Klasyczny elektromagnetyzm i szczególna teoria względności

Ten artykuł dotyczy wkładu szczególnej teorii względności we współczesną teorię klasycznego elektromagnetyzmu. Aby zapoznać się z wkładem klasycznego elektromagnetyzmu w rozwój szczególnej teorii względności, zobacz Historia szczególnej teorii względności . Aby zapoznać się z w pełni kowariantną dyskusją, zobacz Kowariantne sformułowanie klasycznego elektromagnetyzmu .

teoria względności odgrywa ważną rolę we współczesnej teorii klasycznego elektromagnetyzmu . Podaje wzory na to, jak obiekty elektromagnetyczne, w szczególności elektryczne i magnetyczne , zmieniają się w wyniku transformacji Lorentza z jednego inercjalnego układu odniesienia do drugiego. Rzuca światło na związek między elektrycznością a magnetyzmem, pokazując, że układ odniesienia określa, czy obserwacja jest zgodna z prawami elektrostatycznymi czy magnetycznymi. Motywuje to do zwartej i wygodnej notacji praw elektromagnetyzmu, a mianowicie „wyraźnie kowariantnej” formy tensorowej.

Równania Maxwella, kiedy po raz pierwszy zostały sformułowane w pełnej postaci w 1865 roku, okazały się zgodne ze szczególną teorią względności. Ponadto szczególna teoria względności wykazałaby, że pozorne zbieżności, w których ten sam efekt został zaobserwowany przez dwóch różnych obserwatorów z powodu różnych zjawisk fizycznych, nie są w najmniejszym stopniu przypadkowe. W rzeczywistości połowa pierwszego artykułu Einsteina z 1905 roku na temat szczególnej teorii względności, „ O elektrodynamice poruszających się ciał ”, wyjaśnia, jak przekształcić równania Maxwella.

Transformacja pól między układami inercjalnymi

Pola E i B

Wzmocnienie Lorentza ładunku elektrycznego. U góry: Ładunek spoczywa w układzie F, więc ten obserwator widzi statyczne pole elektryczne. Obserwator w innym układzie F′ porusza się z prędkością v względem F i widzi, że ładunek porusza się z prędkością − v ze zmienionym polem elektrycznym E wywołanym skróceniem długości i polem magnetycznym B wywołanym ruchem ładunku. Dół: Podobna konfiguracja, z ładunkiem spoczywającym w klatce F ′.

To równanie uwzględnia dwa układy inercjalne . Rama aktywowana porusza się względem ramki nieprimowanej z prędkością v . Pola zdefiniowane w ramce primowanej są oznaczone liczbami pierwszymi, a pola zdefiniowane w ramce nieprimowanej są pozbawione liczb pierwszych. Składowe pola równoległe $},$ prędkości v są oznaczone przez ${\ Displaystyle \ mathbf {B} _ {\ równolegle$ } podczas gdy składowe pola prostopadłe do v są oznaczone jako ${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {\ perp}}$ i ${\ Displaystyle \ mathbf {B} _ {\ perp}}$ . W tych dwóch klatkach poruszających się z prędkością względną v pola E i pola B są powiązane przez:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \mathbf {E_{\równoległy}} '&=\mathbf {E_{\równoległy}} \\\mathbf {B_{\równoległy}} '&=\mathbf {B_{\równoległy}} \\\mathbf {E_ {\bot }} '&=\gamma \left(\mathbf {E} _{\bot }+\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\\\mathbf {B_{\bot }} '&=\gamma \left(\mathbf {B} _{\bot }-{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \right)\end {wyrównany}}}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ gamma \ {\ overset {\ underset {\ operatorname {def}}} {}} {=}} \ {\ Frac {1} {\ sqrt { 1-v^{2}/c^{2}}}}}$

nazywa się współczynnikiem Lorentza , a c jest prędkością światła w wolnej przestrzeni . Powyższe równania są w układzie SI . W CGS równania te można wyprowadzić, zastępując i v $}$$^ {2}}}$ Displaystyle {\ Frac {1} { ${\ Displaystyle v \ razy B}$ z ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {c}} v \ razy B}$ , z wyjątkiem ${\ Displaystyle \ gamma}$ . Współczynnik Lorentza ( $jest$ taki sam w obu systemach . Transformacje odwrotne są takie same, z wyjątkiem v → − v .

Równoważnym, alternatywnym wyrażeniem jest:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {E} '& = \ gamma \ lewo (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ razy \ mathbf {B} \ prawej) - \ lewo ({{ \gamma -1}\right)(\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\mathbf {B} '&=\gamma \left( \mathbf {B} -{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}\right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {B} \cdot \mathbf {\kapelusz {v}} )\mathbf {\kapelusz {v}} \end{wyrównane}}}$

gdzie $_$ _ _ _ W przypadku poprzednich zapisów faktycznie ma się ${\ Displaystyle (\ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {\ kapelusz {v}}} \ mathbf {\ kapelusz {v}} = \ mathbf {E} _ {\ równolegle}}$ i ${\ Displaystyle (\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {\ kapelusz {v}}) \ mathbf {\ kapelusz {v }} =\mathbf {B} _{\równoległy}}$ .

Składnik po składniku, dla ruchu względnego wzdłuż osi x, wygląda to następująco: ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = (v, 0,0)}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} E'_ {x} & = E_ {x} & \ qquad B'_ {x} i = B_ {x} \\ E'_ {y} & = \ gamma \ lewo (E_{y}-vB_{z}\right)&B'_{y}&=\gamma \left(B_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}E_{z}\ right)\\E'_{z}&=\gamma \left(E_{z}+vB_{y}\right)&B'_{z}&=\gamma \left(B_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}E_{y}\right).\\\end{aligned}}}$

Jeśli jedno z pól ma wartość zero w jednym układzie odniesienia, nie musi to oznaczać, że jest równe zeru we wszystkich innych układach odniesienia. Można to zobaczyć, na przykład, zerując pole elektryczne nieuzbrojone w transformacji do pola elektrycznego ugruntowanego. W tym przypadku, w zależności od orientacji pola magnetycznego, system z naładowaniem może widzieć pole elektryczne, mimo że nie ma go w systemie bez nagrzania.

Nie oznacza to, że dwa zupełnie różne zestawy zdarzeń są widoczne w dwóch klatkach, ale że ta sama sekwencja zdarzeń jest opisana na dwa różne sposoby (patrz Problem z ruchomym magnesem i przewodnikiem poniżej).

Jeżeli cząstka o ładunku q porusza się z prędkością u względem układu S, to siła Lorentza w układzie S wynosi:

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = q \ mathbf {E} + q \ mathbf {u} \ razy \ mathbf {B}}$

W układzie S' siła Lorentza wynosi:

${\ Displaystyle \ mathbf {F '} = q \ mathbf {E'} + q \ mathbf {u'} \ razy \ mathbf {B'}}$

0 Podano tutaj wyprowadzenie dla transformacji siły Lorentza dla szczególnego przypadku u = . Bardziej ogólny można zobaczyć tutaj.

Transformacje w tej postaci można uprościć, wprowadzając tensor elektromagnetyczny (zdefiniowany poniżej), który jest tensorem kowariantnym .

Pola D i H

Dla przemieszczenia elektrycznego D i natężenia magnetycznego H , korzystając z zależności konstytutywnych i wyniku dla c ² :

${\ Displaystyle \ mathbf {D} = \ epsilon _ {0} \ mathbf {E} \, \ quad \ mathbf {B} = \ mu _{0}\mathbf {H} \,,\quad c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}\,,}$

daje

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {D} '& = \ gamma \ lewo (\ mathbf {D} + {\ Frac {1} {c ^ {2}}} \ mathbf {v} \times \mathbf {H} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {D} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\mathbf {H } '&=\gamma \left(\mathbf {H} -\mathbf {v} \times \mathbf {D} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {H} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\kapelusz {v}} \end{wyrównane}}}$

Analogicznie dla E i B , D i H tworzą tensor przemieszczenia elektromagnetycznego .

Pola φ i A

Alternatywna prostsza transformacja pola EM wykorzystuje potencjały elektromagnetyczne - potencjał elektryczny φ i potencjał magnetyczny A :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ varphi '& = \ gamma \ lewo ( \varphi -vA_{\parallel }\right)\\A_{\parallel }'&=\gamma \left(A_{\parallel }-{\frac {v\varphi }{c^{2}}}\right )\\A_{\bot }'&=A_{\bot }\end{wyrównane}}}$

gdzie $A$ składową równoległą do kierunku prędkości względnej między klatkami $prostopadłą$ a jest składową Przejrzyście przypominają one charakterystyczną formę innych transformacji Lorentza (takich jak czas-położenie i energia-pęd), podczas gdy powyższe transformacje E i B są nieco bardziej skomplikowane. Składniki można zebrać razem jako:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {A} ' &=\mathbf {A} -{\frac {\gamma \varphi }{c^{2}}}\mathbf {v} +\left(\gamma -1\right)\left(\mathbf {A} \ cdot \mathbf {\hat {v}} \right)\mathbf {\hat {v}} \\\varphi '&=\gamma \left(\varphi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} \ po prawej)\end{wyrównane}}}$

Pola ρ i J

Analogicznie dla gęstości ładunku ρ i gęstości prądu J ,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} J _ {\ równoległy} „& = \ gamma \left(J_{\równoległy }-v\rho \right)\\\rho '&=\gamma \left(\rho -{\frac {v}{c^{2}}}J_{\równoległy }\ po prawej)\\J_{\bot }'&=J_{\bot }\end{aligned}}}$

Zbieranie elementów razem:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {J} ' &=\mathbf {J} -\gamma \rho \mathbf {v} +\left(\gamma -1\right)\left(\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {v}} \right) \mathbf {\hat {v}} \\\rho '&=\gamma \left(\rho -{\frac {\mathbf {J} \cdot \mathbf {v}}{c^{2}}}\ po prawej)\end{wyrównane}}}$

Przybliżenia nierelatywistyczne

Dla prędkości v ≪ c współczynnik relatywistyczny γ ≈ 1, który daje:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {E } '&\około \mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \\\mathbf {B} '&\około \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{ 2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \\\mathbf {J} '&\około \mathbf {J} -\rho \mathbf {v} \\\rho '&\około \rho -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {J} \cdot \mathbf {v} \end{wyrównane}}}$

tak, że nie ma potrzeby rozróżniania współrzędnych przestrzennych i czasowych w równaniach Maxwella .

Związek między elektrycznością a magnetyzmem

Jedną część siły między poruszającymi się ładunkami nazywamy siłą magnetyczną. To naprawdę jeden z aspektów efektu elektrycznego.

— Ryszard Feynman

Wyprowadzanie magnetyzmu z elektrostatyki

Główny artykuł: relatywistyczny elektromagnetyzm

Wybrany układ odniesienia określa, czy zjawisko elektromagnetyczne jest postrzegane jako efekt elektrostatyki lub magnetyzmu, czy też ich kombinacji. Autorzy zwykle wyprowadzają magnetyzm z elektrostatyki, biorąc pod uwagę szczególną teorię względności i niezmienność ładunku . Feynman Lectures on Physics (tom 2, rozdz. 13-6) wykorzystuje tę metodę do wyprowadzenia siły „magnetycznej” działającej na poruszający się ładunek obok przewodu z prądem. Zobacz także Haskell i Landau.

Pola mieszają się w różnych ramach

Powyższe reguły transformacji pokazują, że pole elektryczne w jednym układzie przyczynia się do pola magnetycznego w innym układzie i odwrotnie. Często opisuje się to stwierdzeniem, że pole elektryczne i pole magnetyczne to dwa powiązane ze sobą aspekty jednego obiektu, zwanego polem elektromagnetycznym . Rzeczywiście, całe pole elektromagnetyczne można przedstawić za pomocą jednego tensora drugiego stopnia, zwanego tensorem elektromagnetycznym ; patrz poniżej.

Problem z ruchomym magnesem i przewodnikiem

Główny artykuł: Problem z ruchomym magnesem i przewodnikiem

Słynny przykład mieszania się zjawisk elektrycznych i magnetycznych w różnych układach odniesienia nazywa się „problemem poruszającego się magnesu i przewodnika”, cytowanym przez Einsteina w jego artykule z 1905 roku na temat szczególnej teorii względności .

Jeśli przewodnik porusza się ze stałą prędkością w polu nieruchomego magnesu, w wyniku siły magnetycznej działającej na elektrony w przewodniku będą wytwarzane prądy wirowe . Z drugiej strony w ramie spoczynkowej przewodnika magnes będzie się poruszał, a przewodnik będzie nieruchomy. Klasyczna teoria elektromagnetyczna przewiduje, że powstaną dokładnie te same mikroskopijne prądy wirowe, ale będą one spowodowane elektryczną .

Formuła kowariantna w próżni

Prawa i obiekty matematyczne w klasycznym elektromagnetyzmie można zapisać w postaci ewidentnie kowariantnej . Tutaj odbywa się to tylko dla próżni (lub dla mikroskopowych równań Maxwella, bez użycia makroskopowych opisów materiałów, takich jak przenikalność elektryczna ) i wykorzystuje jednostki SI .

W tej sekcji zastosowano notację Einsteina , w tym konwencję sumowania Einsteina . Zobacz także rachunek Ricciego , aby zapoznać się z podsumowaniem notacji indeksów tensorowych oraz indeksów podnoszenia i obniżania w celu zdefiniowania indeksów indeksu górnego i dolnego oraz sposobu przełączania się między nimi. Tensor metryczny Minkowskiego η ma tutaj sygnaturę metryczną (+ − − −).

Tensor pola i 4-prądowy

Główny artykuł: tensor pola elektromagnetycznego

Powyższe relatywistyczne przekształcenia sugerują, że pola elektryczne i magnetyczne są ze sobą sprzężone w obiekcie matematycznym z 6 składnikami: antysymetrycznym tensorem drugiego rzędu lub dwuwektorem . Nazywa się to tensorem pola elektromagnetycznego , zwykle zapisywanym ^jako Fμν . W postaci macierzowej:

${\ styl wyświetlania F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z }&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmacierz}}}$

gdzie c prędkość światła - w jednostkach naturalnych c = 1.

Istnieje inny sposób połączenia pól elektrycznych i magnetycznych w antysymetryczny tensor, zastępując E / c → B i B → − E / c , aby otrzymać podwójny tensor G ^μν .

${\ styl wyświetlania G^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&E_{z}/c&-E_{y }/c\\B_{y}&-E_{z}/c&0&E_{x}/c\\B_{z}&E_{y}/c&-E_{x}/c&0\end{pmacierz}}}$

W kontekście szczególnej teorii względności oba przekształcają się zgodnie z transformacją Lorentza zgodnie z

${\ Displaystyle F' ^ {\ alfa \ beta} = \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ alfa} \ Lambda _ {\ nu} ^ {\ beta }F^{\mu \nu }}$ ,

gdzie Λ ^α _ν jest tensorem transformacji Lorentza dla zmiany z jednego układu odniesienia do drugiego. Ten sam tensor jest używany dwukrotnie w sumowaniu.

Ładunek i gęstość prądu, źródła pól, również łączą się w czterowektor

${\ Displaystyle J ^ {\ alfa} = \ lewo (c \ rho, J_ {x}, J_ {y}, J_ {z} \ prawej) }$

zwany czterobiegowym .

Równania Maxwella w postaci tensorowej

Główny artykuł: Kowariantne sformułowanie klasycznego elektromagnetyzmu

Używając tych tensorów, równania Maxwella redukują się do:

Równania Maxwella (sformułowanie kowariantne)

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane}} {\ Frac {\ częściowe F ^ {\ alfa \ beta}} {\ częściowe x ^ {\ alpha }}}&=\mu _{0}J^{\beta}\\[3pt]{\frac {\częściowe G^{\alpha \beta}}{\częściowe x^{\alpha }}}& =0\end{wyrównane}}}$

gdzie pochodne cząstkowe można zapisać na różne sposoby, patrz 4-gradient . Pierwsze równanie wymienione powyżej odpowiada zarówno prawu Gaussa (dla β = 0), jak i prawu Ampère'a-Maxwella (dla β = 1, 2, 3). Drugie równanie odpowiada dwóm pozostałym równaniom, prawu Gaussa dla magnetyzmu (dla β = 0) i prawu Faradaya (dla β = 1, 2, 3).

Te równania tensorowe są oczywiście kowariantne , co oznacza, że ​​równania można postrzegać jako kowariantne na podstawie pozycji indeksu. Ta krótka forma zapisu równań Maxwella ilustruje ideę podzielaną przez niektórych fizyków, a mianowicie, że prawa fizyki przybierają prostszą formę, gdy są zapisywane przy użyciu tensorów .

Obniżając wskaźniki na F ^αβ w celu uzyskania F _αβ :

${\ Displaystyle F _ {\ alfa \ beta} = \ eta _ {\ alfa \ lambda} \ eta _ {\ beta \ mu} F ^ {\ lambda \ mu} }$

drugie równanie można zapisać w kategoriach F _αβ jako:

${\ Displaystyle \ epsilon ^ {\ delta \ alfa \ beta \gamma }{\dfrac {\częściowe F_{\beta \gamma}}{\częściowe x^{\alpha}}}={\dfrac {\częściowe F_{\alpha \beta}}{\częściowe x^{\ gamma }}}+{\dfrac {\częściowe F_{\gamma \alpha}}{\częściowe x^{\beta}}}+{\dfrac {\częściowe F_{\beta \gamma}}{\częściowe x^ {\alfa}}}=0}$

gdzie $_$ - . _ Zwróć $w$ cykliczną indeksów .

Innym kowariantnym obiektem elektromagnetycznym jest tensor energii naprężenia elektromagnetycznego , kowariantny tensor rzędu 2, który obejmuje wektor Poyntinga , tensor naprężenia Maxwella i gęstość energii elektromagnetycznej.

4-potencjał

Główny artykuł: 4-potencjalny

Można również zapisać tensor pola EM

${\ Displaystyle F ^ {\ alfa \ beta} = {\ Frac {\ częściowe A ^ {\ beta}} {\ częściowe x_ {$

Gdzie

${\ Displaystyle A ^ {\ alfa} = \ lewo ({\ Frac {\ varphi} {c}}, A_ {x}, A_ {y },A_{z}\right)\,,}$

jest czteropotencjałem i

${\ Displaystyle x_ {\ alfa} = (ct, -x, -y, -z)}$

jest czteropozycyjna .

Główny artykuł: Kowariantne sformułowanie klasycznego elektromagnetyzmu

Używając potencjału 4 w mierniku Lorenza, alternatywne sformułowanie wyraźnie kowariantne można znaleźć w pojedynczym równaniu (uogólnienie równania na podstawie Bernharda Riemanna autorstwa Arnolda Sommerfelda , znane jako równanie Riemanna-Sommerfelda lub forma kowariantna równania Maxwella):

Równania Maxwella (kowariantne sformułowanie cechowania Lorenza )

${\ Displaystyle \ Pudełko A ^ {\ mu} = \ mu _ {0} J ^ {\ mu}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ Box}$ jest operatorem d'Alemberta lub cztero-Laplace'a.

Zobacz też

• Opisy matematyczne pola elektromagnetycznego
• Relatywistyczny elektromagnetyzm