Kongruencja (rozmaitości)

W teorii rozmaitości gładkich kongruencja to zbiór krzywych całkowych określonych przez niezanikające pole wektorowe określone na rozmaitości.

Kongruencje są ważnym pojęciem w ogólnej teorii względności i są również ważne w niektórych częściach geometrii Riemanna .

Przykład motywacyjny

Ideę kongruencji prawdopodobnie lepiej wyjaśni przykład niż definicja. Rozważmy gładką rozmaitość R² . Pola wektorowe mogą być określone jako liniowe operatory różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu , takie jak

${\ Displaystyle {\ vec {X}} = (x ^ {2} -y ^ {2}) \ \ częściowe _ {x} +2\,xy\,\częściowe _{y}}$

W tym przypadku odpowiadają one układowi liniowych równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu

${\ Displaystyle {\ kropka {x}} = x ^ {2} -y ^ {2}, \; {\ kropka {y}} = 2 \ ,xy}$

gdzie kropka oznacza pochodną względem jakiegoś (fikcyjnego) parametru. Rozwiązaniami takich układów są w tym przypadku rodziny sparametryzowanych krzywych

${\ Displaystyle x (\ lambda) = {\ Frac {x_ {0} - (x_ {0}^{2}+y_{0}^{2})\,\lambda }{1-2\,x_{0}\,\lambda +(x_{0}^{2}+y_{0 } ^ {2}) \, \ lambda ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle y (\ lambda) = {\ Frac {y_{0}}{1-2\,x_{0}\,\lambda +(x_{0}^{2}+y_{0}^{2})\,\lambda ^{2}}} }$

Ta rodzina jest często nazywana kongruencją krzywych lub w skrócie kongruencją .

Ten konkretny przykład ma dwie osobliwości , w których pole wektorowe zanika. Są to stałe punkty przepływu . (Przepływ jest jednowymiarową grupą dyfeomorfizmów ; przepływ definiuje działanie jednowymiarowej grupy Liego R , mającej lokalnie ładne właściwości geometryczne.) Te dwie osobliwości odpowiadają dwóm punktom , a nie dwóm krzywym. W tym przykładzie pozostałe krzywe całkowe są prostymi krzywymi zamkniętymi . Wiele przepływów jest znacznie bardziej skomplikowanych niż to. Aby uniknąć komplikacji wynikających z obecności osobliwości, zwykle wymaga się, aby pole wektorowe było niezanikające .

Jeśli dodamy więcej struktury matematycznej, nasza kongruencja może nabrać nowego znaczenia.

Kongruencje w rozmaitościach riemannowskich

Na przykład, jeśli przekształcimy naszą gładką rozmaitość w rozmaitość riemannowską przez dodanie riemannowskiego tensora metrycznego , powiedzmy ten zdefiniowany przez element liniowy

${\ Displaystyle ds ^ {2} = \ lewo ({\ Frac {2} {1 + x ^ {2} +y^{2}}}\prawo)^{2}\,\lewo(dx^{2}+dy^{2}\prawo)}$

nasza kongruencja może stać się kongruencją geodezyjną . Rzeczywiście, w przykładzie z poprzedniej sekcji nasze krzywe stają się geodezyjnymi na zwykłej okrągłej kuli (z wyciętym biegunem północnym). Gdybyśmy $_$ krzywe stałyby ale nie geodezja.

Interesującym przykładem kongruencji geodezyjnej Riemanna, powiązanym z naszym pierwszym przykładem, jest kongruencja Clifforda na P³, która jest również znana jako wiązka Hopfa lub fibracja Hopfa . Całkowe krzywe lub włókna są odpowiednio pewnymi połączonymi parami wielkimi kołami, orbitami w przestrzeni kwaternionów norm jednostkowych przy lewym pomnożeniu przez dany kwaternion jednostkowy normy jednostkowej.

Kongruencje w rozmaitościach Lorentza

W rozmaitości Lorentza , takiej jak model czasoprzestrzenny w ogólnej teorii względności (który zwykle będzie dokładnym lub przybliżonym rozwiązaniem równania pola Einsteina ), kongruencje nazywane są czasopodobnymi , zerowymi lub przestrzennopodobnymi , jeśli wektory styczne są wszędzie podobne do czasu, zerowe lub odpowiednio kosmiczne. Kongruencja nazywana jest $}} \vec {X}}=0}$ geodezyjną , jeśli styczne pole wektorowe ma znikającą pochodną kowariantną , $X$ .

Zobacz też

• Kongruencja (ogólna teoria względności)

•   Lee, John M. (2003). Wprowadzenie do rozmaitości gładkich . Nowy Jork: Springer. ISBN 0-387-95448-1 . Podręcznik teorii rozmaitości. Zobacz także podręczniki tego samego autora dotyczące rozmaitości topologicznych (niższy poziom struktury) i geometrii Riemanna (wyższy poziom struktury).