Problem z ruchomym magnesem i przewodnikiem

Przewodnik poruszający się w polu magnetycznym.

Problem poruszającego się magnesu i przewodnika to słynny eksperyment myślowy , pochodzący z XIX wieku, dotyczący skrzyżowania klasycznego elektromagnetyzmu i szczególnej teorii względności . W nim prąd w przewodniku poruszającym się ze stałą prędkością v względem magnesu jest obliczany w układzie odniesienia magnesu i układzie odniesienia przewodnika. Obserwowalna wielkość w eksperymencie, prąd, jest taka sama w obu przypadkach, zgodnie z podstawą zasada względności , która mówi: „Obserwowalny jest tylko ruch względny ; nie ma absolutnego wzorca spoczynku”. Jednak zgodnie z równaniami Maxwella na ładunki w przewodniku oddziałuje siła magnetyczna w ramie magnesu i siła elektryczna w ramie przewodnika. Wydaje się, że to samo zjawisko ma dwa różne opisy w zależności od układu odniesienia obserwatora.

Ten problem, wraz z eksperymentem Fizeau , aberracją światła , a bardziej pośrednio negatywnymi testami dryfu eteru, takimi jak eksperyment Michelsona-Morleya , stworzył podstawę rozwoju teorii względności Einsteina.

Wstęp

Einsteina z 1905 roku, który wprowadził świat w teorię względności, rozpoczyna się opisem problemu magnes-przewodnik. [1]

Wiadomo, że elektrodynamika Maxwella – jak zwykle rozumiana jest obecnie – zastosowana do poruszających się ciał prowadzi do asymetrii, które nie wydają się być właściwe tym zjawiskom. Weźmy na przykład odwrotne działanie elektrodynamiczne magnesu i przewodnika. Obserwowalne zjawisko zależy tutaj tylko od względnego ruchu przewodnika i magnesu, podczas gdy zwyczajowy pogląd wyraźnie rozróżnia dwa przypadki, w których albo jedno, albo drugie z tych ciał jest w ruchu. Jeżeli bowiem magnes jest w ruchu, a przewodnik w spoczynku, to w sąsiedztwie magnesu powstaje pole elektryczne o określonej energii, wytwarzające prąd w miejscach, w których znajdują się części przewodnika. Ale jeśli magnes jest nieruchomy, a przewodnik w ruchu, w pobliżu magnesu nie powstaje żadne pole elektryczne. W przewodniku znajdujemy jednak siłę elektromotoryczną, która sama w sobie nie ma odpowiedniej energii, ale która powoduje – przy założeniu równości ruchu względnego w obu omawianych przypadkach – prądy elektryczne o tej samej drodze i natężeniu, co prądy wytwarzane przez siły elektryczne w pierwszym przypadku.

— A. Einstein, O elektrodynamice poruszających się ciał (1905)

Nadrzędnym wymogiem dotyczącym opisów w różnych ramach jest ich spójność . Problemem jest spójność , ponieważ mechanika newtonowska przewiduje jedno przekształcenie ( tzw . niezmienniczości Lorentza ). Obserwacje aberracji światła, zakończone w Eksperyment Michelsona-Morleya potwierdził ważność niezmienniczości Lorentza, a rozwój szczególnej teorii względności rozwiązał wynikający z tego spór z mechaniką Newtona. Szczególna teoria względności zrewidowała transformację sił w ruchomych układach odniesienia, aby była zgodna z niezmienniczością Lorentza. Szczegóły tych przekształceń omówiono poniżej.

Oprócz spójności dobrze byłoby skonsolidować opisy, aby wyglądały na niezależne od ramek. Wskazówką do opisu niezależnego od ram jest obserwacja, że ​​pola magnetyczne w jednym układzie odniesienia stają się polami elektrycznymi w innym układzie. Podobnie solenoidalna część pól elektrycznych (część, która nie pochodzi od ładunków elektrycznych) staje się polem magnetycznym w innym układzie: to znaczy solenoidalne pola elektryczne i pola magnetyczne są aspektami tej samej rzeczy. Oznacza to, że paradoks różnych opisów może być tylko semantyczny . Opis wykorzystujący potencjały skalarne i wektorowe φ i A zamiast B i E pozwala uniknąć pułapki semantycznej. Lorentz-niezmiennik czterowektor A ^α = (φ / c , A ) zastępuje E i B i zapewnia opis niezależny od ramki (choć mniej trzewny niż opis E - B ). Alternatywnym ujednoliceniem opisów jest myślenie o bycie fizycznym jako o tensorze pola elektromagnetycznego , jak opisano później. Ten tensor zawiera zarówno E , jak i B pól jako składowych i ma taką samą postać we wszystkich układach odniesienia.

Tło

Pola elektromagnetyczne nie są bezpośrednio obserwowalne. Istnienie klasycznych pól elektromagnetycznych można wywnioskować z ruchu naładowanych cząstek, których trajektorie są obserwowalne. Pola elektromagnetyczne wyjaśniają obserwowane ruchy klasycznych cząstek naładowanych.

Silnym wymaganiem w fizyce jest to, aby wszyscy obserwatorzy ruchu cząstki zgadzali się co do trajektorii cząstki. Na przykład, jeśli jeden obserwator zauważy, że cząstka zderza się ze środkiem tarczy, wszyscy obserwatorzy muszą dojść do tego samego wniosku. Wymóg ten nakłada ograniczenia na naturę pól elektromagnetycznych i na ich transformację z jednego układu odniesienia do drugiego. Nakłada również ograniczenia na sposób, w jaki pola wpływają na przyspieszenie, a tym samym na trajektorie naładowanych cząstek.

Być może najprostszym przykładem, do którego odniósł się Einstein w swoim artykule z 1905 roku wprowadzającym szczególną teorię względności , jest problem przewodnika poruszającego się w polu magnesu. W ramie magnesu przewodnik doświadcza magnetycznej . W ramie przewodnika poruszającego się względem magnesu na przewodnik działa siła wywołana elektrycznym . Pole magnetyczne w ramie magnesu i pole elektryczne w ramie przewodnika muszą generować spójne wyniki w przewodniku. W czasach Einsteina w 1905 r. równania pola reprezentowane były przez równania Maxwella były odpowiednio spójne. Jednak prawo ruchu Newtona musiało zostać zmodyfikowane, aby zapewnić spójne trajektorie cząstek.

Transformacja pól przy założeniu transformacji Galileusza

Zakładając, że rama magnesu i rama przewodnika są powiązane transformacją Galileusza , łatwo jest obliczyć pola i siły w obu ramkach. To pokaże, że indukowany prąd jest rzeczywiście taki sam w obu klatkach. Jako produkt uboczny ten argument również ogólny wzór na pola elektryczne i magnetyczne w jednej klatce w kategoriach pól w innej klatce.

W rzeczywistości ramy nie są powiązane transformacją Galileusza, ale transformacją Lorentza . Niemniej jednak będzie to transformacja Galileusza z bardzo dobrym przybliżeniem , przy prędkościach znacznie mniejszych od prędkości światła.

Ilości niezagruntowane odpowiadają ramie spoczynkowej magnesu, podczas gdy ilości zagruntowane odpowiadają ramie spoczynkowej przewodnika. Niech v będzie prędkością przewodnika widzianą z ramy magnesu.

Ramka magnetyczna

W pozostałej części magnesu pole magnetyczne jest pewnym stałym polem B ( r ), określonym przez strukturę i kształt magnesu. Pole elektryczne jest zerowe.

Ogólnie rzecz biorąc, siła wywierana na cząstkę ładunku q w przewodniku przez pole elektryczne i pole magnetyczne wyraża się wzorem (jednostki SI):

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ razy \ mathbf {B}),}$

gdzie jest ładunkiem cząstki, $jest$ prędkością cząstki , F $.$ siłą Lorentza Tutaj jednak pole elektryczne wynosi zero, więc siła działająca na cząstkę jest taka sama

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = q \ mathbf {v} \ razy \ mathbf {B}.}$

Rama przewodnika

W ramce przewodnika występuje zmienne w czasie pole magnetyczne B' związane z polem magnetycznym B w ramie magnesu zgodnie z:

${\ Displaystyle \ mathbf {B} '(\ mathbf {r '}, t') = \ mathbf {B} (\ mathbf {r_ {t' }} )}$ gdzie ${\ Displaystyle \ mathbf {r_ {t'}} = \ mathbf {r '} + \ mathbf {v} t'}$

W tym układzie występuje pole elektryczne, którego zakrzywienie określa równanie Maxwella-Faradaya :

${\ Displaystyle \ mathbf {\ nabla \ razy E} '= - {\ Frac {\ częściowe \ mathbf {B} '} {\ częściowe t'}}.}$

W cudowny sposób skutkuje to:

${\ Displaystyle \ mathbf {E} '= \ mathbf {v} \ razy \ mathbf {B}.}$

Wyjaśnienie tego równania dla mi ${\ Displaystyle \ mathbf {E} '$ .

$porusza$ przez pole B z gradientem z ze stałą ${\ Displaystyle v_ {z} = \ częściowe z / \ częściowe t}$ wynika, że ​​w ramie przewodnika ${\ Displaystyle \ częściowe B'_ {z} / \ częściowe t = v_ {z} \ częściowe B_ { z}/\częściowe z=-(\nabla \times \mathbf {E'} )_{z}=\częściowe E'_{x}/\częściowe y-\częściowe E'_{y}/\częściowe x }$ . Można zauważyć, że to równanie jest zgodne z ${\ Displaystyle \ mathbf {E'} = \ mathbf {v} \ razy \ mathbf {B} = v_ {z} B_ {x} {\ kapelusz {y} } -v_ {z} B_ {y} {\ kapelusz {x}}}$ , określając ${\ Displaystyle \ częściowe E'_ {x} / \ częściowe y}$ i ${\ Displaystyle \ częściowe E_ {y} '/ \ częściowe x}$$cdot \ mathbf {B} =\częściowe B_{x}/\częściowe x+\częściowe B_{y}/\częściowe y+\częściowe B_{z}/\częściowe z=0}$ ∂ . Nawet w granicach nieskończenie małych gradientów ${\ Displaystyle \ częściowe B_ {z}/\ częściowe z}$ te relacje zachodzą, a zatem równanie siły Lorentza jest również ważne, jeśli pole magnetyczne w ramie przewodnika nie zmienia się w czasie. Przy prędkościach relatywistycznych potrzebny jest współczynnik korygujący, patrz poniżej oraz Klasyczny elektromagnetyzm i szczególna teoria względności oraz transformacja Lorentza .

Ładunek q w przewodniku będzie spoczywał w ramce przewodnika. Dlatego człon siły magnetycznej siły Lorentza nie ma wpływu, a siła działająca na ładunek jest określona wzorem

${\ Displaystyle \ mathbf {F} '= q \ mathbf {E} '= q \ mathbf {v} \ razy \ mathbf {B}.}$

Pokazuje to, że siła jest taka sama w obu klatkach (jak można by się spodziewać), a zatem wszelkie obserwowalne konsekwencje tej siły, takie jak indukowany prąd, również byłyby takie same w obu klatkach. Dzieje się tak pomimo faktu, że siła jest postrzegana jako siła elektryczna w ramie przewodnika, ale siła magnetyczna w ramie magnesu.

Wzór na transformację Galileusza dla ciał

Podobny argument można wysunąć, jeśli rama magnesu zawiera również pola elektryczne. ( Równanie Ampere'a-Maxwella również wchodzi w grę, wyjaśniając, w jaki sposób w ramie przewodnika to ruchome pole elektryczne przyczyni się do pola magnetycznego).

${\ Displaystyle \ mathbf {E} '= \ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ razy \ mathbf {B}}$

${ \ Displaystyle \ mathbf {B} '= \ mathbf {B} - {\ Frac {1} {c ^ {2}}} \ mathbf {v} \ razy \ mathbf {E}}$

gdzie c jest prędkością światła w wolnej przestrzeni .

Podłączając te reguły transformacji do pełnych równań Maxwella , można zobaczyć, że jeśli równania Maxwella są prawdziwe w jednym układzie, to są prawie prawdziwe w drugim, ale zawierają niepoprawne wyrazy pro przez transformację Lorentza , a równania transformacji pola również należy zmienić, zgodnie z poniższymi wyrażeniami.

Transformacja pól przewidziana równaniami Maxwella

Zobacz też: Klasyczny elektromagnetyzm i szczególna teoria względności

W układzie poruszającym się z prędkością v , pole E w układzie poruszającym się, gdy nie ma pola E w nieruchomym układzie magnetycznym, równania Maxwella przekształcają się jako:

${\ Displaystyle \ mathbf {E} '= \ gamma \ mathbf {v} \ razy \ mathbf {B}}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ gamma = {\ Frac {1} {\ sqrt {1- {(v / c)} ^ {2}}}}}$

nazywa się współczynnikiem Lorentza , a c jest prędkością światła w wolnej przestrzeni . Wynik ten jest konsekwencją wymogu, aby obserwatorzy we wszystkich układach inercjalnych doszli do tej samej postaci dla równań Maxwella. W szczególności wszyscy obserwatorzy muszą widzieć tę samą prędkość światła c . Wymóg ten prowadzi do transformacji Lorentza dla przestrzeni i czasu. Zakładając transformację Lorentza, niezmienność równań Maxwella prowadzi następnie do powyższej transformacji pól dla tego przykładu.

W związku z tym siła działająca na ładunek wynosi

${\ Displaystyle \ mathbf {F} '= q \ mathbf {E} '= q \ gamma \ mathbf {v} \ razy \ mathbf {B}.}$

Wyrażenie to różni się od wyrażenia uzyskanego z nierelatywistycznego prawa ruchu Newtona o współczynnik ${\ displaystyle \ gamma}$ . Szczególna teoria względności modyfikuje przestrzeń i czas w taki sposób, że siły i pola zmieniają się konsekwentnie.

Modyfikacja dynamiki dla zgodności z równaniami Maxwella

Rysunek 1: Pręt przewodzący widziany z dwóch ram inercyjnych; w jednym układzie pręt porusza się z prędkością v ; w uzbrojonej ramie słupek jest nieruchomy, ponieważ uzbrojona ramka porusza się z tą samą prędkością co słupek. Pole B zmienia się wraz z położeniem w kierunku x

Siła Lorentza ma taką samą postać w obu układach, choć różnią się pola, a mianowicie:

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = q \ lewo [\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ razy \ mathbf {B} \ prawej].}$

Zobacz rysunek 1. Aby uprościć, niech pole magnetyczne jest skierowane w kierunku z i zmienia się wraz z położeniem x oraz niech przewodnik przemieszcza się w dodatnim kierunku x z prędkością v . W rezultacie w ramie magnesu, w której porusza się przewodnik, siła Lorentza skierowana jest w ujemnym y , prostopadle zarówno do prędkości, jak i pola B. Siła działająca na ładunek, tutaj spowodowana tylko przez pole B , wynosi

${\ Displaystyle F_ {y} = -qvB,}$

podczas gdy w ramce przewodnika, w którym porusza się magnes, siła jest również w ujemnym kierunku y , a teraz jest spowodowana tylko polem E o wartości:

${\ Displaystyle {F_ {y}} '= qE' = -q \ gamma vB.}$

Te dwie siły różnią się współczynnikiem Lorentza γ. Tej różnicy oczekuje się jednak w teorii relatywistycznej ze względu na zmianę czasoprzestrzeni między klatkami, co omówiono poniżej.

Teoria względności przyjmuje transformację czasoprzestrzeni Lorentza sugerowaną przez niezmienniczość równań Maxwella i narzuca ją również dynamice (rewizja praw ruchu Newtona ). W tym przykładzie transformacja Lorentza dotyczy x (ruch względny dwóch klatek odbywa się wzdłuż kierunku x ). Relacje łączące czas i przestrzeń to ( liczby pierwsze oznaczają poruszającą się ramę przewodnika):

${\ Displaystyle x '= \ gamma \ lewo (x-vt \ prawo), \ quad x = \ gamma \ lewo ( x'+vt'\right),}$

${\ Displaystyle t '= \ gamma \ lewo (t - {\ Frac {vx} {c ^ {2}}} \ prawej), \ quad t = \ gamma \ lewo (t' + {\ frac {vx'} {c^{2}}}\prawo).}$

Przekształcenia te prowadzą do zmiany składowej y siły :

${\ Displaystyle {F_ {y}} '= \ gamma F_ {y}.}$

Oznacza to, że w niezmienniczości Lorentza siła nie jest taka sama we wszystkich układach odniesienia, w przeciwieństwie do niezmienniczości Galileusza. Ale z wcześniejszej analizy opartej na prawie siły Lorentza:

${\ Displaystyle \ gamma F_ {y} = - q \ gamma vB, \ quad {F_ {y}} '= - q \ gamma vB,}$

co zgadza się całkowicie. Zatem siła działająca na ładunek nie jest taka sama w obu układach, ale zgodnie z teorią względności zmienia się zgodnie z oczekiwaniami.

Zobacz też

• Dokumenty Annus Mirabilis
• Lagrange'a Darwina
• Prąd wirowy
• Silnik elektryczny
• Eksperymenty myślowe Einsteina
• Prawo Faradaya
• Paradoks Faradaya
• Niezmienność Galileusza
• Rama inercyjna
• Prawo Lenza
• Transformacja Lorentza
• Zasada względności
• Szczególna teoria względności

Dalsza lektura

•   Einstein, A. (1916). Teoria względności: teoria szczególna i ogólna . Nowy Jork: Korona. ISBN 0-517-02961-8 .
•   Feynman, Richard P .; Leighton, Robert B .; Piaski, Mateusz (2006). Wykłady Feynmana z fizyki . Tom. 2. s. 13–6 Rozdział 13. ISBN 0-8053-9045-6 . (Teoria względności pól magnetycznych i elektrycznych)

•   Misner, Karol; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald (1973). Grawitacja . San Francisco: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0 .
•   Landau, LD i Lifshitz, EM (1975). Klasyczna teoria pól (czwarta poprawiona edycja angielska). Oksford: Pergamon. ISBN 0-08-018176-7 .
•   Jackson, John D. (1998). Elektrodynamika klasyczna (wyd. 3) . Wiley'a. ISBN 0-471-30932-X .
•    C Møller (1976). Teoria względności (wyd. Drugie). Oxford UK: Oxford University Press. ISBN 0-19-560539-X . OCLC 220221617 .

Linki zewnętrzne

• Magnesy i przewodniki w szczególnej teorii względności