Skurcze powierzchni

W matematyce nierówności skurczowe dla krzywych na powierzchniach zostały po raz pierwszy zbadane przez Charlesa Loewnera w 1949 r. (nieopublikowane; patrz uwaga na końcu artykułu PM Pu w 1952 r . ). Mając zamkniętą powierzchnię , jej skurcz , oznaczony sys , jest definiowany jako najmniejsza długość pętli, której nie można skrócić do punktu na powierzchni. Powierzchnia skurczowa metryki jest zdefiniowana jako stosunek powierzchnia/ ^sys2 . Współczynnik skurczowy SR jest wielkością odwrotną sys ² /obszar. Zobacz także Wprowadzenie do geometrii skurczowej .

Torus

Najkrótsza pętla na torusie

W 1949 Loewner udowodnił swoją nierówność dla metryk na torusie T ^{2 , a mianowicie} , że stosunek skurczowy SR (T ² ) jest ograniczony powyżej przez ${\ Displaystyle 2/ {\ sqrt {3}}}$ (stała krzywizna) przypadek torusa równobocznego (patrz siatka heksagonalna ).

Prawdziwa płaszczyzna rzutowa

Podobny wynik daje nierówność Pu dla rzeczywistej płaszczyzny rzutowej z 1952 r., ze względu na Pao Ming Pu , z górną granicą π /2 dla stosunku skurczowego SR(RP ² ), uzyskaną również w przypadku stałej krzywizny.

Butelka Kleina

Ręcznie dmuchana butelka Kleina (emulacja)

Dla butelki Kleina K Bavard (1986) uzyskał optymalną górną granicę stosunku skurczowego: ${\ Displaystyle \ pi / {\ sqrt {8}}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {SR} (K) \ równoważnik {\ Frac {\ pi} {\ sqrt {8}}}}$

na podstawie prac Blattera z lat 60.

Rodzaj 2

Orientowalna $spełnia$ Katz- Sabourau '06). Nie wiadomo, czy każda powierzchnia rodzaju pozytywnego spełnia warunek Loewnera. Przypuszcza się, że wszyscy to robią. Odpowiedź jest twierdząca dla rodzaju 20 i wyższych według (Katz-Sabourau '05).

Dowolny rodzaj

Dla zamkniętej powierzchni rodzaju g Hebda i Burago (1980) wykazali, że stosunek skurczowy SR(g) jest ograniczony powyżej stałą 2. Trzy lata później Michaił Gromow znalazł górną granicę dla SR(g) określoną przez stałą czasy

${\ Displaystyle {\ Frac {(\ log g) ^ {2}} {g}}.}$

Podobną dolną granicę (z mniejszą stałą) uzyskali Buser i Sarnak. Mianowicie, wykazywali arytmetyczne hiperboliczne powierzchnie Riemanna ze skurczem zachowującym się jako stała razy ${\ Displaystyle \ log (g)}$ . Zauważ, że obszar wynosi 4 π ( g-1) z twierdzenia Gaussa-Bonneta, więc SR ( g ) zachowuje się asymptotycznie jako stała razy ${\ Displaystyle {\ tfrac {(\ log g) ^ { 2}}{g}}}$ .

Badanie asymptotycznego zachowania dużego rodzaju $powierzchni$ hiperbolicznych ujawnia kilka interesujących stałych. Zatem powierzchnie Hurwitza określone przez $Sigma _ {g}}$ głównych podgrup kongruencji z (2,3,7) hiperbolicznej grupy trójkątów spełniają granicę Σ sol { \ displaystyle

${\ Displaystyle \ operatorname {sys} (\ Sigma _ {g}) \ geq {\ Frac {4} {3}} \ log g,}$

wynikające z analizy rzędu kwaternionów Hurwitza . Podobna granica dotyczy bardziej ogólnych arytmetycznych grup fuchsowskich . Ten wynik Mikhaila Katza , Mary Schaps i Uzi Vishne z 2007 roku poprawia nierówność spowodowaną Peterem Buserem i Peterem Sarnakiem w przypadku grup arytmetycznych zdefiniowanych na $.$ od 1994 roku, które zawierały dodatek niezerowy stały. Dla powierzchni Hurwitza głównego typu kongruencji stosunek skurczowy SR(g) jest asymptotyczny do

${\ Displaystyle {\ Frac {4} {9 \ pi}} {\ Frac {(\ log g) ^ {2}} {g}}.}$

w (Katz-Sabourau 2005) znaleziono następującą asymptotyczną górną granicę dla SR(g):

${\ Displaystyle {\ Frac {(\ log g) ^ {2}} {\ pi g}},}$

zob. także (Katz 2007), s. 85. Łącząc te dwa oszacowania, uzyskuje się ścisłe granice dla asymptotycznego zachowania stosunku skurczowego powierzchni.

Kula

Istnieje również wersja nierówności dla metryk na kuli, dla niezmiennika L zdefiniowanego jako najmniejsza długość zamkniętej geodezyjnej metryki. W $proporcji$ granicę dla obszaru / L ² Dolna granica 1/961 uzyskana przez Croke'a w 1988 roku została ostatnio poprawiona przez Nabutovsky'ego , Rotmana i Sabourau.

Zobacz też

• Różniczkowa geometria powierzchni

• Bavard, C. (1986). „Inégalité isosystolique pour la bouteille de Klein” . Mathematische Annalen . 274 (3): 439–441. doi : 10.1007/BF01457227 .
• Buser, P .; Sarnak, P. (1994). „O macierzy okresu powierzchni Riemanna dużego rodzaju (z dodatkiem autorstwa JH Conwaya i NJA Sloane)” . Inventiones Mathematicae . 117 (1): 27–56. Bibcode : 1994InMat.117...27B . doi : 10.1007/BF01232233 .
•   Gromow, Michał (1983). „Wypełnianie rozmaitości riemannowskich” . Dziennik geometrii różniczkowej . 18 (1): 1–147. doi : 10.4310/jdg/1214509283 . MR 0697984 .
• Hebda, James J. (1982). „Niektóre dolne granice obszaru powierzchni” . Inventiones Mathematicae . 65 (3): 485–490. Bibcode : 1982InMat..65..485H . doi : 10.1007/BF01396632 .
•   Katz, Michaił G. (2007). Geometria skurczowa i topologia . Ankiety matematyczne i monografie . Tom. 137. Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . ISBN 978-0-8218-4177-8 .
• Katz, Michaił G.; Sabourau, Stéphane (2005). „Entropia skurczowo ekstremalnych powierzchni i granic asymptotycznych”. Teoria ergodyczna i systemy dynamiczne . 25 (4): 1209–1220. arXiv : matematyka/0410312 . doi : 10.1017/S0143385704001014 .
• Katz, Michaił G.; Sabourau, Stéphane (2006). „Powierzchnie hipereliptyczne to Loewner” . Proceedings of the American Mathematical Society . 134 (4): 1189–1195. arXiv : math.DG/0407009 . doi : 10.1090/S0002-9939-05-08057-3 .
• Katz, Michaił G.; Schaps, Maria; Wiszne, Uzi (2007). „Logarytmiczny wzrost skurczu arytmetycznych powierzchni Riemanna wzdłuż podgrup kongruencji” . Dziennik geometrii różniczkowej . 76 (3): 399–422. arXiv : math.DG/0505007 . doi : 10.4310/jdg/1180135693 .
•   Pu, PM (1952). „Niektóre nierówności w pewnych nieorientowalnych rozmaitościach riemannowskich” . Pacific Journal of Mathematics . 2 : 55–71. doi : 10.2140/pjm.1952.2.55 . MR 0048886 .