Podwójna krzywa

Krzywe, podwójne względem siebie; patrz poniżej właściwości .

W geometrii rzutowej podwójna krzywa danej krzywej płaskiej C jest krzywą w podwójnej płaszczyźnie rzutowej składającą się ze zbioru linii stycznych do C . Istnieje mapa od krzywej do jej podwójnej, wysyłająca każdy punkt do punktu podwójnego do jego linii stycznej. Jeśli C jest algebraiczne , to tak samo jest z jego liczbą podwójną, a stopień liczby podwójnej jest znany jako klasa oryginalnej krzywej. Równanie liczby podwójnej C , podane we współrzędnych liniowych , jest znane jako równanie styczne C . Dualność jest inwolucją : liczba dualna dualności C jest pierwotną krzywą C.

Konstrukcja krzywej dualnej jest geometryczną podstawą transformacji Legendre'a w kontekście mechaniki hamiltonowskiej .

równania

Niech f ( x , y , z ) = 0 będzie równaniem krzywej o jednorodnych współrzędnych na płaszczyźnie rzutowej . Niech Xx + Yy + Zz = 0 będzie równaniem prostej, przy czym ( X , Y , Z ) to współrzędne jej linii w podwójnej płaszczyźnie rzutowej. Warunek, że prosta jest styczna do krzywej, można wyrazić w postaci F ( X , Y , Z ) = 0 , która jest równaniem stycznym krzywej.

W punkcie a ( p , q , r ) na krzywej tangens jest określony przez

${\ Displaystyle x {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (p, q, r) + y {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe y}} (p, q, r) + z {\ frac {\ częściowe f} \częściowo z}}(p,q,r)=0.}$

Zatem Xx + Yy + Zz = 0 jest styczną do krzywej if

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} X & = \ lambda {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} (p, q, r), \\ Y & = \ lambda {\ Frac {\ częściowe f} \częściowe y}}(p,q,r),\\Z&=\lambda {\frac {\częściowe f}{\częściowe z}}(p,q,r).\end{wyrównane}}}$

Wyeliminowanie p , q , r i λ z tych równań wraz z Xp + Yq + Zr = 0 daje równanie w X , Y i Z krzywej podwójnej.

Po lewej: elipsa ( x / 2 ) ²
+ ( y / 3 ) ²
= 1 ze stycznymi xX + yY = 1 dla dowolnych X , Y , takich że (2 X ) ² + (3 Y ) ² = 1 . Po prawej: podwójna elipsa (2 X ) ² + (3 Y ) ² = 1 . Każda styczna do pierwszej elipsy odpowiada punktowi na drugiej elipsie (zaznaczonej tym samym kolorem).

Na przykład niech C będzie toporem ² + o ² + cz ² = 0 stożkowym . Podwójne można znaleźć, eliminując p , q , r i λ z równań

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c} X = 2 \ lambda ap ,\ \ Y=2\lambda bq,\ \ Z=2\lambda cr,\\Xp+Yq+Zr=0.\end{tablica}}}$

Pierwsze trzy równania można łatwo rozwiązać dla p , q , r , a podstawienie w ostatnim równaniu daje

${\ Displaystyle {\ Frac {X ^ {2}} {2 \ lambda a}} + {\ Frac {Y ^ {2} }{2\lambda b}}+{\frac {Z^{2}}{2\lambda c}}=0.}$

Usuwając 2 λ z mianowników, otrzymujemy równanie liczby podwójnej

${\ Displaystyle {\ Frac {X ^ {2}} {a}} + {\ Frac {Y ^ {2}} {b}} + {\ Frac {Z^{2}}{c}}=0.}$

Rozważmy parametrycznie zdefiniowaną krzywą ${\ Displaystyle (x, y) = (x (t), y (t))}$ we współrzędnych rzutowych ${\ Displaystyle (x, y, z) = (x (t), y (t), 1)}$ . Jego rzutowa styczna jest płaszczyzną liniową rozpiętą przez punkt styczności i wektor styczny, ze współczynnikami równania liniowego określonymi przez iloczyn krzyżowy :

${\ Displaystyle (X, Y, Z)=(x,y,1)\razy (x',y',0)=(-y',x',xy'-yx'),}$

co we współrzędnych afinicznych wynosi : ${\ Displaystyle (X, Y, 1)}$

${\ Displaystyle X = {\ Frac {-y '}{xy'-yx'}}, \ quad Y = {\ Frac {x'} {xy'-yx'}}.}$

Podwójny punkt przegięcia da wierzchołek , a dwa punkty dzielące tę samą linię styczną dadzą punkt samoprzecięcia na podwójnej.

Z opisu rzutowego można obliczyć liczbę podwójną liczby podwójnej:

${\ Displaystyle (x (x'y''-y'x''), \, y (x'y''-y'x''), \, x'y'' -y'x'')=(x,\,y,\,1)(x'y''-y'x''),}$

co jest rzutowo równoważne oryginalnej krzywej ${\ Displaystyle (x (t), y (t), 1)}$ .

Właściwości krzywej podwójnej

Właściwości oryginalnej krzywej odpowiadają właściwościom podwójnym na krzywej podwójnej. Na obrazie wprowadzającym czerwona krzywa ma trzy osobliwości — węzeł pośrodku i dwa wierzchołki w prawym dolnym i lewym dolnym rogu. Czarna krzywa nie ma osobliwości, ale ma cztery wyróżnione punkty: dwa najwyższe punkty odpowiadają węzłowi (punkt podwójny), ponieważ oba mają tę samą linię styczną, stąd mapują ten sam punkt na krzywej podwójnej, podczas gdy dwa punkty przegięcia odpowiadają wierzchołkom, ponieważ linie styczne najpierw biegną w jedną, a potem w drugą stronę (nachylenie rośnie, a następnie maleje).

Natomiast na gładkiej, wypukłej krzywej kąt linii stycznej zmienia się monotonicznie, a wynikowa krzywa podwójna jest również gładka i wypukła.

Co więcej, obie powyższe krzywe mają symetrię odbicia: dwoistość rzutowa zachowuje symetrie w przestrzeni rzutowej, więc krzywe podwójne mają tę samą grupę symetrii. W tym przypadku obie symetrie są realizowane jako odbicie lewo-prawo; jest to artefakt identyfikacji przestrzeni i przestrzeni dualnej – generalnie są to symetrie różnych przestrzeni.

Stopień

Jeśli X jest płaską krzywą algebraiczną, to stopień dualności to liczba punktów przecięcia z linią na płaszczyźnie dualnej. Ponieważ linia na płaszczyźnie dualnej odpowiada punktowi na płaszczyźnie, stopień dualności to liczba stycznych do X, które można poprowadzić przez dany punkt. Punkty, w których te styczne stykają się z krzywą, są punktami przecięcia krzywej z krzywą biegunową względem danego punktu. Jeśli stopień krzywej wynosi d , to stopień bieguna wynosi d - 1 , a więc liczba stycznych, które można poprowadzić przez dany punkt, wynosi co najwyżej d ( d - 1) .

Podwójna linia (krzywa stopnia 1) jest wyjątkiem i jest traktowana jako punkt w przestrzeni dualnej (mianowicie oryginalnej linii). Przyjmuje się, że liczba podwójna pojedynczego punktu jest zbiorem linii przechodzących przez punkt; tworzy to linię w przestrzeni dualnej, która odpowiada pierwotnemu punktowi.

Jeśli X jest gładkie (nie ma punktów osobliwych ), to liczba podwójna X ma maksymalny stopień d ( d - 1) . Oznacza to, że liczba podwójna stożka jest również stożkiem. Geometrycznie mapa od stożka do jego podwójnego jest jeden do jednego (ponieważ żadna linia nie jest styczna do dwóch punktów stożka, ponieważ wymaga to stopnia 4), a linia styczna zmienia się płynnie (ponieważ krzywa jest wypukła, więc nachylenie linii stycznej zmienia się monotonicznie: wierzchołki w podwójnej wymagają punktu przegięcia w oryginalnej krzywej, co wymaga stopnia 3).

W przypadku krzywych z punktami osobliwymi, punkty te będą również leżeć na przecięciu krzywej i jej bieguna, co zmniejsza liczbę możliwych linii stycznych. Wzory Plückera podają stopień liczby podwójnej w odniesieniu do d oraz liczbę i typy punktów osobliwych X .

Odwrotność biegunowa

Dwoistość można zwizualizować jako locus na płaszczyźnie w postaci biegunowej odwrotności . Jest to zdefiniowane w odniesieniu do ustalonego stożka Q jako miejsca biegunów stycznych linii krzywej C . Stożkowy Q jest prawie zawsze traktowany jako okrąg, więc odwrotność biegunowa jest odwrotnością pedału C .

Uogólnienia

Wyższe wymiary

Podobnie, uogólniając na wyższe wymiary, biorąc pod uwagę hiperpowierzchnię , przestrzeń styczna w każdym punkcie daje rodzinę hiperpłaszczyzn , a tym samym definiuje podwójną hiperpowierzchnię w podwójnej przestrzeni. Dla dowolnej zamkniętej podrozmaitości X w przestrzeni rzutowej zbiór wszystkich hiperpłaszczyzn stycznych do pewnego punktu X jest zamkniętą podrozmaitością dualnej przestrzeni rzutowej, zwaną dualną rozmaitością X .

Przykłady

• Jeśli X jest hiperpowierzchnią zdefiniowaną przez jednorodny wielomian ₀ F ( x , ..., x _n ) , to podwójna rozmaitość X jest obrazem X przez mapę gradientu

${\ Displaystyle x = (x_ {0}, \ ldots, x_ {n}) \ mapsto \ lewo ({\ Frac {\ częściowe F} {\częściowe x_{0}}}(x),\ldots ,{\frac {\częściowe F}{\częściowe x_{n}}}(x)\right)}, które ląduje w podwójnej przestrzeni rzutowej$

.

• Podwójna rozmaitość punktu ₀ ( za : ... : za _n ) to hiperpłaszczyzna

${\ Displaystyle a_ {0} x_ {0} + \ ldots + a_ {n} x_{n}=0.}$

Podwójny wielokąt

Główne artykuły: podwójny wielokąt i koniugat wypukły

Konstrukcja podwójnej krzywej działa nawet wtedy, gdy krzywa jest fragmentarycznie liniowa lub fragmentarycznie różniczkowalna , ale wynikowa mapa jest zdegenerowana (jeśli występują składowe liniowe) lub źle zdefiniowana (jeśli występują punkty osobliwe).

W przypadku wielokąta wszystkie punkty na każdej krawędzi mają tę samą styczną, a zatem odwzorowują ten sam wierzchołek liczby podwójnej, podczas gdy styczna linia wierzchołka jest źle zdefiniowana i można ją interpretować jako wszystkie linie przechodzące przez nią pod kątem między dwiema krawędziami. Jest to zgodne zarówno z dualnością rzutową (linie są odwzorowywane na punkty, a punkty na linie), jak iz granicą gładkich krzywych bez składnika liniowego: gdy krzywa spłaszcza się do krawędzi, jej linie styczne odwzorowują coraz bliższe punkty; gdy krzywa zaostrza się do wierzchołka, jej linie styczne oddalają się od siebie.

Mówiąc bardziej ogólnie, każdy wypukły wielościan lub stożek ma wielościan podwójny , a każdy wypukły zestaw X z hiperpowierzchnią graniczną H ma wypukły koniugat X* , którego granicą jest podwójna rozmaitość H* .

Zobacz też

• Transformacja Hougha
• Mapa Gaussa

Notatki

•   Arnold, Vladimir Igorevich (1988), Metody geometryczne w teorii równań różniczkowych zwyczajnych , Springer, ISBN 3-540-96649-8
• Hilton, Harold (1920), „Rozdział IV: Równanie styczne i odwrotność biegunowa” , Płaskie krzywe algebraiczne , Oxford
•   Fulton, William (1998), Teoria przecięcia , Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62046-4
• Walker, RJ (1950), Krzywe algebraiczne , Princeton
•   Brieskorn, E.; Knorrer, H. (1986), Płaskie krzywe algebraiczne , Birkäuser, ISBN 978-3-7643-1769-0