrzebne źródło ]} .

Współrzędne harmoniczne

Szczególnie przydatnym warunkiem współrzędnych jest warunek harmoniczny (znany również jako „skrajnia de Dondera”):

{\ Displaystyle 0 = \ Gamma _ {\ beta \ gamma} ^ {\ alfa} g ^ {\ beta \ gamma} \!.}

Tutaj gamma jest symbolem Christoffela (znanym również jako „połączenie afiniczne”), a „g” z indeksami górnymi jest odwrotnością tensora metrycznego . Ten warunek harmoniczny jest często używany przez fizyków podczas pracy z falami grawitacyjnymi . Ten warunek jest również często używany do wyprowadzenia przybliżenia post-newtonowskiego .

Chociaż warunek współrzędnych harmonicznych nie jest generalnie kowariantny, jest to kowariantny Lorentza. Ten warunek współrzędnych rozwiązuje niejednoznaczność tensora metrycznego, $cztery dodatkowe równania różniczkowe,$ spełniać tensor metryczny.

Współrzędne synchroniczne

Innym szczególnie przydatnym warunkiem współrzędnych jest warunek synchroniczny:

{\ Displaystyle g_ {01} = g_ {02} = g_ {03} = 0 \!}

I

{\ displaystyle g_ {00} = - 1 \!}

.

Współrzędne synchroniczne są również znane jako współrzędne Gaussa. Są często używane w kosmologii .

Warunek współrzędnych synchronicznych nie jest ogólnie kowariantny ani kowariantny Lorentza. Ten warunek współrzędnych rozwiązuje niejednoznaczność $, dostarczając cztery równania algebraiczne,$ metrycznego metryczny.

Inne współrzędne

Fizycy stosowali wiele innych warunków współrzędnych, choć żaden nie był tak wszechobecny, jak te opisane powyżej. Prawie wszystkie warunki współrzędnych używane przez fizyków, w tym warunki współrzędnych harmonicznych i synchronicznych, byłyby spełnione przez tensor metryczny, który wszędzie jest równy tensorowi Minkowskiego . (Jednakże, ponieważ tensor Riemanna, a zatem i Ricciego, dla współrzędnych Minkowskiego jest identycznie zerowy, równania Einsteina dają zerową energię/materię dla współrzędnych Minkowskiego, więc współrzędne Minkowskiego nie mogą być akceptowalną ostateczną odpowiedzią.) W przeciwieństwie do warunków współrzędnych harmonicznych i synchronicznych, niektóre powszechnie stosowane warunki współrzędnych mogą być albo niedookreślające, albo nadmiernie determinujące.

Przykładem warunku niedostatecznie determinującego jest algebraiczne stwierdzenie, że wyznacznik tensora metrycznego wynosi −1, co nadal pozostawia znaczną swobodę cechowania. Warunek ten musiałby zostać uzupełniony innymi warunkami, aby usunąć niejednoznaczność tensora metrycznego.

Przykładem warunku nadmiernie determinującego jest stwierdzenie algebraiczne, że różnica między tensorem metrycznym a tensorem Minkowskiego jest po prostu czterowektorem zerowym , co jest znane jako forma metryki Kerra-Schilda . Ten warunek Kerra-Schilda wykracza daleko poza usuwanie niejednoznaczności współrzędnych, a tym samym określa również rodzaj fizycznej struktury czasoprzestrzennej. Wyznacznik tensora metrycznego w metryce Kerra-Schilda jest ujemny, co samo w sobie jest warunkiem współrzędnych niedostatecznie determinującym.

Wybierając warunki współrzędnych, należy uważać na iluzje lub artefakty, które mogą powstać w wyniku tego wyboru. Na przykład metryka Schwarzschilda może obejmować pozorną osobliwość na powierzchni, która jest oddzielona od źródła punktowego, ale ta osobliwość jest jedynie artefaktem wyboru warunków współrzędnych, a nie wynikającą z rzeczywistej rzeczywistości fizycznej.

Jeśli ktoś ma zamiar rozwiązać równania pola Einsteina za pomocą przybliżonych metod, takich jak rozwinięcie postnewtonowskie , powinien spróbować wybrać warunek współrzędnych, który sprawi, że rozwinięcie zbiegnie się tak szybko, jak to możliwe (lub przynajmniej zapobiegnie rozbieżności). Podobnie w przypadku metod numerycznych należy unikać kaustyki (osobliwości współrzędnych).

Kowariantne warunki współrzędnych Lorentza

Jeśli połączymy warunek współrzędnych, który jest kowariantem Lorentza, taki jak wspomniany powyżej warunek współrzędnych harmonicznych, z równaniami pola Einsteina , otrzymamy teorię, która jest w pewnym sensie zgodna zarówno ze szczególną, jak i ogólną teorią względności. Do najprostszych przykładów takich warunków współrzędnych należą:

${\ Displaystyle g _ {\ alfa \ beta, \ gamma} \ eta ^ {\ beta \ gamma} = k \, g _ {\ mu \ nu, \ alfa} \ eta ^ {\ mu \ nu} \,.}$
${\ Displaystyle g ^ {\ alfa \ beta} {} _ {, \ beta} = k \, g ^ {\ mu \ nu} {} _ {, \ gamma} \ eta _ {\ mu \ nu} \ eta ^{\alfa \gamma}\,.}$

gdzie można ustalić stałą k na dowolną dogodną wartość.

przypisy

^ Salam, Abdus i in. Wybrane dokumenty Abdusa Salama , strona 391 (World Scientific 1994).
^ Stephani, Hans i Stewart, Jan. Ogólna teoria względności , strona 20 (Cambridge University Press 1990).
Bibliografia _ Ma i E. Bertschinger (1995). „Teoria perturbacji kosmologicznych w synchronicznych i konforemnych miernikach Newtona”. Astrofia. J. _ 455 : 7–25. arXiv : astro-ph/9506072 . Bibcode : 1995ApJ...455....7M . doi : 10.1086/176550 .
^ ^ab ^Indian Pandey, SN „O uogólnionej czasoprzestrzeni Peresa”, Journal of Pure and Applied Mathematics (1975), cytując Mollera, C. Teorię względności (Clarendon Press 1972).
^ Chandrasekhar, S. The Mathematical Theory of Black Holes , strona 302 (Oxford University Press, 1998). Zasugerowano uogólnienia warunków Kerra-Schilda; np. patrz Hildebrandt, Sergi. „Kerr-Schild i uogólnione ruchy metryczne”, strona 22 (Arxiv.org 2002).
Bibliografia _ Dokładne rozwiązania równań pola Einsteina , strona 485 (Cambridge University Press 2003).
^ Data, Ghanashyam. „Wykłady na temat wprowadzenia do ogólnej teorii względności” zarchiwizowane 20.07.2011 w Wayback Machine , strona 26 (Instytut Nauk Matematycznych 2005).

[1] Salam, Abdus i in. Wybrane dokumenty Abdusa Salama , strona 391 (World Scientific 1994).

[2] Stephani, Hans i Stewart, Jan. Ogólna teoria względności , strona 20 (Cambridge University Press 1990).

[3] Bibliografia _ Ma i E. Bertschinger (1995). „Teoria perturbacji kosmologicznych w synchronicznych i konforemnych miernikach Newtona”. Astrofia. J. _ 455 : 7–25. arXiv : astro-ph/9506072 . Bibcode : 1995ApJ...455....7M . doi : 10.1086/176550 .

[Moller-4] Indian Pandey, SN „O uogólnionej czasoprzestrzeni Peresa”, Journal of Pure and Applied Mathematics (1975), cytując Mollera, C. Teorię względności (Clarendon Press 1972).

[5] Chandrasekhar, S. The Mathematical Theory of Black Holes , strona 302 (Oxford University Press, 1998). Zasugerowano uogólnienia warunków Kerra-Schilda; np. patrz Hildebrandt, Sergi. „Kerr-Schild i uogólnione ruchy metryczne”, strona 22 (Arxiv.org 2002).

[6] Bibliografia _ Dokładne rozwiązania równań pola Einsteina , strona 485 (Cambridge University Press 2003).

[7] Data, Ghanashyam. „Wykłady na temat wprowadzenia do ogólnej teorii względności” zarchiwizowane 20.07.2011 w Wayback Machine , strona 26 (Instytut Nauk Matematycznych 2005).