Krzywa hipereliptyczna

Ryc. 1: Wykres krzywej hipereliptycznej gdzie do ${\ Displaystyle C: y ^ {2} = f (x)$

$${\ Displaystyle f (x) = x ^ {5} -2x ^ {4} -7x ^ {3} + 8x ^ {2} + 12x = x (x + 1) (x-3) (x + 2) (x-2).}$$

W geometrii algebraicznej krzywa hipereliptyczna jest krzywą algebraiczną rodzaju g > 1 , określoną równaniem postaci

$${\ Displaystyle y ^ {2} + h (x) y = f (x)}$$

gdzie f ( x ) jest wielomianem stopnia n = 2 g + 1 > 4 lub n = 2 g + 2 > 4 z n różnymi pierwiastkami, a h ( x ) jest wielomianem stopnia < g + 2 (jeśli charakterystyka pola masy nie wynosi 2, można przyjąć h ( x ) = 0).

Funkcja hipereliptyczna jest elementem pola funkcji takiej krzywej lub jakobianu na krzywej; te dwie koncepcje są identyczne dla funkcji eliptycznych , ale różne dla funkcji hipereliptycznych.

Rodzaj krzywej

Stopień wielomianu określa rodzaj krzywej: wielomian stopnia 2 g + 1 lub 2 g + 2 daje krzywą rodzaju g . Kiedy stopień jest równy 2 g + 1, krzywa nazywana jest wyimaginowaną krzywą hipereliptyczną . Tymczasem krzywa stopnia 2 g + 2 nazywana jest rzeczywistą krzywą hipereliptyczną . To stwierdzenie dotyczące rodzaju pozostaje prawdziwe dla g = 0 lub 1, ale te krzywe nie są nazywane „hipereliptycznymi”. Raczej przypadek g = 1 (jeśli wybierzemy wyróżniony punkt) to an krzywa eliptyczna . Stąd terminologia.

Formuła i wybór modelu

Chociaż ten model jest najprostszym sposobem opisu krzywych hipereliptycznych, takie równanie będzie miało punkt osobliwy w nieskończoności na płaszczyźnie rzutowej . Ta cecha jest specyficzna dla przypadku n > 3. Dlatego podając takie równanie do określenia krzywej nieosobliwej, prawie zawsze zakłada się, że model nieosobliwy (zwany także gładkim uzupełnieniem ), równoważny w sensie chodzi o geometrię biracjonalną .

Mówiąc dokładniej, równanie definiuje kwadratowe rozszerzenie C ( x ) i chodzi o to pole funkcji. Punkt osobliwy w nieskończoności można usunąć (ponieważ jest to krzywa) w procesie normalizacji ( całkowego zamknięcia ). Okazuje się, że po wykonaniu tej czynności otwiera się pokrycie krzywej dwoma wykresami afinicznymi: tym już podanym przez

$${\ Displaystyle y ^ {2} = f (x)}$$

i jeszcze jeden podany przez

$${\ Displaystyle w ^ {2} = v ^ {2g + 2} f (1/v).}$$

Mapy klejenia między dwoma wykresami są podane przez

$${\ Displaystyle (x, y) \ mapsto (1/x, y/x ^ {g + 1})}$$

I

$${\ Displaystyle (v, w) \ mapsto (1/v, w/v ^ {g + 1}),}$$

wszędzie tam, gdzie są zdefiniowane.

W rzeczywistości przyjmuje się skrót geometryczny, przy czym krzywa C jest zdefiniowana jako rozgałęzione podwójne pokrycie linii rzutowej , przy czym rozgałęzienie występuje u pierwiastków f , a także dla nieparzystego n w punkcie w nieskończoności. W ten sposób można ujednolicić przypadki n = 2 g + 1 i 2 g + 2, ponieważ równie dobrze moglibyśmy użyć automorfizmu płaszczyzny rzutowej, aby odsunąć dowolny punkt rozgałęzienia od nieskończoności.

Korzystając ze wzoru Riemanna-Hurwitza

₀ Korzystając ze wzoru Riemanna-Hurwitza , krzywa hipereliptyczna z rodzajem g jest zdefiniowana równaniem o stopniu n = 2 g + 2. Załóżmy, że f : X → P ¹ jest pokryciem rozgałęzionym o stopniu rozgałęzienia 2 , gdzie X jest krzywą o rodzaju g i P1 ^jest sferą Riemanna . Niech g ₁ = g i g będą rodzajem P ¹ ( = 0 ), to formuła Riemanna-Hurwitza okazuje się być

${\ Displaystyle 2-2g_ {1} = 2 (2-2g_ {0}) - \ suma _ {s \ w X}(e_{s}-1)}$

gdzie s jest nad wszystkimi rozgałęzionymi punktami na X . Liczba punktów rozgałęzionych wynosi n , więc n = 2 g + 2.

Występowanie i zastosowania

Wszystkie krzywe rodzaju 2 są hipereliptyczne, ale dla rodzaju ≥ 3 krzywa rodzajowa nie jest hipereliptyczna. Jest to widoczne heurystycznie przez przestrzeni modułowej . Licząc stałe, przy n = 2 g + 2, zbiór n punktów podlegających działaniu automorfizmów linii rzutowej ma (2 g + 2) − 3 stopnie swobody, czyli mniej niż 3 g − 3, liczba modułów krzywej rodzaju g , chyba że g wynosi 2. Znacznie więcej wiadomo o locus hipereliptycznym w przestrzeni modułów krzywych lub rozmaitości abelowych , chociaż trudniej jest przedstawić ogólne krzywe niehipereliptyczne za pomocą prostych modeli. Jedną z geometrycznych charakterystyk krzywych hipereliptycznych są punkty Weierstrassa . Bardziej szczegółowa geometria krzywych niehipereliptycznych jest odczytywana z teorii krzywych kanonicznych , przy czym odwzorowanie kanoniczne wynosi 2 do 1 na krzywych hipereliptycznych, ale w przeciwnym razie 1 do 1 dla g > 2. Krzywe trygonalne to te, które odpowiadają pierwiastkowi sześciennemu, a nie pierwiastkowi kwadratowemu wielomianu.

Definicja przez kwadratowe rozszerzenia pola funkcji wymiernej działa ogólnie dla ciał, z wyjątkiem cechy 2; we wszystkich przypadkach dostępna jest definicja geometryczna jako rozgałęzionego podwójnego pokrycia linii rzutowej, jeśli zakłada się, że przedłużenie jest rozdzielne.

Krzywe hipereliptyczne mogą być wykorzystywane w kryptografii krzywych hipereliptycznych dla kryptosystemów opartych na problemie logarytmu dyskretnego .

Pojawiają się również krzywe hipereliptyczne, składające się na całe połączone składowe pewnych warstw przestrzeni modułów różnic abelowych.

Hipereliptyczność krzywych rodzaju 2 została wykorzystana do udowodnienia hipotezy Gromowa o powierzchni wypełnienia w przypadku wypełnień rodzaju =1.

Klasyfikacja

Krzywe hipereliptyczne danego rodzaju g mają przestrzeń modułów, ściśle związaną z pierścieniem niezmienników postaci binarnej stopnia 2 g +2.

Historia

Funkcje hipereliptyczne zostały po raz pierwszy opublikowane przez Adolpha Göpela (1812-1847) w jego ostatnim artykule Abelsche Transcendenten erster Ordnung (Abelowe transcendenty pierwszego rzędu) (w Journal für reine und angewandte Mathematik , t. 35, 1847). Niezależnie Johann G. Rosenhain i opublikował Umkehrungen ultraelliptischer Integrale erster Gattung (w Mémoires des savants etc., t. 11, 1851).

Zobacz też

• Powierzchnia Bolzy
• Krzywa supereliptyczna

• „Krzywa hipereliptyczna” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Przewodnik użytkownika po lokalnej arytmetyce krzywych hipereliptycznych