Normalne współrzędne

W geometrii różniczkowej współrzędne normalne w punkcie p w rozmaitości różniczkowalnej wyposażonej w symetryczne połączenie afiniczne są lokalnym układem współrzędnych w sąsiedztwie p uzyskanym przez zastosowanie mapy wykładniczej do przestrzeni stycznej w p . W normalnym układzie współrzędnych połączenia Christoffela znikają w punkcie p , co często upraszcza lokalne obliczenia. We współrzędnych normalnych związanych z połączeniem Levi-Civita rozmaitości riemannowskiej , można dodatkowo ustalić, że tensor metryczny jest deltą Kroneckera w punkcie p , a pierwsze pochodne cząstkowe metryki w punkcie p znikają.

Podstawowy wynik geometrii różniczkowej stwierdza, że normalne współrzędne w punkcie zawsze istnieją na rozmaitości z symetrycznym połączeniem afinicznym. W takich współrzędnych pochodna kowariantna redukuje się do pochodnej cząstkowej (tylko przy p ), a geodezja do p jest lokalnie liniową funkcją t (parametr afiniczny). Idea ta została zasadniczo wdrożona przez Alberta Einsteina w ogólnej teorii względności : zasada równoważności wykorzystuje normalne współrzędne poprzez układy inercjalne . Normalne współrzędne zawsze istnieją dla połączenia Levi-Civita rozmaitości riemannowskiej lub pseudoriemannowskiej . Natomiast ogólnie nie ma możliwości zdefiniowania normalnych współrzędnych dla rozmaitości Finslera w taki sposób, aby mapa wykładnicza była dwukrotnie różniczkowalna ( Busemann 1955 ).

Geodezyjne współrzędne normalne

Geodezyjne współrzędne normalne to współrzędne lokalne na rozmaitości z połączeniem afinicznym określonym za pomocą mapy wykładniczej

{\ Displaystyle \ exp _ {p}: T_ {p} M \ supset V \ rightarrow M}

i izomorfizm

{\ Displaystyle E: \ mathbb {R} ^ {n} \ strzałka w prawo T_ {p} M}

dana przez dowolną podstawę przestrzeni stycznej w ustalonym punkcie bazowym ${\ displaystyle p \ in M}$ . Jeśli zostanie narzucona dodatkowa struktura metryki riemannowskiej, wówczas podstawa zdefiniowana przez E może być dodatkowo wymagana, aby była ortonormalna , a wynikowy układ współrzędnych jest wtedy znany jako normalny układ współrzędnych riemannowskich .

Normalne współrzędne istnieją w normalnym sąsiedztwie punktu p w M . Normalne sąsiedztwo U jest otwartym podzbiorem M takim, że istnieje właściwe sąsiedztwo V początku w przestrzeni stycznej T _p M , a exp _p działa jak dyfeomorfizm między U i V . W normalnym sąsiedztwie U z p w M , wykres jest określony przez:

{\ Displaystyle \ varphi: = E ^ {- 1} \ circ \ exp _ {p} ^ {- 1}: U \ strzałka w prawo \ mathbb {R } ^{n}}

Izomorfizm E, a zatem wykres, nie jest w żaden sposób wyjątkowy. Wypukłe normalne sąsiedztwo U jest normalnym sąsiedztwem każdego p w U . Istnienie tego rodzaju otwartych sąsiedztw (tworzą one bazę topologiczną) zostało ustalone przez JHC Whitehead dla symetrycznych połączeń afinicznych.

Nieruchomości

Właściwości normalnych współrzędnych często upraszczają obliczenia. Poniżej załóżmy, że ${\ displaystyle U}$ normalnym otoczeniem wyśrodkowanym w punkcie $\ Displaystyle$ M $M$ $}$ i normalnymi współrzędnymi na ${\ Displaystyle U}$ .

Niech $będzie$ $jakimś$ wektorem ze składowych we współrzędnych lokalnych i $p} M$ $\$ $V}}$ być geodezyjnym z ${\ Displaystyle \ gamma _ {V} (0) = p}$ i ${\ Displaystyle \ gamma _ {V} '(0) = V}$ . ${1}, ..., tV ^ {n})}$ ^ tak długo, jak jest w ${\ displaystyle U}$ . Zatem ścieżki promieniowe we współrzędnych normalnych są dokładnie geodezyjnymi przez ${\ displaystyle p}$ .
Współrzędne punktu $,$ ( $\ Displaystyle (0, ..., 0)$
We współrzędnych normalnych Riemanna w punkcie składniki metryki Riemanna upraszczają się do , tj $}$ $\ Displaystyle \ delta _ {ij}} sol ja jot {$ { $\$ ${\ Displaystyle g_ {ij} (p) = \ delta _ {ij}}$ .
Symbole Christoffela znikają w , tj . $k} (p) = 0}$ ${$ . W przypadku Riemanna podobnie jak pierwsze pochodne . $jot$ ${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe g_ {ij}} {\ częściowe x ^ {k}}} (p) = 0, \, \ forall i, j, k}$ .

Wyraźne formuły

$g_ {\$ sąsiedztwie dowolnego punktu $ν$ lokalnie ortonormalny układ współrzędnych, w którym a tensor Riemanna w $\$ przyjmuje wartość $tau }(0)}$ ${\ Displaystyle R _ {\ mu \ sigma \ nu$ możemy dostosować współrzędne tak, aby składowe tensora metrycznego z dala od stały się $^ {\ mu}}$ $\ displaystyle$

{\ Displaystyle g _ {\ mu \ nu} (x) = \ delta _ {\ mu \ nu} - {\ Frac {1} {3}} R_ {\ mu \ sigma \ nu \ tau} (0) x ^ {\sigma}x^{\tau}+O(|x|^{3}).}

Odpowiednie symbole połączenia Levi-Civita to Christoffel

{\ Displaystyle {\ Gamma ^ {\ lambda}} _ {\ mu \ nu} (x) = - {\ Frac {1} {3}} (R _ {\ lambda \ nu \ mu \ tau} (0) + R_{\lambda \mu \nu \tau}(0))x^{\tau}+O(|x|^{2}).}

Podobnie możemy konstruować lokalne współramki, w których

{\ Displaystyle e_ {\ mu} ^ {* a} (x) = \ delta _{a\mu }-{\frac {1}{6}}R_{a\sigma \mu \tau }(0)x^{\sigma }x^{\tau }+O(x^{2 }),}

a współczynniki spinu przyjmują wartości

{\ Displaystyle {\ omega ^ {a}} _ {b \ mu} (x) = - {\ Frac {1} {2}} {R ^ {a}} _ {b \ mu \ tau} (0) x^{\tau}+O(|x|^{2}).}

Współrzędne biegunowe

Na rozmaitości Riemanna normalny układ współrzędnych w punkcie p ułatwia wprowadzenie układu współrzędnych sferycznych , zwanych współrzędnymi biegunowymi . Są to współrzędne na M otrzymane przez wprowadzenie standardowego sferycznego układu współrzędnych do przestrzeni euklidesowej T _p M . Oznacza to, że na T _p M wprowadza się standardowy sferyczny układ współrzędnych ( r ,φ) gdzie r ≥ 0 jest parametrem radialnym, a φ = (φ ₁ ,...,φ _{n −1} ) jest parametryzacją ( n −1)-sfery . Złożenie ( r , φ) z odwrotnością mapy wykładniczej w punkcie p jest biegunowym układem współrzędnych.

Współrzędne biegunowe zapewniają szereg podstawowych narzędzi w geometrii Riemanna. Współrzędna promieniowa jest najbardziej znacząca: geometrycznie reprezentuje odległość geodezyjną do p pobliskich punktów. $Lemat$ Gaussa , że gradient r jest pochodną . To jest,

{\ Displaystyle \ langle df, dr \ rangle = {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy r}}}

dla dowolnej gładkiej funkcji ƒ . W rezultacie metryka we współrzędnych biegunowych przyjmuje postać ukośnej bryły

{\ Displaystyle g = {\ rozpocząć {bmatrix} 1&0&\cdots \ 0\\0&&\\\vdots &&g _ {\phi \phi}(r,\phi)\\0&&\koniec {bmatrix}}.}

Busemann, Herbert (1955), „O normalnych współrzędnych w przestrzeniach Finslera”, Mathematische Annalen , 129 : 417–423, doi : 10.1007/BF01362381 , ISSN 0025-5831 , MR 0071075 .
Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Podstawy geometrii różniczkowej , tom. 1 (nowe wydanie), Wiley Interscience , ISBN 0-471-15733-3 .
Chern, SS; Chen, WH; Lam, KS; Wykłady z geometrii różniczkowej , World Scientific, 2000

Zobacz też