Mechanika analityczna

W fizyce teoretycznej i fizyce matematycznej mechanika analityczna lub mechanika teoretyczna to zbiór ściśle powiązanych alternatywnych sformułowań mechaniki klasycznej . Został opracowany przez wielu naukowców i matematyków w XVIII wieku i później, po mechanice Newtona . Ponieważ mechanika Newtona uwzględnia wektorowe wielkości ruchu, w szczególności przyspieszenia , pędy , siły składników układu, alternatywną nazwą mechaniki rządzącej się prawami Newtona i prawami Eulera jest mechanika wektorowa .

Z kolei mechanika analityczna wykorzystuje skalarne właściwości ruchu reprezentujące układ jako całość - zwykle jego całkowitą energię kinetyczną i energię potencjalną - a nie siły wektorowe poszczególnych cząstek Newtona. Skalar jest wielkością, podczas gdy wektor jest reprezentowany przez ilość i kierunek. Równania ruchu wyprowadzane są z wielkości skalarnej na podstawie pewnej podstawowej zasady dotyczącej zmienności skalarnej .

Mechanika analityczna wykorzystuje ograniczenia systemu do rozwiązywania problemów. Więzy ograniczają liczbę stopni swobody, jakie może mieć system, i można ich użyć do zmniejszenia liczby współrzędnych potrzebnych do rozwiązania ruchu. Formalizm dobrze nadaje się do arbitralnych wyborów współrzędnych, znanych w kontekście jako współrzędne uogólnione . Energie kinetyczne i potencjalne układu są wyrażane za pomocą tych uogólnionych współrzędnych lub pędów, a równania ruchu można łatwo ustawić, w ten sposób mechanika analityczna pozwala na rozwiązanie wielu problemów mechanicznych z większą wydajnością niż metody w pełni wektorowe. Nie zawsze działa dla sił niezachowawczych lub sił rozpraszających, takich jak tarcie , w takim przypadku można powrócić do mechaniki Newtona.

Dwie dominujące gałęzie mechaniki analitycznej to mechanika Lagrange'a (wykorzystująca uogólnione współrzędne i odpowiadające im uogólnione prędkości w przestrzeni konfiguracyjnej ) oraz mechanika hamiltonowska (wykorzystująca współrzędne i odpowiadające im pędy w przestrzeni fazowej ). Oba sformułowania są równoważne przez transformację Legendre'a na uogólnionych współrzędnych, prędkościach i pędach, dlatego oba zawierają te same informacje do opisu dynamiki układu. Istnieją inne sformułowania, takie jak teoria Hamiltona-Jacobiego , mechanika Routha i równanie ruchu Appella . Wszystkie równania ruchu cząstek i pól, w dowolnym formalizmie, można wyprowadzić z powszechnie stosowanego wyniku zwanego zasadą najmniejszego działania . Jednym z wyników jest twierdzenie Noether , stwierdzenie, które łączy prawa zachowania z powiązanymi z nimi symetriami .

Mechanika analityczna nie wprowadza nowej fizyki i nie jest bardziej ogólna niż mechanika Newtona. Jest to raczej zbiór równoważnych formalizmów, które mają szerokie zastosowanie. W rzeczywistości te same zasady i formalizmy można zastosować w mechanice relatywistycznej i ogólnej teorii względności , a z pewnymi modyfikacjami w mechanice kwantowej i kwantowej teorii pola .

Mechanika analityczna jest szeroko stosowana, od fizyki podstawowej po matematykę stosowaną , w szczególności teorię chaosu .

Metody mechaniki analitycznej mają zastosowanie do dyskretnych cząstek, z których każda ma skończoną liczbę stopni swobody. Można je modyfikować, aby opisywać ciągłe pola lub płyny, które mają nieskończone stopnie swobody. Definicje i równania mają ścisłą analogię z definicjami mechaniki.

Motywacja dla mechaniki analitycznej

Celem teorii mechaniki jest rozwiązywanie problemów mechanicznych, takich jak pojawiające się w fizyce i inżynierii. Rozpoczynając od układu fizycznego — takiego jak mechanizm lub układ gwiezdny — model matematyczny w postaci równania różniczkowego. Model można rozwiązać numerycznie lub analitycznie, aby określić ruch układu.

Wektorowe podejście Newtona do mechaniki opisuje ruch za pomocą wielkości wektorowych , takich jak siła , prędkość , przyspieszenie . Wielkości te charakteryzują ruch ciała wyidealizowanego jako „punkt masy” lub „ cząstka ” rozumiana jako pojedynczy punkt, do którego przyczepiona jest masa. Metoda Newtona została z powodzeniem zastosowana do szerokiego zakresu problemów fizycznych, w tym ruchu cząstki w polu grawitacyjnym Ziemi i ruchu planet wokół Słońca. W tym podejściu prawa Newtona opisują ruch równaniem różniczkowym, a następnie problem sprowadza się do rozwiązania tego równania.

Jednak gdy system mechaniczny zawiera wiele cząstek (takich jak złożony mechanizm lub płyn ), podejście Newtona jest trudne do zastosowania. Możliwe jest zastosowanie podejścia newtonowskiego, przy zachowaniu odpowiednich środków ostrożności, a mianowicie odizolowaniu każdej pojedynczej cząstki od pozostałych i określeniu wszystkich działających na nią sił. Taka analiza jest kłopotliwa nawet w stosunkowo prostych systemach. Newton sądził, że jego trzecie prawo „działanie równa się reakcji” rozwiąże wszystkie komplikacje. To jest fałszywe nawet dla tak prostego układu jak obroty ciała stałego . W bardziej skomplikowanych systemach podejście wektorowe nie daje odpowiedniego opisu.

Podejście analityczne upraszcza problemy, traktując układy mechaniczne jako zespoły cząstek, które oddziałują ze sobą, zamiast traktować każdą cząstkę jako wyizolowaną jednostkę. W podejściu wektorowym siły muszą być wyznaczane indywidualnie dla każdej cząstki, podczas gdy w podejściu analitycznym wystarczy znać jedną funkcję, która zawiera implicite wszystkie siły działające na układ iw układzie. Takie uproszczenie jest często dokonywane przy użyciu pewnych warunków kinematycznych, które są określone a priori . Jednak analiza analityczna nie wymaga znajomości tych sił i przyjmuje te warunki kinematyczne jako oczywiste.

Jednak wyprowadzenie równań ruchu skomplikowanego układu mechanicznego wymaga ujednoliconej podstawy, z której wynikają. Zapewniają to różne zasady wariacyjne : za każdym zestawem równań kryje się zasada, która wyraża znaczenie całego zestawu. Biorąc pod uwagę podstawową i uniwersalną wielkość zwaną działaniem , zasada, że ​​działanie to jest stacjonarne przy niewielkich zmianach jakiejś innej wielkości mechanicznej, generuje wymagany zestaw równań różniczkowych. Sformułowanie zasady nie wymaga żadnego specjalnego układu współrzędnych , a wszystkie wyniki są wyrażone we współrzędnych uogólnionych . Oznacza to, że analityczne równania ruchu nie zmieniają się po przekształceniu współrzędnych , co jest właściwością niezmienniczości , której brakuje w wektorowych równaniach ruchu.

Nie jest do końca jasne, co należy rozumieć przez „rozwiązywanie” zestawu równań różniczkowych. Problem uważa się za rozwiązany, gdy współrzędne cząstek w czasie t są wyrażone jako proste funkcje t i parametrów określających początkowe położenia i prędkości. Jednak „prosta funkcja” nie jest dobrze zdefiniowanym pojęciem: obecnie funkcja f ( t ) nie jest traktowana jako formalne wyrażenie w t ( funkcja elementarna ), jak w czasach Newtona, ale najbardziej ogólnie jako wielkość określona przez t , i nie jest możliwe wyznaczenie ostrej granicy między funkcjami „prostymi” i „nieprostymi”. Jeśli mówimy tylko o „funkcjach”, to każdy problem mechaniczny jest rozwiązywany, gdy tylko zostanie dobrze sformułowany w równaniach różniczkowych, ponieważ przy danych warunkach początkowych i t określa się współrzędne w t . Jest to fakt, zwłaszcza obecnie, w przypadku nowoczesnych metod modelowania komputerowego , które zapewniają arytmetyczne rozwiązania problemów mechanicznych z dowolnym stopniem dokładności, przy czym równania różniczkowe są zastępowane równaniami różnicowymi .

Mimo to, choć brakuje precyzyjnych definicji, oczywiste jest, że problem dwóch ciał ma proste rozwiązanie, podczas gdy problem trzech ciał nie. Problem dwóch ciał jest rozwiązywany za pomocą wzorów obejmujących parametry; ich wartości można zmienić, aby zbadać klasę wszystkich rozwiązań, czyli matematyczną strukturę problemu. Co więcej, można sporządzić dokładny mentalny lub rysunkowy obraz ruchu dwóch ciał, który może być tak realny i dokładny, jak rzeczywiste ciała poruszające się i oddziałujące na siebie. W problemie trzech ciał parametrom można również przypisać określone wartości; jednak rozwiązanie przy tych przypisanych wartościach lub zbiór takich rozwiązań nie ujawnia matematycznej struktury problemu. Podobnie jak w wielu innych problemach, strukturę matematyczną można wyjaśnić jedynie poprzez zbadanie samych równań różniczkowych.

Mechanika analityczna ma na celu jeszcze więcej: nie zrozumienie matematycznej struktury pojedynczego problemu mechanicznego, ale klasy problemów tak szerokiej, że obejmuje ona większość mechaniki. Koncentruje się na układach, do których mają zastosowanie równania ruchu Lagrange'a lub Hamiltona i które obejmują bardzo szeroki zakres problemów.

Rozwój mechaniki analitycznej ma dwa cele: (i) zwiększenie zakresu rozwiązywanych problemów poprzez opracowanie standardowych technik o szerokim zakresie stosowalności oraz (ii) zrozumienie matematycznej struktury mechaniki. Jednak na dłuższą metę (ii) może pomóc (i) bardziej niż koncentracja na konkretnych problemach, dla których metody zostały już opracowane.

Ruch wewnętrzny

Uogólnione współrzędne i ograniczenia

W mechanice Newtona zwykle używa się wszystkich trzech współrzędnych kartezjańskich lub innego układu współrzędnych 3D, aby odnieść się do położenia ciała podczas jego ruchu. Jednak w systemach fizycznych pewna struktura lub inny system zwykle ogranicza ruch ciała w określonych kierunkach i ścieżkach. Tak więc pełny zestaw współrzędnych kartezjańskich jest często niepotrzebny, ponieważ ograniczenia określają zmieniające się relacje między współrzędnymi, które to relacje można modelować za pomocą równań odpowiadających ograniczeniom. W formalizmach Lagrange'a i Hamiltona ograniczenia są włączone do geometrii ruchu, redukując liczbę współrzędnych do minimum potrzebnego do modelowania ruchu. Są one znane jako współrzędne uogólnione , oznaczane jako q _i ( i = 1, 2, 3...).

Różnica między współrzędnymi krzywoliniowymi i uogólnionymi

Uogólnione współrzędne obejmują ograniczenia w systemie. Dla każdego stopnia swobody istnieje jedna uogólniona współrzędna q _i (oznaczona dla wygody indeksem i = 1, 2... N ), czyli każdy sposób, w jaki układ może zmienić swoją konfigurację ; jako długości krzywoliniowe lub kąty obrotu. Współrzędne uogólnione to nie to samo, co współrzędne krzywoliniowe. Liczba krzywoliniowych jest równa wymiarowi danej przestrzeni pozycyjnej (zwykle 3 dla przestrzeni 3d), podczas gdy liczba współrzędnych uogólnionych niekoniecznie jest równa temu wymiarowi; ograniczenia mogą zmniejszyć liczbę stopni swobody (stąd liczba uogólnionych współrzędnych wymaganych do zdefiniowania konfiguracji systemu), zgodnie z ogólną zasadą:

[ wymiar przestrzeni pozycyjnej (zwykle 3)] × [liczba składników układu („cząstek”)] − (liczba ograniczeń )

= (liczba stopni swobody ) = (liczba współrzędnych uogólnionych )

W przypadku układu o N stopniach swobody uogólnione współrzędne można zebrać w N - krotkę :

$${\ Displaystyle \ mathbf {q} = (q_ {1}, q_ {2}, \ kropki, q_ {N})}$$

a pochodna po czasie (tutaj oznaczona przez kropkę) tej krotki daje uogólnione prędkości :

$${\ Displaystyle {\ Frac {d \ mathbf {q}} {dt}} = \ lewo ({\ Frac {dq_ {1}}} {dt}}, {\ Frac {dq_ {2}} {dt}}, \dots ,{\frac {dq_{N}}{dt}}\right)\equiv \mathbf {\dot {q}} =({\dot {q}}_{1},{\dot {q} }_{2},\kropki ,{\kropka {q}}_{N}).}$$

Zasada D'Alemberta

Fundamentem, na którym zbudowany jest przedmiot, jest zasada D'Alemberta .

Zasada ta stwierdza, że ​​​​nieskończenie mała praca wirtualna wykonana przez siłę na odwracalnych przemieszczeniach wynosi zero, co jest pracą wykonaną przez siłę zgodną z idealnymi ograniczeniami układu. Pomysł ograniczenia jest przydatny - ponieważ ogranicza to, co system może zrobić, i może zapewnić kroki do rozwiązania ruchu systemu. Równanie zasady D'Alemberta to:

$${\ Displaystyle \ delta W = {\ boldsymbol {\ mathcal {Q}}} \ cdot \ delta \ mathbf {q} = 0 \,,}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ mathcal {Q}}} = ({\ mathcal {Q}} _ {1}, {\ mathcal {Q}} _ {2},\kropki ,{\mathcal {Q}}_{N})}$$

to siły uogólnione (skrypt Q zamiast zwykłego Q jest tutaj używany, aby zapobiec konfliktowi z transformacjami kanonicznymi poniżej), a q to współrzędne uogólnione. Prowadzi to do uogólnionej postaci praw Newtona w języku mechaniki analitycznej:

$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ mathcal {Q}}} = {\ Frac {d} {dt}} \ lewo ({\ Frac { \partial T}{\partial \mathbf {\dot {q}}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial \mathbf {q}}}\,,}$$

gdzie T jest całkowitą energią kinetyczną układu i zapisem

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe}} {\ częściowe \ mathbf {q}}} = \ lewo ({\ Frac { \partial }{\częściowe q_{1}}},{\frac {\częściowe }{\częściowe q_{2}}},\kropki ,{\frac {\częściowe }{\częściowe q_{N}}}\ Prawidłowy)}$$

jest użytecznym skrótem (patrz rachunek macierzowy dla tego zapisu).

Więzy holonomiczne

Jeśli krzywoliniowy układ współrzędnych jest określony przez standardowy wektor położenia r i jeśli wektor położenia można zapisać za pomocą uogólnionych współrzędnych q i czasu t w postaci:

$${\ Displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} (\ mathbf {q} (t), t)}$$

i ta relacja zachodzi dla wszystkich czasów t , wtedy q nazywane są ograniczeniami holonomicznymi . Wektor r jest jawnie zależny od t w przypadkach, gdy ograniczenia zmieniają się w czasie, a nie tylko z powodu q ( t ) . W sytuacjach niezależnych od czasu ograniczenia są również nazywane skleronomicznymi , w przypadkach zależnych od czasu nazywane są reonomicznymi .

Mechanika Lagrange'a

Lagrange'a i Eulera-Lagrange'a

Wprowadzenie uogólnionych współrzędnych i podstawowej funkcji Lagrange'a:

${\ Displaystyle L (\ mathbf {q} \ mathbf {\ kropka {q}}, t)=T(\mathbf {q},\mathbf {\kropka {q}},t)-V(\mathbf {q},\mathbf {\kropka {q}},t)}$

gdzie T to całkowita energia kinetyczna , a V to całkowita energia potencjalna całego układu, to albo korzystając z rachunku wariacyjnego , albo stosując powyższy wzór - doprowadzić do równań Eulera-Lagrange'a ;

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ lewo ({\ Frac {\ częściowe L} {\ częściowe \ mathbf {\ kropka {q }} }}\right)={\frac {\częściowe L}{\częściowe \mathbf {q}}}\,,}$

które są zbiorem N równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rzędu , po jednym dla każdego q _i ( t ).

To sformułowanie identyfikuje rzeczywistą ścieżkę, po której następuje ruch, jako wybór ścieżki, po której całka po czasie energii kinetycznej jest najmniejsza, przy założeniu, że całkowita energia ma być stała i nie narzucając żadnych warunków na czas przejścia.

Przestrzeń konfiguracyjna

Sformułowanie Lagrange'a wykorzystuje przestrzeń konfiguracyjną systemu, zbiór wszystkich możliwych uogólnionych współrzędnych:

${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} = \ {\ mathbf {q} \ in \ mathbb {R} ^ {N} \} \,,}$

gdzie $-wymiarową$ przestrzenią rzeczywistą (patrz także notacja konstruktora zestawów ) . Szczególne rozwiązanie równań Eulera-Lagrange'a nazywa się ścieżką lub trajektorią (konfiguracji) , tj. jednym określonym q ( t ) podlegającym wymaganym warunkom początkowym . Rozwiązania ogólne tworzą zbiór możliwych konfiguracji w funkcji czasu:

${\ Displaystyle \ {\ mathbf {q} (t) \ w \ mathbb {R} ^ {N} \ ,: \, t \ geq 0,t\in \mathbb {R} \}\subseteq {\mathcal {C}}\,,}$

Przestrzeń konfiguracyjną można zdefiniować bardziej ogólnie, a nawet głębiej, w kategoriach rozmaitości topologicznych i wiązki stycznej .

mechanika Hamiltona

Równania Hamiltona i Hamiltona

Transformacja Legendre'a Lagrange'a zastępuje uogólnione współrzędne i prędkości ( q , q̇ ) przez ( q , p ); uogólnione współrzędne i uogólniony pęd sprzężony z uogólnionymi współrzędnymi:

${\ Displaystyle \ mathbf {p } = {\ frac {\ częściowe L} {\ częściowe \ mathbf {\ kropka {q}}}} = \ lewo ({\ frac {\ częściowe L} {\ częściowe {\ kropka {q}} _ {1} }}, {\ frac {\ częściowe L} {\ częściowe {\ kropka {q}}_ {2}}}, \ cdots {\ frac {\ częściowe L} {\ częściowe {\ kropka {q}} _ { N}}}\right)=(p_{1},p_{2}\cdots p_{N})\,,}$

i wprowadza hamiltonian (pod względem uogólnionych współrzędnych i pędów):

${\ Displaystyle H (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) = \ mathbf {p} \ cdot \mathbf {\kropka {q}} -L(\mathbf {q},\mathbf {\kropka {q}},t)}$

gdzie oznacza iloczyn skalarny , co również prowadzi do równań Hamiltona : ${\ displaystyle \ cdot}$

${\ Displaystyle \ mathbf {\ kropka {p}} = - {\ Frac {\ częściowe H} {\ częściowe \ mathbf {q}}} \,,\quad \mathbf {\kropka {q}} =+{\frac {\częściowe H}{\częściowe \mathbf {p}}}\,,}$

które są teraz zbiorem 2 N równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu, po jednym dla każdego q i ₍ t ) i pi ₍ t ). Inny wynik transformacji Legendre'a dotyczy pochodnych czasowych Lagrange'a i Hamiltonianu:

${\ Displaystyle {\ Frac {dH} {dt}} = - {\ Frac {\ częściowe L} {\ częściowe t}} \,,}$

które jest często uważane za jedno z równań ruchu Hamiltona, oprócz innych. Uogólniony pęd można zapisać w kategoriach uogólnionych sił w taki sam sposób, jak drugie prawo Newtona:

${\ Displaystyle \ mathbf {\ kropka {p}} = {\ boldsymbol {\ mathcal {Q}}} \,.}$

Uogólniona przestrzeń pędu

Analogicznie do przestrzeni konfiguracyjnej, zbiór wszystkich pędów jest przestrzenią pędu (technicznie w tym kontekście; uogólniona przestrzeń pędu ):

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} = \ {\ mathbf {p} \ w \ mathbb {R} ^ {N} \} \,.}$

„Przestrzeń pędu” odnosi się również do „ k -przestrzeni”; zbiór wszystkich wektorów falowych (dany przez relacje De Broglie'a ) używany w mechanice kwantowej i teorii fal : nie jest to określane w tym kontekście.

Przestrzeń fazowa

Zbiór wszystkich pozycji i pędów tworzy przestrzeń fazową ;

${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} = {\ mathcal {C}} \ razy {\ mathcal {M}} = \ {(\ mathbf {q} ,\mathbf {p} )\w \mathbb {R} ^{2N}\}\,,}$

to znaczy iloczyn kartezjański × przestrzeni konfiguracyjnej i uogólnionej przestrzeni pędu.

Konkretne rozwiązanie równań Hamiltona nazywa się ścieżką fazową , określoną krzywą ( q ( t ), p ( t )) podlegającą wymaganym warunkom początkowym. Zbiór wszystkich ścieżek fazowych, ogólne rozwiązanie równań różniczkowych, to portret fazowy :

${\ Displaystyle \ {(\ mathbf {q} (t), \ mathbf {p} (t) )\in \mathbb {R} ^{2N}\,:\,t\geq 0,t\in \mathbb {R} \}\subseteq {\mathcal {P}}\,,}$

Nawias Poissona

Wszystkie zmienne dynamiczne można wyprowadzić z położenia q , pędu p i czasu t i zapisać jako ich funkcję: A = A ( q , p , t ). Jeśli A ( q , p , t ) i B ( q , p , t ) są dwiema zmiennymi dynamicznymi o wartościach skalarnych, nawias Poissona jest zdefiniowany przez uogólnione współrzędne i pędy:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ {A, B \} \ równoważnik \ {A, B \} _ {\ mathbf {q} \ mathbf {p}} & = {\frac {\częściowy A}{\częściowy \mathbf {q}}}\cdot {\frac {\częściowy B}{\częściowy \mathbf {p}}}-{\frac {\częściowy A}{\częściowy \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\częściowe B}{\częściowe \mathbf {q}}}\\&\equiv \sum _{k}{\frac {\częściowe A}{\częściowe q_ {k}}}{\frac {\częściowe B}{\częściowe p_{k}}}-{\frac {\częściowe A}{\częściowe p_{k}}}{\frac {\częściowe B}{\ częściowe q_{k}}}\,,\end{wyrównane}}}$

Obliczenie całkowitej pochodnej jednego z nich, powiedzmy A , i podstawienie równań Hamiltona do wyniku prowadzi do ewolucji czasu A :

${\ Displaystyle {\ Frac {dA} {dt}} = \ {A, H \} + {\ Frac {\ częściowe A} {\ częściowe t}} \,.}$

To równanie w A jest ściśle związane z równaniem ruchu w obrazie Heisenberga mechaniki kwantowej , w którym klasyczne zmienne dynamiczne stają się operatorami kwantowymi (oznaczonymi kapeluszami (^)), a nawias Poissona jest zastępowany komutatorem operatorów przez Diraca kwantyzacja kanoniczna :

${\ Displaystyle \ {A, B \} \ rightarrow {\ Frac {1} {i \ hbar}} [{\ kapelusz {A}}, {\ kapelusz {B}}] \,.}$

Własności funkcji Lagrange'a i Hamiltona

Poniżej przedstawiono nakładające się właściwości funkcji Lagrange'a i Hamiltona.

• Wszystkie indywidualne współrzędne uogólnione q _i ( t ), prędkości q̇ _i ( t ) i pędy _pi ( t ) dla każdego stopnia swobody są wzajemnie niezależne. Wyraźna zależność funkcji od czasu oznacza, że ​​funkcja faktycznie zawiera czas t jako zmienną oprócz q ( t ), p ( t ), a nie tylko jako parametr poprzez q ( t ) i p ( t ), co oznaczałoby wyraźna niezależność od czasu.
• Lagrange'a jest niezmiennikiem po dodaniu całkowitej pochodnej czasu dowolnej funkcji q' i t , to jest:
  $${\ Displaystyle L '= L + {\ Frac {d} {dt}} F (\ mathbf {q}, t) \ ,,}$$
  więc każdy Lagrange'a L i L opisz dokładnie ten sam ruch . Innymi słowy, Lagrangian systemu nie jest unikalny.
• Analogicznie, hamiltonian jest niezmienny przy dodawaniu pochodnej cząstkowej dowolnej funkcji q , p i t , czyli:
  $$\ Displaystyle K = H + {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} G (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t )\,,}$$
  ( K jest często używaną literą w tym przypadku). Ta właściwość jest używana w przekształceniach kanonicznych (patrz poniżej).
• Jeśli Lagrangian jest niezależny od pewnych uogólnionych współrzędnych, to uogólniony pęd sprzężony z tymi współrzędnymi jest stałymi ruchu , tj. są zachowane , co bezpośrednio wynika z równań Lagrange'a:
  $${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe L} {\ częściowe q_ {j}}} = 0 \, \ strzałka w prawo \ ,{\frac {dp_{j}}{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\częściowe L}{\częściowe {\kropka {q}}_{j}}}= 0}$$
  Takie współrzędne są „ cykliczne ” lub „ignorowalne”. Można wykazać, że hamiltonian jest również cykliczny w dokładnie tych samych uogólnionych współrzędnych.
• Jeśli Lagrangian jest niezależny od czasu, to Hamiltonian jest również niezależny od czasu (tj. oba są stałe w czasie).
• Jeśli energia kinetyczna jest jednorodną funkcją stopnia 2 prędkości uogólnionych, a Lagrangian jest wyraźnie niezależny od czasu, to:
  $$\ Displaystyle T ({\ lambda {\ kropka {q}} _ {i}) ^ {2}, (\ lambda {\ kropka {q}} _ {j} \ lambda {\ kropka {q} }_{k}),\mathbf {q} )=\lambda ^{2}T(({\kropka {q}}_{i})^{2},{\kropka {q}}_{j }{\dot {q}}_{k},\mathbf {q} )\,,\quad L(\mathbf {q},\mathbf {\dot {q}} )\,,}$$
  gdzie λ jest stałą, to hamiltonian będzie całkowitą energią zachowaną , równą całkowitej energii kinetycznej i potencjalnej układu:
  $${\ Displaystyle H = T + V = E \,.}$$
  To jest podstawa równania Schrödingera , wstawienie operatorów kwantowych daje to bezpośrednio.

Zasada najmniejszego działania

Gdy system ewoluuje, q śledzi ścieżkę w przestrzeni konfiguracyjnej (pokazano tylko niektóre). Ścieżka przebyta przez układ (kolor czerwony) ma działanie stacjonarne (δ S = 0) przy niewielkich zmianach konfiguracji układu (δ q ).

Akcja to kolejna wielkość w mechanice analitycznej zdefiniowana jako funkcjonał Lagrange'a:

${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ kropka {q}}, t) dt \, .}$

Ogólnym sposobem znajdowania równań ruchu na podstawie działania jest zasada najmniejszego działania :

${\ Displaystyle \ delta {\ mathcal {S}} = \ delta \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ { 2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\kropka {q}} ,t)dt=0\,,}$

gdzie odjazd t ₁ i przylot t ₂ są ustalone. Termin „ścieżka” lub „trajektoria” odnosi się do systemu w czasie jako ścieżki w przestrzeni konfiguracyjnej , innymi słowy q ( t $}}$ śledząc ścieżkę w do {\ displaystyle {\ mathcal { $} \ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$ . Ścieżka, dla której jest najmniej działań, jest ścieżką, którą podąża system.

Z tej zasady można wyprowadzić wszystkie równania ruchu w mechanice klasycznej. Podejście to można rozszerzyć na pola, a nie na układ cząstek (patrz poniżej) i leży u podstaw formułowania całki po ścieżce mechaniki kwantowej i jest używane do obliczania ruchu geodezyjnego w ogólnej teorii względności .

Mechanika Hamiltona-Jacobiego

Transformacje kanoniczne

Niezmienniczość hamiltonianu (po dodaniu pochodnej cząstkowej po czasie dowolnej funkcji p , q i t ) pozwala na przekształcenie hamiltonianu w jednym zestawie współrzędnych q i pędu p w nowy zbiór Q = Q ( q , p , t ) i P = P ( q , p , t ), na cztery możliwe sposoby:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i K (\ mathbf {Q}, \ mathbf {P}, t) = H (\ mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\częściowo }{\częściowo t}}G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)\\&K(\ mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\częściowo }{\częściowo t}}G_{2}(\ mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)\\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{ \frac {\częściowy }{\częściowy t}}G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)\\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)= H(\mathbf {q},\mathbf {p},t)+{\frac {\częściowo }{\częściowo t}}G_{4}(\mathbf {p},\mathbf {P},t)\ \\end{wyrównane}}}$

Z ograniczeniem P i Q takim, że przekształcony układ hamiltonowski to:

${\ Displaystyle \ mathbf {\ kropka {P}} = - {\ Frac {\ częściowe K} {\ częściowe \ mathbf {Q}}} \,,\quad \mathbf {\dot {Q}} =+{\frac {\częściowe K}{\częściowe \mathbf {P}}}\,,}$

powyższe przekształcenia nazywane są przekształceniami kanonicznymi , każda funkcja G _n nazywana jest funkcją generującą „ n -tego rodzaju” lub „typu- n ”. Transformacja współrzędnych i pędów może pozwolić na uproszczenie rozwiązania równań Hamiltona dla danego problemu.

Wybór Q i P jest całkowicie dowolny, ale nie każdy wybór prowadzi do kanonicznej transformacji. Jednym prostym kryterium kanonicznej transformacji q → Q i p → P jest jedność nawiasu Poissona,

${\ Displaystyle \ {Q_ {i}, P_ {i} \} = 1}$

dla wszystkich i = 1, 2,... N . Jeśli to nie zachodzi, to transformacja nie jest kanoniczna.

Hamiltona -Jacobiego

Ustawiając kanonicznie przekształcony hamiltonian K = 0 i funkcję generującą typu 2 równą głównej funkcji Hamiltona (również akcja ) plus dowolna stała C : ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$

${\ Displaystyle G_ {2} (\ mathbf {q}, t) = {\ mathcal {S}} (\ mathbf {q}, t) +C\,,}$

uogólniony pęd staje się:

${\ Displaystyle \ mathbf {p} = {\ Frac {\ częściowe {\ mathcal {S}}} {\ częściowe \ mathbf {q}}}}$

a P jest stałe, to równanie Hamiltona-Jacobiego (HJE) można wyprowadzić z transformacji kanonicznej typu 2:

${\ Displaystyle H = - {\ Frac {\ częściowe {\ mathcal {S}}} {\ częściowe t}}}$

gdzie H jest hamiltonianem jak poprzednio:

${\ Displaystyle H = H (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t) = H \ lewo (\ mathbf {q} ,{\frac {\częściowy {\mathcal {S}}}{\częściowy \mathbf {q}}},t\right)}$

Inną powiązaną funkcją jest funkcja charakterystyczna Hamiltona

${\ Displaystyle W (\ mathbf {q}) = {\ mathcal {S}} (\ mathbf {q}, t) + Et}$

używany do rozwiązania HJE przez addytywne rozdzielanie zmiennych dla niezależnego od czasu hamiltonianu H .

Badanie rozwiązań równań Hamiltona-Jacobiego prowadzi w naturalny sposób do badania rozmaitości symplektycznych i topologii symplektycznej . W tym sformułowaniu rozwiązania równań Hamiltona-Jacobiego są całkowymi krzywymi hamiltonowskich pól wektorowych .

Ruthiańska mechanika

Mechanika rutynowa jest hybrydowym sformułowaniem mechaniki Lagrange'a i Hamiltona, niezbyt często używanym, ale szczególnie przydatnym do usuwania współrzędnych cyklicznych. Jeśli Lagranżian układu ma s współrzędnych cyklicznych q = q ₁ , q ₂ , ... q _s ze sprzężonymi pędami p = p ₁ , p ₂ , ... p _s , z resztą współrzędnych niecyklicznych i oznaczone ζ = ζ ₁ , ζ ₁ , ..., ζ _{N − s} , można je usunąć wprowadzając ruthian :

${\ Displaystyle R = \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {\ kropka {q}} -L (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, {\boldsymbol {\zeta}},{\dot {\boldsymbol {\zeta}}})\,,}$

co prowadzi do zestawu równań hamiltonowskich 2 s dla współrzędnych cyklicznych q ,

${\ Displaystyle {\ kropka {\ mathbf {q}}} = + {\ Frac {\ częściowy R} {\ częściowy \ mathbf {p} }}\,,\quad {\kropka {\mathbf {p}}}=-{\frac {\częściowe R}{\częściowe \mathbf {q}}}\,,}$

oraz N − s Równania Lagrange'a we współrzędnych niecyklicznych ζ .

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}}} {\ Frac {\ częściowy R}} {\ częściowy {\ kropka {\ boldsymbol {\ zeta}}}}} = {\ Frac {\ częściowy R} {\ częściowy {\boldsymbol {\zeta}}}}\,.}$

Ustawiony w ten sposób, chociaż ruthian ma postać hamiltonianu, można go sobie wyobrazić jako lagranżian o N − s stopniach swobody.

Współrzędne q nie muszą być cykliczne, podział pomiędzy którymi współrzędne wchodzą do równań Hamiltona a tymi, które wchodzą do równań Lagrange'a jest dowolny. Po prostu wygodnie jest pozwolić równaniom Hamiltona usunąć współrzędne cykliczne, pozostawiając współrzędne niecykliczne lagrange'owskim równaniom ruchu.

Mechanika Appellia

Równanie ruchu Appella obejmuje uogólnione przyspieszenia, drugie pochodne czasowe uogólnionych współrzędnych:

${\ Displaystyle \ alfa _ {r} = {\ ddot {q}} _ {r} = {\ Frac {d ^ {2} q_ {r} }{dt^{2}}}\,,}$

jak również uogólnione siły wspomniane powyżej w zasadzie D'Alemberta. Równania są

${\ Displaystyle {\ mathcal {Q}} _ {r} = {\ Frac {\ częściowe S} {\ częściowe \alpha _{r}}}\,,\quad S={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k} ^{2}\,,}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {k} = {\ ddot {\ mathbf {r}}} _ {k} = {\ Frac {d ^ { 2}\mathbf {r} _{k}}{dt^{2}}}}$

jest przyspieszeniem cząstki k , drugą pochodną czasową jej wektora położenia. Każde przyspieszenie _a k _jest wyrażone w uogólnionych przyspieszeniach α _r , podobnie każde rk jest wyrażone w uogólnionych współrzędnych q _r .

Rozszerzenia klasycznej teorii pola

Lagranżowska teoria pola

Współrzędne uogólnione odnoszą się do cząstek dyskretnych. Dla N pól skalarnych φ _i ( r , t ), gdzie i = 1, 2, ... N , gęstość Lagrange'a jest funkcją tych pól i ich pochodnych w czasie i przestrzeni oraz prawdopodobnie samych współrzędnych w czasie i przestrzeni:

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} (\ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ kropki, \ nabla \ phi _ {1}, \ nabla \ phi _ {2},\kropki,\częściowe _{t}\phi_{1},\częściowe _{t}\phi_{2},\ldots,\mathbf {r},t)\,.}$$

a równania Eulera – Lagrange'a mają odpowiednik dla pól:

$${\ Displaystyle \ częściowe _ {\ mu} \ lewo ({\ Frac {\ częściowe {\ mathcal {L}}} {\ częściowe (\częściowe _{\mu }\phi _{i})}}\right)={\frac {\częściowe {\mathcal {L}}}{\częściowe \phi _{i}}}\,,}$$

gdzie ∂ _μ oznacza 4-gradient i zastosowano konwencję sumowania . Dla N pól skalarnych te równania pola Lagrange'a są zbiorem N równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu w polach, które na ogół będą sprzężone i nieliniowe.

To sformułowanie pola skalarnego można rozszerzyć na pola wektorowe , pola tensorowe i pola spinorowe .

Lagrange'a to całka objętościowa gęstości Lagrange'a:

$${\ Displaystyle L = \ int _ {\ mathcal {V}} {\ mathcal {L}} \, dV \,.}$$

Powyższe sformułowanie, pierwotnie opracowane dla pól klasycznych, ma zastosowanie do wszystkich pól fizycznych w sytuacjach klasycznych, kwantowych i relatywistycznych: takich jak grawitacja newtonowska , klasyczny elektromagnetyzm , ogólna teoria względności i kwantowa teoria pola . Jest to kwestia określenia prawidłowej gęstości Lagrange'a w celu wygenerowania prawidłowego równania pola.

Hamiltonowska teoria pola

Odpowiednie gęstości pola „pędu” sprzężone z N polami skalarnymi φ _i ( r , t ) to:

$${\ Displaystyle \ pi _ {i} (\ mathbf {r}, t) = {\ Frac {\ częściowe {\ mathcal {L}}}{\częściowe {\dot {\phi}}_{i}}}\,\quad {\dot {\phi}}_{i}\equiv {\frac {\częściowe \phi _ {i}}{\częściowe t}}}$$

gdzie w tym kontekście overkropt oznacza pochodną cząstkową po czasie, a nie całkowitą pochodną po czasie. Gęstość Hamiltona jest definiowana przez analogię do mechaniki: ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (\ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ ldots, \ pi _ {1}, \ pi _ {2}, \ ldots, \ mathbf {r} ,t)=\sum _{i=1}^{N}{\dot {\phi}}_{i}(\mathbf {r} ,t)\pi _{i}(\mathbf {r} , t) - {\mathcal {L}}\,.}$$

Równania ruchu to:

$${\ Displaystyle {\ kropka {\ phi}} _ {i} = + {\ Frac {\ delta {\ mathcal {H }}}{\delta \pi _{i}}}\,,\quad {\kropka {\pi}}_{i}=-{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \phi _{i}}}\,,}$$

gdzie pochodna wariacyjna

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ delta}} {\ delta \ phi _ {i}}} = {\ Frac {\ częściowy}} \częściowy \phi _{i}}}-\częściowy _{\mu }{\frac {\częściowy}}{\częściowy (\częściowy _{\mu}\phi _{i})}}}$$

należy stosować zamiast jedynie pochodnych cząstkowych. Dla N te równania pola Hamiltona są zbiorem 2 N równań różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu, które na ogół będą sprzężone i nieliniowe.

Ponownie, całka objętościowa gęstości hamiltonowskiej jest hamiltonianem

$${\ Displaystyle H = \ int _ {\ mathcal {V}} {\ mathcal {H}} \, dV \,.}$$

Symetria, zachowanie i twierdzenie Noether

Przekształcenia symetrii w klasycznej przestrzeni i czasie

Każdą transformację można opisać operatorem (tj. funkcją działającą na zmienne położenia r lub pędu p w celu ich zmiany). Poniżej przedstawiono przypadki, w których operator nie zmienia r lub p , czyli symetrii.

Transformacja	Operator	Pozycja	Pęd
Symetria translacyjna	${\ Displaystyle X (\ mathbf {a})}$	${\ Displaystyle \ mathbf {r} \ strzałka w prawo \ mathbf {r} + \ mathbf {a}}$	${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ strzałka w prawo \ mathbf {p}}$
Tłumaczenie czasu	${\ Displaystyle U (t_ {0})}$	${\ Displaystyle \ mathbf {r} (t) \ strzałka w prawo \ mathbf {r} (t + t_ {0})}$	${\ Displaystyle \ mathbf {p} (t) \ strzałka w prawo \ mathbf {p} (t + t_ {0})}$
Niezmienność rotacyjna	${\ Displaystyle R (\ mathbf {\ kapelusz {n}}, \ teta)}$	${\ Displaystyle \ mathbf {r} \ rightarrow R (\ mathbf {\ kapelusz {n}} \ teta) \ mathbf {r}}$	${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow R (\ mathbf {\ kapelusz {n}} \ teta) \ mathbf {p}}$
Transformacje Galileusza	${\ Displaystyle G (\ mathbf {v})}$	${\ Displaystyle \ mathbf {r} \ strzałka w prawo \ mathbf {r} + \ mathbf {v} t}$	${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ strzałka w prawo \ mathbf {p} + m \ mathbf {v}}$
Parytet	${\ Displaystyle P.}$	${\ Displaystyle \ mathbf {r} \ strzałka w prawo - \ mathbf {r}}$	${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ strzałka w prawo - \ mathbf {p}}$
T-symetria	${\ displaystyle T}$	${\ Displaystyle \ mathbf {r} \ strzałka w prawo \ mathbf {r} (-t)}$	${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ strzałka w prawo - \ mathbf {p} (-t)}$

gdzie R ( n̂ , θ) jest macierzą obrotu wokół osi określonej przez wektor jednostkowy n̂ i kąt θ.

Twierdzenie Noether

Twierdzenie Noether stwierdza, że ​​ciągła transformacja symetrii działania odpowiada prawu zachowania , tj. działanie (a więc i Lagrange'a) nie zmienia się przy transformacji sparametryzowanej przez parametr s :

$${\ Displaystyle L [q (s, t), {\ kropka {q}} (s,t)]=L[q(t),{\kropka {q}}(t)]}$$

Lagrange'a opisuje ten sam ruch niezależnie od s , którym może być długość, kąt obrotu lub czas. Odpowiedni pęd do q zostanie zachowany.

Zobacz też

• Mechanika Lagrange'a
• mechanika Hamiltona
• Mechanika teoretyczna
• Mechanika klasyczna
• Dynamika
• Nazarij Meksanika
• Równanie Hamiltona-Jacobiego
• Zasada Hamiltona
• Kinematyka
• Kinetyka (fizyka)
• Mechanika nieautonomiczna
• Równanie Udwadii – Kalaby