Mechanika kontinuum

Mechanika kontinuum jest gałęzią mechaniki , która zajmuje się deformacją i przenoszeniem sił przez materiały modelowane jako ciągła masa , a nie jako dyskretne cząstki . Francuski matematyk Augustin-Louis Cauchy jako pierwszy sformułował takie modele w XIX wieku.

Model continuum zakłada, że ​​substancja obiektu całkowicie wypełnia zajmowaną przez niego przestrzeń. Ignoruje to fakt, że materia składa się z atomów , jednak zapewnia wystarczająco dokładny opis materii w skalach długości znacznie większych niż odległości międzyatomowe. Koncepcja ośrodka ciągłego pozwala na intuicyjną analizę materii objętościowej za pomocą równań różniczkowych opisujących zachowanie takiej materii zgodnie z prawami fizycznymi , takimi jak zachowanie masy, pędu i energii. Informacje o konkretnym materiale wyrażone są w relacjach konstytutywnych .

Mechanika kontinuum traktuje właściwości fizyczne ciał stałych i płynów niezależnie od konkretnego układu współrzędnych , w którym są obserwowane. Właściwości te są reprezentowane przez tensory , które są obiektami matematycznymi z istotną właściwością niezależności od układów współrzędnych. Pozwala to na zdefiniowanie właściwości fizycznych w dowolnym punkcie kontinuum, zgodnie z matematycznie wygodnymi funkcjami ciągłymi . Teorie sprężystości , plastyczności i mechaniki płynów opierają się na koncepcjach mechaniki ośrodków ciągłych.

Koncepcja kontinuum

Koncepcja kontinuum leży u podstaw matematycznych ram badania wielkoskalowych sił i deformacji w materiałach. Chociaż materiały składają się z oddzielnych atomów i cząsteczek, oddzielonych pustą przestrzenią lub mikroskopijnymi pęknięciami i defektami krystalograficznymi , zjawiska fizyczne często można modelować, biorąc pod uwagę rozmieszczenie substancji w pewnym obszarze przestrzeni. Kontinuum to ciało, które można w sposób ciągły dzielić na nieskończenie małe elementy z lokalnymi właściwościami materiału zdefiniowanymi w dowolnym konkretnym punkcie. Właściwości materiału sypkiego można zatem opisać funkcjami ciągłymi, a ich ewolucję można badać za pomocą matematyki rachunku różniczkowego .

Oprócz założenia o ciągłości w badaniu mechaniki ośrodków ciągłych często stosuje się dwa inne niezależne założenia. Są to jednorodność (założenie identycznych właściwości we wszystkich lokalizacjach) i izotropia (założenie kierunkowo niezmiennych właściwości wektora). Jeśli te pomocnicze założenia nie mają zastosowania globalnego, materiał można podzielić na sekcje, w których mają one zastosowanie, w celu uproszczenia analizy. W bardziej złożonych przypadkach można odrzucić jedno lub oba te założenia. W takich przypadkach często stosuje się metody obliczeniowe do rozwiązywania równań różniczkowych opisujących ewolucję właściwości materiałów.

Główne obszary

Mechanika ośrodków ciągłych Badanie fizyki materiałów ciągłych	Mechanika ciał stałych Badanie fizyki materiałów ciągłych o określonym kształcie spoczynku.	Elastyczność Opisuje materiały, które powracają do swojego kształtu spoczynkowego po usunięciu przyłożonych naprężeń .
		Plastyczność Opisuje materiały, które trwale odkształcają się po przyłożeniu wystarczającego naprężenia.	Reologia Badanie materiałów o właściwościach zarówno stałych, jak i płynnych.
	Mechanika płynów Badanie fizyki materiałów ciągłych, które odkształcają się pod wpływem siły.	Płyn nienewtonowski Nie podlegają szybkościom odkształcenia proporcjonalnym do przyłożonego naprężenia ścinającego.
		Płyny newtonowskie podlegają szybkościom odkształcenia proporcjonalnym do przyłożonego naprężenia ścinającego.

Dodatkowym obszarem mechaniki kontinuum są pianki elastomerowe, które wykazują ciekawą hiperboliczną zależność naprężenie-odkształcenie. Elastomer jest prawdziwym kontinuum, ale jednorodne rozmieszczenie pustych przestrzeni nadaje mu niezwykłe właściwości.

Formułowanie modeli

Rysunek 1. Konfiguracja ciała kontinuum

$od$ przypisania regionu w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej modelowanego ciała materialnego . Punkty w tym obszarze nazywane są cząstkami lub punktami materialnymi. Różne konfiguracje lub stany ciała odpowiadają różnym obszarom w przestrzeni euklidesowej. Region odpowiadający konfiguracji ciała w czasie jest oznaczony $displaystyle t} .$ \ ${\ Displaystyle \ kappa _ {t} {\ mathcal {B}})}$

Konkretna cząstka w ciele w określonej konfiguracji jest scharakteryzowana przez wektor położenia

${\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ suma _ {i = 1} ^ {3} x_ {i} \ mathbf {e} _ {i},}$

gdzie $.$ wektorami współrzędnych w pewnym układzie odniesienia dla problemu (patrz rysunek 1) Ten wektor można wyrazić jako funkcję położenia cząstki w jakiejś konfiguracji odniesienia , na przykład konfiguracji w czasie początkowym, tak że ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ kappa _ {t} (\ mathbf {X}).}$

Ta funkcja musi mieć różne właściwości, aby model miał fizyczny sens. musi być: ${\ Displaystyle \ kappa _ {t} (\ cdot)}$

• ciągły w czasie, dzięki czemu ciało zmienia się w sposób realistyczny,
• globalnie odwracalny przez cały czas, tak że ciało nie może się przeciąć,
• zachowanie orientacji , ponieważ przemiany, które powodują odbicia lustrzane, nie są możliwe w naturze.

Dla matematycznego sformułowania modelu zakłada się również, że jest dwukrotnie różniczkowalny w sposób ciągły $tak$ różniczkowe opisujące ruch

Siły w kontinuum

Zobacz też: Naprężenie (mechanika) i Tensor naprężenia Cauchy'ego

Mechanika kontinuum zajmuje się ciałami odkształcalnymi, w przeciwieństwie do ciał sztywnych . Ciało stałe to odkształcalne ciało, które ma wytrzymałość na ścinanie, sc. bryła może przenosić siły ścinające (siły równoległe do powierzchni materiału, na którą działają). Z drugiej strony płyny nie wytrzymują sił ścinających.

$do {\ displaystyle \ mathbf {f} _ {c}}$ z klasyczną dynamiką Newtona i Eulera ruch ciała materialnego jest wytwarzany przez działanie sił przyłożonych z zewnątrz, które, jak się przyjmuje, są dwojakiego rodzaju: siły powierzchniowe i siły ciała fa ${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {b}$ . Zatem całkowitą siłę przyłożoną do ciała lub części ciała można wyrazić jako: ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} = \ mathbf {F} _ {C} + \ mathbf {F} _ {B}$

Siły powierzchniowe

Siły powierzchniowe lub siły kontaktowe , wyrażone jako siła na jednostkę powierzchni, mogą działać albo na ograniczającą powierzchnię ciała, w wyniku mechanicznego kontaktu z innymi ciałami, albo na wyimaginowane powierzchnie wewnętrzne, które wiążą części ciała, w wyniku mechaniczna interakcja między częściami ciała po obu stronach powierzchni ( zasada naprężeń Eulera-Cauchy'ego ). Kiedy na ciało działają zewnętrzne siły kontaktowe, wewnętrzne siły kontaktowe są następnie przenoszone z punktu do punktu wewnątrz ciała, aby zrównoważyć ich działanie, zgodnie z trzecią zasadą ruchu Newtona dotyczącą zachowania pędu liniowego i momentu pędu (dla ciał ciągłych te prawa nazywane są równaniami ruchu Eulera ). Wewnętrzne siły kontaktowe są powiązane z deformacją ciała za pomocą równań konstytutywnych . Wewnętrzne siły kontaktowe można opisać matematycznie na podstawie ich związku z ruchem ciała, niezależnie od materiału, z którego składa się ciało.

Zakłada się, że rozkład wewnętrznych sił kontaktowych w całej objętości ciała jest ciągły. $które$ istnieje gęstość siły kontaktu lub trakcji Cauchy'ego szczególna konfiguracja ciała w danym czasie ${\ displaystyle t \, \!$ } Nie jest to pole wektorowe, ponieważ zależy nie tylko od położenia $\ mathbf {x}}$ punktu materialnego, ale także od lokalnej orientacji elementu powierzchni, określonej przez jego wektor normalny $\mathbf {n} }$${\ displaystyle$ .

Dowolny obszar różniczkowy $re$$pola$ normalnym danego powierzchni wewnętrznej, ograniczający część ciała ${\ Displaystyle dS \, \!$ , doświadcza siły kontaktu wynikającej z kontaktu między obiema częściami ciała po każdej stronie $\$$!}$ , i jest dana przez

${\ Displaystyle d \ mathbf {F} _ {C} = \ mathbf {T} ^ {(\ mathbf {n})} \$

gdzie $jest$ trakcją , zwaną także wektorem naprężeń , trakcją , lub wektorem Wektor naprężenia jest wektorem obojętnym na ramkę (patrz zasada naprężenia Eulera-Cauchy'ego ).

Całkowita siła styku na określonej powierzchni wewnętrznej $jest$ następnie wyrażana jako suma ( całka powierzchniowa ) sił styku na wszystkich powierzchniach różnicowych $\ Displaystyle S \, \!$ }

${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {C} = \ int _ {S} \ mathbf {T} ^ {(\ mathbf {n})} \ dS$

W mechanice kontinuum ciało uważa się za wolne od naprężeń, jeśli występują tylko siły międzyatomowe ( jonowe , metaliczne i van der Waalsa ) wymagane do utrzymania ciała razem i zachowania jego kształtu przy braku jakichkolwiek wpływów zewnętrznych , w tym przyciąganie grawitacyjne. Naprężenia powstające podczas produkcji nadwozia do określonej konfiguracji są również wykluczone przy rozważaniu naprężeń w nadwoziu. Dlatego naprężenia rozważane w mechanice kontinuum to tylko naprężenia wytwarzane przez odkształcenie ciała, sc. brane są pod uwagę tylko względne zmiany naprężeń, a nie bezwzględne wartości naprężeń.

Siły ciała

Siły ciała to siły pochodzące ze źródeł zewnętrznych, które działają na objętość (lub masę) ciała. Stwierdzenie, że siły ciała wynikają ze źródeł zewnętrznych, oznacza, że ​​interakcja między różnymi częściami ciała (siły wewnętrzne) przejawia się wyłącznie w siłach kontaktowych. Siły te wynikają z obecności ciała w polach siłowych, np. polu grawitacyjnym ( siły grawitacyjne ) lub polu elektromagnetycznym ( siły elektromagnetyczne ), lub z sił bezwładności, gdy ciała są w ruchu. Ponieważ zakłada się, że masa ciała ciągłego jest rozłożona w sposób ciągły, każda siła pochodząca od masy jest również rozłożona w sposób ciągły. Zatem siły ciała są określone przez pola wektorowe, które z założenia są ciągłe w całej objętości ciała, czyli działają w każdym jego punkcie. Siły ciała są reprezentowane przez gęstość sił ciała $polem$ na jednostkę masy), która jest

W przypadku sił grawitacyjnych intensywność siły zależy od gęstości masy lub jest do niej proporcjonalna. ${\ Displaystyle \ mathbf {\ rho} (\ mathbf {x}, t) \ \ !}$ materiału i jest określony w kategoriach siły na jednostkę masy ( ${\ displaystyle b_ {i} \, \!}$ ) lub na jednostkę objętości ( ${\ displaystyle p_ {i} \, \ !}$ ). Te dwie specyfikacje są powiązane poprzez gęstość materiału równaniem ${\ displaystyle \ rho b_ {i} = p_ {i} \, \!}$ . Podobnie natężenie sił elektromagnetycznych zależy od siły ( ładunku elektrycznego ) pola elektromagnetycznego.

Całkowita siła działająca na ciało ciągłe jest wyrażona jako

${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {B} = \ int _ {V} \ mathbf {b} \, dm = \ int _ {V} \ rho \mathbf {b} \,dV}$

Siły ciała i siły kontaktowe działające na ciało prowadzą do odpowiednich momentów siły ( momentów ) względem danego punktu. Zatem całkowity zastosowany moment obrotowy względem pochodzenia jest określony przez ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} = \ mathbf {M} _ {C} + \ mathbf {M} _ {B}}$

W pewnych sytuacjach, które nie są powszechnie brane pod uwagę w analizie mechanicznego zachowania się materiałów, konieczne staje się uwzględnienie dwóch innych rodzajów sił: są to pary naprężeń (pary powierzchniowe, momenty kontaktowe) oraz momenty ciała . Naprężenia parowe to momenty na jednostkę powierzchni przyłożone do powierzchni. Momenty ciała lub pary ciał to momenty na jednostkę objętości lub na jednostkę masy zastosowane do objętości ciała. Oba są ważne w analizie naprężeń spolaryzowanego ciała dielektrycznego pod działaniem pola elektrycznego, materiałów, w których uwzględnia się budowę molekularną (np. kości ), ciał stałych pod działaniem zewnętrznego pola magnetycznego oraz teorii dyslokacji metale.

Materiały, które wykazują pary ciał i pary naprężeń oprócz momentów wytwarzanych wyłącznie przez siły, nazywane są materiałami polarnymi . Materiały niepolarne to w takim razie te materiały, które mają tylko momenty sił. W klasycznych gałęziach mechaniki ośrodków ciągłych rozwój teorii naprężeń opiera się na materiałach niespolaryzowanych.

Zatem sumę wszystkich przyłożonych sił i momentów obrotowych (w odniesieniu do początku układu współrzędnych) w ciele można wyrazić wzorem

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} = \ int _ {V} \ mathbf {a} \, dm = \ int _ { S} \ mathbf {T} \, dS + \ int _ {V} \ rho \ mathbf {b} \, dV} M =$

$Displaystyle {\ mathcal {M}}=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {T} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \rho \mathbf {b} \,dV }$

Kinematyka: ruch i deformacja

Rysunek 2. Ruch ciała kontinuum.

Zmiana konfiguracji ciała kontinuum powoduje przemieszczenie . Przemieszczenie ciała składa się z dwóch składowych: przemieszczenia ciała sztywnego i odkształcenia . Przemieszczenie ciała sztywnego polega na jednoczesnym przesunięciu i obrocie ciała bez zmiany jego kształtu lub rozmiaru. ${\ Displaystyle \ kappa _ {t} ({\ mathcal {B}})}$ oznacza zmianę kształtu i / lub rozmiaru ciała z początkowej lub niezdeformowanej konfiguracji do aktualnej lub zdeformowanej konfiguracji $\ Displaystyle \ kappa _ {0} ({\ mathcal {B}})}$ (Rysunek 2).

Ruch ciała kontinuum jest ciągłą sekwencją czasową przemieszczeń. W ten sposób ciało materialne będzie zajmować różne konfiguracje w różnym czasie, tak że cząstka zajmuje szereg punktów w przestrzeni, które opisują linię ścieżki.

Istnieje ciągłość podczas ruchu lub deformacji ciała kontinuum w tym sensie, że:

• Punkty materialne tworzące zamkniętą krzywą w dowolnym momencie zawsze utworzą zamkniętą krzywą w dowolnym późniejszym czasie.
• Punkty materialne tworzące zamkniętą powierzchnię w dowolnym momencie zawsze utworzą zamkniętą powierzchnię w dowolnym późniejszym czasie, a materia wewnątrz zamkniętej powierzchni zawsze pozostanie wewnątrz.

Wygodnie jest zidentyfikować konfigurację odniesienia lub stan początkowy, z którego odwołują się wszystkie kolejne konfiguracje. Konfiguracja odniesienia nie musi być taką, jaką ciało kiedykolwiek zajmie. $b$ konfiguracja w ${\ Displaystyle \ kappa _ {0} ({\ mathcal {B}})}$ konfigurację referencyjną. . Składowe $położenia$$cząstki , wzięte$ odniesieniu do konfiguracji odniesienia, nazywane są współrzędnymi materiału lub odniesienia

Analizując ruch lub deformację ciał stałych lub przepływ płynów, konieczne jest opisanie sekwencji lub ewolucji konfiguracji w czasie. Jeden opis ruchu jest dokonywany za pomocą współrzędnych materiałowych lub referencyjnych, zwany opisem materiałowym lub opisem Lagrange'a.

Lagrange'owski opis

W opisie Lagrange'a położenie i właściwości fizyczne cząstek są opisane w kategoriach materiału lub współrzędnych odniesienia i czasu. W tym przypadku konfiguracją odniesienia jest konfiguracja w ${\ displaystyle t = 0}$ . Obserwator stojący w układzie odniesienia obserwuje zmiany położenia i właściwości fizycznych, gdy ciało materialne porusza się w przestrzeni w miarę upływu czasu. Uzyskane wyniki są niezależne od wyboru czasu początkowego i konfiguracji odniesienia, ${\ Displaystyle \ kappa _ {0} ({\ mathcal {B}})}$ . Ten opis jest zwykle używany w mechanice ciał stałych .

W opisie Lagrange'a ruch ciała kontinuum jest wyrażony funkcją odwzorowania ${\ Displaystyle \ chi (\ cdot)}$ (Rysunek 2),

${\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ chi (\ mathbf {X}, t)}$

$({\ mathcal {B}})} na$${\ Displaystyle \ kappa _ {t} ( {\ mathcal {B}}}}$ bieżącą konfigurację , podając geometryczną zgodność między nimi, tj. podając wektor położenia ${\ Displaystyle \ mathbf {x} = x_ {i} \ mathbf {e} _ {i} }$$}})}$ cząstka z wektorem położenia w niezdeformowanej lub referencyjnej konfiguracji $) {\ Displaystyle$$\$$kappa _ {0} ({\ mathcal {$ , zajmie w bieżącej lub zdeformowanej konfiguracji ${\ Displaystyle \ kappa _ {t} ({\ mathcal {B}})}$ w czasie ${\ displaystyle t}$ . Składniki $są$ współrzędnymi przestrzennymi

Właściwości fizyczne i kinematyczne $.$ termodynamiczne i prędkość przepływu, które opisują lub charakteryzują cechy ciała materialnego, są wyrażone jako ciągłe funkcje położenia i czasu, tj. ${\ Displaystyle P _ {ij \ ldots} = P_ {ij \ ldots} (\ mathbf {X}, t)}$ .

Materialna pochodna dowolnej właściwości $skalar$ , wektor lub tensor, to tempo zmian tej właściwości dla określonej grupy cząstek w czasie poruszającego się ciała kontinuum. Pochodna materialna jest również znana jako pochodna substancjalna , pochodna współbieżna lub pochodna konwekcyjna . Można to traktować jako szybkość, z jaką zmienia się właściwość mierzona przez obserwatora podróżującego z tą grupą cząstek.

$jest$$.$ pochodna materialna po prostu pochodną cząstkową względem czasu, a stały bo nie zmienia się z czasem. Tak więc mamy

$\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} [P_ {ij \ ldots} ( \mathbf {X},t)]={\frac {\częściowy}}{\częściowy t}}[P_{ij\ldots}(\mathbf {X},t)]}$

$chwilowa$ położenie $jest$ właściwością cząstki, a jego materialną pochodną jest przepływu cząstki. Dlatego pole prędkości przepływu kontinuum jest określone przez

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = {\ kropka {\ mathbf {x}}} = {\ Frac {d \ mathbf {x} }{dt}}={\frac {\częściowy \chi (\mathbf {X},t)}{\częściowy t}}}$

Podobnie pole przyspieszenia jest określone przez

${\ Displaystyle \ mathbf {a} = {\ kropka {\ mathbf {v}}} = {\ ddot {\mathbf {x}}}={\frac {d^{2}\mathbf {x}}}{dt^{2}}}={\frac {\częściowy ^{2}\chi (\mathbf {X } ,t)}{\częściowe t^{2}}}}$

Ciągłość w opisie Lagrange'a wyraża się przestrzenną i czasową ciągłością odwzorowania od konfiguracji odniesienia do bieżącej konfiguracji punktów materialnych. Wszystkie wielkości fizyczne charakteryzujące kontinuum są opisane w ten sposób. W tym sensie funkcje i $cdot)}$ ) $\$ chi ciągłe pochodne w odniesieniu do przestrzeni i czasu do dowolnego wymaganego rzędu, zwykle do drugiego lub trzeciego.

Opis Eulera

$na$ odwrotność $,$ gdzie cząstka obecnie znajdująca się w konfiguracji ${\ Displaystyle \ kappa _ {0} ({\ mathcal {B}})}$ . W tym przypadku opis ruchu dokonywany jest za pomocą współrzędnych przestrzennych, w którym to przypadku nazywany jest opisem przestrzennym lub opisem Eulera, tzn. konfiguracja bieżąca jest traktowana jako konfiguracja odniesienia .

Opis Eulera, wprowadzony przez $.$ Alemberta , skupia się na bieżącej konfiguracji się w ustalonym punkcie w przestrzeni w miarę upływu czasu, zamiast zwracać uwagę na poszczególne cząstki poruszające się w czasie i przestrzeni. Podejście to jest wygodnie stosowane w badaniu przepływu płynu , gdzie najbardziej interesującą właściwością kinematyczną jest szybkość, z jaką zachodzą zmiany, a nie kształt ciała płynu w czasie odniesienia.

Matematycznie ruch kontinuum przy użyciu opisu Eulera jest wyrażony przez funkcję odwzorowania

${\ Displaystyle \ mathbf {X} = \ chi ^ {- 1} (\ mathbf {x}, t)}$

$})}$ zapewnia śledzenie cząstki, która teraz zajmuje pozycję w bieżącej konfiguracji $b$ do pierwotnej pozycji w początkowej konfiguracji ${\ Displaystyle \ mathbf {X}}$${\ Displaystyle \ kappa _ {0} ({\ mathcal {B}})}$ .

Warunkiem koniecznym i wystarczającym istnienia tej funkcji odwrotnej jest to, aby wyznacznik macierzy Jakobianu , często nazywany po prostu jakobianem, był różny od zera. Zatem,

${\ Displaystyle J = \ lewo | {\ Frac {\ częściowe \ chi _ {i}} {\ częściowe X_ {J}}} \ prawo | = \ lewo | {\ Frac {\ częściowe x_ {i}}} \częściowy X_{J}}}\right|\neq 0}$

W opisie Eulera właściwości fizyczne są wyrażone jako ${\ Displaystyle P_ {ij \ ldots}}$

${\ Displaystyle P_ {ij \ ldots} =P_{ij\ldots}(\mathbf {X},t)=P_{ij\ldots}[\chi ^{-1}(\mathbf {x},t),t]=p_{ij\ldots} (\mathbf {x}, t)}$

$opisie$ forma funkcjonalna $opisie$ jak forma Eulera

Materialna pochodna ${\ Displaystyle p_ {ij \ ldots} (\ mathbf {x}, t)}$ , używając reguły łańcucha, jest wtedy

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} [p_ {ij \ ldots} (\ mathbf {x}, t)] = {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} [p_ {ij \ ldots }(\mathbf {x},t)]+{\frac {\częściowy}}{\częściowy x_{k}}}[p_{ij\ldots}(\mathbf {x},t)]{\frac {dx_ {k}}{dt}}}$

Pierwszy wyraz po prawej stronie tego równania podaje lokalną szybkość zmian właściwości ${\ Displaystyle p_ {ij \ ldots} (\ mathbf {x}, t)}$ na pozycji ${\ Displaystyle \ mathbf {x}}$ . Drugi człon po prawej stronie to konwekcyjne tempo zmian i wyraża udział zmiany położenia cząstki w przestrzeni (ruch).

Ciągłość w opisie Eulera wyraża się przez ciągłość przestrzenną i czasową oraz ciągłą różniczkowalność pola prędkości przepływu. Wszystkie wielkości fizyczne są definiowane w ten sposób w każdej chwili, w bieżącej konfiguracji, jako funkcja położenia wektora ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ .

Pole przemieszczenia

Wektor łączący pozycje cząstki $wektorem$ konfiguracji niezdeformowanej i zdeformowanej nazywa się przemieszczenia ${\ Displaystyle \ mathbf {u} (\ mathbf {X} }, t) = u_ {i} \ mathbf {e} _ {i}}$ , w opisie Lagrange'a lub ${\ Displaystyle \ mathbf {U} (\ mathbf {x } ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}}$ , w opisie eulerowskim.

Pole przemieszczenia jest polem wektorowym wszystkich wektorów przemieszczenia dla wszystkich cząstek w ciele, które wiąże konfigurację zdeformowaną z konfiguracją nieodkształconą. Wygodnie jest przeprowadzić analizę odkształcenia lub ruchu ciała kontinuum w kategoriach pola przemieszczenia. Ogólnie rzecz biorąc, pole przemieszczenia wyraża się we współrzędnych materiału jako

$mathbf {u} (\ mathbf {X}$

lub pod względem współrzędnych przestrzennych jako

${\ Displaystyle \ mathbf {U} (\ mathbf {x}, t) = \mathbf {b} +\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _ {Ji}x_{i}-X_{J}\,}$

gdzie są $jednostkowymi$ kierunkowymi między materiałem a przestrzennymi układami współrzędnych $mathbf {e} _{i}}$$\ odpowiednio$ { $\$ . Zatem

${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {J} \ cdot \ mathbf {e} _ {i} = \ alfa _ {Ji} = \ alfa _ {iJ} }$

a związek między u $\ displaystyle u_ {i}}$ jest wtedy określony przez ${\ displaystyle U_ {J}}$

${\ Displaystyle u_ {i} = \ alfa _ {iJ} U_ {J} \ qquad {\ tekst {lub}} \ qquad U_ {J} =\alfa _{Ji}u_{i}}$

Wiedząc to

${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i} = \ alfa _ {iJ} \ mathbf {E} _ {J}$

Następnie

$X}, t) =u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J} =\mathbf {U} (\mathbf {x},t)}$

Powszechne jest nakładanie układów współrzędnych dla konfiguracji niezdeformowanych i zdeformowanych, co skutkuje ${\ displaystyle \ mathbf {b} = 0}$ , a cosinusy kierunku stają się deltami Kroneckera , tj. b = {\ Displaystyle \ mathbf {b} = 0}

${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {J} \ cdot \ mathbf {e} _ {i} = \ delta _ {Ji} = \ delta _ {iJ} }$

Tak więc mamy

$Displaystyle \ mathbf {u} (\ mathbf {X}, t) = \ mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}}$

lub pod względem współrzędnych przestrzennych jako

${\ Displaystyle \ mathbf {U} (\ mathbf {x}, t) = \ mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}}$

Równania rządzące

Mechanika kontinuum zajmuje się zachowaniem materiałów, które można w przybliżeniu określić jako ciągłe dla określonej długości i skali czasowej. Równania rządzące mechaniką takich materiałów obejmują prawa równowagi dla masy , pędu i energii . Relacje kinematyczne i równania konstytutywne są potrzebne do uzupełnienia układu równań rządzących. Fizyczne ograniczenia dotyczące postaci relacji konstytutywnych można zastosować, wymagając spełnienia drugiej zasady termodynamiki we wszystkich warunkach. W kontinuum mechaniki ciał stałych druga zasada termodynamiki jest spełniona, jeśli spełniona jest postać Clausiusa-Duhema nierówności entropii.

Prawa równowagi wyrażają ideę, że tempo zmian wielkości (masy, pędu, energii) w objętości musi wynikać z trzech przyczyn:

1. sama wielkość fizyczna przepływa przez powierzchnię ograniczającą objętość,
2. na powierzchni objętości znajduje się źródło wielkości fizycznej lub/i,
3. wewnątrz objętości znajduje się źródło wielkości fizycznej.

Niech $będzie$${\ displaystyle \ Omega}$ otwarty podzbiór przestrzeni euklidesowej) i niech $)$ jego powierzchnią (granica .

Niech mapa opisuje ruch punktów materialnych w ciele

${\ Displaystyle \ mathbf {x} = {\ pogrubiony symbol {\ chi}} (\ mathbf {X}) = \ mathbf {x} (\ mathbf {X})}$

gdzie $jest$ położeniem punktu w początkowej konfiguracji i $jest$ tego samego punktu w zdeformowanej konfiguracji

Gradient deformacji jest określony przez

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {F}} = {\ Frac {\ częściowe \ mathbf {x}} {\ częściowe \ mathbf {X}}} = \ nabla \ mathbf {x} ~.}$

Prawa równowagi

Niech $_$ . Niech ${\ Displaystyle g (\ mathbf {x}, t)}$ będzie źródłami na powierzchni ciała i niech ${\ Displaystyle h (\ mathbf {x}, t) }$ być źródłami wewnątrz ciała. Niech ${\ Displaystyle \ mathbf {n} (\ mathbf {x}, t)}$ będzie zewnętrzną jednostką normalną do powierzchni ${\ Displaystyle \ częściowe \ Omega}$ . Niech $będzie prędkością$ fizycznych przenoszących $}$ również prędkość, z jaką porusza się powierzchnia ograniczająca, będzie $Omega$ { $\ częściowe \$ .

Wtedy prawa równowagi można wyrazić w postaci ogólnej

${\ Displaystyle {\ cfrac {d} {dt}} \ lewo [\ int _ {\ Omega} f (\ mathbf {x}, t) ~ {\ tekst {dV}} \ prawej] = \ int _ {\ częściowe \Omega }f(\mathbf {x} ,t)[u_{n}(\mathbf {x} ,t)-\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\cdot \mathbf {n} (\mathbf {x} ,t)]~{\text{dA}}+\int _{\częściowe \Omega}g(\mathbf {x},t)~{\text{dA}}+\int _ {\Omega}h(\mathbf {x},t)~{\text{dV}}~.}$

fa ${\ Displaystyle f (\ mathbf {x}, t)}$ sol $\ Displaystyle g (\ mathbf {x}, t)}$ h ${\ Displaystyle h (\ mathbf {x}, t)}$ może mieć wartość skalarną, wektorową lub tensorową - w zależności od wielkości fizycznej, z którą ma do czynienia równanie równowagi. Jeśli w ciele istnieją granice wewnętrzne, to nieciągłości skokowe również muszą być określone w prawach równowagi.

Jeśli przyjmiemy punkt widzenia Eulera , można wykazać, że prawa równowagi masy, pędu i energii dla ciała stałego można zapisać jako (zakładając, że termin źródłowy wynosi zero dla równań masy i momentu pędu)

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ kropka {\ rho}} + \ rho ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v})&= 0&&\ qquad {\ tekst {Bilans masy} }\\\rho ~{\dot {\mathbf {v}}}-{\boldsymbol {\nabla}}\cdot {\boldsymbol {\sigma}}-\rho ~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Bilans pędu liniowego (pierwsza zasada ruchu Cauchy'ego)}}\\{\boldsymbol {\sigma }}&={\boldsymbol {\sigma }}^{T}&&\qquad {\text{Równowaga Moment pędu (druga zasada ruchu Cauchy'ego)}}\\\rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} )+{ \boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\rho ~s&=0&&\qquad {\text{Bilans energii.}}\end{wyrównane}}}$

W powyższych równaniach jest gęstość masy (prąd), $\ Displaystyle$$\ kropka {\ rho$ materiałem ρ ${\ Displaystyle \ rho}$ , ${\ Displaystyle \ mathbf {v} (\ mathbf {x}, t)}$ prędkość cząstek, ${\ Displaystyle {\ kropka {\ mathbf {v}}}}$ jest pochodną czasu materialnego ${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$ , ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} (\ mathbf {x}, t) }$ to tensor naprężenia Cauchy'ego , ${\ Displaystyle \ mathbf {b} (\ mathbf {x}, t)}$ to gęstość siły ciała, ${\ Displaystyle e (\ mathbf {x}, t)}$ to energia wewnętrzna na jednostkę masy, ${\ Displaystyle {\ kropka {e}}}$ jest pochodną materiału po czasie mi $\ Displaystyle e}$ , $}, t)}$${\ Displaystyle \mathbf {q} (\ mathbf {$$jest$ strumienia ciepła energii na jednostkę masy

W odniesieniu do konfiguracji odniesienia (z punktu widzenia Lagrange'a) prawa równowagi można zapisać jako

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ rho ~ \ det ({\ boldsymbol {F}}) - \ rho _ {0} & = 0 & & \ qquad {\ tekst {Bilans masy}} \\\ rho _ { 0}~{\ddot {\mathbf {x}}}-{\boldsymbol {\nabla}}_{\circ}\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}-\rho _{0}~\ mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Równowaga pędu liniowego}}\\{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}&={\boldsymbol {P}} \cdot {\boldsymbol {F}}^{T}&&\qquad {\text{Równowaga momentu pędu}}\\\rho _{0}~{\dot {e}}-{\boldsymbol {P}} ^{T}:{\dot {\boldsymbol {F}}}+{\boldsymbol {\nabla}}_{\circ}\cdot \mathbf {q} -\rho _{0}~s&=0&&\qquad {\text{Bilans energii.}}\end{wyrównany}}}$

$P}}}$${ \$ displaystyle {\ boldsymbol jest pierwszym tensorem naprężenia Pioli-Kirchhoffa i jest gęstością masy w konfiguracji odniesienia. Pierwszy tensor naprężenia Pioli-Kirchhoffa jest powiązany z tensorem naprężenia Cauchy'ego przez

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {P}} = J ~ {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {- T} ~{\text{gdzie}}~J=\det({\boldsymbol {F}})}$

Możemy alternatywnie zdefiniować nominalny tensor naprężenia, który jest transpozycją pierwszego tensora naprężenia Pioli-Kirchhoffa, tak że ${\ displaystyle {\ boldsymbol {N}}}$

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {N}} = {\ boldsymbol {P}} ^ {T} = J ~ {\ boldsymbol {F}} ^ {-1} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} ~.}$

Wtedy stają się prawa równowagi

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ rho ~ \ det ({\ boldsymbol {F}}) - \ rho _ {0} & = 0 & & \ qquad {\ tekst {Bilans masy}} \\\ rho _ { 0}~{\ddot {\mathbf {x}}}-{\boldsymbol {\nabla}}_{\circ}\cdot {\boldsymbol {N}}-\rho _{0}~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Równowaga pędu liniowego}}\\{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {N}}&={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot {\ boldsymbol {F}}^{T}&&\qquad {\text{Równowaga momentu pędu}}\\\rho _{0}~{\kropka {e}}-{\boldsymbol {N}}:{\dot {\boldsymbol {F}}}+{\boldsymbol {\nabla}}_{\circ}\cdot \mathbf {q} -\rho _{0}~s&=0&&\qquad {\text{Bilans energii. }}\end{wyrównane}}}$

Operatory w powyższych równaniach są zdefiniowane jako takie, że

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} = \ suma _ {i, j = 1} ^ {3} {\ Frac {\ częściowe v_ {i}} {\ częściowe x_ {j}} }\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}=v_{i,j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}~; ~~{\boldsymbol {\nabla}}\cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}{\frac {\częściowe v_{i}}{\częściowe x_{i}}} =v_{i,i}~;~~{\boldsymbol {\nabla}}\cdot {\boldsymbol {S}}=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\częściowe S_ {ij}}{\częściowe x_{j}}}~\mathbf {e} _{i}=\sigma _{ij,j}~\mathbf {e} _{i}~.}$

gdzie jest polem wektorowym, $jest$ polem tensorowym drugiego rzędu i $ja$$}}$$Displaystyle \ mathbf {e} _ {$ to składowe bazy ortonormalnej w bieżącej konfiguracji. Również,

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} _ {\ circ} \ mathbf {v$

gdzie jest polem wektorowym, jest polem tensorowym drugiego rzędu i $mi$$}}$$displaystyle \ mathbf {E} _$$i$ to składowe bazy ortonormalnej w konfiguracji odniesienia.

Produkt wewnętrzny jest zdefiniowany jako

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {A}}: {\ boldsymbol {B}} = \ suma _ {i, j = 1} ^ {3} A_ {ij} ~ B_ {ij} = \ operatorname {ślad} ({ \boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}}^{T})~.}$

Nierówność Clausiusa-Duhema

Clausiusa – Duhema można wykorzystać do wyrażenia drugiej zasady termodynamiki materiałów sprężysto-plastycznych. Ta nierówność jest stwierdzeniem dotyczącym nieodwracalności procesów naturalnych, zwłaszcza gdy chodzi o rozpraszanie energii.

Podobnie jak w prawach równowagi w poprzedniej sekcji, zakładamy, że istnieje strumień wielkości, źródło wielkości i gęstość wewnętrzna wielkości na jednostkę masy. Interesującą wielkością w tym przypadku jest entropia. Zakładamy zatem, że istnieje strumień entropii, źródło entropii, wewnętrzna gęstość masy i wewnętrzna entropia właściwa (tj. entropia na jednostkę masy) w obszarze zainteresowania $\ eta$$}$ .

Niech $niech$ takim regionem i $.$ granicą Następnie druga zasada termodynamiki stwierdza, że ​​​​szybkość wzrostu w tym $regionie$ jest większa lub równa sumie szybkości dostarczanej do jako strumień lub ze źródeł wewnętrznych $)$ ) i zmianę gęstości entropii wewnętrznej z powodu napływu i wypływu materiału z regionu ${\ displaystyle \ rho \ eta}$

Niech $Displaystyle \ częściowe \ Omega}$ \ $prędkością$$się$$z$ i niech cząstki wewnątrz prędkości Niech będzie jednostką $normalną$ na zewnątrz do powierzchni $\ Displaystyle \ częściowe \ Omega}$ . Niech $będzie$ gęstością materii w regionie, $będzie strumieniem entropii$ powierzchni i źródłem entropii na $rho}$ masa jednostkowa. Wtedy nierówność entropii można zapisać jako

${\ Displaystyle {\ cfrac {d} {dt}} \ lewo (\ int _ {\ Omega} \ rho ~ \ eta ~ {\ tekst {dV}} \ prawej) \ geq \ int _ {\ częściowe \ Omega} \rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{dA}}+\int _{\częściowo \Omega }{\bar {q}} ~{\text{dA}}+\int _{\Omega}\rho ~r~{\text{dV}}.}$

Skalarny strumień entropii można powiązać ze strumieniem wektorowym na powierzchni za pomocą relacji ${\ Displaystyle {\ bar {q}} = - {\ boldsymbol {\ psi}} (\ mathbf {x} )\cdot \mathbf {n}}$ . Przy założeniu przyrostowych warunków izotermicznych mamy

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ psi}} (\ mathbf {x}) = {\ cfrac {\ mathbf {q} (\ mathbf {x})} {T}} ~; ~ ~ r = {\cfrac {s}{T}}}$

gdzie jest $wektorem$ strumienia ciepła, $źródłem$ na jednostkę masy i jest temperaturą bezwzględną punktu materialnego w $displaystyle \ mathbf {x}}$${ \ displaystyle$$}$ w czasie ${\ displaystyle t}$ .

Mamy wtedy nierówność Clausiusa-Duhema w postaci całkowej:

${\ Displaystyle {{\ cfrac {d} {dt}} \ lewo (\ int _ {\ Omega} \ rho ~ \ eta ~ {\ tekst {dV}} \ prawej) \ geq \ int _ {\ częściowe \ Omega }\rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{dA}}-\int _{\częściowe \Omega}}{\cfrac {\mathbf {q} \cdot \mathbf {n} }{T}}~{\text{dA}}+\int _{\Omega }{\cfrac {\rho ~s}{T}}~{\text{dV }}.}}$

Możemy pokazać, że nierówność entropijną można zapisać w postaci różniczkowej jako

${\ Displaystyle {\ rho ~ {\ kropka {\ eta}} \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ lewo ({\ cfrac {\ mathbf {q}}} {T}} \ prawej) + { \cfrac {\rho ~s}{T}}.}}$

Pod względem naprężenia Cauchy'ego i energii wewnętrznej nierówność Clausiusa-Duhema można zapisać jako

${\ Displaystyle {\ rho ~ ({\ kropka {e}} -T ~ {\ kropka {\ eta}}) - {\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} \leq -{\cfrac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla}}T}{T}}.}}$

Ważność

Słuszność założenia o kontinuum można zweryfikować za pomocą analizy teoretycznej, w której albo identyfikuje się pewną wyraźną okresowość, albo występuje statystyczna jednorodność i ergodyczność mikrostruktury . Mówiąc dokładniej, hipoteza kontinuum opiera się na koncepcjach reprezentatywnej objętości elementarnej i separacji łusek w oparciu o warunek Hilla-Mandela. Warunek ten zapewnia powiązanie punktu widzenia eksperymentatora i teoretyka na równania konstytutywne (liniowe i nieliniowe pola sprężyste/niesprężyste lub sprzężone) oraz sposób przestrzennego i statystycznego uśredniania mikrostruktury. Gdy separacja skal nie jest zachowana lub gdy chce się ustanowić kontinuum o rozdzielczości dokładniejszej niż rozmiar reprezentatywnego elementu objętości (RVE), stosuje się statystyczny element objętości (SVE), co skutkuje losowymi polami kontinuum. Te ostatnie stanowią następnie podstawę mikromechaniki dla stochastycznych elementów skończonych (SFE). Poziomy SVE i RVE łączą mechanikę kontinuum z mechaniką statystyczną . Eksperymentalnie RVE można ocenić tylko wtedy, gdy odpowiedź konstytutywna jest przestrzennie jednorodna.

Aplikacje

• Mechanika kontinuum
  • Solidna mechanika
  • Mechanika płynów
• Inżynieria
  • Inżynieria lądowa
  • Inżynieria mechaniczna
  • Inżynieria lotnicza
  • Inżynieria biomedyczna
  • Inżynieria chemiczna

Zobacz też

• Zjawiska transportowe
• Zasada Bernoulliego
• Cauchy elastyczny materiał
• Mechanika konfiguracyjna
• Współrzędne krzywoliniowe
• Równanie stanu
• Tensory odkształcenia skończonego
• Skończona teoria odkształceń
• Materiał hiperelastyczny
• Lagranżowska i Eulera specyfikacja pola przepływu
• Ruchomy automat komórkowy
• Perydynamika (teoria kontinuum nielokalnego prowadząca do równań całkowych)
• Stres (fizyka)
• Środki na stres
• Rachunek tensorowy
• Pochodna tensora (mechanika kontinuum)
• Teoria sprężystości

Notatki wyjaśniające

Prace cytowane

•   Atanackovic, Teodor M.; Guran, Ardeshir (16 czerwca 2000). Teoria sprężystości dla naukowców i inżynierów . Dover książki o fizyce. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4072-9 .
•   Chadwick, Peter (1 stycznia 1999). Mechanika kontinuum: zwięzła teoria i problemy . Firma kurierska. ISBN 978-0-486-40180-5 .
•   Dienes, JK; Solem, JC (1999). „Nieliniowe zachowanie niektórych izotropowych pianek elastomerowych poddanych naprężeniom hydrostatycznym” . Acta Mechanica . 138 (3–4): 155–162. doi : 10.1007/BF01291841 . S2CID 120320672 .

•   Fung, YC (1977). Pierwszy kurs mechaniki kontinuum (wyd. 2). Prentice-Hall, Inc. ISBN 978-0-13-318311-5 .
•   Irgens, Fridtjov (10 stycznia 2008). Mechanika kontinuum . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-74298-2 .
•   Liu, I-Shih (28 maja 2002). Mechanika kontinuum . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-43019-3 .
•   Lubliner, Jakub (2008). Teoria plastyczności (PDF) (poprawiona red.). Publikacje Dover. ISBN 978-0-486-46290-5 . Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 31 marca 2010 r.

•   Ostoja-Starzewski, M. (2008). „7-10” . Losowość i skalowalność mikrostruktury w mechanice materiałów . Prasa CRC. ISBN 978-1-58488-417-0 .

•   Spencer, AJM (1980). Mechanika kontinuum . Longman Group Limited (Londyn). P. 83. ISBN 978-0-582-44282-5 .

• Roberts, AJ (1994). Jednowymiarowe wprowadzenie do mechaniki ośrodków ciągłych . Świat naukowy.

•   Smith, Donald R. (1993). „2” . Wprowadzenie do mechaniki kontinuum – po Truesdellu i Nollu . Mechanika ciał stałych i jej zastosowania. Tom. 22. Springer Science & Business Media. ISBN 978-90-481-4314-6 .
•   Wu, Han-Chin (20 grudnia 2004). Mechanika kontinuum i plastyczność . Taylora i Franciszka. ISBN 978-1-58488-363-0 .

Ogólne odniesienia

• Batra, RC (2006). Elementy mechaniki kontinuum . Reston, Wirginia: AIAA.

•    Bertram, Albrecht (2012). Elastyczność i plastyczność dużych odkształceń - wprowadzenie (wyd. Trzecie). Skoczek. doi : 10.1007/978-3-642-24615-9 . ISBN 978-3-642-24615-9 . S2CID 116496103 .

•   Chandramouli, PN (2014). Mechanika kontinuum . Tak Dee Publishing Pvt Ltd. ISBN 9789380381398 .

•   Eringen, A. Cemal (1980). Mechanika Continua (wyd. 2). Krieger Pub Co. ISBN 978-0-88275-663-9 .

•   Chen, Youping; Jamesa D. Lee; Azim Eskandarian (2009). Bezsiatkowe metody w mechanice ciał stałych (pierwsze wyd.). Springera w Nowym Jorku. ISBN 978-1-4419-2148-2 .

•   Koper, Ellis Harold (2006). Mechanika kontinuum: sprężystość, plastyczność, lepkosprężystość . Niemcy: CRC Press. ISBN 978-0-8493-9779-0 .

•   Dimitrienko, Jurij (2011). Nieliniowa mechanika ośrodków ciągłych i duże odkształcenia niesprężyste . Niemcy: Springer. ISBN 978-94-007-0033-8 .

•   Hutter, Kolumban; Klausa Jöhnka (2004). Continuum Metody modelowania fizycznego . Niemcy: Springer. ISBN 978-3-540-20619-4 .

• Gurtin, ME (1981). Wprowadzenie do mechaniki ośrodków ciągłych . Nowy Jork: prasa akademicka.

•   Lai, W. Michael; Dawid Rubin; Erharda Krempla (1996). Wprowadzenie do mechaniki ośrodków ciągłych (wyd. 3). Elsevier, Inc. ISBN 978-0-7506-2894-5 . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 6 lutego 2009 r.

•   Lubarda, Vlado A. (2001). Teoria sprężystości . Prasa CRC. ISBN 978-0-8493-1138-3 .

• Malvern, Lawrence E. (1969). Wprowadzenie do mechaniki ośrodka ciągłego . New Jersey: Prentice-Hall, Inc.

•   Mase, George E. (1970). Mechanika kontinuum . Profesjonalista McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-040663-6 .

•   Mase, G. Thomas; George E. Mase (1999). Mechanika kontinuum dla inżynierów (wyd. Drugie). Prasa CRC. ISBN 978-0-8493-1855-9 .

• Maugin, GA (1999). Termomechanika nieliniowych nieodwracalnych zachowań: wprowadzenie . Singapur: świat naukowy.
•   Nemat-Nasser, Sia (2006). Plastyczność: traktat o skończonej deformacji heterogenicznych materiałów nieelastycznych . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83979-2 .

•   Ostoja-Starzewski, Martin (2008). Losowość mikrostrukturalna i skalowanie w mechanice materiałów . Boca Raton, Floryda: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 978-1-58488-417-0 .

•   Rees, David (2006). Podstawowa plastyczność inżynierska - wprowadzenie do zastosowań inżynieryjnych i produkcyjnych . Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-8025-7 .

• Wright, TW (2002). Fizyka i matematyka adiabatycznych pasm ścinania . Cambridge, Wielka Brytania: Cambridge University Press.

Linki zewnętrzne

• „Obiektywizm w klasycznej mechanice continuum: ruchy, funkcje Eulera i Lagrange'a; gradient deformacji; pochodne Liego; wzór na prędkość-dodatek, Coriolis; obiektywność” Gilles Leborgne, 7 kwietnia 2021 r.: „Część IV Formuła dodawania prędkości i obiektywność”