wierzchołek (osobliwość)

Szczyt w (0, 0)

W matematyce , wierzchołek , czasami nazywany spinode w starych tekstach, jest punktem na krzywej , gdzie ruchomy punkt musi odwrócić kierunek. Typowy przykład podano na rysunku. Punkt wierzchołkowy jest zatem rodzajem punktu osobliwego krzywej .

Dla płaskiej krzywej zdefiniowanej analitycznym równaniem parametrycznym

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x & = f (t) \\ y & = g (t), \ koniec {wyrównane}}}

wierzchołek to punkt, w którym obie pochodne f i $g$ są równe zero, a pochodna kierunkowa ${\ Displaystyle \ lim (g' (t) / f' (t))}$ w kierunku stycznej , zmienia znak (kierunek stycznej jest kierunkiem nachylenia $t$ ). Punkty wierzchołkowe są lokalnymi osobliwościami w tym sensie, że obejmują tylko jedną wartość parametru $t$ , w przeciwieństwie do punktów samoprzecięcia, które obejmują więcej niż jedną wartość. W niektórych kontekstach warunek dotyczący pochodnej kierunkowej może zostać pominięty, chociaż w tym przypadku osobliwość może wyglądać jak regularny punkt.

Dla krzywej zdefiniowanej przez ukryte równanie

{\ Displaystyle F (x, y) = 0,}

który jest gładki , wierzchołki to punkty, w których wyrazy najniższego stopnia rozwinięcia Taylora F $są$ potęgami wielomianu liniowego ; jednak nie wszystkie punkty osobliwe, które mają tę właściwość, są wierzchołkami. Teoria szeregu Puiseux implikuje, że jeśli $F$ jest funkcją analityczną (na przykład wielomianem ), liniowa zmiana współrzędnych pozwala na parametryzację krzywej w sąsiedztwie wierzchołka, jako

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x & = w ^ {m} \\ y & = S (t), \ koniec {wyrównane}}}

gdzie $a$ jest liczbą rzeczywistą , $m$ jest dodatnią parzystą liczbą całkowitą , a $S (t)$ jest szeregiem potęgowym rzędu k $($ stopień niezerowego wyrazu najniższego stopnia) większym niż $m$ . Liczba $m$ jest czasami nazywana rzędem lub krotnością wierzchołka i jest równa stopniowi niezerowej części najniższego stopnia $F$ . W niektórych kontekstach definicja wierzchołka jest ograniczona do przypadku wierzchołków drugiego rzędu - to znaczy przypadku, gdy $m = 2$ .

Definicje krzywych płaskich i krzywych zdefiniowanych niejawnie zostały uogólnione przez René Thoma i Vladimira Arnolda na krzywe zdefiniowane przez funkcje różniczkowalne : krzywa ma wierzchołek w punkcie, jeśli istnieje dyfeomorfizm otoczenia punktu w przestrzeni otoczenia, który odwzorowuje krzywą na jeden z wyżej zdefiniowanych wierzchołków.

Klasyfikacja w geometrii różniczkowej

Rozważmy gładką funkcję dwóch zmiennych o wartościach rzeczywistych , powiedzmy $f (x, y),$ gdzie $x$ i $y$ są liczbami rzeczywistymi . Więc $f$ jest funkcją od płaszczyzny do prostej. Na przestrzeń wszystkich takich gładkich funkcji oddziałuje grupa dyfeomorfizmów płaszczyzny i dyfeomorfizmów linii, tj. dyfeomorficzne zmiany współrzędnych zarówno w źródle , jak iw celu . To działanie dzieli całą przestrzeń funkcyjną na klasy równoważności , czyli orbity działania grupowego .

$gdzie$ taka rodzina klas równoważności jest przez k $jest$ liczbą całkowitą funkcja $f$ jest typu ${\ Displaystyle A_ {k} ^ {\ pm}}$ jeśli leży na orbicie ${\ Displaystyle x ^ {2} \ pm y^{k+1},}$ tj. istnieje dyfeomorficzna zmiana współrzędnych w źródle i celu, która przyjmuje $f$ w jedną z tych postaci. Mówi się $pm }}$ $ZA$ formy dają normalne formy typu $Displaystyle A_ {k}$ -osobliwości. Zauważ, że ${\ Displaystyle A_ {2n} ^ {+$ dyfeomorficznej zmiany współrzędnych ${\ Displaystyle (x, y) \ do (x, -y)}$ $)$ takie same jak w źródle trwa ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {k + 1}}$ do ${\ Displaystyle x ^ {2} -y ^ {2n + 1}.}$ Możemy więc usunąć ± z notacji ${\ Displaystyle A_ {2n} ^ {\ pm}} .$

$równoważności$ przedstawicieli klas , gdzie $n \geq 1$ liczbą całkowitą. ^{[ potrzebne źródło ]}

Przykłady

Wierzchołek w półsześciennej paraboli

{\ Displaystyle y ^ {2} = x ^ {3}}

Zwykły wierzchołek jest określony przez ${\ Displaystyle x ^ {2} -y ^ {3} = 0,},$ $x^{2}-y^{3}=0,$ tj. Zbiór na poziomie zerowym typu A ₂ -osobliwość. Niech f ( x , y ) będzie gładką funkcją x i y i załóżmy dla uproszczenia, że f (0, 0) = 0 . Wtedy osobliwość typu A ₂ f w punkcie (0, 0) może być scharakteryzowana przez:
1. Mając zdegenerowaną część kwadratową, tj. wyrazy kwadratowe w szeregu Taylora f $tworzą$ doskonały kwadrat, powiedzmy $L (x, y) 2$ , gdzie $L (x, y)$ jest liniowy w $x$ i $y$ , oraz
2. $L (x, y)$ nie dzieli wyrazów sześciennych w szeregu Taylora $f (x, y)$ .
Romboidalny wierzchołek (z greckiego „podobny do dzioba”) oznaczał pierwotnie wierzchołek taki, że obie gałęzie znajdują się po tej samej stronie stycznej, na przykład dla krzywej równania ${\ displaystyle x ^ {2} -x ^ {4} -y ^ {5} = 0.}$ Ponieważ taka osobliwość należy do tej samej klasy różniczkowej, co wierzchołek równania ${\ displaystyle x ^ {2 }-y^{5}=0,}$ , która jest osobliwością typu $A 4$ , termin ten został rozszerzony na wszystkie takie osobliwości. Te wierzchołki są nieogólne, takie jak kaustyka i czoła fal . Guzek romphoidalny i zwykły guzek nie są dyfeomorficzne. Postać parametryczna to ${\ Displaystyle x = t ^ {2}, \, y = topór ^ {4} + x ^ {5}.}$

Dla osobliwości typu $A 4$ musimy $f$ mieć zdegenerowaną część kwadratową (daje to typ $A \geq2$ ), że $L$ dzieli wyrazy sześcienne (daje to typ $A \geq3$ ), inny warunek podzielności (dając typ $A \geq4$ ) oraz końcowy warunek niepodzielności (podając typ dokładnie $A 4$ ).

Aby zobaczyć, skąd pochodzą te dodatkowe warunki podzielności, załóżmy, że $f$ ma zdegenerowaną część kwadratową $L 2$ i że $L$ dzieli wyrazy sześcienne. Wynika $Q$ że trzeci rząd Taylora szereg $f$ $dana$ przez gdzie kwadratowy $x$ i $y$ . Możemy uzupełnić kwadrat , aby pokazać, że ${\ Displaystyle L ^ {2} \ pm LQ = (L \ pm Q/2) ^ { 2}-Q^{4}/4.}$ Możemy teraz dokonać dyfeomorficznej zmiany zmiennej (w tym przypadku po prostu zastępujemy wielomiany liniowo niezależnymi częściami liniowymi) tak, że ${\ Displaystyle (L \ pm Q/2) ^ {2} -Q ^ {4}/4 \ do x_ {1} ^ {2} + P_ {1}}$ gdzie $P 1$ to quartic (rząd cztery) w $x 1$ i $y 1$ . Warunek podzielności dla typu $A \geq4$ jest taki, że $x 1$ dzieli $P 1$ . Jeśli $x 1$ nie dzieli $P 1$ , to mamy typ dokładnie $A 3$ (zbiór na poziomie zerowym to tacnode ) . Jeśli $x 1$ dzieli $P 1$ , uzupełniamy kwadrat na ${\ Displaystyle x_ {1} ^ {2} + P_ {1}}$ i zmieniamy współrzędne tak, że mamy ${\ Displaystyle x_{2}^{2}+P_{2}}$ gdzie $P 2$ jest kwintyczne (rzędu pięć) w $x 2$ i $y 2$ . Jeśli $x 2$ nie dzieli $P 2$ , to mamy dokładnie typ $A 4$ , tj. zbiór na poziomie zerowym będzie wierzchołkiem rombu.

Aplikacje

Zwykły guzek występujący jako żrące promienie świetlne na dnie filiżanki.

Punkty pojawiają się naturalnie podczas rzutowania na płaszczyznę gładkiej krzywej w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej . Ogólnie rzecz biorąc, taka projekcja jest krzywą, której osobliwościami są samoprzecinające się punkty i zwykłe wierzchołki. Samoprzecinające się punkty pojawiają się, gdy dwa różne punkty krzywych mają ten sam rzut. Zwykłe guzki pojawiają się, gdy styczna do krzywej jest równoległa do kierunku rzutowania (to znaczy, gdy styczna rzutuje na pojedynczy punkt). Bardziej skomplikowane osobliwości występują, gdy kilka zjawisk występuje jednocześnie. Na przykład guzki romboidalne występują dla punktów przegięcia (i dla punktów falistych ), dla których styczna jest równoległa do kierunku rzutowania.

W wielu przypadkach, typowo w wizji komputerowej i grafice komputerowej , rzutowana krzywa jest krzywą punktów krytycznych ograniczenia do (gładkiego) obiektu przestrzennego projekcji. Ostrze jawi się więc jako osobliwość konturu obrazu przedmiotu (wizja) lub jego cienia (grafika komputerowa).

Kaustyka i czoła fal to inne przykłady krzywych z wierzchołkami widocznymi w świecie rzeczywistym.

Zobacz też

Bruce, ŚJ; Giblin, Piotr (1984). Krzywe i osobliwości . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . ISBN 978-0-521-42999-3 .
Porteous, Ian (1994). Różniczkowanie geometryczne . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 978-0-521-39063-7 .

Linki zewnętrzne

Fizycy widzą kosmos w filiżance kawy