Osadzenie Kuratowskiego

W matematyce osadzanie Kuratowskiego pozwala postrzegać dowolną przestrzeń metryczną jako podzbiór pewnej przestrzeni Banacha . Nosi imię Kazimierza Kuratowskiego .

₀ Stwierdzenie to oczywiście odnosi się do pustej przestrzeni. Jeśli ( X , d ) jest przestrzenią metryczną, x jest punktem w X , a C _b ( X ) oznacza przestrzeń Banacha wszystkich ograniczonych ciągłych funkcji o wartościach rzeczywistych na X z najwyższą normą , to odwzorowanie

${\ Displaystyle \ Phi: X \ strzałka w prawo C_ {b} (X)}$

określony przez

${\ Displaystyle \ Phi (x) (y) = d (x, y) -d (x_ {0},y)\quad {\mbox{dla wszystkich}}\quad x,y\in X}$

jest izometrią .

Powyższą konstrukcję można postrzegać jako osadzenie spiczastej przestrzeni metrycznej w przestrzeni Banacha.

Twierdzenie Kuratowskiego-Wojdysławskiego mówi , że każda ograniczona przestrzeń metryczna X jest izometryczna do zamkniętego podzbioru wypukłego podzbioru jakiejś przestrzeni Banacha. (Uwaga: obraz tego zanurzenia jest domknięty w podzbiorze wypukłym, niekoniecznie w przestrzeni Banacha.) Tutaj używamy izometrii

${\ Displaystyle \ Psi: X \ strzałka w prawo C_ {b} (X)}$

określony przez

${\ Displaystyle \ Psi (x) (y) = d (x, y) \ quad {\ mbox {dla wszystkich}} \ quad x,y\w X}$

Wspomniany powyżej zbiór wypukły to otoczka wypukła Ψ( X ).

W obu tych twierdzeniach osadzania możemy zastąpić C _b ( X ) przestrzenią Banacha ℓ ^∞ ( X ) wszystkich funkcji ograniczonych X → R , ponownie normą supremum, ponieważ C _b ( X ) jest zamkniętą podprzestrzenią liniową ℓ ^∞ ( X ).

Te wyniki osadzania są przydatne, ponieważ przestrzenie Banacha mają szereg użytecznych właściwości, które nie są wspólne dla wszystkich przestrzeni metrycznych: są przestrzeniami wektorowymi , które pozwalają dodawać punkty i wykonywać elementarną geometrię obejmującą proste i płaszczyzny itp .; i są kompletne . Biorąc pod uwagę funkcję o kodomenie X , często pożądane jest rozszerzenie tej funkcji na większą dziedzinę, a to często wymaga jednoczesnego powiększenia kodomeny do przestrzeni Banacha zawierającej X .

Historia

Formalnie rzecz biorąc, to osadzanie zostało po raz pierwszy wprowadzone przez Kuratowskiego , ale bardzo bliska odmiana tego osadzania pojawia się już w artykule Frécheta, w którym po raz pierwszy wprowadza on pojęcie przestrzeni metrycznej.

Zobacz też

• Ciasna rozpiętość , osadzenie dowolnej przestrzeni metrycznej w iniekcyjnej przestrzeni metrycznej zdefiniowanej podobnie do osadzania Kuratowskiego