Acnode

Aknoda na początku (krzywa opisana w tekście)

Aknoda jest izolowanym punktem w zbiorze rozwiązań równania wielomianowego w dwóch zmiennych rzeczywistych . Równoważnymi terminami są „ odosobniony punkt lub punkt pustelnika ”.

Na przykład równanie

{\ Displaystyle f (x, y) = y ^ {2} + x ^ {2} -x ^ {3} = 0}

ma aknodę na początku, ponieważ jest równoważna z

{\ Displaystyle y ^ {2} = x ^ {2} (x-1)}

i jest $≥$ tylko wtedy, gdy $displaystyle x}$ x $displaystyle x = 0$ } Zatem dla liczb rzeczywistych równanie nie ma rozwiązań dla (0, 0). ${\ displaystyle x <1}$

W przeciwieństwie do liczb zespolonych, pochodzenie nie jest izolowane, ponieważ istnieją pierwiastki kwadratowe z ujemnych liczb rzeczywistych. W rzeczywistości złożony zbiór rozwiązań równania wielomianowego w dwóch zmiennych zespolonych nigdy nie może mieć punktu izolowanego.

Aknoda jest punktem krytycznym lub osobliwością definiującej funkcji wielomianu w tym sensie, że obie pochodne cząstkowe i ${\ Displaystyle \ częściowe f \ nad \ częściowe x}$ i ${\ Displaystyle \ częściowe f \ponad \częściowe y}$ znikają. Ponadto macierz Hessowska drugich pochodnych będzie dodatnio określona lub ujemnie określona , ponieważ funkcja musi mieć lokalne minimum lub lokalne maksimum w osobliwości.

Zobacz też

Porteous, Ian (1994). Różniczkowanie geometryczne . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . ISBN 978-0-521-39063-7 .