Moment pędu jest ważną wielkością dynamiczną wyprowadzoną z położenia i pędu. Jest miarą ruchu obrotowego obiektu i odporności na zmiany jego obrotu. Ponadto, w ten sam sposób zachowanie pędu odpowiada symetrii translacyjnej, zachowanie momentu pędu odpowiada symetrii obrotowej - związek między symetriami a prawami zachowania wynika z twierdzenia Noether . Podczas gdy koncepcje te zostały pierwotnie odkryte w mechanice klasycznej , są one również prawdziwe i znaczące w szczególnej i ogólnej teorii względności. Jeśli chodzi o algebrę abstrakcyjną, niezmienność momentu pędu, czteropędu i innych symetrii w czasoprzestrzeni opisuje grupa Lorentza lub bardziej ogólnie grupa Poincarégo .
Relatywistyczny moment pędu jest mniej oczywisty. Klasyczna definicja momentu pędu to iloczyn krzyżowy pozycji x z pędem p w celu uzyskania pseudowektora x × p lub alternatywnie jako iloczyn zewnętrzny w celu uzyskania antysymetrycznego tensora drugiego rzędu x ∧ p . Z czym to się łączy, jeśli w ogóle? , o której często się nie mówi – jest to zmienny w czasie moment wektora biegunowego masy ( nie moment bezwładności ) związany ze wzmocnieniem środka masy układu, a to łączy się z klasycznym pseudowektorem momentu pędu, tworząc antysymetryczny tensor drugiego rzędu, dokładnie w taki sam sposób, jak wektor biegunowy pola elektrycznego łączy się z pseudowektor pola magnetycznego do utworzenia antysymetrycznego tensora pola elektromagnetycznego. W przypadku obracających się rozkładów masy i energii (takich jak żyroskopy , planety , gwiazdy i czarne dziury ) zamiast cząstek punktowych, tensor momentu pędu jest wyrażona jako tensor naprężenia i energii obracającego się obiektu.
Tylko w szczególnej teorii względności, w układzie spoczynkowym wirującego obiektu, istnieje wewnętrzny moment pędu, analogiczny do „wirowania” w mechanice kwantowej i relatywistycznej mechanice kwantowej , chociaż dla rozciągniętego ciała, a nie dla cząstki punktowej. W relatywistycznej mechanice kwantowej cząstki elementarne mają spin i jest to dodatkowy wkład do orbitalnego operatora momentu pędu, dając całkowity operator tensora momentu pędu. W każdym razie wewnętrzny dodatek „spinu” do orbitalnego momentu pędu obiektu można wyrazić za pomocą pseudowektora Pauliego – Lubańskiego .
Pęd 3-kątowy jako dwuwektor (element płaski) i wektor osiowy , cząstki o masie m z chwilowym 3-pozycyjnym x i 3-pędowym p .
Orbitalny 3d moment pędu
Dla odniesienia i tła podano dwie blisko spokrewnione formy momentu pędu.
W mechanice klasycznej orbitalny moment pędu cząstki o chwilowym trójwymiarowym wektorze położenia p = ( p x , py x , p z ) = ( x , y , z ) i wektorze pędu jest definiowany jako wektor osiowy
który ma trzy składowe, które są systematycznie dane przez cykliczne permutacje kierunków kartezjańskich (np. zmiana x na y , y na z , z na x , powtórzenie)
lub zapisując x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x , y , z ) i wektor pędu p = ( p 1 , p 2 , p 3 ) = ( p x , p y , p z ) , komponenty można zwięźle skracać w notacji indeksu tensorowego
gdzie indeksy i i j przyjmują wartości 1, 2, 3. Z drugiej strony składowe można systematycznie wyświetlać w pełni w antysymetrycznej macierzy 3 × 3
Ta wielkość jest addytywna, a dla układu izolowanego całkowity moment pędu układu jest zachowany.
Dynamiczny moment masowy
W mechanice klasycznej trójwymiarowa wielkość cząstki o masie m poruszającej się z prędkością u
ma wymiary momentu masowego – długość pomnożona przez masę. Jest równa masie cząstki lub układu cząstek pomnożonej przez odległość od początku przestrzeni do środka masy (COM) w momencie początku (t=0), zmierzoną w układzie laboratoryjnym . Nie ma uniwersalnego symbolu ani nawet uniwersalnej nazwy dla tej wielkości. Różni autorzy mogą oznaczać to innymi symbolami, jeśli takie istnieją (na przykład μ ), mogą wyznaczać inne nazwy i mogą definiować N być negatywem tego, co jest tutaj użyte. Powyższa postać ma tę zaletę, że przypomina znaną transformację Galileusza dla położenia, która z kolei jest nierelatywistyczną transformacją wzmacniającą między układami inercjalnymi.
Ten wektor jest również addytywny: dla układu cząstek suma wektorów jest wypadkową
środka masy układu oraz masa całkowita są odpowiednio
W przypadku systemu izolowanego N jest zachowane w czasie, co można zobaczyć różniczkując po czasie. Moment pędu L jest pseudowektorem, ale N jest wektorem „zwykłym” (biegunowym), a zatem jest niezmienny w przypadku odwrócenia.
Wynikowe N tot dla układu wielocząstkowego ma fizyczną wizualizację, że niezależnie od skomplikowanego ruchu wszystkich cząstek, poruszają się one w taki sposób, że COM układu porusza się po linii prostej. Nie musi to koniecznie oznaczać, że wszystkie cząstki „podążają” za COM, ani że wszystkie cząstki poruszają się jednocześnie w prawie tym samym kierunku, tylko że ruch wszystkich cząstek jest ograniczony w stosunku do środka masy.
W szczególnej teorii względności, jeśli cząstka porusza się z prędkością u względem układu laboratoryjnego, to wtedy
Gdzie
jest współczynnikiem Lorentza , a m jest masą (tj. masą spoczynkową) cząstki. Odpowiedni relatywistyczny moment masowy pod względem m , u , p , E , w tym samym układzie laboratoryjnym to
Składowe kartezjańskie są
Szczególna teoria względności
Transformacje współrzędnych dla wzmocnienia w kierunku x
Rozważmy układ współrzędnych F′ , który porusza się z prędkością v = ( v , 0, 0) względem innego układu F, wzdłuż kierunku pokrywających się osi xx′ . Początki dwóch układów współrzędnych pokrywają się w momentach t = t ′ = 0 . Masa-energia E = mc 2 i składowe pędu p = ( p x , p y , p z ) obiektu, a także współrzędne położenia x = ( x , y , z ) i czas t w układzie F są przekształcane na E ′ = m ′ c 2 , p ′ = ( p x ′, p y ′, p z ′ ) , x ′ = ( x ′, y ′, z ′) , i t ′ w F′ zgodnie z transformacjami Lorentza
Współczynnik Lorentza odnosi się tutaj do prędkości v , prędkości względnej między klatkami. To niekoniecznie jest to samo, co prędkość u obiektu.
Dla orbitalnego 3-kątowego momentu pędu L jako pseudowektor mamy
Pochodzenie
Dla składnika x
składowa y
i składnik Z
W drugim wyrazie L y ′ i L z ′ , składowe y i z iloczynu krzyżowego v × N można wywnioskować x = v , rozpoznając permutacje cykliczne v i v y = v z = 0 ze składnikami N ,
Teraz L x jest równoległe do prędkości względnej v , a pozostałe składowe L y i L z są prostopadłe do v . Odpowiedniość równoległo-prostopadła można ułatwić, dzieląc cały pseudowektor momentu pędu 3 na składowe równoległe (∥) i prostopadłe (⊥) do v , w każdej klatce,
Następnie równania składowe można zebrać w równania pseudowektorów
Dlatego składowe momentu pędu wzdłuż kierunku ruchu nie zmieniają się, podczas gdy składowe prostopadłe zmieniają się. W przeciwieństwie do przekształceń przestrzeni i czasu, czas i współrzędne przestrzenne zmieniają się wzdłuż kierunku ruchu, a prostopadłe nie.
Transformacje te są prawdziwe dla wszystkich v , nie tylko dla ruchu wzdłuż osi xx′ .
Rozpatrując L jako tensor, otrzymujemy podobny wynik
Gdzie
Wzmocnienie dynamicznego momentu masowego wzdłuż kierunku x wynosi
Pochodzenie
Dla składnika x
składowa y
i składnik Z
Zbieranie składowych równoległych i prostopadłych jak poprzednio
Ponownie składowe równoległe do kierunku ruchu względnego nie zmieniają się, zmieniają się składowe prostopadłe.
Przekształcenia wektorowe dla przyspieszenia w dowolnym kierunku
Na razie są to tylko równoległe i prostopadłe rozkłady wektorów. Transformacje na pełnych wektorach można z nich skonstruować w następujący sposób (tutaj L jest pseudowektorem dla konkretności i zgodności z algebrą wektorów).
Wprowadź wektor jednostkowy w kierunku v , dany przez n = v / v . Składowe równoległe są określone przez rzut wektorowy L lub N na n
podczas gdy składowa prostopadła przez odrzucenie wektora L lub N z n
Ponieważ w transformacji po lewej stronie występuje iloczyn krzyżowy z n ,
Następnie
4d moment pędu jako dwuwektor
W mechanice relatywistycznej doładowanie COM i orbitalny moment pędu obracającego się obiektu w 3 przestrzeni są łączone w czterowymiarowy dwuwektor pod względem czteropozycyjnego X i czteropędowego P obiektu
W komponentach
które są łącznie sześcioma niezależnymi wielkościami. Ponieważ składowe X i P są zależne od ramki, tak samo jest z M . Trzy komponenty
należą do znanego klasycznego orbitalnego momentu pędu w przestrzeni 3 i pozostałych trzech
to relatywistyczny moment masy pomnożony przez − c . Tensor jest antysymetryczny;
Składowe tensora można systematycznie wyświetlać jako macierz
gdzie dla wzmocnienia (bez obrotów) ze znormalizowaną prędkością β = v / c elementy macierzy transformacji Lorentza to
a kowariantne β i i kontrawariantne β i składowe β są takie same, ponieważ są to tylko parametry.
Innymi słowy, można osobno przekształcić Lorentza cztery pozycje i cztery pędy, a następnie antysymetryzować te nowo znalezione składowe, aby uzyskać tensor momentu pędu w nowym układzie.
Transformacje wektorowe wyprowadzone z transformacji tensorowych
W przypadku cząstki poruszającej się po krzywej iloczyn krzyżowy jej prędkości kątowej ω (pseudowektor) i położenia x daje jej prędkość styczną
która nie może przekroczyć wielkości c , ponieważ w SR prędkość translacyjna dowolnego masywnego obiektu nie może przekroczyć prędkości światła c . Matematycznie ograniczenie to wynosi 0 ≤ | ty | < c , pionowe kreski oznaczają wielkość wektora. Jeśli kąt między ω i x wynosi θ (zakładając, że jest niezerowy, w przeciwnym razie u wynosiłoby zero, co odpowiadałoby całkowitemu brakowi ruchu), to | ty | = | ω | | X | sin θ , a prędkość kątowa jest ograniczona przez
Maksymalna prędkość kątowa dowolnego masywnego obiektu zależy zatem od wielkości obiektu. Dla danego | x |, minimalna górna granica występuje, gdy ω i x są prostopadłe, tak że θ = π /2 i sin θ = 1 .
W przypadku obracającego się ciała sztywnego obracającego się z prędkością kątową ω u jest prędkością styczną w punkcie x wewnątrz obiektu. Dla każdego punktu w obiekcie istnieje maksymalna prędkość kątowa.
Prędkość kątowa (pseudowektor) jest związana z momentem pędu (pseudowektorem) przez tensor momentu bezwładności I
(kropka · oznacza skrócenie tensora na jednym indeksie). Relatywistyczny moment pędu jest również ograniczony przez rozmiar obiektu.
Zakręć w szczególnej teorii względności
Cztery obroty
Cząstka może mieć „wbudowany” moment pędu, niezależny od jej ruchu, zwany spinem i oznaczany jako s . Jest to trójwymiarowy pseudowektor podobny do orbitalnego momentu pędu L .
Rozszerzenie na szczególną teorię względności jest proste. Dla pewnego układu laboratoryjnego F, niech F′ będzie układem spoczynkowym cząstki i załóżmy, że cząstka porusza się ze stałą 3-prędkością u . Następnie F′ jest wzmacniane z tą samą prędkością i transformacje Lorentza obowiązują jak zwykle; wygodniej jest użyć β = u / c . Jako czterowektor w szczególnej teorii względności, czterospinowy S t na ogół przyjmuje zwykłą postać czterowektora ze składową czasową i składowymi przestrzennymi s , w ramie laboratoryjnej
chociaż w układzie spoczynkowym cząstki jest zdefiniowany tak, że składnik podobny do czasu wynosi zero, a składowe przestrzenne są składnikami rzeczywistego wektora spinu cząstki, w zapisie tutaj s ′, więc w układzie cząstki
Zrównanie norm prowadzi do niezmiennej relacji
więc jeśli wielkość spinu jest podana w układzie spoczynkowym cząstki i układzie laboratoryjnym obserwatora, wielkość składowej czasopodobnej s t jest również podana w układzie laboratoryjnym.
Transformacje wektorowe wyprowadzone z transformacji tensorowych
Wzmocnione komponenty czterech spinów w stosunku do ramy laboratoryjnej to
Tutaj γ = γ ( u ) . S ′ znajduje się w układzie spoczynkowym cząstki, więc jej składowa czasowa wynosi zero, 0 S ′ = 0 , a nie S 0 . Również pierwszy jest równoważny iloczynowi wewnętrznemu czteroprędkości (podzielonej przez c ) i czteroobrotowej. Połączenie tych faktów prowadzi do
co jest niezmiennikiem. To w połączeniu z transformacją komponentu podobnego do czasu prowadzi do postrzeganego komponentu w ramie laboratoryjnej;
Odwrotne relacje są
Kowariantnym ograniczeniem spinu jest prostopadłość do wektora prędkości,
W notacji 3-wektorowej dla jawności transformacje są
Relacje odwrotne
to składowe spinu układu laboratoryjnego, obliczone na podstawie składowych układu spoczynkowego cząstki. Chociaż spin cząstki jest stały dla danej cząstki, wydaje się, że jest inny w układzie laboratoryjnym.
Poniżej znajduje się podsumowanie z MTW . Dla uproszczenia przyjmuje się współrzędne kartezjańskie. W szczególnej i ogólnej teorii względności rozkład masy – energii – pędu, np. płynu lub gwiazdy, jest opisany przez tensor naprężenia i energii T βγ ( pole tensorowe drugiego rzędu zależne od przestrzeni i czasu). Ponieważ T 00 jest gęstością energii, T j 0 dla j = 1, 2, 3 jest j- tą składową 3d pędu obiektu na jednostkę objętości, a T ij tworzą składowe tensora naprężeń , w tym naprężenia ścinające i normalne, gęstość orbitalnego momentu pędu wokół położenia 4-wektora X β jest określona przez tensor trzeciego rzędu
To jest antysymetryczne w α i β . W szczególnej i ogólnej teorii względności T jest tensorem symetrycznym, ale w innych kontekstach (np. kwantowej teorii pola) może nim nie być.
Niech Ω będzie obszarem czasoprzestrzeni 4d. Granica jest trójwymiarową hiperpowierzchnią czasoprzestrzeni („objętość powierzchni czasoprzestrzeni” w przeciwieństwie do „powierzchni przestrzennej”), oznaczoną ∂Ω, gdzie „∂” oznacza „granicę” . Całkowanie gęstości momentu pędu na trójwymiarowej hiperpowierzchni czasoprzestrzeni daje tensor momentu pędu wokół X ,
gdzie dΣ γ jest formą objętości 1 pełniącą rolę wektora jednostkowego normalnego do powierzchni 2d w zwykłej 3d przestrzeni euklidesowej. Całka jest przejmowana przez współrzędne X , a nie X . Całka w przestrzeniopodobnej powierzchni o stałym czasie wynosi
które razem tworzą tensor momentu pędu .
Moment pędu wokół środka masy
W układzie środka masy istnieje wewnętrzny moment pędu, innymi słowy, moment pędu dowolnego zdarzenia
na linii środka masy obiektu. Ponieważ T 00 jest gęstością energii obiektu, współrzędne przestrzenne środka masy są określone wzorem
Ustawienie Y = X COM pozwala uzyskać gęstość orbitalnego momentu pędu wokół środka masy obiektu.
Zachowanie momentu pędu
Zachowanie energii i pędu jest podane w postaci różniczkowej przez równanie ciągłości
gdzie ∂ γ jest czterostopniowym gradientem . (We współrzędnych niekartezjańskich i ogólnej teorii względności zostałoby to zastąpione pochodną kowariantną ). Całkowite zachowanie momentu pędu jest określone przez inne równanie ciągłości
Moment obrotowy działający na cząstkę punktową definiuje się jako pochodną podanego powyżej tensora momentu pędu względem czasu własnego:
lub w składowych tensorowych:
gdzie F jest siłą 4d działającą na cząstkę w zdarzeniu X . Podobnie jak w przypadku momentu pędu, moment obrotowy jest addytywny, więc w przypadku rozciągniętego obiektu sumuje się lub całkuje po rozkładzie masy.
Moment pędu jako generator przyspieszeń i obrotów czasoprzestrzeni
gdzie β = v / c to prędkość ruchu względnego podzielona przez prędkość światła. Obroty przestrzenne można parametryzować za pomocą reprezentacji kąta osi , kąta θ i wektora jednostkowego a skierowanego w kierunku osi, które łączą się w „wektor kąta osi”
Każdy wektor jednostkowy ma tylko dwa niezależne komponenty, trzeci jest określany na podstawie wielkości jednostkowej. W sumie istnieje sześć parametrów grupy Lorentza; trzy dla rotacji i trzy dla dopalaczy. (Jednorodna) grupa Lorentza jest 6-wymiarowa.
Generatory doładowania K i generatory rotacji J można połączyć w jeden generator dla transformacji Lorentza; M antysymetryczny tensor momentu pędu ze składowymi
i odpowiednio, parametry wzmocnienia i rotacji są gromadzone w innej antysymetrycznej czterowymiarowej macierzy ω z wpisami:
a konwencja sumowania została zastosowana do powtarzalnych wskaźników macierzowych α i β .
0 Ogólna transformacja Lorentza Λ jest prawem transformacji dla dowolnych czterech wektorów A = ( A , A 1 , A 2 , A 3 ), podając składowe tego samego 4-wektora w innym inercjalnym układzie odniesienia
Tensor momentu pędu tworzy 6 z 10 generatorów grupy Poincarégo , pozostałe cztery są składnikami czteropędu do translacji czasoprzestrzeni.
Moment pędu w ogólnej teorii względności
Moment pędu cząstek testowych na delikatnie zakrzywionym tle jest bardziej skomplikowany w GR, ale można go uogólnić w prosty sposób. Jeśli Lagranżian jest wyrażony w odniesieniu do zmiennych kątowych jako współrzędne uogólnione , to momenty kątowe są funkcjonalnymi pochodnymi Lagrange'a względem prędkości kątowych . Odnosząc się do współrzędnych kartezjańskich, są one zwykle podawane przez warunki ścinania poza przekątną przestrzennej części tensora energii naprężenia . Jeśli czasoprzestrzeń obsługuje pole wektora zabijania styczna do okręgu, to moment pędu wokół osi jest zachowany.
Chciałoby się również zbadać wpływ zwartej, obracającej się masy na otaczającą ją czasoprzestrzeń. Prototypowe rozwiązanie opiera się na metryce Kerra , która opisuje czasoprzestrzeń wokół osiowo symetrycznej czarnej dziury . Oczywiście niemożliwe jest narysowanie punktu na horyzoncie zdarzeń czarnej dziury Kerra i obserwowanie, jak krąży. Jednak rozwiązanie obsługuje stałą układu, która działa matematycznie podobnie do momentu pędu.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }&={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {x} _{n}}{\sum _{n}m_{n}}},\\[3pt]\mathbf {u} _{\mathrm {COM} }&={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {u} _{n}}{\sum _{n}m_{n}}},\\[3pt]M_{\text{tot}}&=\sum _{n}m_{n}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b472a64ad447fddfad664f4f31c8b3db97700eeb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{y}'&=z'p_{x}'-x'p_{z}'\\&=z\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)-\gamma \left(x-vt\right)p_{z}\\&=\gamma \left[zp_{x}-z{\frac {vE}{c^{2}}}-xp_{z}+vtp_{z}\right]\\&=\gamma \left[\left(zp_{x}-xp_{z}\right)+v\left(p_{z}t-z{\frac {E}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{y}-vN_{z}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1123afad3625485a848dfb8e303a9ca920c6dc76)
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x}'\\&=\gamma \left(x-vt\right)p_{y}-y\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\&=\gamma \left[xp_{y}-vtp_{y}-yp_{x}+y{\frac {vE}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma \left[\left(xp_{y}-yp_{x}\right)+v\left(y{\frac {E}{c^{2}}}-tp_{y}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{z}+vN_{y}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d548da10fb18cefdb4eb9ce1882ac5ffef2d91)
![{\displaystyle {\begin{aligned}N_{x}'&={\frac {E'}{c^{2}}}x'-t'p_{x}'\\&={\frac {\gamma }{c^{2}}}(E-vp_{x})\gamma (x-vt)-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {1}{c^{2}}}\left(E-vp_{x}\right)(x-vt)-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)\left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {Ex}{c^{2}}}-{\frac {Evt}{c^{2}}}-{\frac {vp_{x}x}{c^{2}}}+{\frac {vp_{x}vt}{c^{2}}}-tp_{x}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{x}+t{\frac {vE}{c^{2}}}-{\frac {xv}{c^{2}}}{\frac {vE}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {Ex}{c^{2}}}{\cancel {-{\frac {Evt}{c^{2}}}}}{\cancel {-{\frac {vp_{x}x}{c^{2}}}}}+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}p_{x}t-tp_{x}{\cancel {+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{x}}}{\cancel {+t{\frac {vE}{c^{2}}}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}{\frac {Ex}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma ^{2}\left[\left({\frac {Ex}{c^{2}}}-tp_{x}\right)+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\left(p_{x}t-{\frac {Ex}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma ^{2}\left[1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right]N_{x}\\&=\gamma ^{2}{\frac {1}{\gamma ^{2}}}N_{x}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b648d1e3135836e03bb29300dd0ff407e130ad49)
![{\displaystyle {\begin{aligned}N_{y}'&={\frac {E'}{c^{2}}}y'-t'p_{y}'\\&={\frac {1}{c^{2}}}\gamma (E-vp_{x})y-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{y}\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}(E-vp_{x})y-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{y}\right]\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}Ey-{\frac {1}{c^{2}}}vp_{x}y-tp_{y}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{y}\right]\\&=\gamma \left[\left({\frac {1}{c^{2}}}Ey-tp_{y}\right)+{\frac {v}{c^{2}}}(xp_{y}-yp_{x})\right]\\&=\gamma \left(N_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}L_{z}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b104837978b0294ec655be8e3106d7a9f05f001d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}N_{z}'&={\frac {E'}{c^{2}}}z'-t'p_{z}'\\&={\frac {1}{c^{2}}}\gamma (E-vp_{x})z-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{z}\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}(E-vp_{x})z-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{z}\right]\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}Ez-{\frac {1}{c^{2}}}vp_{z}z-tp_{z}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{z}\right]\\&=\gamma \left[\left({\frac {1}{c^{2}}}Ez-tp_{z}\right)+{\frac {v}{c^{2}}}(xp_{z}-zp_{x})\right]\\&=\gamma \left(N_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}L_{y}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bec7d323fc0b3bd723b03f9267744611afe41ba)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\left[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} \right]\times \left[\mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {n} \right]\\&=[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} \\&=\mathbf {r} \times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \times \mathbf {p} -\gamma tv\mathbf {n} \times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {r} \times \mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {r} \times \mathbf {n} \\&=\mathbf {L} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right]\mathbf {v} \times \mathbf {p} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{c^{2}}}\right]\mathbf {r} \times \mathbf {v} \\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right)\mathbf {p} -\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{c^{2}}}\right)\mathbf {r} \right]\\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\left((\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {p} -(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {r} \right)+\gamma \left({\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {r} -t\mathbf {p} \right)\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa6dc85886be938da746e18f88f7e576f0af83c3)
![{\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {L} \times \mathbf {v} +\gamma \mathbf {N} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15c51d40d1928f1b84a346639fb97f3449ee8a97)
![{\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {n} \times \left[(\gamma -1)\mathbf {L} \times \mathbf {n} +v\gamma \mathbf {N} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43604da007a299e1a680c3d8c25252add69623e1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} &={\begin{pmatrix}M^{00}&M^{01}&M^{02}&M^{03}\\M^{10}&M^{11}&M^{12}&M^{13}\\M^{20}&M^{21}&M^{22}&M^{23}\\M^{30}&M^{31}&M^{32}&M^{33}\end{pmatrix}}\\[3pt]&=\left({\begin{array}{c|ccc}0&-N^{1}c&-N^{2}c&-N^{3}c\\\hline N^{1}c&0&L^{12}&-L^{31}\\N^{2}c&-L^{12}&0&L^{23}\\N^{3}c&L^{31}&-L^{23}&0\end{array}}\right)\\[3pt]&=\left({\begin{array}{c|c}0&-\mathbf {N} c\\\hline \mathbf {N} ^{\mathrm {T} }c&\mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \\\end{array}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e2168c668a8665773a018f4384ecd4777bb5c3b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\left(-\gamma \beta ^{\ell }\right)-\left(-\gamma \beta ^{k}\right)\left[{\delta ^{\ell }}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[\beta ^{k}{\delta ^{\ell }}_{i}-\beta ^{\ell }{\delta ^{k}}_{i}\right]\\{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\gamma -(-\gamma \beta ^{k})(-\gamma \beta ^{i})\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}-\gamma \beta ^{k}\beta ^{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}-\gamma \right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma -\gamma \beta ^{2}-1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma ^{-1}-1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma {\delta ^{k}}_{i}-\left[{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right]\beta ^{k}\beta _{i}\\{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\left[{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\right]\\&={\delta ^{k}}_{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\delta ^{k}}_{i}\beta ^{\ell }\beta _{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\beta ^{k}\beta _{i}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59e7133fe844510383bb91eed39f9060b5da47a5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}cN'^{k}&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}\right)cN^{i}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\left[\gamma {\delta ^{k}}_{i}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]cN^{i}+-\gamma \beta ^{j}\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\gamma cN^{k}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\left(\beta _{i}cN^{i}\right)-\gamma \beta ^{j}{\delta ^{k}}_{i}\varepsilon ^{ijn}L_{n}-\gamma {\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{j}\beta ^{k}\beta _{i}\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\gamma cN^{k}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\left(\beta _{i}cN^{i}\right)-\gamma \beta ^{j}\varepsilon ^{kjn}L_{n}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97ea30c1903597ab5d2ca6a693adbad9508872eb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}L'^{k\ell }&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}\right)cN^{i}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}L^{ij}\\&=\gamma c\left(\beta ^{k}{\delta ^{\ell }}_{i}-\beta ^{\ell }{\delta ^{k}}_{i}\right)N^{i}+\left[{\delta ^{k}}_{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\delta ^{k}}_{i}\beta ^{\ell }\beta _{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\beta ^{k}\beta _{i}\right]L^{ij}\\&=\gamma c\left(\beta ^{k}N^{\ell }-\beta ^{\ell }N^{k}\right)+L^{k\ell }+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}L^{kj}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}L^{i\ell }\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cc51e5068004b1206697a23f07abc1a0936670b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{S'}^{0}&={\Lambda ^{0}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{0}}_{0}S^{0}+{\Lambda ^{0}}_{i}S^{i}=\gamma \left(S^{0}-\beta _{i}S^{i}\right)\\&=\gamma \left({\frac {c}{c}}S^{0}-{\frac {u_{i}}{c}}S^{i}\right)={\frac {1}{c}}U_{0}S^{0}-{\frac {1}{c}}U_{i}S^{i}\\[3pt]{S'}^{i}&={\Lambda ^{i}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{i}}_{0}S^{0}+{\Lambda ^{i}}_{j}S^{j}\\&=-\gamma \beta ^{i}S^{0}+\left[\delta _{ij}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta _{i}\beta _{j}\right]S^{j}\\&=S^{i}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\beta _{i}\beta _{j}S^{j}-\gamma \beta ^{i}S^{0}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b8a790a4eba43ff0be90559613130bd83c89ec9)
![{\displaystyle M^{ij}=\oint _{\partial \Omega }{\mathcal {M}}^{ij0}d\Sigma _{0}=\oint _{\partial \Omega }\left[\left(X^{i}-Y^{i}\right)T^{j0}-\left(X^{j}-Y^{j}\right)T^{i0}\right]dx\,dy\,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab105da60f25ba3391bde42a751d14ca33ec7093)
