Niezmiennik Gromowa-Wittena

W matematyce , szczególnie w topologii symplektycznej i geometrii algebraicznej , niezmiennikami Gromowa-Wittena ( GW ) są liczby wymierne , które w pewnych sytuacjach zliczają krzywe pseudoholomorficzne spełniające określone warunki w danej rozmaitości symplektycznej . Niezmienniki GW mogą być pakowane jako homologii lub kohomologii w odpowiedniej przestrzeni lub jako zdeformowany produkt kubkowy kohomologia kwantowa . Te niezmienniki zostały użyte do rozróżnienia rozmaitości symplektycznych, które wcześniej były nie do odróżnienia. Odgrywają również kluczową rolę w teorii strun typu zamkniętego IIA . Noszą imiona Michaiła Gromowa i Edwarda Wittena .

Rygorystyczna matematyczna definicja niezmienników Gromowa-Wittena jest długa i trudna, dlatego jest traktowana oddzielnie w artykule dotyczącym mapy stabilnej . W tym artykule podjęto próbę bardziej intuicyjnego wyjaśnienia, co oznaczają niezmienniki, jak są obliczane i dlaczego są ważne.

Definicja

Rozważ następujące:

• X : zamknięta rozmaitość symplektyczna o wymiarze 2 k ,
• A : dwuwymiarowa klasa homologii w X ,
• g : nieujemna liczba całkowita,
• n : nieujemna liczba całkowita.

Teraz definiujemy niezmienniki Gromova-Wittena związane z krotką 4: ( X , A , g , n ). Niech ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n}}$ będzie przestrzenią modułów Deligne'a-Mumforda krzywych rodzaju g z n zaznaczonymi punktami i ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n} (X, A)}$ oznaczamy przestrzeń modułów stabilnych odwzorowań na X klasy A , dla jakiejś wybranej prawie złożonej struktury J na X zgodnej z jej postacią symplektyczną. Elementy ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n} (X, A)}$ mają postać:

${\ Displaystyle (C, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, f)}$ ,

gdzie C jest (niekoniecznie stabilną) krzywą z n zaznaczonymi punktami x ₁ , ..., x _n i f : C → X jest pseudoholomorficzne. Przestrzeń modułów ma wymiar rzeczywisty

${\ Displaystyle d: = 2c_ {1} ^ {X} (A) + (2k-6) (1-g) + 2n.}$

Pozwalać

${\ Displaystyle \ operatorname {st} (C, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ w {\ overline {\ matematyczny {M}}}_{g,n}}$

oznaczają stabilizację krzywej. Pozwalać

${\ Displaystyle Y: = {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n} \ razy X ^ {n},}$

który ma rzeczywisty wymiar ${\ Displaystyle 6g-6 + 2 (k + 1) n}$ . Jest mapa ocen

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ operatorname {ev}: {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n} (X, A) \ do Y \\\ operatorname {ev} (C, x_{1},\ldots,x_{n},f)=\left(\nazwa operatora {st} (C,x_{1},\ldots,x_{n}),f(x_{1}),\ ldots ,f(x_{n})\right).\end{przypadki}}}$

Mapa $_$ podstawową klasę _ _ _ klasa homologii w Y , oznaczona

${\ Displaystyle GW_ {g, n} ^ {X, A} \ w H_ {d} (Y, \ mathbb {Q}).}$

W pewnym sensie ta klasa homologii jest niezmiennikiem Gromowa -Wittena X dla danych g , n i A . Jest niezmiennikiem klasy izotopów symplektycznych rozmaitości symplektycznej X .

Aby zinterpretować geometrycznie niezmiennik Gromowa-Wittena, niech β będzie klasą homologii w ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n}}$ i ${\ Displaystyle \ alfa _ {1}, \ ldots, \ alfa _ {n}}$ klasy homologii w X , takie, że suma współwymiarów ${\ Displaystyle \ beta, \ alfa _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ równa się re . Indukują one klasy homologii w Y według wzoru Künnetha . Pozwalać

${\ Displaystyle GW_ {g, n} ^ {X, A} (\ beta, \ alfa _ {1}, \ ldots, \ alfa _ {n}): = GW_ {g, n} ^ {X, A} \cdot \beta \cdot \alpha _{1}\cdots \alpha _{n}\in H_{0}(Y,\mathbb {Q} ),}$

gdzie oznacza $przecięcia$ w racjonalnej homologii Y . Jest to liczba wymierna, niezmiennik Gromowa-Wittena dla danych klas. Ta liczba daje „wirtualne” zliczenie liczby krzywych pseudoholomorficznych (w klasie A , rodzaju g , z domeną w części β przestrzeni Deligne'a – Mumforda), których n zaznaczonych punktów jest odwzorowanych na cykle reprezentujące ${\ Displaystyle \ alfa _ {i}}$ .

Mówiąc prościej, niezmiennik GW liczy, ile jest krzywych przecinających n wybranych podrozmaitości X . Jednak ze względu na „wirtualny” charakter liczenia nie musi to być liczba naturalna, jak można by się spodziewać po liczeniu. Przestrzeń stabilnych map jest bowiem orbifoldem , którego punkty izotropii mogą wnosić wartości niecałkowite do niezmiennika.

Istnieje wiele odmian tej konstrukcji, w których kohomologia jest używana zamiast homologii, integracja zastępuje przecięcie, klasy Cherna wycofane z przestrzeni Deligne-Mumford są również zintegrowane itp.

Techniki obliczeniowe

Niezmienniki Gromowa – Wittena są generalnie trudne do obliczenia. Chociaż $złożonej$ dla dowolnej ogólnej, struktury J której linearyzacja D operatora jest suriekcją , w rzeczywistości muszą być obliczone względem konkretnego, wybranego J . Najwygodniej jest wybrać J ze specjalnymi właściwościami, takimi jak nierodzajowe symetrie lub całkowalność. Rzeczywiście, obliczenia są często przeprowadzane na Rozmaitości Kählera z wykorzystaniem technik geometrii algebraicznej.

Jednak specjalny J może indukować niesurjektywne D , a tym samym przestrzeń modułów krzywych pseudoholomorficznych, która jest większa niż oczekiwano. Luźno mówiąc, koryguje się ten efekt, tworząc z kokernela D wiązkę wektorów , zwaną wiązką przeszkód , a następnie realizując niezmiennik GW jako całkę klasy Eulera wiązki przeszkód. Doprecyzowanie tego pomysłu wymaga znacznych argumentów technicznych przy użyciu struktur Kuranishi .

Główną techniką obliczeniową jest lokalizacja . Ma to zastosowanie, gdy X jest toryczny , co oznacza, że ​​​​działa na niego złożony torus lub przynajmniej lokalnie toryczny. Następnie można użyć twierdzenia Atiyaha-Botta o punkcie stałym , autorstwa Michaela Atiyaha i Raoula Botta , aby zredukować lub zlokalizować obliczenie niezmiennika GW do całkowania po punkcie stałym działania.

Innym podejściem jest zastosowanie operacji symplektycznych w celu powiązania X z jedną lub kilkoma innymi przestrzeniami, których niezmienniki GW są łatwiejsze do obliczenia. Oczywiście, najpierw trzeba zrozumieć, jak niezmienniki zachowują się podczas operacji. W takich zastosowaniach często używa się bardziej rozbudowanych względnych niezmienników GW , które zliczają krzywe z określonymi warunkami styczności wzdłuż symplektycznej podrozmaitości X rzeczywistego drugiego wymiaru.

Powiązane niezmienniki i inne konstrukcje

Niezmienniki GW są blisko spokrewnione z wieloma innymi koncepcjami geometrii, w tym niezmiennikami Donaldsona i niezmiennikami Seiberga-Wittena w kategorii symplektycznej oraz teorią Donaldsona-Thomasa w kategorii algebraicznej. W przypadku zwartych symplektycznych czterorozmaitości Clifford Taubes wykazał, że wariant niezmienników GW (patrz niezmiennik Gromowa Taubesa ) jest równoważny niezmiennikom Seiberga-Wittena. Przypuszcza się, że w przypadku trójek algebraicznych zawierają one te same informacje, co niezmienniki Donaldsona-Thomasa o wartościach całkowitych . Względy fizyczne dają również początek niezmiennikom Gopakumara – Vafy , które mają na celu podanie liczby całkowitej leżącej u podstaw typowo racjonalnej teorii Gromowa-Wittena. Niezmienniki Gopakumar-Vafa nie mają obecnie ścisłej definicji matematycznej i jest to jeden z głównych problemów w tej dziedzinie.

Niezmienniki Gromowa-Wittena gładkich rozmaitości rzutowych można zdefiniować całkowicie w ramach geometrii algebraicznej. Klasyczna wyliczeniowa geometria krzywych płaskich i krzywych wymiernych w przestrzeniach jednorodnych jest uchwycona przez niezmienniki GW. Jednak główną zaletą niezmienników GW w porównaniu z klasycznymi zliczeniami wyliczeniowymi jest to, że są one niezmienne przy deformacjach złożonej struktury celu. Niezmienniki GW dostarczają również deformacji struktury produktu w pierścieniu kohomologii rozmaitości symplektycznej lub rzutowej; można je zorganizować w celu skonstruowania kwantowego pierścienia kohomologii rozmaitości X , co jest deformacją zwykłej kohomologii. Asocjatywność zdeformowanego produktu jest zasadniczo konsekwencją samopodobnego charakteru przestrzeni modułów stabilnych map, które są używane do definiowania niezmienników.

Wiadomo, że pierścień kohomologii kwantowej jest izomorficzny z symplektyczną homologią Floera z iloczynem pary spodni.

Zastosowanie w fizyce

Niezmienniki GW są przedmiotem zainteresowania teorii strun, gałęzi fizyki, która próbuje ujednolicić ogólną teorię względności i mechanikę kwantową . W tej teorii wszystko we wszechświecie, począwszy od cząstek elementarnych , składa się z maleńkich strun . Gdy struna podróżuje przez czasoprzestrzeń, zarysowuje powierzchnię, zwaną arkuszem świata struny. Niestety, przestrzeń modułów takich sparametryzowanych powierzchni, przynajmniej a priori , jest nieskończenie wymiarowa; nie jest znana żadna odpowiednia miara w tej przestrzeni, a zatem całki po trajektoriach teorii brakuje ścisłej definicji.

Sytuacja poprawia się w wariancie znanym jako zamknięty model A. Tutaj jest sześć wymiarów czasoprzestrzennych, które tworzą rozmaitość symplektyczną, i okazuje się, że arkusze świata są koniecznie sparametryzowane przez pseudoholomorficzne krzywe, których przestrzenie modułów są tylko skończenie wymiarowe. Niezmienniki GW, jako całki po tych przestrzeniach modułów, są więc całkami po trajektoriach teorii. W szczególności energia swobodna modelu A w rodzaju g jest funkcją generującą niezmienników rodzaju g GW.

Zobacz też

• Kompleks cotangensowy - dla teorii deformacji
• rachunek Schuberta

•   McDuff, Dusa & Salamon, Dietmar (2004). Krzywe J-holomorficzne i topologia symplektyczna . Publikacje z kolokwium Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego. ISBN 0-8218-3485-1 . Analitycznie posmakowany przegląd niezmienników Gromowa-Wittena i kohomologii kwantowej dla rozmaitości symplektycznych, bardzo technicznie kompletny
•   Piunikhin, Siergiej; Salamon, Dietmar & Schwarz, Matthias (1996). „Teoria symplektyczna Floera – Donaldsona i kohomologia kwantowa”. W Thomas, CB (red.). Geometria kontaktowa i symplektyczna . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . s. 171 –200. ISBN 0-521-57086-7 .

Dalsza lektura

• Przestrzenie modułowe map stajni Genus-One, klasy wirtualne i ćwiczenie z teorii skrzyżowań - Andrea Tirelli
•   Kock, Joachim; Vainsencher, Izrael (2007). Zaproszenie do kohomologii kwantowej: wzór Kontsevicha na racjonalne krzywe płaszczyzny . Nowy Jork: Springer. ISBN 978-0-8176-4456-7 . Ładne wprowadzenie z historią i ćwiczeniami do formalnego pojęcia przestrzeni modułowej , traktuje obszernie przypadek przestrzeni rzutowych używając podstaw w języku schematów .
• Vakil, Ravi (2006). „Przestrzeń modułowa krzywych i teoria Gromowa-Wittena” . arXiv : matematyka/0602347 . Bibcode : 2006math......2347V .
• Uwagi na temat stabilnych map i kohomologii kwantowej

Artykuły badawcze

• Teoria schematów Gromowa-Wittena w charakterystyce mieszanej