Rama synchroniczna

Układ synchroniczny to układ odniesienia, w którym współrzędna czasowa określa czas właściwy dla wszystkich poruszających się wspólnie obserwatorów. Jest zbudowany poprzez wybranie pewnej hiperpowierzchni stałej czasu jako początku, takiej, która ma w każdym punkcie normalną wzdłuż linii czasu i można skonstruować stożek światła z wierzchołkiem w tym punkcie; wszystkie elementy interwałowe na tej hiperpowierzchni są przestrzenne . Rodzina geodetów normalne do tej hiperpowierzchni są rysowane i definiowane jako współrzędne czasowe z początkiem na hiperpowierzchni. Jeśli chodzi o składowe metryczno-tensorowe , ramka synchroniczna jest zdefiniowana tak, że sol $displaystyle g_ {ik}}$

${\ Displaystyle g_ {00} = 1, \ quad g_ {0 \ alfa} = 0}$

gdzie ${\ Displaystyle \ alpha = 1,2,3.}$ Taka konstrukcja, a co za tym idzie wybór ramki synchronicznej, jest zawsze możliwy, choć nie jest unikalny. Pozwala na dowolną transformację współrzędnych przestrzennych niezależną od czasu, a dodatkowo transformację spowodowaną arbitralnym wyborem hiperpowierzchni użytej dla tej konstrukcji geometrycznej.

Synchronizacja w dowolnym układzie odniesienia

⁰ Synchronizacja zegarów znajdujących się w różnych punktach przestrzeni oznacza, że ​​zdarzenia zachodzące w różnych miejscach można mierzyć jako równoczesne, jeśli zegary te wskazują te same czasy. W szczególnej teorii względności element odległości przestrzennej dl definiuje się jako odstępy między dwoma bardzo bliskimi zdarzeniami, które mają miejsce w tym samym momencie. W ogólnej teorii względności nie można tego zrobić, to znaczy nie można zdefiniować dl przez proste zastąpienie dt ≡ dx = 0 w metryce . Powodem tego jest odmienna zależność między ⁰ właściwy czas $.$ współrzędna czasowa x ≡ t w różnych punktach przestrzeni, tj ${\ displaystyle cd \ tau = {\ sqrt {g_ {00}}} dx ^ {0}.}$

Rycina 1. Synchronizacja zegarów w zakrzywionej przestrzeni za pomocą sygnałów świetlnych.

Aby znaleźć dl w tym przypadku, czas można zsynchronizować w dwóch nieskończenie małych sąsiednich punktach w następujący sposób (ryc. 1): Bob wysyła sygnał świetlny z jakiegoś punktu kosmicznego B o współrzędnych ${\ displaystyle x ^ { \alpha }+dx^{\alpha }}$ do Alicji, która znajduje się bardzo blisko punktu A o współrzędnych x ^α , a następnie Alicja natychmiast odbija sygnał z powrotem do Boba. Czas potrzebny na tę operację (mierzony przez Boba) pomnożony przez c to oczywiście podwojona odległość między Alicją a Bobem.

Element liniowy , z oddzielonymi współrzędnymi przestrzennymi i czasowymi, to:

${\ Displaystyle ds ^ {2} = g _ {\ alfa \ beta} \, dx ^{\alpha }\,dx^{\beta }+2g_{0\alpha }\,dx^{0}\,dx^{\alpha }+g_{00}\left(dx^{0}\right )^{2},}$

 

 

 

 

()

gdzie powtarzający się indeks grecki w terminie oznacza sumowanie przez wartości 1, 2, 3. Odstęp między zdarzeniami nadejścia sygnału i jego natychmiastowego odbicia z powrotem w punkcie A wynosi zero (dwa zdarzenia, nadejście i odbicie, mają miejsce w tym samym punkcie w przestrzeń i czas). W przypadku sygnałów ${\ displaystyle ds = 0}$ przedział czasoprzestrzenny wynosi zero, a zatem ustawiając w powyższym równaniu, możemy rozwiązać dx , uzyskując dwa pierwiastki: ⁰

${\ Displaystyle dx ^ {0 (1)} = { \frac {1}{g_{00}}}\left(-g_{0\alpha}\,dx^{\alpha}-{\sqrt {\left(g_{0\alpha}g_{0\beta} -g_{\alpha \beta }g_{00}\right)\,dx^{\alpha}\,dx^{\beta }}}\right),}$

${\ Displaystyle dx ^ {0 (2)} = { \frac {1}{g_{00}}}\left(-g_{0\alpha}\,dx^{\alpha}+{\sqrt {\left(g_{0\alpha}g_{0\beta} -g_{\alpha \beta }g_{00}\right)\,dx^{\alpha}\,dx^{\beta }}}\right),}$

 

 

 

 

()

⁰ które odpowiadają propagacji sygnału w obu kierunkach między Alice i Bobem. Jeśli x jest momentem nadejścia/odbicia sygnału do/od Alicji w zegarze Boba, to momenty odejścia sygnału od Boba i jego powrotu do Boba odpowiadają odpowiednio x + dx x⁰ + dx^{0 (1)} and x⁰ + dx^{0 (2)}. The thick lines on Fig. 1 are the world lines of Alice and Bob with coordinates x^α and x^α + dx^α0 , odpowiednio, podczas gdy czerwone linie to światowe linie sygnałów. Na rys. 1 założono, że dx ^{0 (2)} jest dodatnie, a dx ^{0 (1)} ujemne, co jednak nie musi być prawdą: dx ^{0 (1)} i dx ^{0 (2)} mogą mieć ten sam znak. Fakt, że w tym drugim przypadku wartość x (Alicja) w momencie nadejścia sygnału na pozycję Alicji może być mniejsza od wartości x ⁰ (Bob) w momencie odejścia sygnału od Boba nie zawiera sprzeczności, ponieważ zegary w różnych punktach przestrzeni nie powinny być zsynchronizowane. Oczywiste jest, że pełny odstęp „czasu” między odlotem a przybyciem sygnału w miejscu Boba wynosi

${\ Displaystyle dx ^ {0 (2)} -dx ^ {0 (1)} = {\ Frac {2} {g_ {00}}} {\ sqrt {\ lewo (g_ {0 \ alfa} g_ {0 \beta}-g_{\alpha \beta}g_{00}\right)\,dx^{\alpha}\,dx^{\beta}}}.}$

$a$ właściwy przedział czasu uzyskuje się z powyższej zależności przez pomnożenie przez między dwoma punktami - przez dodatkowe pomnożenie przez c / 2. W rezultacie:

${\ Displaystyle dl ^ {2} = \ lewo (- g _ {\ alfa \ beta} + {\ Frac {g_ {0 \ alfa} g_ {0 \ beta}} {g_ {00}}} \ prawo) \, dx^{\alfa}\,dx^{\beta}.}$

 

 

 

 

()

Jest to wymagana zależność, która definiuje odległość poprzez elementy współrzędnych przestrzeni.

⁰⁰ Oczywiste jest, że taka synchronizacja powinna odbywać się poprzez wymianę sygnałów świetlnych pomiędzy punktami. Rozważmy ponownie propagację sygnałów między nieskończenie bliskimi punktami A i B na rys. 1. Wskazanie zegara w B , które jest równoczesne z momentem odbicia w A , leży pośrodku między momentami wysłania i odebrania sygnału w B ; w tym momencie, jeśli zegar Alicji wskazuje y , a zegar Boba x , to poprzez warunek synchronizacji Einsteina ,

${\ Displaystyle y ^ {0} = {\ Frac {(x ^ {0} + dx ^ {0 (1)}) + (x ^ {0} + dx ^ {0 (2)})} {2} }=x^{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(dx^{0(2)}+dx^{0(1)}\right)=x^{0}+\Delta x^{0}.}$

⁰ Zastąp tutaj równ. 2 , aby znaleźć różnicę w „czasie” x między dwoma jednoczesnymi zdarzeniami występującymi w nieskończenie bliskich punktach as

${\ Displaystyle \ Delta x ^ {0} = - {\ Frac {g_ {0 \ alfa} \, dx ^ {\ alfa}} {g_ {00}}} \ równoważnik g_ {\ alfa} \, dx ^ { \alfa}.}$

 

 

 

 

()

Ta zależność umożliwia synchronizację zegara w dowolnej nieskończenie małej przestrzeni. Kontynuując taką synchronizację dalej od punktu A można zsynchronizować zegary, czyli określić równoczesność zdarzeń wzdłuż dowolnej otwartej linii. Warunek synchronizacji można zapisać w innej postaci, mnożąc eq. 4 przez g ₀₀ i przenosząc wyrazy na lewą stronę

${\ Displaystyle \ Delta x_ {0} = g_ {0i} dx ^ {i} = 0}$

 

 

 

 

()

₀ lub „kowariantna różnica” dx między dwoma nieskończenie bliskimi punktami powinna wynosić zero.

⁰ Jednak generalnie niemożliwe jest zsynchronizowanie zegarów po konturze zamkniętym: ruszając po konturze i wracając do punktu startowego otrzymalibyśmy wartość Δ x różną od zera. Tym samym jednoznaczna synchronizacja zegarów w całej przestrzeni jest niemożliwa. Wyjątkiem są układy odniesienia, w których wszystkie składowe g _0α są zerami.

Niemożność zsynchronizowania wszystkich zegarów jest właściwością układu odniesienia, a nie samej czasoprzestrzeni. Zawsze na nieskończenie wiele sposobów w dowolnym polu grawitacyjnym można wybrać taki układ odniesienia, aby trzy g _0α stały się zerami i tym samym umożliwiły pełną synchronizację zegarów. Do tej klasy przypisane są przypadki, w których g _0α można zerować przez prostą zmianę współrzędnej czasowej, która nie wiąże się z wyborem układu obiektów określających współrzędne przestrzenne.

Również w szczególnej teorii względności czas właściwy upływa inaczej dla zegarów poruszających się względem siebie. W ogólnej teorii względności czas właściwy jest różny nawet w tym samym układzie odniesienia w różnych punktach przestrzeni. Oznacza to, że odstęp czasu właściwego między dwoma zdarzeniami zachodzącymi w pewnym punkcie przestrzeni i odstęp czasu między zdarzeniami równoczesnymi z wydarzeniami w innym punkcie przestrzeni są na ogół różne.

Przykład: Jednostajnie obracająca się rama

Rozważ ramę spoczynkową (inercjalną) wyrażoną we współrzędnych $cylindrycznych$ czasie $}$ Przedział w tym układzie jest dany przez ${\ Displaystyle ds ^ {2} = c ^ {2} dt' ^ {2} -dr' ^ {2} -r' ^ {2} d \ phi '^ {2} -dz' ^ {2}. }$ Przekształcenie do jednostajnie obracającego się układu współrzędnych ${\ Displaystyle (r, \ phi, z)}$ przy użyciu relacji ${\ Displaystyle x ^ {0} / c = t = t ', \, x ^ {1} = r = r', \, x ^ {2} = \phi =\phi '-\Omega t',\,x^{3}=z=z'}$ modyfikuje interwał na

${\ Displaystyle ds ^ {2} = (c ^ {2} - \ Omega ^ {2} r ^ {2}) dt ^ {2} -2 \ Omega r ^ {2} d \ phi dt-dr ^ { 2}-r^{2}d\fi ^{2}-dz^{2}.}$

Oczywiście obracająca się ramka jest ważna tylko dla, $przekraczałaby$ prędkość światła poza tym promieniowym Niezerowe składowe tensora metrycznego to ${\ Displaystyle g_ {00} = 1- \ Omega ^ {2} r ^ {2} / c ^ {2} ,}$ ${\ Displaystyle g_ {02} = - 2 \ Omega r ^ {2} / c,} sol$${\ Displaystyle g_ {11} = -1,}$$\ Displaystyle g_ { 22} = - r ^ {2}}$ i ${\ Displaystyle g_ {33} = -1.}$ Wzdłuż dowolnej otwartej krzywej relacja

${\ Displaystyle \ Delta x ^ {0} = - {\ Frac {g_ {0 \ alfa} }{g_{00}}}dx^{\alfa}={\frac {\Omega r^{2}/c}{1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}} }d\phi}$

może służyć do synchronizacji zegarów. Jednak wzdłuż dowolnej zamkniętej krzywej synchronizacja jest niemożliwa, ponieważ

${\ Displaystyle \ oint \ Delta x ^ {0} = \ oint {\ Frac {d \ phi \ Omega r ^ {2}/c}{1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}\neq 0.}$

Na przykład, gdy mamy ${\ Displaystyle \ Omega r / c \ ll 1}$

${\ Displaystyle \ oint \ Delta x ^ {0} = {\ Frac {\ Omega} {c}} \ oint r ^ {2} d \ phi =\pm {\frac {2\Omega}}}} S}$

gdzie jest $rzutowanym$ obszarem zamkniętej krzywej na płaszczyznę prostopadłą do osi obrotu (znak plus lub minus odpowiada konturowi przechodzącemu w kierunku obrotu lub przeciwnie do niego)

Właściwy element czasu w obracającym się układzie jest określony przez

${\ Displaystyle d \ tau = {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} r ^{2}/c^{2}}}dt={\sqrt {1-\Omega ^{2}r^{2}/c^{2}}}d\tau _{\mathrm {oś}} }$

wskazując, że czas zwalnia, gdy oddalamy się od osi. Podobnie element przestrzenny można obliczyć, aby znaleźć

${\ Displaystyle dl = \ lewo [dr ^ {2} + {\ Frac {r ^ {2} d \ phi ^ {2}} {1- \ Omega ^ {2} r ^ {2} / c ^ {2 }}}+dz^{2}\prawo]^{1/2}.}$

Przy stałej wartości $\ displaystyle dl$ element przestrzenny wynosi $re$$)$ co po całkowaniu po pełnym okręgu pokazuje, że stosunek obwodu koła do jego promienia jest dany przez

${\ Displaystyle {\ Frac {2 \ pi}} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} r ^ {2} / c ^ {2}}}}}$

co jest większe niż o ${\ Displaystyle 2 \ pi}$ .

Tensor metryczny przestrzeni

równanie 3 można przepisać w formie

${\ Displaystyle dl ^ {2} = \ gamma _ {\ alfa \ beta} \, dx ^ {\ alfa} \, dx ^ {\ beta},}$

 

 

 

 

()

Gdzie

${\ Displaystyle \ gamma _ {\ alfa \ beta} = - g _ {\ alfa \ beta} + {\ Frac {g_ {0 \ alfa} g_ {0 \beta }}{g_{00}}}}$

 

 

 

 

()

jest trójwymiarowym tensorem metrycznym, który określa metrykę, czyli geometryczne właściwości przestrzeni. równania równ. 7 $}$ trójwymiarowej a metryką czterowymiarowej czasoprzestrzeni . α $_ {\ alfa \ beta}$

⁰ Ogólnie $że$ od x tak $się$ w Dlatego nie ma sensu integrować dl : ta całka zależy od wyboru linii świata między dwoma punktami, w których jest brana. Wynika z tego, że w ogólnej teorii względności nie można ogólnie określić odległości między dwoma ciałami; odległość ta jest określana tylko dla nieskończenie bliskich punktów. Odległość można określić dla skończonych obszarów przestrzeni tylko w takich układach odniesienia, w których $g$ zależy _od czasu, a zatem całka wzdłuż krzywej przestrzeni określonego sensu.

Tensor jest odwrotny do kontrawariantnego tensora trójwymiarowego $\$$Displaystyle g ^ {\ alfa$ . Rzeczywiście, zapisując równanie $\ delta _ {l} ^ {i}}$ mamy: sol ja

$\ Displaystyle g ^ {\ alfa \ beta} g _ {\ beta \ gamma} + g ^ {\ alfa 0} g_ {0 \ gamma} = \ delta _ {\gamma}^{\alfa},}$

${\ Displaystyle g ^ {\ alfa \ beta} g_ {\ beta 0} + g ^ {\ alfa 0} g_ {00} = 0,}$

 

 

 

 

()

${\ Displaystyle g ^ {0 \ beta} g _ {\ beta 0} + g ^ {00} g_ {00} = 1.}$

Wyznaczanie z drugiego równania i podstawienie go w pierwszym dowodzi, że ${\ displaystyle g ^ {\ alpha 0}}$

${\ Displaystyle -g ^ {\ alfa \ beta} \ gamma _ {\ beta \ gamma} = \ delta _ {\ gamma} ^ {\ alfa},}$

 

 

 

 

()

$tensora$$. }}$ , mówiąc, że kontrawariantnego trójwymiarowego :

${\ Displaystyle \ gamma ^ {\ alfa \ beta} = - g ^ {\ alfa \ beta}.}$

 

 

 

 

()

γ { \ $\ gamma}}$$gamma}$ Wyznaczniki złożone odpowiednio z elementów $ze$ są sobą powiązane . przez prostą zależność:

${\ Displaystyle -g = g_ {00} \ gamma.}$

 

 

 

 

()

W wielu zastosowaniach wygodnie jest zdefiniować trójwymiarowy wektor g ze składowymi kowariantnymi

${\ Displaystyle g_ {\ alfa} = - {\ Frac {g_ {0 \ alfa}} {g_ {00}}}.}$

 

 

 

 

()

Biorąc pod uwagę g jako wektor w przestrzeni z metryką $^ {\ alfa} =\gamma ^{\alfa \beta}g_{\beta}}$$jego$ składowe kontrawariantne można zapisać jako . Używając równ. 11 i drugi z równań. 8 , łatwo to zauważyć

${\ Displaystyle g ^ {\ alfa} = \ gamma ^ {\ alfa \ beta} g _ {\ beta} = - g ^ {0 \ alfa}.}$

 

 

 

 

()

Od trzeciego z równań. 8 , wynika

${\ Displaystyle g ^ {00} = {\ Frac {1} {g_ {00}}} -g_ {\ alfa} g ^ {\ alfa}.}$

 

 

 

 

()

Współrzędne synchroniczne

⁰ Jak wywnioskowano z równ. 5 , warunkiem umożliwiającym synchronizację zegara w różnych punktach przestrzeni jest to, aby metryczne składowe tensorowe _g0α były zerami. Jeżeli dodatkowo g ₀₀ = 1, to współrzędna czasowa x = t jest czasem właściwym w każdym punkcie przestrzeni (przy c = 1). Układ odniesienia spełniający warunki

${\ Displaystyle g_ {00} = 1, \ quad g_ {0 \ alfa} = 0,}$

 

 

 

 

()

nazywana jest ramką synchroniczną . Element przedziału w tym systemie jest określony przez wyrażenie

${\ Displaystyle ds ^ {2} = dt ^ {2} -g _ {\ alfa \ beta} \, dx ^ {\ alfa} \, dx^{\beta},}$

 

 

 

 

()

o przestrzennych składowych tensorowych metrycznych identycznych (o przeciwnym znaku) jak składowe g _αβ :

${\ Displaystyle \ gamma _ {\ alfa \ beta} = - g _ {\ alfa \ beta}.}$

 

 

 

 

()

⁰⁰⁰ Rysunek 2. Ramka synchroniczna zbudowana z wyborem czasopodobnej hiperpowierzchni t = const (kolor turkusowy). Pokazano tylko jedną współrzędną przestrzenną x1 = ^x . Czterech obserwatorów ma te same czasy własne x = t , które są normalne do hiperpowierzchni w ich lokalnie płaskich czasoprzestrzeń (pokazanych przez stożki świetlne ). Wektor jednostkowy n = u = 1 jest pokazany na żółto. Nie ma składowych prędkości przestrzennej ( u ^α = 0), więc wspólnym czasem właściwym jest linia geodezyjna z początkiem na hiperpowierzchni i dodatnim kierunkiem (czerwone strzałki).

₀⁰ W synchronicznym czasie ramki linie czasu są normalne do hiperpowierzchni t = const. Rzeczywiście, jednostkowa czterowektorowa normalna do takiej hiperpowierzchni n _i = ∂ t /∂ x ⁱ ma składowe kowariantne n _α = 0, n = 1. Odpowiednie składowe kontrawariantne z warunkami równ. 15 to znowu n ^α = 0, n = 1.

⁰ Składowe normalnej jednostki pokrywają się ze składowymi czterowektora u ⁱ = dx ⁱ /ds , który jest styczny do linii świata x ¹ , x ² , x ³ = const. U i ^ze składowymi u ^α = 0, u = 1 automatycznie spełnia równania geodezyjne :

${\ Displaystyle {\ Frac {du ^ {i}} {ds}} + \ Gamma _ {kl} ^ {i} u ^ {k}u^{l}=\Gamma_{00}^{i}=0,}$

ponieważ z warunków równ. 15 , symbole $znikają$$_$ _ Dlatego w układzie synchronicznym linie czasu są geodezyjne w czasoprzestrzeni.

Właściwości te można wykorzystać do konstruowania ramki synchronicznej w dowolnej czasoprzestrzeni (rys. 2). W tym celu wybierz jakąś przestrzenną hiperpowierzchnię jako początek, taką, która ma w każdym punkcie normalną wzdłuż linii czasu (leży wewnątrz stożka światła z wierzchołkiem w tym punkcie); wszystkie elementy interwałowe na tej hiperpowierzchni są podobne do przestrzeni. Następnie narysuj rodzinę geodezyjną normalną do tej hiperpowierzchni. Wybierz te linie jako linie współrzędnych czasowych i zdefiniuj współrzędną czasową t jako długość s geodezyjnej mierzonej z początkiem na hiperpowierzchni; wynikiem jest ramka synchroniczna.

Transformację analityczną do układu synchronicznego można przeprowadzić za pomocą równania Hamiltona-Jacobiego . Zasada tej metody opiera się na fakcie, że trajektorie cząstek w polach grawitacyjnych są geodezyjne. Równanie Hamiltona-Jacobiego dla cząstki (której masa jest równa jedności) w polu grawitacyjnym to

${\ Displaystyle g ^ {ik} {\ Frac {\ częściowe S} {\ częściowe x ^ {i}}} {\ Frac {\ częściowe S} {\częściowy x^{k}}}=1,}$

 

 

 

 

()

gdzie S jest działaniem. Jego całka całkowita ma postać:

${\ Displaystyle S = f \ lewo (\ xi ^ {\ alfa}, x ^ {i} \ prawo) + A \ lewo (\ xi ^ {\alpha}\right),}$

 

 

 

 

()

Zauważ, że całka całkowita zawiera tyle dowolnych stałych, ile jest zmiennych niezależnych, co w naszym przypadku wynosi ${\ displaystyle 4}$ . W powyższym równaniu odpowiadają one trzem parametrom ξ ^α i czwartej stałej A traktowanej jako dowolna funkcja trzech ξ ^α . Przy takiej reprezentacji dla S równania trajektorii cząstki można otrzymać, przyrównując pochodne ∂S / ∂ξ ^α do zera, tj.

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe \ xi ^ {\ alfa}}} = - {\ Frac {\ częściowe A} {\ częściowe \ xi ^ {\ alfa}}}.}$

 

 

 

 

()

Dla każdego zestawu przypisanych wartości parametrów ξ ^α prawe strony równań 18a-18c mają określone stałe wartości, a wyznaczona tymi równaniami linia świata jest jedną z możliwych trajektorii cząstki. Wybierając jako nowe współrzędne przestrzenne wielkości ξ ^α , które są stałe wzdłuż trajektorii, a jako nową współrzędną czasową wielkość S , otrzymujemy układ synchroniczny; transformacja ze starych współrzędnych na nowe dana jest równaniami 18b-18c . W rzeczywistości jest zagwarantowane, że dla takiego przekształcenia linie czasu będą geodezyjne i będą prostopadłe do hiperpowierzchni S = const. Ten ostatni punkt jest oczywisty z analogii mechanicznej: czterowektor ∂S / ∂x ⁱ , który jest normalny do hiperpowierzchni, pokrywa się w mechanice z czteropędem cząstki, a zatem pokrywa się w kierunku z jej czteroma prędkościami u ⁱ tj. z czterowektorową styczną do trajektorii. Ostatecznie warunek g ₀₀ = 1 jest oczywiście spełniony, gdyż pochodna − dS / ds działania wzdłuż trajektorii to masa cząstki, którą przyjęto jako równą 1; dlatego | dS / ds | = 1.

Warunki skrajni równ. 15 nie ustalają całkowicie układu współrzędnych i dlatego nie są stałą $skrajnią$ ponieważ hiperpowierzchnię w można wybrać dowolnie. Nadal mamy swobodę wykonywania niektórych przekształceń współrzędnych zawierających cztery dowolne funkcje zależne od trzech zmiennych przestrzennych x ^α , które można łatwo wypracować w postaci nieskończenie małej:

${\ Displaystyle x ^ {i} = {\ tylda {x}} ^ {i} + \ xi ^ {i} ({\ tylda {x}}).}$

 

 

 

 

()

Tutaj zbiory czterech starych współrzędnych ( t , x ^α ) i czterech nowych współrzędnych ${\ Displaystyle ({\ tylda {t}}, {\ tylda {x}} ^ {\ alfa })}$ są oznaczone odpowiednio symbolami x i ${\ displaystyle {\ tylda {x}}}$ . ξ ${\ Displaystyle \ xi ^ {i} ({\ tylda {x}})$ wraz z ich pierwszymi pochodnymi są wielkościami nieskończenie małymi. Po takim przekształceniu interwał czterowymiarowy przyjmuje postać:

${\ Displaystyle ds ^ {2} = g_ {ik} ( x)dx^{i}dx^{k}=g_{ik}^{\text{(nowy)}}({\tylda {x}})d{\tylda {x}}^{i}d{ \tylda {x}}^{k},}$

 

 

 

 

()

Gdzie

${\ Displaystyle g_ {ik} ^ {\ tekst {(nowy)}} ({\ tylda {x}}) = g_ {ik} ({\ tylda {x}}) + g_ {il} ({\ tylda { x}}){\frac {\częściowy \xi ^{l}({\tylda {x}})}{\częściowy {\tylda {x}}^{k}}}+g_{kl}({\ tylda {x}}){\frac {\częściowa \xi ^{l}({\tylda {x}})}{\częściowa {\tylda {x}}^{i}}}+{\frac {\ częściowe g_{ik}({\tylda {x}})}{\częściowe {\tylda {x}}^{l}}}\xi ^{l}({\tylda {x}}).}$

 

 

 

 

()

W ostatnim wzorze są $_$ te same $funkcje$ _x prostu $\ Displaystyle {\ tylda {x}}}$ { . Jeśli ktoś chce zachować wskaźnik eq. sol ja ${\ Displaystyle g_ {ik} ^ {\ tekst {(nowy)}} ({\ tylda {x}}$ w nowych współrzędnych konieczne jest nałożenie następujących $}})}$ na funkcje $x$${\ Displaystyle \ xi ^ {i} ({\ ostry$ :

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy \ xi ^ {0} ({\ tylda {x}}}}} {\ częściowy {\ tylda {x}}}} = 0, \ quad g _ {\ alfa \ beta} ( {\ tylda {x}}) {\ frac {\ częściowe \ xi ^ {\ beta} ({\ tylda {x}})} {\ częściowe {\ tylda {t}}}} - {\ frac {\ częściowe \xi ^{0}({\tylda {x}})}{\częściowa {\tylda {x}}^{\alfa}}}=0.}$

 

 

 

 

()

Rozwiązaniami tych równań są:

${\ Displaystyle \ xi ^ {0} = f ^ {0} \ lewo ({\ tylda {x}} ^ {1}, {\ tylda {x} }^{2},{\tylda {x}}^{3}\right),\quad \xi ^{\alpha }=\int {g^{\alpha \beta}({\tylda {x}} ){\frac {\częściowe f^{0}\left({\tylda {x}}^{1},{\tylda {x}}^{2},{\tylda {x}}^{3} \right)}{\częściowo {\tylda {x}}^{\beta}}}d{\tylda {x}}^{0}}+f^{\alpha}\left({\tylda {x} }^{1},{\tylda {x}}^{2},{\tylda {x}}^{3}\right),}$

 

 

 

 

()

⁰ gdzie f i fa ^α to cztery dowolne funkcje zależne tylko od współrzędnych przestrzennych ${\ Displaystyle {\ tylda {x}} ^ {\ alfa}}$ .

⁰ Aby uzyskać bardziej elementarne wyjaśnienie geometryczne, rozważ ryc. 2. Po pierwsze, synchroniczna oś czasu ξ = t może być wybrana arbitralnie (Boba, Carol, Dany lub dowolnego z nieskończenie wielu obserwatorów). Daje to jedną dowolnie wybraną funkcję: ${\ Displaystyle \ xi ^ {0} = f ^ {0} \ lewo ({\ tylda {x}} ^ { 1},{\tylda {x}}^{2},{\tylda {x}}^{3}\right)}$ . Po drugie, początkową hiperpowierzchnię można wybrać na nieskończenie wiele sposobów. Każdy z tych wyborów zmienia trzy funkcje: po jednej funkcji dla każdej z trzech współrzędnych przestrzennych ${\ Displaystyle \ xi ^ {\ alfa} = f ^ {\ alpha }\left({\tylda {x}}^{1},{\tylda {x}}^{2},{\tylda {x}}^{3}\right)}$ . W sumie cztery (= 1 + 3) funkcje są dowolne.

Omawiając ogólne rozwiązania g _αβ równań pola w cechowaniach synchronicznych, należy pamiętać, że potencjały grawitacyjne g _αβ zawierają wśród wszystkich możliwych występujących w nich dowolnych parametrów funkcjonalnych cztery dowolne funkcje przestrzeni 3 reprezentujące właśnie cechowanie wolność i dlatego nie ma bezpośredniego znaczenia fizycznego.

Innym problemem związanym z ramą synchroniczną jest to, że mogą wystąpić substancje żrące , które powodują awarię wyboru miernika. Problemy te spowodowały pewne trudności w realizacji teorii perturbacji kosmologicznych w układzie synchronicznym, ale problemy te są obecnie dobrze rozumiane. Współrzędne synchroniczne są ogólnie uważane za najbardziej wydajny system odniesienia do wykonywania obliczeń i są używane w wielu nowoczesnych kodach kosmologicznych, takich jak CMBFAST . Są również przydatne do rozwiązywania problemów teoretycznych, w których należy ustalić przestrzenną hiperpowierzchnię, jak w przypadku przestrzennych osobliwości .

Równania Einsteina w układzie synchronicznym

Wprowadzenie układu synchronicznego pozwala na rozdzielenie operacji różniczkowania przestrzeni i czasu w równaniach pola Einsteina . Aby uczynić je bardziej zwięzłymi, notacja

${\ Displaystyle \ varkappa _ {\ alfa \ beta} = {\ Frac {\ częściowe \ gamma _ {\ alfa \ beta}} {\ częściowe t}}}$

 

 

 

 

()

wprowadza się dla pochodnych czasowych trójwymiarowego tensora metrycznego; wielkości te również tworzą trójwymiarowy tensor. W układzie synchronicznym $. Wszystkie operacje$ proporcjonalny do drugiej podstawowej (tensor kształtu γ _przesuwania $αβ$ i kowariantne różniczkowanie tensora są w przestrzeni trójwymiarowej z metryką . Nie dotyczy to operacji przesuwania indeksów w składowych przestrzennych czterech tensorów R _ik , T _ik . Zatem T _α ^β należy rozumieć jako g ^βγ T _γα + g ^{β 0} T _{0 α} , które redukuje się do g ^βγ T _γα i różni się znakiem od γ ^βγ T _γα . Suma ${\ Displaystyle \ varkappa _ {\ alfa} ^ {\ alfa}}$ jest logarytmiczną pochodną wyznacznika γ ≡ | γ _αβ | = − g :

${\ Displaystyle \ varkappa _ {\ alfa} ^ {\ alfa} = \ gamma ^ {\ alfa \ beta}} {\ Frac {\ częściowa \ gamma _ {\ alfa \ beta}} {\ częściowa t}} = {\ frac {\częściowy }{\częściowy t}}\ln {(\gamma)}.}$

 

 

 

 

()

Następnie dla pełnego zestawu symboli Christoffela otrzymuje się: ${\ Displaystyle \ Gamma _ {kl} ^ {i}}$

${\ Displaystyle \ Gamma _ {00} ^ {0} = \ Gamma _ {00} ^ {\ alfa} = \ Gamma _ {0 \ alfa} ^ {0} = 0, \ quad \ Gamma _ {\ alfa \ beta }^{0}={\frac {1}{2}}\varkappa _{\alpha \beta},\quad \Gamma _{0\beta}^{\alpha }={\frac {1}{ 2}}\varkappa _{\beta }^{\alpha},\quad \Gamma _{\alpha \beta}^{\gamma }=\lambda _{\alpha \beta}^{\gamma }}$

 

 

 

 

()

gdzie ${\ Displaystyle \ lambda _ {\ alfa \ beta} ^ {\ gamma}}$ to trójwymiarowe symbole Christoffela zbudowane z γ _αβ :

${\ Displaystyle \ lambda _ {\ alfa \ beta} ^ {\ gamma} = {\ frac {1}{2}}\gamma ^{\gamma \mu }\left(\gamma _{\mu \alpha ,\beta }+\gamma _{\mu \beta ,\beta }-\gamma _{ \alpha \beta ,\mu }\right),}$

 

 

 

 

()

gdzie przecinek oznacza pochodną cząstkową przez odpowiednią współrzędną.

Z symbolami Christoffela równ. 25 , składowe R ⁱ _k = g ^il R _lk tensora Ricciego można zapisać w postaci:

${\ Displaystyle R_ {0} ^ {0} = - {\ Frac {1} {2}} {\ kropka {\ varkappa}} - { \frac {1}{4}}\varkappa _{\alpha}^{\beta}\varkappa _{\beta}^{\alpha},}$

 

 

 

 

()

${\ Displaystyle R _ {\ alfa} ^ {0} = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (\ varkappa _ {\ alfa; \beta }^{\beta }-\varkappa _{,\alpha }\right),}$

 

 

 

 

()

${\ Displaystyle R _ {\ alfa} ^ {\ beta} = - {\ Frac {1} {2 {\ sqrt {\ gamma}}}} {\ kropka {\ lewo ({\ sqrt {\ gamma}} \ varkappa _{\alpha}^{\beta}\right)}}-P_{\alpha}^{\beta}.}$

 

 

 

 

()

Kropki na górze oznaczają zróżnicowanie czasu, średniki („;”) oznaczają zróżnicowanie kowariantne, które w tym przypadku jest wykonywane w odniesieniu do trójwymiarowej metryki γ _αβ z trójwymiarowymi symbolami Christoffela ${\ Displaystyle \ lambda _ {\ alfa \ beta} ^ {\ gamma}}$ , ${\ Displaystyle \ varkappa \ równoważnik \ varkappa _ {\ alfa} ^ {\ alfa}}$ i P _α ^β jest trójwymiarowym tensorem Ricciego zbudowanym z ${\ Displaystyle \ lambda _ {\ alfa \ beta} ^ {\ gamma}}$ :

${\ Displaystyle P _ {\ alfa} ^ {\ beta} = \ gamma ^ {\ beta \ gamma} P _ {\ gamma \ alfa}, \ quad P _ {\ alfa \ beta} = \ lambda _ {\ alfa \ beta, \gamma} ^{\gamma}-\lambda _{\gamma \alpha ,\beta}^{\gamma}+\lambda _{\alpha \beta}^{\gamma }\lambda _{\gamma \mu} ^{\mu}-\lambda _{\alpha \mu}^{\gamma}\lambda _{\beta \gamma}^{\mu}.}$

 

 

 

 

()

₀⁰⁰ Wynika to z równ. R ${\ Displaystyle R_ {i} ^ {k} = 8 \ pi k \ lewo (T_ {i$ k (ze składowymi tensora energii i pędu T = − T ₀₀ , T _α = − T _0α , T _α ^β = γ ^βγ T _γα ) stają się w układzie synchronicznym:

$\ Displaystyle R_ {0} ^ {0} = - {\ Frac {1} {2} }{\dot {\varkappa}}-{\frac {1}{4}}\varkappa _{\alpha}^{\beta}\varkappa _{\beta}^{\alpha}=8\pi k\ lewo(T_{0}^{0}-{\frac {1}{2}}T\prawo),}$

 

 

 

 

()

${\ Displaystyle R _ {\ alfa} ^ {0} = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (\ varkappa _{\alpha ;\beta }^{\beta }-\varkappa _{,\alpha }\right)=8\pi kT_{\alpha }^{0},}$

 

 

 

 

()

${\ Displaystyle R _ {\ alfa} ^ {\ beta} = - {\ Frac {1} {2 {\ sqrt {\ gamma}}}} {\ kropka {\ lewo ({\ sqrt {\ gamma}} \ varkappa _{\alpha }^{\beta }\right)}}-P_{\alpha }^{\beta }=8\pi k\left(T_{\alpha }^{\beta }-{\frac {1 }{2}}\delta _{\alpha}^{\beta}T\right).}$

 

 

 

 

()

Charakterystyczną cechą układu synchronicznego jest to, że nie jest on nieruchomy: pole grawitacyjne nie może być w takim układzie stałe. W stałym $zero$$Ale$ w obecności materii zniknięcie wszystkich z równaniem 31 (który ma prawą stronę różną od zera). W pustej przestrzeni od równ. 33 wynika, że ​​wszystkie P _αβ , a wraz z nimi wszystkie składowe trójwymiarowego tensora krzywizny P _αβγδ ( tensor Riemanna ) zanikają, tj. pole zanika całkowicie (w układzie synchronicznym z euklidesową metryką przestrzenną czasoprzestrzeń jest płaska).

Jednocześnie materia wypełniająca przestrzeń nie może na ogół pozostawać w spoczynku względem układu synchronicznego. Jest to oczywiste z faktu, że cząstki materii, w których występują ciśnienia, poruszają się na ogół po liniach, które nie są geodezyjne; linia świata spoczynkowej cząstki jest linią czasu, a zatem jest geodezyjną w układzie synchronicznym. Wyjątkiem jest przypadek kurzu ( s ⁰₀ = 0). Tutaj cząstki oddziałujące ze sobą będą poruszać się wzdłuż linii geodezyjnych; w konsekwencji w tym przypadku warunek dla układu synchronicznego nie jest sprzeczny z warunkiem, że współgra on z materią. Nawet w tym przypadku, aby móc wybrać synchronicznie poruszający się układ , nadal konieczne jest, aby materia poruszała się bez obrotu. W układzie współporuszającym się składowe kontrawariantne prędkości wynoszą u = 1, u ^α = 0. Jeśli układ jest również synchroniczny, składowe kowariantne muszą spełniać u = 1, u _α = 0, więc jego czterowymiarowe zawijanie musi zniknąć:

${\ Displaystyle u_ {i; k} -u_ {k; i} \ równoważnik {\ Frac {\ częściowe u_ {i}} {\ częściowe x^{k}}}-{\frac {\częściowe u_{k}}{\częściowe x^{i}}}=0.}$

Ale to równanie tensorowe musi być również ważne w każdym innym układzie odniesienia. Zatem w układzie synchronicznym, ale nie współporuszającym się, warunek zwijania się v = 0 dla trójwymiarowej prędkości v jest dodatkowo potrzebny. Dla innych równań stanu podobna sytuacja może wystąpić tylko w szczególnych przypadkach, gdy gradient ciśnienia zanika we wszystkich lub w niektórych kierunkach.

Osobliwość w układzie synchronicznym

Wykorzystanie układu synchronicznego w problemach kosmologicznych wymaga dokładnego zbadania jego asymptotycznego zachowania. W szczególności należy wiedzieć, czy układ synchroniczny można rozciągnąć na nieskończony czas i nieskończoną przestrzeń, zachowując zawsze jednoznaczne oznaczenie każdego punktu współrzędnymi w tym układzie.

Wykazano , że jednoznaczna synchronizacja zegarów w całej przestrzeni jest niemożliwa ze względu na niemożność synchronizacji zegarów wzdłuż konturu zamkniętego. Jeśli chodzi o synchronizację w nieskończonym czasie, to najpierw przypomnijmy, że linie czasu wszystkich obserwatorów są normalne do wybranej hiperpowierzchni iw tym sensie są „równoległe”. Tradycyjnie pojęcie równoległości jest definiowane w geometrii euklidesowej jako linie proste, które są wszędzie w równej odległości od siebie, ale w dowolnych geometriach pojęcie to można rozszerzyć na linie średnie, które są geodezyjne . Pokazano , że linie czasu to geodezje w układzie synchronicznym. Inną, wygodniejszą dla obecnego celu definicją prostych równoległych są te, które mają wszystkie punkty wspólne lub nie mają ich wcale. Wyłączając przypadek wszystkich punktów wspólnych (oczywiście tej samej linii) dochodzimy do definicji równoległości, w której żadne dwie linie czasu nie mają punktu wspólnego.

Ponieważ linie czasu w ramie synchronicznej są liniami geodezyjnymi, linie te są proste (ścieżka światła) dla wszystkich obserwatorów w generującej hiperpowierzchni. Metryka przestrzenna jest

${\ Displaystyle dl ^ {2} = \ gamma _ {\ alfa \ beta} dx ^ {\ alfa} dx ^ {\ beta}}$ .

Wyznacznikiem tensora $metrycznego$ jest wartość bezwzględna iloczynu potrójnego wektorów rzędowych w macierzy, jest również objętością ${\ Displaystyle \ gamma _ {\ alfa \ beta}}$ równoległościan rozpięty przez wektory ${\ Displaystyle {\ vec {\ gamma}} _ {1}}$ , ${\ Displaystyle {\ vec {\ gamma}} _ {2}}$ i ${\ Displaystyle {\ vec {\ gamma}} _ {3}}$ (tj. równoległościan, którego sąsiednie boki są wektorami ${\ Displaystyle {\ vec {\ gamma}} _ {1}}$ , ${\ Displaystyle {\ vec {\ gamma}} _ {2}}$ i ${\ Displaystyle {\ vec {\ gamma}} _ {3}}$ ).

${\ Displaystyle \ gamma = | {\ vec {\ gamma}} _ {1} \ cdot ({\ vec {\ gamma}} _ {2} \ razy {\ vec {\ gamma}} _ {3}) | ={\begin{vmatrix}\gamma _{11}&\gamma _{12}&\gamma _{13}\\\gamma _{21}&\gamma _{22}&\gamma _{23}\ \\gamma _{31}&\gamma _{32}&\gamma _{33}\end{vmatrix}}=V_{\text{równoległościan}}}$

Jeśli zmieni się w $zero,$ objętość tego równoległościanu wynosi zero. Może się to zdarzyć, gdy jeden z wektorów leży w płaszczyźnie dwóch pozostałych wektorów, tak że objętość równoległościanu przekształca się w pole podstawy (wysokość staje się zerowa) lub bardziej formalnie, gdy dwa wektory są zależne liniowo. Ale wtedy wiele punktów (punktów przecięcia) można oznaczyć w ten sam sposób, to znaczy, że metryka ma osobliwość.

Grupa Landau odkryła, że ​​​​rama synchroniczna z konieczności tworzy osobliwość czasową, to znaczy linie czasu przecinają się (i odpowiednio wyznacznik tensora metrycznego zwraca się do zera) w skończonym czasie.

Udowodniono to w następujący sposób. Prawa ręka równania . 31 , zawierające tensory naprężeń i energii materii i pola elektromagnetycznego,

${\ Displaystyle T_ {i} ^ {k} = \ lewo (p + \ varepsilon \ po prawej) \ razy u_ {i} u ^ {k }+p\delta _{i}^{k}}$

jest liczbą dodatnią ze względu na silny stan energetyczny . Można to łatwo zauważyć, pisząc w komponentach.

dla sprawy

${\ Displaystyle T_ {0} ^ {0} - {\ Frac {1} {2} } T={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon +3p\right)+{\frac {\left(p+\varepsilon \right)v^{2}}{1-v^{2 }}}>0}$

dla pola elektromagnetycznego

${\ Displaystyle T = 0, \ quad T_ {0} ^ {0} = {1 \ ponad 2} \ lewo (\ epsilon _ {0} E ^ {2} + {\ Frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)>0}$

Mając powyższe na uwadze, eq. 31 jest następnie przepisywane jako nierówność

${\ Displaystyle -R_ {0} ^ {0} = {\ Frac {1} {2}} {\ Frac {\ częściowe }{\częściowe t}}\varkappa _{\alpha}^{\alpha}+{\frac {1}{4}}\varkappa _{\alpha}^{\beta}\varkappa _{\beta}^ {\alfa}\równik 0}$

 

 

 

 

()

z równością odnoszącą się do pustej przestrzeni.

Korzystanie z nierówności algebraicznej

${\ Displaystyle \ varkappa _ {\ beta} ^ {\ alfa} \ varkappa _ {\ alfa} ^ {\ beta} \ geq {\ Frac {1} {3}}\left(\varkappa _{\alpha}^{\alpha}\right)^{2}}$

równ. 34 staje się

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ varkappa _ {\ alfa} ^ {\ alfa} + {\ Frac {1 }{6}}\left(\varkappa _{\alpha}^{\alpha}\right)^{2}\leq 0}$ .

Dzieląc obie strony na ${\ Displaystyle \ lewo (\ varkappa _ {\ alfa} ^ {\ alfa} \ prawej) ^ {2}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ lewo (\ varkappa _ {\ alfa} ^ {\ alfa} \ prawej) ^{2}}}{\frac {\częściowy}}{\częściowy t}}\varkappa _{\alpha}^{\alpha}=-{\frac {\częściowy}}{\częściowy t}}{\frac { 1}{\varkappa _{\alfa}^{\alfa}}}}$

dochodzimy do nierówności

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} {\ Frac {1} {\ varkappa _ {\ alfa} ^ {\ alfa}}} \ geq { 1 \ponad 6}}$ .

 

 

 

 

()

Niech na przykład ${\ displaystyle \ varkappa _ {\ alfa} ^ {\ alfa}> 0}$ w pewnym momencie. Ponieważ pochodna $jest$ dodatnia, to stosunek skończoną niezerową pochodna, a zatem powinna wynosić zero, wychodząc ze strony dodatniej, w skończonym czasie. Innymi słowy, staje się ${\ Displaystyle \ varkappa _ {\ alfa} ^ {\ alfa}}$${\ Displaystyle + \ infty}$ i ponieważ ${\ Displaystyle \ varkappa _ {\ alfa} ^ {\ alfa} = \ częściowe \ ln \ gamma / \ częściowe t$ } oznacza, że ​​wyznacznik staje się $równy$ (zgodnie z równaniem 35 nie szybciej niż ${\ displaystyle t ^ {6}}$ ). Jeśli, z drugiej strony, ${\ Displaystyle \ varkappa _ {\ alfa} ^ {\ alfa <0}$ początkowo to samo dotyczy wydłużania czasu.

Pomysł na temat przestrzeni w osobliwości można uzyskać, rozważając diagonalny tensor metryczny. Diagonalizacja powoduje, że elementy macierzy $są wszędzie zerowe$${\ Displaystyle \ lambda _$ z wyjątkiem głównej przekątnej, której elementami są trzy wartości własne i ${\ Displaystyle \ lambda _ {3}}$ ; są to trzy wartości rzeczywiste, gdy dyskryminator wielomianu charakterystycznego jest większy lub równy zeru lub jednej rzeczywistej i dwóch sprzężonych wartości zespolonych , gdy wyróżnik jest mniejszy od zera. $.$ wyznacznik jest po prostu iloczynem trzech wartości własnych Jeśli tylko jedna z tych wartości własnych staje się zerowa, to cały wyznacznik wynosi zero. Niech na przykład rzeczywista wartość własna osiągnie zero ( ${\ displaystyle \ lambda _ {1} = 0}$ ). Następnie przekątna macierz ${\ Displaystyle \ gamma _ {\ alfa \ beta}}$$się macierzą 2 × 2$ ogólnie złożonymi sprzężonymi) wartościami własnymi na głównej Ale ta macierz jest ukośnym tensorem metrycznym przestrzeni, w której ${\ displaystyle \ gamma = 0}$ ; dlatego powyższe sugeruje, że w osobliwości ( $)$ jest dwuwymiarowa, gdy tylko jedna wartość własna zmienia się na zero

Geometrycznie diagonalizacja to obrót bazy wektorów składających się na macierz w taki sposób, że kierunek wektorów bazowych pokrywa się z kierunkiem wektorów własnych . Jeśli jest rzeczywistą $, którego długość, szerokość$ symetryczną , wektory własne tworzą ortonormalną podstawę definiującą prostokątny równoległościan wysokość są wielkościami trzech wartości własnych Ten przykład jest szczególnie demonstracyjny, ponieważ wyznacznik ${\ Displaystyle \ gamma}$ , która jest również objętością równoległościanu, jest równa długości × szerokości × wysokości, tj. Iloczynowi wartości własnych. Zrównanie objętości równoległościanu do zera, na przykład przez zrównanie wysokości do zera, pozostawia tylko jedną ścianę równoległościanu, dwuwymiarową przestrzeń, której pole to długość × szerokość. Kontynuując obliterację i zrównując szerokość do zera, pozostaje linia o długości rozmiaru, przestrzeń 1-wymiarowa. Dalsze zrównanie długości do zera pozostawia tylko punkt, 0-wymiarową przestrzeń, która wyznacza miejsce, w którym znajdował się równoległościan.

Rysunek 3.

Analogią z optyki geometrycznej jest porównanie osobliwości z kaustyką, taką jak jasny wzór na ryc. 3, który pokazuje kaustykę utworzoną przez szklankę wody oświetloną z prawej strony. Promienie świetlne są analogią linii czasu swobodnie spadających obserwatorów zlokalizowanych na zsynchronizowanej hiperpowierzchni. Sądząc po mniej więcej równoległych bokach konturu cienia rzucanego przez szkło, można przypuszczać, że źródło światła znajduje się w praktycznie nieskończonej odległości od szkła (jak słońce), ale nie jest to pewne, ponieważ źródło światła nie jest pokazane na zdjęcie. Można więc przypuszczać, że promienie światła (linie czasu) są równoległe bez udowodnienia tego z całą pewnością. Szklanka wody jest analogiem równań Einsteina lub czynnika (czynników) za nimi, które zaginają linie czasu, tworząc wzór kaustyczny (osobliwość). Ta ostatnia nie jest tak prosta jak ściana równoległościanu, ale jest skomplikowaną mieszanką różnego rodzaju skrzyżowań. Można wyróżnić nakładanie się przestrzeni dwu-, jedno- lub zerowymiarowych, czyli przenikanie się powierzchni i linii, z których niektóre zbiegają się w punkt ( wierzchołek ), takie jak formacja grotu strzały w środku wzoru żrącego.

Wniosek, że geodezyjne pola wektorowe podobne do czasu muszą nieuchronnie osiągnąć osobliwość po skończonym czasie, został osiągnięty niezależnie przez Raychaudhuri inną metodą, która doprowadziła do równania Raychaudhuriego , które jest również nazywane równaniem Landaua-Raychaudhuriego na cześć obu badaczy.

Zobacz też

• Normalne współrzędne
• Kongruencja (ogólna teoria względności) dla wyprowadzenia rozkładu kinematycznego i równania Raychaudhuriego.

Bibliografia

•    Landau, Lew D .; Lifszyc, Jewgienij M. (1988). „§97. Synchroniczny system odniesienia”. Теория поля [ Teoria pola ]. Kurs Fizyki Teoretycznej (w języku rosyjskim). Tom. 2 (Izd. 7., ispr red.). Moskwa: Nauka, Glav. czerwony. fiziko-matematicheskoĭ lit-ry. ISBN 5-02-014420-7 . OCLC 21793854 . (Tłumaczenie angielskie: Landau, LD i Lifshitz, EM (2000). „# 97. Synchroniczny system odniesienia”. Klasyczna teoria pól   . Oksford: Elsevier Butterworth Heinemann. ISBN 978-0-7506-2768-9 . {{ cite book }} : CS1 maint: wiele nazwisk: lista autorów ( link ) )
• Lifszyc, Jewgienij M .; Sudakow WW; Chałatnikow, IM (1961). „Osobliwości kosmologicznych rozwiązań równań grawitacyjnych.III”. JETP . 40 : 1847 .; Listy przeglądu fizycznego , 6 , 311 (1961)
•    Arnold, VI (1989). Matematyczne metody mechaniki klasycznej . Teksty dyplomowe z matematyki. Tom. 60 (wyd. 2). Nowy Jork: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96890-3 . OCLC 18681352 .

•    Arnold, VI (1996). Особенности каустик и волновых фронтов [ Osobliwości kaustyki i fronty falowe ]. Biblioteka matematyka (w języku rosyjskim). Tom. 1. Moskwa: FAZIS. ISBN 5-7036-0021-9 . OCLC 43811626 .
•    Carroll, Sean M. (2019). „Sekcja 7.2”. Czasoprzestrzeń i geometria: wprowadzenie do ogólnej teorii względności (1 wyd.). San Francisco: Cambridge University Press. doi : 10.1017/9781108770385 . ISBN 978-1-108-48839-6 . S2CID 126323605 .
•   Mam, C.-P. & Bertschinger, E. (1995). „Teoria perturbacji kosmologicznych w synchronicznych i konforemnych miernikach Newtona”. Dziennik astrofizyczny . 455 : 7–25. arXiv : astro-ph/9506072 . Bibcode : 1995ApJ...455....7M . doi : 10.1086/176550 . S2CID 14570491 .