Przypuszczenie obszaru wypełnienia

W geometrii różniczkowej hipoteza obszaru wypełnienia Michaiła Gromowa zakłada, że ​​półkula ma minimalną powierzchnię wśród orientowalnych powierzchni, które wypełniają zamkniętą krzywą o danej długości bez wprowadzania skrótów między jej punktami.

Definicje i stwierdzenie przypuszczenia

Każda gładka powierzchnia M lub krzywa w przestrzeni euklidesowej jest przestrzenią metryczną , w której (wewnętrzna) odległość d _M ( x , y ) między dwoma punktami x , y z M jest zdefiniowana jako infimum długości krzywych wychodzących z x do y wzdłuż M . Na przykład na zamkniętej krzywej $o$ długości 2 L dla każdego punktu x krzywej istnieje unikalny inny punkt krzywej (zwany antypodem ) w odległości L od x .

Zwarta powierzchnia M wypełnia zamkniętą krzywą C , jeśli jej granicą (zwaną także granicą , oznaczoną ∂ M ) jest krzywa C . O wypełnieniu M mówimy, że jest izometryczne , jeśli dla dowolnych dwóch punktów x , y krzywej granicznej C odległość d _M ( x , y ) między nimi wzdłuż M jest taka sama (nie mniejsza) niż odległość d _C ( x , y ) wzdłuż granicy. Innymi słowy, izometryczne wypełnienie krzywej oznacza wypełnienie jej bez wprowadzania skrótów.

Pytanie: Jak małe może być pole powierzchni, która izometrycznie wypełnia swoją krzywą graniczną, o danej długości?

Na przykład w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej koło

${\ Displaystyle C = \ {(x, y, 0): \ x ^ {2} + y ^ {2} = 1 \}}$

(o długości 2 π ) wypełnia płaski krążek

${\ Displaystyle D = \ {(x, y, 0): \ x ^ {2} + y ^ {2} \ równoważnik 1 \} }$

co nie jest wypełnieniem izometrycznym, ponieważ każda prosta cięciwa wzdłuż niego jest skrótem. W przeciwieństwie do półkuli

${\ Displaystyle H = \ {(x, y, z): \ x ^ {2} + y ^ { 2}+z^{2}=1{\text{ i }}z\geq 0\}}$

jest izometrycznym wypełnieniem tego samego koła C , które ma dwa razy większe pole płaskiego krążka . Czy to jest minimalna możliwa powierzchnia?

Powierzchnię można sobie wyobrazić jako wykonaną z elastycznego, ale nierozciągliwego materiału, który umożliwia jej przesuwanie i wyginanie w przestrzeni euklidesowej. Żadne z tych przekształceń nie modyfikuje pola powierzchni ani długości narysowanych na niej krzywych, które są wielkościami istotnymi dla problemu. Powierzchnię można całkowicie usunąć z przestrzeni euklidesowej, uzyskując powierzchnię riemannowską , która jest abstrakcyjną gładką powierzchnią z metryką riemannowską , która koduje długości i powierzchnię. I odwrotnie, zgodnie z twierdzeniem Nasha-Kuipera , każda powierzchnia riemannowska z granicą może być osadzona w przestrzeni euklidesowej z zachowaniem długości i powierzchni określonych metryką riemannowską. Zatem problem wypełnienia można postawić równoważnie jako pytanie o powierzchnie riemannowskie , które nie są umieszczone w przestrzeni euklidesowej w żaden szczególny sposób.

Hipoteza (przypuszczenie Gromowa dotyczące obszaru wypełnienia, 1983): Półkula ma minimalną powierzchnię wśród orientowalnych zwartych powierzchni Riemanna, które wypełniają izometrycznie swoją krzywą graniczną o danej długości.

Dowód Gromowa dla przypadku dysków Riemanna

W tym samym artykule, w którym Gromow przedstawił to przypuszczenie, udowodnił to

półkula ma najmniejszą powierzchnię spośród powierzchni Riemanna, które izometrycznie wypełniają okrąg o danej długości i są homeomorficzne z dyskiem .

$Dowód$ : niech będzie dyskiem Riemanna, który izometrycznie $swoją$ . Przyklej każdy punkt ${\ Displaystyle$ punktem $-x}$ , zdefiniowanym jako unikalny punkt $częściowy M}$ który jest maksymalny możliwa odległość od ${\ displaystyle$$}$ . Sklejając w ten $jest$ , otrzymujemy zamkniętą powierzchnię Riemanna, $płaszczyzną$ homeomorficzna z rzeczywistą rzutową i której skurcz (długość najkrótszej niekurczliwej krzywej) jest . (I odwrotnie, jeśli rozetniemy rzutową płaszczyznę wzdłuż najkrótszej niekurczliwej pętli o długości $otrzymamy$ dysk, który izometrycznie wypełnia swoją granicę długości $Zatem$ minimalny obszar, który izometryczne wypełnienie, $jakie$$,$ jest równe minimalnemu obszarowi, jaki może mieć riemannowska rzutowa płaszczyzna skurczu. Ale wtedy nierówność skurczowa Pu dokładnie stwierdza, że ​​​​płaszczyzna rzutowa Riemanna danego skurczu ma minimalne pole wtedy i tylko wtedy, gdy jest okrągła (to znaczy uzyskana ze sfery euklidesowej przez zidentyfikowanie każdego punktu z jego przeciwieństwem). Pole tej okrągłej płaszczyzny rzutowej jest równe polu półkuli (ponieważ każda z nich ma połowę pola kuli).

Dowód nierówności Pu opiera się z kolei na twierdzeniu o uniformizacji .

Wypełnienia metryką Finslera

W 2001 roku Siergiej Iwanow przedstawił inny sposób udowodnienia, że ​​półkula ma najmniejszą powierzchnię wśród izometrycznych wypełnień homeomorficznych z dyskiem. Jego argument nie wykorzystuje twierdzenia o uniformizacji , a zamiast tego opiera się na fakcie topologicznym, że dwie krzywe na dysku muszą się przecinać, jeśli ich cztery punkty końcowe leżą na granicy i są przeplecione. Co więcej, dowód Iwanowa odnosi się bardziej ogólnie do dysków z metryką Finslera , które różnią się od metryk Riemanna tym, że nie muszą spełniać równania Pitagorasa na nieskończenie małym poziomie. Pole powierzchni Finslera można zdefiniować na różne nierównoważne sposoby, a zastosowanym tutaj jest obszar Holmesa-Thompsona , który pokrywa się ze zwykłym obszarem, gdy metryka jest riemannowska. Iwanow udowodnił, że tak

Półkula ma minimalną powierzchnię Holmesa-Thompsona wśród dysków Finslera, które izometrycznie wypełniają zamkniętą krzywą o danej długości.

Dowód twierdzenia Iwanowa

Niech ( M , F ) będzie krążkiem Finslera , który izometrycznie wypełnia swoją granicę o długości 2 L . Możemy założyć, że M jest standardowym okrągłym krążkiem w ℝ 2 , a metryka Finslera F :TM M = M × ℝ 2 → [0,+∞) jest gładka i silnie wypukła. Obszar wypełnienia Holmesa-Thompsona można obliczyć za pomocą wzoru ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Obszar} _ {\ operatorname {HT}} (M, F) = {\ Frac {1} {1} {\ pi}} \ iint _ {M} | B_ {x} ^ {*}|\,\mathrm {d} x_{0}\,\mathrm {d} x_{1}}$ $\ Displaystyle x \$ każdego punktu zbiór $}$ { $)$$jednostkowa$ normy ${\ Displaystyle | B_ {x} ^ {*} |}$ kula normy _ to jego zwykły obszar jako podzbiór ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ . Wybierz zbiór punktów granicznych, wymienionych w kolejności przeciwnej do ruchu wskazówek zegara ${\ Displaystyle P = (p_ {i}) _ {0 \ równoważnik i <n} \ subseteq \ częściowe M}$ . p ${\ Displaystyle p_ {i}}$ , definiujemy na M skalarną ${\ Displaystyle f_ {i} (x) = \ matematyczna {dist} _{F}(p_{i},x)}$ . Funkcje te mają następujące właściwości: Każda funkcja jest Lipschitzem na $,$ a zatem (zgodnie z różniczkowalna w każdym punkcie $in M}$ { \ Displaystyle x . Jeśli jest różniczkowalna $displaystyle p_ {$ punkcie wewnętrznym to istnieje unikalna najkrótsza krzywa z $i}}$$\$$displaystyle p_ {$ do x (sparametryzowana prędkością jednostkową), która dociera do x z prędkością ${\ displaystyle v_ {i}}$ . Różniczka $x$ unikalnym kowektorem ${\ Displaystyle \ varphi \ in B_ {x}$ takie, że ${\ Displaystyle \ varphi (v_ {i}) = F_ {x} (v_ {i})}$ . W każdym punkcie $różniczkowalne$$Displaystyle \ operatorname$ funkcje , kowektory $d} f_ {i}}$ są różne i umieszczone w kolejności przeciwnej do ruchu wskazówek zegara na sferze podwójnej jednostki ${\ Displaystyle \ częściowe B_ {x} ^ {*}}$ . Rzeczywiście, muszą być różne, ponieważ $.$ geodezje nie mogą osiągnąć tej samej prędkości Ponadto, jeśli trzy z tych kowektorów ${x} f_ {k}}$${\ Displaystyle \ operatorname {d} _ {x} f_ {i}, \ operatorname {d} _ {x} f_ {j$$} , \$ dla niektórych w odwrotnej kolejności, a następnie dwa przecinałyby się trzy najkrótsze krzywe od punktów ${\ Displaystyle p_ {i}, p_ {j}, p_ {k} \ w \ częściowym M}$ do ${\ Displaystyle x}$ siebie, co nie jest możliwe. Podsumowując, dla prawie każdego punktu wewnętrznego $}$ są równe $\ Displaystyle x \ w M ^ {\$ wierzchołki, wymienione w kolejności przeciwnej do ruchu wskazówek zegara, wypukłego wielokąta wpisanego w kulę o podwójnych jednostkach ${\ displaystyle B_ {x} ^ {*}}$ . ∑ ${\ Displaystyle \ suma _ {i} {\ Frac {1} {2}} \ operatorname {d} _ {x}$ (gdzie indeks i + 1 jest obliczany modulo n ). Mamy więc dolną granicę ${\ Displaystyle c_ {P}: = \ int _ {M} \ suma _ { i}{\frac {1}{2}}\mathrm {d} f_{i}\wedge \mathrm {d} f_{i+1}\leq \pi \,\operatorname {Obszar} _{\mathrm { HT} } (M, K),}$ dla obszaru wypełnienia. $Displaystyle \ theta _ {P} = \ suma _ {i} {\ Frac {1} {2}} f_$ fa ja re fa , to możemy przepisać tę dolną granicę za pomocą wzoru Stokesa jako ${\ Displaystyle c_ {P} = \ int _ {M} \ operatorname {d } \theta _{P}=\int _{\częściowe M}\theta _{P}=\dots =2L^{2}-\suma _{i}\delta _{i}^{2}\ { \xrightarrow {P\ {\text{gęsty}}}}\ 2L^{2}}$ . $zdefiniowana$ w kategoriach funkcji odległości do granicy, które nie zależą od wypełnienia . Wynik całki zależy zatem tylko od położenia punktów na okręgu o długości 2L . p $\ displaystyle p_ {i}}$ Pominęliśmy obliczenia i wyraziliśmy wynik w postaci długości $ruchu wskazówek zegara$$od$ punktu do następnego ${\ displaystyle p_ {i + 1}}$ . Obliczenie jest ważne tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \ delta _ {i}< {\ Frac {L} {2}}}$ . Podsumowując, nasza dolna granica dla obszaru wypełnienia izometrycznego Finslera jest zbieżna do ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ pi}} 2L ^ {2}}$ jako zbiór ${\ displaystyle P\subseteq \partial M}$ jest zagęszczony. To daje do zrozumienia ze ${\ Displaystyle \ operatorname {Obszar} _ {\ operatorname {HT}} (M, F) \ geq {\ Frac {1} {\pi}}\,2L^{2}=\operatorname {Obszar} ({\text{półkula}})}$ , co musieliśmy udowodnić.

W przeciwieństwie do przypadku Riemanna, istnieje wiele różnych dysków Finslera, które izometrycznie wypełniają zamkniętą krzywą i mają ten sam obszar Holmesa-Thompsona co półkula. Jeśli obszar Hausdorffa , wówczas minimalność półkuli nadal obowiązuje, ale półkula staje się unikalnym minimalizatorem. Wynika to z twierdzenia Iwanowa, ponieważ obszar Hausdorffa rozmaitości Finslera nigdy nie jest mniejszy niż obszar Holmesa-Thompsona , a te dwa obszary są równe wtedy i tylko wtedy, gdy metryka jest riemannowska.

Nieminimalność półkuli wśród racjonalnych wypełnień metryką Finslera

Dysk euklidesowy wypełniający okrąg można zastąpić, bez zmniejszania odległości między punktami brzegowymi, dyskiem Finslera, który wypełnia ten sam okrąg N = 10 razy (w tym sensie, że jego brzeg otacza okrąg N razy), ale którego Holmes –Obszar Thompsona jest mniejszy niż N razy obszar dysku. W przypadku półkuli można znaleźć podobny zamiennik. Innymi słowy, hipoteza obszaru wypełnienia jest fałszywa, jeśli 2 łańcuchy Finslera o współczynnikach wymiernych są dozwolone jako wypełnienia, zamiast orientowalnych powierzchni (które można uznać za 2 łańcuchy o współczynnikach całkowitych ).

Wypełnienia riemannowskie rodzaju pierwszego i hipereliptyczność

Orientowalna powierzchnia Riemanna rodzaju pierwszego, która izometrycznie wypełnia okrąg, nie może mieć mniejszego pola niż półkula. Dowód w tym przypadku ponownie zaczyna się od sklejenia antypodalnych punktów granicy. Otrzymana w ten sposób nieorientowana zamknięta powierzchnia ma orientowalne podwójne pokrycie rodzaju drugiego, a zatem jest hipereliptyczna . Dowód następnie wykorzystuje wzór J. Herscha z geometrii całkowej. Mianowicie, rozważmy rodzinę pętli w kształcie cyfry 8 na piłce nożnej, z punktem samoprzecięcia na równiku. Formuła Herscha wyraża obszar metryki w konforemnej klasie piłki nożnej, jako średnią energii ósemkowych pętli z rodziny. Zastosowanie wzoru Herscha do ilorazu hipereliptycznego powierzchni Riemanna potwierdza w tym przypadku hipotezę o powierzchni wypełnienia.

Prawie płaskie rozmaitości są minimalnymi wypełnieniami ich odległości granicznych

Jeśli rozmaitość riemannowska M (dowolnego wymiaru) jest prawie płaska (dokładniej, M jest regionem z ${ \ displaystyle$ , która jest $^ {2}}$ -w pobliżu standardowej metryki euklidesowej), wtedy M jest minimalizatorem objętości : nie można go zastąpić orientowalną rozmaitością riemannowską, która wypełnia tę samą granicę i ma mniejszą objętość bez zmniejszania odległości między niektórymi punktami granicznymi. Oznacza to, że jeśli kawałek kuli jest wystarczająco mały (a zatem prawie płaski), to jest to minimalizator objętości. Jeśli to twierdzenie można rozszerzyć na duże obszary (mianowicie na całą półkulę), to hipoteza o obszarze wypełnienia jest prawdziwa. Przypuszczano, że wszystkie proste rozmaitości Riemanna (te, które są wypukłe na swoich granicach i gdzie co dwa punkty są połączone unikalną geodezją) są minimalizatorami objętości.

Dowód, że każdy prawie płaski kolektor $M$ w , a jest minimalizatorem objętości, obejmuje że dowolne izometryczne zastąpienie M być $M$ na tę samą przestrzeń na , objętości Oznacza to, że zamiennik ma nie mniejszą objętość niż oryginalny kolektor M .

Zobacz też

• Promień wypełnienia
• Nierówność Pu
• Geometria skurczowa

•   Katz , Mikhail G. (2007), Skurczowa geometria i topologia , Mathematical Surveys and Monografie, tom. 137, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-4177-8