Kongruencja (ogólna teoria względności)

W ogólnej teorii względności kongruencja (dokładniej kongruencja krzywych ) to zbiór integralnych krzywych pola wektorowego ( nigdzie nie znikającego) w czterowymiarowej rozmaitości Lorentza , która jest fizycznie interpretowana jako model czasoprzestrzeni . Często ta rozmaitość będzie uważana za dokładne lub przybliżone rozwiązanie równania pola Einsteina .

Rodzaje kongruencji

Kongruencje generowane przez nigdzie nie znikające pola wektorowe podobne do czasu, zerowe lub przestrzenne nazywane są odpowiednio czasopodobnymi , null lub przestrzennopodobnymi .

Kongruencja nazywana jest kongruencją geodezyjną , jeśli dopuszcza $styczne$ pole wektorowe ze znikającą pochodną kowariantną , ${\ Displaystyle \ nabla _ {\ vec {$ .

Związek z polami wektorowymi

Całkowe krzywe pola wektorowego to rodzina nieprzecinających się sparametryzowanych krzywych, które wypełniają czasoprzestrzeń. Kongruencja składa się z samych krzywych, bez odniesienia do konkretnej parametryzacji. ${\ Displaystyle {\ vec {Y}} = \, f \, {\ vec {X}}}$ wektorowych może prowadzić do tej samej kongruencji krzywych, ponieważ jeśli $nigdzie$ funkcją skalarną, to $i$ prowadzą do tej samej kongruencji.

Jednak w rozmaitości Lorentza mamy tensor metryczny , który wybiera preferowane pole wektorowe spośród pól wektorowych, które są wszędzie równoległe do danego pola wektorowego podobnego do czasu lub przestrzeni, a mianowicie pola wektorów stycznych do krzywych. Są to odpowiednio czasopodobne lub przestrzennopodobne jednostkowych .

Interpretacja fizyczna

W ogólnej teorii względności czasopodobna kongruencja w czterowymiarowej rozmaitości Lorentza może być interpretowana jako rodzina linii świata pewnych idealnych obserwatorów w naszej czasoprzestrzeni. W szczególności podobną do czasu kongruencję geodezyjną można interpretować jako rodzinę swobodnie spadających cząstek testowych .

kongruencje zerowe , zwłaszcza kongruencje geodezyjne zerowe , które można interpretować jako rodzinę swobodnie rozchodzących się promieni świetlnych.

Ostrzeżenie: światowa linia impulsu światła poruszającego się w kablu światłowodowym generalnie nie byłaby zerową geodezją, a światło w bardzo wczesnym Wszechświecie ( epoce zdominowanej przez promieniowanie ) nie rozprzestrzeniało się swobodnie. Światowa linia impulsu radarowego wysłanego z Ziemi obok Słońca na Wenus byłaby jednak modelowana jako zerowy łuk geodezyjny. W wymiarach innych niż cztery związek między geodezją zerową a „światłem” już nie obowiązuje: jeśli „światło” jest zdefiniowane jako rozwiązanie równania falowego Laplace'a , to propagator ma zarówno składowe zerowe, jak i podobne do czasu w nieparzystej czasoprzestrzeni wymiarów i nie jest już czystą funkcją delta Diraca nawet w wymiarach czasoprzestrzennych większych niż cztery.

Opis kinematyczny

Opisanie wzajemnego ruchu badanych cząstek w zerowej kongruencji geodezyjnej w czasoprzestrzeni, takiej jak próżnia Schwarzschilda czy pył FRW , jest bardzo ważnym problemem w ogólnej teorii względności. Rozwiązuje się to poprzez zdefiniowanie pewnych wielkości kinematycznych , które całkowicie opisują, w jaki sposób krzywe całkowe w kongruencji mogą się zbiegać (rozchodzić) lub skręcać wokół siebie.

Należy podkreślić, że rozkład kinematyczny, który zamierzamy opisać, jest czystą matematyką obowiązującą dla dowolnej rozmaitości Lorentza. Jednak fizyczna interpretacja w kategoriach cząstek testowych i przyspieszeń pływów (w przypadku kongruencji geodezyjnych podobnych do czasu) lub ołówków promieni świetlnych (w przypadku zerowych kongruencji geodezyjnych) jest ważna tylko dla ogólnej teorii względności (podobne interpretacje mogą być ważne w ściśle powiązanych teoriach).

Rozkład kinematyczny kongruencji podobnej do czasu

Rozważmy kongruencję czasoprzestrzenną generowaną przez pewne podobne do czasu pole wektora jednostkowego X, które powinniśmy traktować jako liniowy operator różniczkowy cząstkowy pierwszego rzędu. Wtedy składowe naszego pola wektorowego są teraz funkcjami skalarnymi podanymi w notacji tensorowej przez zapisanie ${\ Displaystyle {\ vec {X}} f = f_ {a} \, X ^ {a} }$ , gdzie f jest dowolną funkcją gładką. Wektor przyspieszenia jest pochodną kowariantną ${\ Displaystyle \ nabla _ {\ vec {X}} {\ vec {X}}}$ ; możemy zapisać jego składowe w notacji tensorowej jako

${\ Displaystyle {\ kropka {X}} ^ {a} = {X ^ {a}} _ {; b} X ^ {b}}$

Następnie zauważ, że równanie

${\ Displaystyle \ lewo ({\ kropka {X}} ^ {a} \, X_ {b} + {X ^ {a}} _ {; b} \ prawo) \, X ^{b}={X^{a}}_{;b}\,X^{b}-{\kropka {X}}^{a}=0}$

${\ Displaystyle {X ^ {a}} _ {; b}}$ że ​​wyraz w nawiasach po lewej stronie jest poprzeczną częścią . Ta relacja ortogonalności zachodzi tylko wtedy, gdy X jest czasowym wektorem jednostkowym Lorentza . Nie sprawdza się w bardziej ogólnym układzie. Pisać

$\ Displaystyle h_ {ab} = g_ {ab} + X_ {a} \, X_ {b}}$

dla tensora projekcji , który rzutuje tensory na ich części poprzeczne; na przykład poprzeczna część wektora jest częścią prostopadłą do ${\ displaystyle {\ vec {X}}}$ . Ten tensor można postrzegać jako tensor metryczny hiperpowierzchni, której wektory styczne są prostopadłe do X. W ten sposób pokazaliśmy, że

${\ Displaystyle {\ kropka {X}} _ {a} \, X_ {b} + X_ {a; b} = {h ^ {m}} _ {a} \, {h ^ {n}} _ {b}X_{m;n}}$

Następnie rozkładamy to na części symetryczne i antysymetryczne,

${\ Displaystyle {\ kropka {X}} _ {a} \, X_ {b} + X_ {a; b} = \ theta _ {ab} + \ omega _ {ab} }$

Tutaj,

${\ Displaystyle \ teta _ {ab} = {h ^ {m}} _ {a} \, {h ^ {n}} _ {b$

${\ Displaystyle \ omega _ {ab} = {h ^ {m}} _ {a} \, {h ^ {n}} _ {b} X_ {[m; n]}}$

są znane odpowiednio jako tensor ekspansji i tensor wirowości .

Ponieważ te tensory żyją w przestrzennych elementach hiperpłaszczyznowych prostopadłych do $,$ o nich jako o trójwymiarowych tensorach drugiego rzędu. Można to wyrazić bardziej rygorystycznie, używając pojęcia pochodnej Fermiego . Dlatego możemy rozłożyć tensor rozwinięcia na jego część bezśladową plus część śladową . Zapisując ślad $mamy$ ,

${\ Displaystyle \ theta _ {ab} = \ sigma _ {ab} + {\ Frac {1} {3}} \, \ theta \, h_ {ab }}$

Ponieważ tensor wirowości jest antysymetryczny, jego składowe diagonalne znikają, więc jest on automatycznie bezśladowy (i możemy go zastąpić trójwymiarowym wektorem , chociaż tego nie zrobimy). Dlatego teraz mamy

${\ Displaystyle X_ {a; b} = \ sigma _ {ab} + \ omega _ {ab} + {\ Frac { 1}{3}}\,\theta \,h_{ab}-{\kropka {X}}_{a}\,X_{b}}$

To jest pożądany rozkład kinematyczny . W przypadku geodezyjnej podobnej do czasu ostatni wyraz znika identycznie.

Skalar ekspansji, tensor ścinania ( ) i tensor wirowości podobnej do czasu kongruencji geodezyjnej mają następujące intuicyjne znaczenie: σ za ${\ displaystyle \ sigma _ {ab}$

1. skalar ekspansji reprezentuje ułamkową szybkość, z jaką zmienia się objętość małej, początkowo kulistej chmury cząstek testowych, w odniesieniu do czasu właściwego cząstki w środku chmury,
2. tensor ścinania reprezentuje dowolną tendencję początkowej sfery do zniekształcenia w kształt elipsoidalny,
3. tensor wirowości reprezentuje jakąkolwiek tendencję początkowej sfery do obracania się; wirowość znika wtedy i tylko wtedy, gdy linie świata w kongruencji są wszędzie prostopadłe do przestrzennych hiperpowierzchni w pewnej foliacji czasoprzestrzeni, w którym to przypadku, dla odpowiedniego wykresu współrzędnych, każdy hiperwycinek można uznać za powierzchnię „stałego czasu” .

Zobacz cytaty i linki poniżej, aby uzasadnić te twierdzenia.

Krzywizna i kongruencja czasopodobna

Za pomocą tożsamości Ricciego (która jest często używana jako definicja tensora Riemanna ) możemy pisać

${\ Displaystyle X_ {a; bn} -X_ {a; nb} = R_ {ambn} \, X ^ {m}}$

Podłączając rozkład kinematyczny do lewej strony, możemy ustalić relacje między tensorem krzywizny a kinematycznym zachowaniem kongruencji podobnych do czasu (geodezyjnych lub nie). Relacje te można wykorzystać na dwa sposoby, oba bardzo ważne:

1. możemy (w zasadzie) eksperymentalnie wyznaczyć tensor krzywizny czasoprzestrzeni na podstawie szczegółowych obserwacji kinematycznego zachowania dowolnej kongruencji czasopodobnej (geodezyjnej lub nie),
2. możemy otrzymać równania ewolucji dla fragmentów rozkładu kinematycznego (skalar ekspansji, tensor ścinania i tensor wirowości ), które wykazują bezpośrednie sprzężenie krzywizny .

W słynnym haśle Johna Archibalda Wheelera ,

Czasoprzestrzeń mówi materii, jak się poruszać; materia mówi czasoprzestrzeni jak się zakrzywiać.

Widzimy teraz, jak dokładnie określić ilościowo pierwszą część tego twierdzenia; równanie pola Einsteina kwantyfikuje drugą część.

W szczególności, zgodnie z rozkładem Bela tensora Riemanna, wziętym w odniesieniu do naszego czasoprzestrzennego pola wektora jednostkowego, tensor elektrograwitacyjny (lub tensor pływowy ) jest zdefiniowany przez

${\ Displaystyle E [{\ vec {X}}] _ {ab} = R_ {ambn} \, X ^ {m} \, X ^ {N}}$

Tożsamość Ricciego daje teraz

${\ Displaystyle \ lewo (X_ {a: bn} -X_ {a: nb} \ prawo) \, X ^ { n}=E[{\vec {X}}]_{ab}}$

Podstawiając rozkład kinematyczny możemy ostatecznie otrzymać

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} E [{\ vec {X}}] _ {ab} i = {\ Frac {2 }{3}}\,\theta \,\sigma _{ab}-\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}-\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\\&-{\frac {1}{3}}\left({\dot {\theta}}+{\frac {\theta ^{2}}{3}} \right)\,h_{ab}-{h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}\,\left({\kropka {\sigma }}_{mn }-{\kropka {X}}_{(m;n)}\right)-{\kropka {X}}_{a}\,{\kropka {X}}_{b}\\\koniec{ wyrównany}}}$

Tutaj nadkropki oznaczają różniczkowanie względem czasu własnego , odliczanego wzdłuż naszej kongruencji czasopodobnej (tj. bierzemy pochodną kowariantną względem pola wektorowego X). Można to uznać za opis tego, jak można określić tensor pływów na podstawie obserwacji pojedynczej kongruencji czasowej.

Równania ewolucji

W tej sekcji zajmiemy się problemem uzyskiwania równań ewolucji (zwanych także równaniami propagacji lub wzorami propagacji ).

Wygodnie będzie zapisać wektor przyspieszenia jako ${\ Displaystyle {\ kropka {X}} ^ {a} = W ^ {a}},$ a także ustawić

$\ Displaystyle J_ {ab} = X_ {a: b} = {\ Frac {\ theta} {3}}\,h_{ab}+\sigma _{ab}+\omega _{ab}-{\kropka {X}}_{a}\,X_{b}}$

Teraz z tożsamości Ricciego dla tensora pływowego, który mamy

${\ Displaystyle {\ kropka {J}} _ {ab} = J_ {an; b} \, X ^ {n} -E [{\ vec {X}}] _{ab}}$

Ale

${\ Displaystyle \ lewo (J_ {an} \, X ^ {n} \ prawej) _ {; b} = J_ {an; b} \, X ^ {n}$

więc mamy

${\ Displaystyle {\ kropka {J}} _ {ab} = - J_ {am} \, {J ^ {m}} _ {b} - {E [{\ vec {X}}]} _ {ab }+W_{a;b}}$

Podstawiając definicję i biorąc odpowiednio część ukośną, część symetryczną bez śladu i część antysymetryczną tego równania, otrzymujemy pożądane równania ewolucji dla skalara $.$ tensor i tensor wirowości.

Rozważmy najpierw łatwiejszy przypadek, gdy wektor przyspieszenia znika. Wtedy (zauważając, że tensor projekcji można wykorzystać do obniżenia wskaźników wielkości czysto przestrzennych) mamy

${\ Displaystyle J_ {am} \ {J ^ {m}} _ {b} = {\ Frac {\ theta ^ {2}} {9}} \, h_ {ab} +{\frac {2\theta}{3}}\,\left(\sigma _{ab}+\omega _{ab}\right)+\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^ {m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)+\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m }}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)}$

Lub

${\ Displaystyle {\ kropka {J}} _ {ab} = - {\ Frac {\ theta ^ {2}} {9}} \, h_ { ab}-{\frac {2\theta}{3}}\,\left(\sigma _{ab}+\omega _{ab}\right)-\left(\sigma _{am}\,{\ sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)-\left(\sigma _{am}\,{\omega ^ {m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)-{E[{\vec {X}}]}_{ab}}$

$^ {2}}$ algebry liniowej można łatwo zweryfikować, że jeśli są odpowiednio $trójwymiarowymi$ symetrycznymi i antysymetrycznymi operatorami liniowymi, to $\ Displaystyle \ Sigma ^ {2} +$$indeks$ jest symetryczna, podczas gdy , odpowiednie kombinacje w nawiasach powyżej są symetryczne i antysymetryczne odpowiednio. Dlatego pobranie śladu daje równanie Raychaudhuriego (dla geodezji podobnej do czasu):

${\ Displaystyle {\ kropka {\ teta}} = \ omega ^ {2} - \ sigma ^ {2} - {\ Frac { \theta ^{2}}{3}}-{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}}$

Wzięcie bezśladowej części symetrycznej daje

${\ Displaystyle {\ kropka {\ sigma}} _ {ab} = - {\ Frac {2 \ theta} {3}} \ \ sigma _ {ab} - \ lewo (\ sigma _ {am }\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)-{E[{\vec {X}} ]}_{ab}+{\frac {\sigma ^{2}-\omega ^{2}+{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}}{3}} \,h_{ab}}$

i biorąc część antysymetryczną daje

${\ Displaystyle {\ kropka {\ omega}} _ {ab} = - {\ Frac {2 \theta }{3}}\,\omega _{ab}-\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\ sigma ^{m}}_{b}\right)}$

Tutaj,

${\ Displaystyle \ sigma ^ {2} = \ sigma _ {mn} \, \ sigma ^ {mn}, \; \ omega ^ { 2}=\omega _{mn}\,\omega^{mn}}$

$gdzie i są kwadratowymi$ nigdy nie są ujemne, więc są dobrze zdefiniowanymi niezmiennikami rzeczywistymi. Można również zapisać ślad tensora pływowego

$\ Displaystyle {E [{\ vec {X}}] ^ {a}} _ {a} = R_ {mn} \, X ^ {m} \,X^{n}}$

Czasami nazywa się to skalarem Raychaudhuriego ; nie trzeba dodawać, że znika identycznie w przypadku rozwiązania próżniowego .

Zobacz też

• kongruencja (rozmaitości)
• skalar ekspansji
• tensor ekspansji
• tensor ścinania
• tensor wirowości
• Równanie Raychaudhuriego

•   Poisson, Eric (2004). Zestaw narzędzi relatywisty: matematyka mechaniki czarnych dziur . Cambridge: Cambridge University Press. Bibcode : 2004rtmb.book.....P . ISBN 978-0-521-83091-1 . Zobacz rozdział 2 , aby uzyskać doskonałe i szczegółowe wprowadzenie do kongruencji geodezyjnych. Szczególnie cenna jest dyskusja Poissona na temat zerowych kongruencji geodezyjnych.
•   Carroll, Sean M. (2004). Czasoprzestrzeń i geometria: wprowadzenie do ogólnej teorii względności . San Francisco: Addison-Wesley. ISBN 978-0-8053-8732-2 . Zobacz dodatek F , aby zapoznać się z dobrym podstawowym omówieniem kongruencji geodezyjnych. (Notacja Carrolla jest nieco niestandardowa. )
•   Stefani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Korneliusz; Herlt, Eduard (2003). Dokładne rozwiązania równań pola Einsteina (wyd. 2) . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46136-8 . Zobacz rozdział 6 , aby zapoznać się z bardzo szczegółowym wprowadzeniem do kongruencji podobnych do czasu i kongruencji zerowych.
•   Wald, Robert M. (1984). ogólna teoria względności . Chicago: University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-87033-5 . Zobacz sekcję 9.2 , aby zapoznać się z kinematyką kongruencji geodezyjnych podobnych do czasu.
•   Hawkinga, Stephena; Ellis, GFR (1973). Wielkoskalowa struktura czasoprzestrzeni . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-09906-6 . Zobacz sekcję 4.1 , aby zapoznać się z kinematyką kongruencji podobnych do czasu i kongruencji zerowych.
• Dasgupta, Anirwan; Nandan, Hemwati; Kar, Sayan (2009). „Kinematyka przepływów na zakrzywionych, odkształcalnych ośrodkach”. International Journal of Geometric Methods in Modern Physics . 6 (4): 645–666. ar Xiv : 0804.4089 . Bibcode : 2009IJGMM..06..645D . doi : 10.1142/S0219887809003746 . Zobacz szczegółowe wprowadzenie do kinematyki przepływów geodezyjnych na określonych, dwuwymiarowych zakrzywionych powierzchniach (tj. Kula, przestrzeń hiperboliczna i torus).