Prawo Hooke'a

Prawo Hooke'a: siła jest proporcjonalna do wydłużenia

Rurki Bourdona oparte są na prawie Hooke'a. Siła wytworzona przez ciśnienie gazu wewnątrz zwiniętej metalowej rurki powyżej rozwija ją o wielkość proporcjonalną do ciśnienia.

Koło balansowe w rdzeniu wielu mechanicznych zegarów i zegarków zależy od prawa Hooke'a. Ponieważ moment obrotowy generowany przez sprężynę śrubową jest proporcjonalny do kąta obrotu koła, jego oscylacje mają prawie stały okres.

W fizyce prawo Hooke'a jest prawem empirycznym , które stwierdza, że ​​siła ( F ) potrzebna do rozciągnięcia lub ściśnięcia sprężyny o pewną odległość ( x ) skaluje się liniowo względem tej odległości — to znaczy F _s = kx , gdzie k jest a współczynnik stały charakterystyczny dla sprężyny (tj. jej sztywność ) oraz x jest niewielka w porównaniu z całkowitym możliwym odkształceniem sprężyny. Prawo nosi imię XVII-wiecznego brytyjskiego fizyka Roberta Hooke'a . Po raz pierwszy sformułował to prawo w 1676 r. jako łaciński anagram . Opublikował rozwiązanie swojego anagramu w 1678 roku jako: ut tensio, sic vis („jako przedłużenie, więc siła” lub „rozciągnięcie jest proporcjonalne do siły”). Hooke stwierdza w pracy 1678, że był świadomy prawa od 1660 roku.

Równanie Hooke'a obowiązuje (do pewnego stopnia) w wielu innych sytuacjach, w których elastyczne ciało jest zdeformowane , na przykład wiatr wiejący w wysoki budynek lub muzyk szarpie strunę gitary . Sprężyste ciało lub materiał, dla którego można założyć to równanie, nazywa się liniowo-sprężystym lub Hookeanem .

Prawo Hooke'a jest jedynie liniowym przybliżeniem pierwszego rzędu rzeczywistej odpowiedzi sprężyn i innych ciał sprężystych na przyłożone siły. Musi w końcu zawieść, gdy siły przekroczą pewną granicę, ponieważ żaden materiał nie może zostać ściśnięty powyżej pewnego minimalnego rozmiaru ani rozciągnięty poza maksymalny rozmiar, bez trwałego odkształcenia lub zmiany stanu. Wiele materiałów będzie zauważalnie odbiegać od prawa Hooke'a na długo przed osiągnięciem tych granic sprężystości .

Z drugiej strony prawo Hooke'a jest dokładnym przybliżeniem dla większości ciał stałych, o ile siły i odkształcenia są wystarczająco małe. Z tego powodu prawo Hooke'a jest szeroko stosowane we wszystkich gałęziach nauki i inżynierii i stanowi podstawę wielu dyscyplin, takich jak sejsmologia , mechanika molekularna i akustyka . Jest to również podstawowa zasada stojąca za skalą sprężynową , manometrem , galwanometrem i kołem balansowym zegara mechanicznego .

Współczesna teoria sprężystości uogólnia prawo Hooke'a, mówiąc, że odkształcenie (odkształcenie) elastycznego przedmiotu lub materiału jest proporcjonalne do przyłożonego do niego naprężenia . Jednakże, ponieważ ogólne naprężenia i odkształcenia mogą mieć wiele niezależnych składników, „współczynnik proporcjonalności” może już nie być tylko pojedynczą liczbą rzeczywistą, ale raczej mapą liniową ( tensorem ) , którą można przedstawić za pomocą macierzy liczb rzeczywistych.

W tej ogólnej postaci prawo Hooke'a umożliwia wydedukowanie związku między odkształceniem a naprężeniem dla złożonych obiektów pod względem wewnętrznych właściwości materiałów, z których są wykonane. Na przykład można wywnioskować, że jednorodny pręt o jednolitym przekroju będzie zachowywał się po rozciągnięciu jak prosta sprężyna, ze sztywnością k wprost proporcjonalną do pola przekroju poprzecznego i odwrotnie proporcjonalną do długości.

Definicja formalna

Do sprężyn liniowych

Rozważmy prostą sprężynę śrubową , której jeden koniec jest przymocowany do jakiegoś nieruchomego przedmiotu, podczas gdy wolny koniec jest ciągnięty przez siłę o wartości F _s . Załóżmy, że sprężyna osiągnęła stan równowagi , w którym jej długość już się nie zmienia. Niech x będzie wartością, o jaką wolny koniec sprężyny został przesunięty z pozycji „zrelaksowanej” (gdy nie jest rozciągana). Mówi o tym prawo Hooke'a

$${\ Displaystyle F_ {s} = kx}$$

lub równoważnie,

$${\ Displaystyle x = {\ Frac {F_ {s}} {k}}}$$

gdzie k jest dodatnią liczbą rzeczywistą charakterystyczną dla sprężyny. Co więcej, ten sam wzór obowiązuje, gdy sprężyna jest ściśnięta, przy czym F _s i x są w tym przypadku ujemne. Zgodnie z tym wzorem wykres przyłożonej siły F _s w funkcji przemieszczenia x będzie linią prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych , której nachylenie wynosi k .

Prawo Hooke'a dla sprężyny jest czasami, ale rzadko, stwierdzane zgodnie z konwencją, że F _s jest siłą przywracającą wywieraną przez sprężynę na cokolwiek, co ciągnie jej wolny koniec. W takim przypadku równanie staje się

$${\ Displaystyle F_ {s} = - kx}$$

ponieważ kierunek siły przywracającej jest przeciwny do kierunku przemieszczenia.

Ogólne sprężyny „skalarne”.

Prawo sprężystości Hooke'a zwykle ma zastosowanie do dowolnego elastycznego obiektu o dowolnej złożoności, o ile zarówno odkształcenie, jak i naprężenie można wyrazić pojedynczą liczbą, która może być zarówno dodatnia, jak i ujemna.

Na przykład, gdy blok gumy przymocowany do dwóch równoległych płyt jest odkształcany przez ścinanie , a nie rozciąganie lub ściskanie, siła ścinająca F _s i boczne przemieszczenie płytek x są zgodne z prawem Hooke'a (dla wystarczająco małych odkształceń).

Prawo Hooke'a ma również zastosowanie, gdy prosty pręt stalowy lub belka betonowa (taka jak ta stosowana w budynkach), podparta na obu końcach, jest zginana przez ciężar F umieszczony w jakimś pośrednim punkcie. Przemieszczenie x w tym przypadku jest odchyleniem belki, mierzonym w kierunku poprzecznym, względem jej nieobciążonego kształtu.

Prawo ma również zastosowanie, gdy rozciągnięty drut stalowy jest skręcany przez pociągnięcie za dźwignię przymocowaną do jednego końca. W tym przypadku naprężenie F _s można przyjąć jako siłę przyłożoną do dźwigni, a x jako odległość przebytą przez nią wzdłuż jej toru kołowego. Lub, równoważnie, można przyjąć, że F _s będzie momentem obrotowym wywieranym przez dźwignię na koniec drutu, a x będzie kątem, o jaki ten koniec się obraca. W obu przypadkach F _s jest proporcjonalne do x (chociaż stała k w każdym przypadku jest inny).

Formuła wektorowa

W przypadku sprężyny śrubowej, która jest rozciągana lub ściskana wzdłuż swojej osi , przyłożona (lub przywracająca) siła i wynikające z niej wydłużenie lub ściskanie mają ten sam kierunek (który jest kierunkiem wspomnianej osi). Dlatego, jeśli F _s i x są zdefiniowane jako wektory , równanie Hooke'a nadal obowiązuje i mówi, że wektor siły jest wektorem wydłużenia pomnożonym przez ustalony skalar .

Ogólna forma tensorowa

Niektóre ciała sprężyste odkształcą się w jednym kierunku, gdy zostaną poddane działaniu siły o innym kierunku. Jednym z przykładów jest pozioma belka drewniana o przekroju prostokątnym innym niż kwadrat, która jest zginana przez obciążenie poprzeczne, które nie jest ani pionowe, ani poziome. W takich przypadkach wielkość przemieszczenia x będzie proporcjonalna do wielkości siły F _s , o ile kierunek tej ostatniej pozostaje ten sam (a jej wartość nie jest zbyt duża); więc skalarna wersja prawa Hooke'a F _s = − kx utrzyma. Jednak wektory siły i przemieszczenia nie będą skalalnymi wielokrotnościami siebie nawzajem, ponieważ mają różne kierunki. Ponadto stosunek k między ich wielkościami będzie zależał od kierunku wektora F _s .

Jednak w takich przypadkach często istnieje stała liniowa zależność między wektorami siły i odkształcenia, o ile są one wystarczająco małe. Mianowicie istnieje funkcja κ od wektorów do wektorów, taka że F = κ ( X ) i κ ( α X ₁ + β X ₂ ) = α κ ( X ₁ ) + β κ ( X ₂ ) dla dowolnych liczb rzeczywistych α , β i dowolne wektory przemieszczenia X ₁ , X ₂ . Taka funkcja nazywana jest tensorem (drugiego rzędu) .

W odniesieniu do dowolnego układu współrzędnych kartezjańskich wektory siły i przemieszczenia można przedstawić za pomocą macierzy liczb rzeczywistych 3 × 1. Wówczas łączący je tensor κ można przedstawić za pomocą macierzy κ 3 × 3 rzeczywistych współczynników, która po pomnożeniu przez wektor przemieszczenia daje wektor siły:

$${\ Displaystyle \ mathbf {F} \, = \, {\ rozpocząć {bmatrix} F_ {1} \\ F_ {2} \\ F_ {3} \ koniec {bmatrix}} \, = \, {\ rozpocząć { bmatrix}\kappa _{11}&\kappa_{12}&\kappa _{13}\\\kappa _{21}&\kappa _{22}&\kappa _{23}\\\kappa _{ 31}&\kappa _{32}&\kappa_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}} \,=\,{\boldsymbol {\kappa}}\mathbf {X}}$$

To jest,

$${\ Displaystyle F_ {i} = \ kappa _ {i1} X_ {1} + \ kappa _ {i2} X_ {2} + \kappa _{i3}X_{3}}$$

dla i = 1, 2, 3 . Dlatego można powiedzieć, że prawo Hooke'a F = κ X obowiązuje również wtedy, gdy X i F są wektorami o zmiennych kierunkach, z wyjątkiem tego, że sztywność obiektu jest tensorem κ , a nie pojedynczą liczbą rzeczywistą k .

Prawo Hooke'a dla ośrodków ciągłych

Główny artykuł: elastyczność liniowa

(a) Schemat nanosprężyny polimerowej. Promień cewki R, skok P, długość sprężyny L i liczba zwojów N wynoszą odpowiednio 2,5 μm, 2,0 μm, 13 μm i 4. Mikrografie elektronowe nanosprężyny przed obciążeniem (be), rozciągnięte (f), ściśnięte (g), zgięte (h) i odzyskane (i). Wszystkie paski skali mają 2 μm. Sprężyna podążała za liniową reakcją na przyłożoną siłę, demonstrując ważność prawa Hooke'a w nanoskali.

Naprężenia i odkształcenia materiału wewnątrz ciągłego elastycznego materiału (takiego jak blok gumy, ściana kotła lub stalowy pręt) są połączone liniową zależnością, która jest matematycznie podobna do prawa sprężystości Hooke'a i jest często określana do tego imienia.

Jednak stanu odkształcenia w ośrodku stałym wokół pewnego punktu nie można opisać pojedynczym wektorem. Ta sama paczka materiału, bez względu na to, jak mała, może być jednocześnie ściskana, rozciągana i ścinana w różnych kierunkach. Podobnie naprężenia w tej paczce mogą jednocześnie pchać, ciągnąć i ścinać.

Aby uchwycić tę złożoność, odpowiedni stan ośrodka wokół punktu musi być reprezentowany przez tensory drugiego rzędu, tensor odkształcenia ε ( zamiast przemieszczenia X ) i tensor naprężenia σ (zastępujący siłę przywracającą F ). Odpowiednikiem prawa sprężyny Hooke'a dla ośrodków ciągłych jest zatem

$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ mathbf {c} {\ boldsymbol {\ varepsilon}},}$$

gdzie c jest tensorem czwartego rzędu (to znaczy liniową mapą między tensorami drugiego rzędu), zwykle nazywanym tensorem sztywności lub tensorem sprężystości . Można to również zapisać jako

$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = \ mathbf {s} {\ boldsymbol {\ sigma}}}$$

gdzie tensor s , zwany tensorem zgodności , reprezentuje odwrotność wspomnianego odwzorowania liniowego.

W kartezjańskim układzie współrzędnych tensory naprężenia i odkształcenia można przedstawić za pomocą macierzy 3 × 3

$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} \, = \, {\ rozpocząć {bmatrix} \ varepsilon _ {11} i \ varepsilon _ {12} i \ varepsilon _ {13} \\\ varepsilon _ {21} &\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22 }&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$

Będąc liniowym odwzorowaniem między dziewięcioma liczbami cijkl _σ ij _i dziewięcioma liczbami ε _kl , tensor sztywności c jest reprezentowany przez macierz 3 × 3 × 3 × 3 = 81 liczb rzeczywistych . Mówi o tym prawo Hooke'a

$${\ Displaystyle \ sigma _ {ij} = \ suma _ {k = 1} ^ {3} \ suma _ {l$$

gdzie ja , j = 1,2,3 .

Wszystkie trzy tensory generalnie zmieniają się od punktu do punktu wewnątrz ośrodka i mogą również zmieniać się w czasie. Tensor odkształcenia ε określa jedynie przemieszczenie cząstek ośrodka w sąsiedztwie punktu, podczas gdy tensor naprężenia σ określa siły, jakie wywierają na siebie sąsiednie cząstki ośrodka. Dlatego są niezależne od składu i stanu fizycznego materiału. tensor sztywności c jest właściwością materiału i często zależy od zmiennych stanu fizycznego, takich jak temperatura, ciśnienie i mikrostruktura .

Ze względu na nieodłączne symetrie σ , ε i c , tylko 21 współczynników sprężystości tych ostatnich jest niezależnych. Liczbę tę można dodatkowo zmniejszyć dzięki symetrii materiału: 9 dla rombowego , 5 dla struktury heksagonalnej i 3 dla symetrii sześciennej . W przypadku izotropowych (które mają takie same właściwości fizyczne w dowolnym kierunku), c można zredukować tylko do dwóch niezależnych liczb, modułu objętościowego K i modułu ścinania G , które określają ilościowo odporność materiału odpowiednio na zmiany objętości i odkształcenia ścinające.

Prawa analogiczne

jak te opisujące ruch płynów lub polaryzację dielektryka przez pole elektryczne .

W szczególności równanie tensora σ = cε odnoszące naprężenia sprężyste do odkształceń jest całkowicie podobne do równania τ = με̇ odnoszące się do tensora naprężenia lepkiego τ i tensora prędkości odkształcenia ε̇ w przepływach lepkich płynów; chociaż pierwsza dotyczy statycznych (związanych z wielkością odkształcenia), podczas gdy druga dotyczy naprężeń dynamicznych (związanych z szybkością odkształcenia).

Jednostki miary

W jednostkach SI przemieszczenia są mierzone w metrach (m), a siły w niutonach (N lub kg·m/s ² ). W związku z tym stałą sprężystości k i każdy element tensora κ mierzy się w niutonach na metr (N/m) lub kilogramach na sekundę do kwadratu (kg/s ² ).

W przypadku ośrodków ciągłych każdy element tensora naprężenia σ jest siłą podzieloną przez pole; jest zatem mierzony w jednostkach ciśnienia, a mianowicie paskalach (Pa lub N/m ² lub kg/(m·s ² ). Elementy tensora odkształcenia ε są bezwymiarowe (przemieszczenia podzielone przez odległości). Dlatego wpisy c _{ijkl są} również wyrażone w jednostkach ciśnienia.

Ogólne zastosowanie do materiałów elastycznych

Krzywa naprężenie-odkształcenie dla stali niskowęglowej, przedstawiająca zależność między naprężeniem (siła na jednostkę powierzchni) a odkształceniem (wynikające z tego ściskanie/rozciąganie, znane jako odkształcenie). Prawo Hooke'a obowiązuje tylko dla części krzywej między początkiem a granicą plastyczności (2).

• 1: Najwyższa siła
• 2: Granica plastyczności (granica plastyczności)
• 3: Pęknięcie
• 4: Obszar utwardzania przez odkształcenie
• 5: Obszar szyi
• A: Naprężenie pozorne ( F / A ₀ )
• B: Naprężenie rzeczywiste ( F / A )

Obiekty, które szybko odzyskują swój pierwotny kształt po odkształceniu przez siłę, a cząsteczki lub atomy ich materiału powracają do początkowego stanu stabilnej równowagi, często podlegają prawu Hooke'a.

Prawo Hooke'a obowiązuje tylko dla niektórych materiałów w określonych warunkach obciążenia. Stal wykazuje zachowanie liniowo-sprężyste w większości zastosowań inżynierskich; Prawo Hooke'a obowiązuje dla niej w całym jej zakresie sprężystości (tj. dla naprężeń poniżej granicy plastyczności ). W przypadku niektórych innych materiałów, takich jak aluminium, prawo Hooke'a obowiązuje tylko dla części zakresu sprężystości. Dla tych materiałów proporcjonalne naprężenie graniczne , poniżej którego błędy związane z przybliżeniem liniowym są pomijalne.

Guma jest ogólnie uważana za materiał „nie-Hookean”, ponieważ jej elastyczność zależy od naprężeń i jest wrażliwa na temperaturę i szybkość obciążenia.

Uogólnień prawa Hooke'a dla przypadku dużych deformacji dostarczają modele brył neo-Hooke'a i brył Mooneya-Rivlina .

Formuły pochodne

Naprężenie rozciągające jednorodnego pręta

Pręt z dowolnego elastycznego materiału można traktować jako sprężynę liniową . Pręt ma długość L i pole przekroju poprzecznego A . Jego naprężenie rozciągające σ jest liniowo proporcjonalne do jego ułamkowego wydłużenia lub odkształcenia ε o moduł sprężystości E :

$${\ Displaystyle \ sigma = E \ varepsilon.}$$

Moduł sprężystości często można uznać za stały. Z kolei,

$${\ Displaystyle \ varepsilon = {\ Frac {\ Delta L} {L}}}$$

(to znaczy ułamkowa zmiana długości) i od tego czasu

$${\ Displaystyle \ sigma = {\ Frac {F} {A}} \,,}$$

wynika, że:

$${\ Displaystyle \ varepsilon = {\ Frac {\ sigma} {E}} = {\ Frac {F} {AE}} \,.}$$

Zmiana długości może być wyrażona jako

$${\ Displaystyle \ Delta L = \ varepsilon L = {\ Frac {FL} {AE}} \,.}$$

Wiosenna energia

Energia potencjalna U _el ( x ) zmagazynowana w sprężynie jest określona wzorem

$${\ Displaystyle U _ {\ operatorname {el}} (x) = {\ tfrac {1} {2}} kx ^ {2}}$$

co wynika z sumowania energii potrzebnej do stopniowego ściśnięcia sprężyny. To znaczy całka siły po przemieszczeniu. Ponieważ siła zewnętrzna ma taki sam ogólny kierunek jak przemieszczenie, energia potencjalna sprężyny jest zawsze nieujemna.

( _x ) = 1/2 Ten parabolę kx ² . potencjał Uel _Uel można przedstawić jako na płaszczyźnie Ux taką , że Gdy sprężyna jest rozciągana w dodatnim kierunku x , energia potencjalna wzrasta parabolicznie (to samo dzieje się, gdy sprężyna jest ściśnięta). Ponieważ zmiana energii potencjalnej zmienia się ze stałą szybkością:

$${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} U _ {\ operatorname {el}}} {dx ^ {2}}} = k \,.}$$

Zauważ, że zmiana zmiany U jest stała, nawet gdy przemieszczenie i przyspieszenie są równe zeru.

Zrelaksowane stałe siły (uogólnione stałe podatności)

Zrelaksowane stałe siły (odwrotność uogólnionych stałych podatności ) są definiowane jednoznacznie dla układów molekularnych, w przeciwieństwie do zwykłych „sztywnych” stałych sił, a zatem ich użycie umożliwia dokonanie znaczących korelacji między polami sił obliczonymi dla reagentów , stany przejściowe i produkty reakcji chemicznej . Podobnie jak energia potencjalna można zapisać jako formę kwadratową we współrzędnych wewnętrznych, więc można to również zapisać w kategoriach sił uogólnionych. Otrzymane współczynniki nazywane są stałymi zgodności. Istnieje bezpośrednia metoda obliczania stałej podatności dla dowolnej współrzędnej wewnętrznej cząsteczki, bez konieczności przeprowadzania analizy w trybie normalnym. Przydatność stałych siły zrelaksowanej (odwrotnych stałych podatności) jako wiązania kowalencyjnego wykazano już w 1980 r. Ostatnio wykazano również przydatność jako deskryptorów siły wiązania niekowalencyjnego.

Oscylator harmoniczny

Zobacz też: Oscylator harmoniczny

Masa zawieszona na sprężynie jest klasycznym przykładem oscylatora harmonicznego

Masa m przymocowana do końca sprężyny jest klasycznym przykładem oscylatora harmonicznego . Lekkie pociągnięcie masy, a następnie puszczenie jej, spowoduje wprawienie układu w sinusoidalny ruch oscylacyjny wokół położenia równowagi. W zakresie, w jakim sprężyna przestrzega prawa Hooke'a i można pominąć tarcie i masę sprężyny, amplituda oscylacji pozostanie stała; a jego częstotliwość f będzie niezależna od jego amplitudy, określonej tylko przez masę i sztywność sprężyny:

$${\ Displaystyle f = {\ Frac {1} {2 \ pi}} {\ sqrt {\ Frac {k} {m}}}}$$

Zjawisko to umożliwiło skonstruowanie dokładnych zegarów mechanicznych i zegarków, które można było nosić na statkach iw kieszeniach ludzi.

Obrót w przestrzeni wolnej od grawitacji

Gdyby masę m przymocowano do sprężyny o stałej sile k i obracającej się w wolnej przestrzeni, napięcie sprężyny ( F _t ) zapewniłoby wymaganą siłę dośrodkową ( F _c ):

$${\ Displaystyle F _ {\ operatorname {t}} = kx \,; \ qquad F _ {\ operatorname {c}} = m \ omega ^ {2} r}$$

Ponieważ F _t = F _c i x = r , to:

$${\ Displaystyle k = m \ omega ^ {2}}$$

Biorąc pod uwagę, że ω = 2π f , prowadzi to do tego samego równania częstotliwości, co powyżej:

$${\ Displaystyle f = {\ Frac {1} {2 \ pi}} {\ sqrt {\ Frac {k} {m}}}}$$

Liniowa teoria sprężystości ośrodków ciągłych

Zobacz też: Tensor sprężystości

Uwaga: poniżej zastosowano konwencję sumowania Einsteina polegającą na sumowaniu na powtarzających się indeksach.

Materiały izotropowe

Aby zapoznać się z analogicznym rozwojem lepkich płynów, zobacz Lepkość .

Materiały izotropowe charakteryzują się właściwościami niezależnymi od kierunku w przestrzeni. Równania fizyczne obejmujące materiały izotropowe muszą zatem być niezależne od układu współrzędnych wybranego do ich reprezentacji. Tensor odkształcenia jest tensorem symetrycznym. Ponieważ ślad dowolnego tensora jest niezależny od dowolnego układu współrzędnych, najbardziej kompletnym rozkładem tensora symetrycznego bez współrzędnych jest przedstawienie go jako sumy stałego tensora i bezśladowego tensora symetrycznego. Zatem w notacji indeksowej :

$$\ Displaystyle \ varepsilon _ {ij} = \ lewo ({\ tfrac {1} {3} }}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij} \Prawidłowy)}$$

gdzie δ _ij jest deltą Kroneckera . W bezpośredniej notacji tensorowej:

$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = \ nazwa operatora {vol} ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}) + \ nazwa operatora {dev} ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}) \ ,; \ qquad \ nazwa operatora {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon}})={\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon}})~\mathbf {I} \,;\qquad \operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon}})={\boldsymbol {\varepsilon}}-\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon}})}$$

gdzie I jest tensorem tożsamości drugiego rzędu.

Pierwszy człon po prawej to tensor stały, znany również jako objętościowy tensor odkształcenia , a drugi człon to bezśladowy tensor symetryczny, znany również jako dewiatoryczny tensor odkształcenia lub tensor ścinania.

Najbardziej ogólną postać prawa Hooke'a dla materiałów izotropowych można teraz zapisać jako liniową kombinację tych dwóch tensorów:

$${\ Displaystyle \ sigma _ {ij} = 3K \ lewo ({\ tfrac {1} {3}} \ varepsilon _ {kk} \ delta _ {ij} \ prawej) + 2G \ lewo (\ varepsilon _ {ij} -{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma}}=3K\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon}})+2G\nazwa operatora {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon}})}$$

gdzie K jest modułem objętościowym , a G jest modułem ścinania .

Korzystając z zależności między modułami sprężystości , równania te można również wyrazić na różne inne sposoby. Powszechną postacią prawa Hooke'a dla materiałów izotropowych, wyrażoną w bezpośredniej notacji tensorowej, jest ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ lambda \ operatorname {tr} ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}) \ mathbf {I} + 2 \ mu {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ mathsf {c}}: {\boldsymbol {\varepsilon}}\,;\qquad {\mathsf {c}}=\lambda \mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +2\mu {\mathsf {I} }}$ gdzie λ = K − 2/3 Lamégo I G = c ₁₁₁₁ 2 c ₁₂₁₂ − i μ = G = c ₁₂₁₂ są stałymi , gdzie jest tensorem tożsamości drugiego rzędu, a ja jest częścią symetryczną tensora tożsamości czwartego rzędu. W notacji indeksowej:

$${\ Displaystyle \ sigma _ {ij} = \ lambda \ varepsilon _ {kk} ~ \ delta _ {ij} + 2 \ mu \ varepsilon _ {ij} = c_ {ijkl} \ varepsilon _ {kl} \,;\qquad c_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\ delta _{jk}\right)}$$

Odwrotna zależność jest

$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ Frac {1} {2 \ mu}}} {\ boldsymbol {\ sigma}} - {\ Frac {\ lambda} {2 \ mu (3 \ lambda +2 \mu )}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} ={\frac {1}{2G}}{\boldsymbol {\sigma }}+\left({\ frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma}})\mathbf {I}}$$

Zatem tensor zgodności w relacji ε = s : σ wynosi

$${\ Displaystyle {\ mathsf {s}} = - {\ Frac {\ lambda} {2 \ mu (3 \ lambda + 2 \ mu)}} \ mathbf {I} \ czasami \ mathbf {I} + {\ frac {1}{2\mu }}{\mathsf {I}}=\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\mathbf {I} \ czasami \mathbf {I} +{\frac {1}{2G}}{\mathsf {I}}}$$

Pod względem modułu Younga i współczynnika Poissona prawo Hooke'a dla materiałów izotropowych można następnie wyrazić jako

$${\ Displaystyle \ varepsilon _ {ij} = {\ Frac {1} {E}} {\ duży (} \ sigma _ {ij} - \ nu (\ sigma _ {kk} \ delta _{ij}-\sigma _{ij}){\big)}\,;\qquad {\boldsymbol {\varepsilon}}={\frac {1}{E}}{\big (}{\boldsymbol { \sigma }}-\nu (\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} -{\boldsymbol {\sigma }}){\big )}={\frac {1+ \nu}{E}}{\boldsymbol {\sigma}}-{\frac {\nu}}{E}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma}})\mathbf {I}}$$

Jest to forma, w której odkształcenie jest wyrażane za pomocą tensora naprężenia w inżynierii. Wyrażenie w rozszerzonej formie to

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ varepsilon _ {11} & = {\ Frac {1} {E}}} {\ duży (} \ sigma _ {11} - \ nu (\ sigma _ {22} + \ sigma _{33}){\big }}\\\varepsilon _{22}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{22}-\nu (\sigma _{ 11}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{33}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{33}-\nu ( \sigma _{11}+\sigma _{22}){\big )}\\\varepsilon _{12}&={\frac {1}{2G}}\sigma _{12}\,;\qquad \varepsilon _{13}={\frac {1}{2G}}\sigma _{13}\,;\qquad \varepsilon _{23}={\frac {1}{2G}}\sigma _{23 }\end{wyrównane}}}$$

gdzie E to moduł Younga , a ν to współczynnik Poissona . (Zobacz elastyczność 3-D ).

Wyprowadzenie prawa Hooke'a w trzech wymiarach

Trójwymiarową postać prawa Hooke'a można wyprowadzić za pomocą współczynnika Poissona i jednowymiarowej postaci prawa Hooke'a w następujący sposób. Relację odkształcenia i naprężenia należy traktować jako superpozycję dwóch efektów: rozciągania w kierunku działania obciążenia (1) i kurczenia się (spowodowanego obciążeniem) w kierunkach prostopadłych (2 i 3),

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ varepsilon _ {1} '& = {\ Frac {1}{E}}\sigma _{1}\,,\\\varepsilon _{2}'&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{1}\,,\\ \varepsilon _{3}'&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{1}\,,\end{wyrównane}}}$$

gdzie ν to współczynnik Poissona, a E to moduł Younga.

Otrzymujemy podobne równania do obciążeń w kierunkach 2 i 3,

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ varepsilon _ {1} '' i = - { \frac {\nu }{E}}\sigma _{2}\,,\\\varepsilon _{2}''&={\frac {1}{E}}\sigma _{2}\,, \\\varepsilon _{3}''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{2}\,,\end{wyrównane}}}$$

I

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ varepsilon _ {1} ''' & = - {\ Frac {\ nu} {E}} \ sigma _ {3} \ ,, \\\ varepsilon _ {2}' ''&=-{\frac {\nu}{E}}\sigma _{3}\,,\\\varepsilon _{3}'''&={\frac {1}{E}}\sigma _{3}\,.\end{wyrównane}}}$$

Sumując razem trzy przypadki ( ε _i = ε _i ′ + ε _i ″ + ε _i ‴ ) otrzymujemy

$$} \ varepsilon _ {1} & = {\ Frac {1} {E}} {\ duży (} \ sigma _ {1} - \ nu (\ sigma _ { 2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{2}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{2}- \nu (\sigma _{1}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big (} \sigma _{3}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}){\big )}\,,\end{wyrównane}}}$$

lub dodając i odejmując jeden νσ

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ varepsilon _ {1} & = {\ Frac {1} {E}}} {\ duży (} (1 + \ nu) \ sigma _ {1} - \ nu (\ sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{2}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )\sigma _{2}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\ varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )\sigma _{3}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2 }+\sigma _{3}){\big )}\,,\end{wyrównane}}}$$

i dalej dochodzimy rozwiązując σ ₁

$${\ Displaystyle \ sigma _ {1} = {\ Frac {E} {1+ \ nu}} \ varepsilon _ {1} + {\ Frac {\ nu} {1+ \ nu}} (\ sigma _ {1 }+\sigma _{2}+\sigma _{3})\,.}$$

Obliczanie sumy

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ varepsilon _ {1} + \ varepsilon _ {2} + \ varepsilon _ {3} & = {\ Frac {1} {E}}} {\ duży (} (1+ \ nu )(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})-3\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}) {\big )}={\frac {1-2\nu }{E}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})\\\sigma _{1} +\sigma _{2}+\sigma _{3}&={\frac {E}{1-2\nu }}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3 })\end{wyrównane}}}$$

i podstawienie go do równania rozwiązanego dla σ ₁ daje

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ sigma _ {1} & = {\ Frac {E} {1+ \ nu}} \ varepsilon _ {1} + {\ Frac {E \ nu} {(1+ \ nu )(1-2\nu )}}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\\&=2\mu \varepsilon _{1}+\lambda ( \varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\,,\end{wyrównane}}}$$

gdzie μ i λ to parametry Lamego .

Podobne traktowanie kierunków 2 i 3 daje prawo Hooke'a w trzech wymiarach.

W postaci macierzowej prawo Hooke'a dla materiałów izotropowych można zapisać jako

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ varepsilon _ {11} \\\ varepsilon _ {22} \\\ varepsilon _ {33} \\ 2 \ varepsilon _ {23} \\ 2 \ varepsilon _ {13} \ \2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\ gamma _{23}\\\gamma _{13}\\\gamma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&- \nu &-\nu &0&0&0\\-\nu &1&-\nu &0&0&0\\-\nu &-\nu &1&0&0&0\\0&0&0&2+2\nu &0&0\\0&0&0&0&2+2\nu &0\\0&0&0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13} \\\sigma _{12}\end{bmacierz}}}$$

gdzie γ _ij = 2 ε _ij jest inżynieryjnym odkształceniem ścinającym . Odwrotną zależność można zapisać jako

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ sigma _ {11} \\\ sigma _ {22} \\\ sigma _ {33} \\\ sigma _ {23} \\\ sigma _ {13} \\\ sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\ nu &\nu &0&0&0\\\nu &1-\nu &\nu &0&0&0\\\nu &\nu &1-\nu &0&0&0\\0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0&0\\0&0&0&0& {\frac {1-2\nu }{2}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11} \\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$

co można uprościć dzięki stałym Lamégo:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ sigma _ {11} \\\ sigma _ {22} \\\ sigma _ {33} \\\ sigma _ {23} \\\ sigma _ {13} \ \\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}2\mu +\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &2\mu +\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &2\mu +\lambda &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11} \\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$

W notacji wektorowej tak się dzieje

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ sigma _ {11} i \ sigma _ {12} i \ sigma _ {13} \\\ sigma _ {12} i \ sigma _ {22} i \ sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\,=\,2\mu {\begin{bmatrix}\varepsilon _ {11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}+\lambda \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\right )}$$

gdzie I jest tensorem tożsamości.

Stres samolotowy

W płaskich warunkach naprężenia σ ₃₁ = σ ₁₃ = σ ₃₂ = σ ₂₃ = σ ₃₃ = 0 . W takim przypadku prawo Hooke'a przybiera formę

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ sigma _ {11} \\\ sigma _ {22} \\\ sigma _ {12} \ koniec {bmatrix}} \, = \, {\ frac {E} {1 -\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{\frac {1-\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{ bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$

W notacji wektorowej tak się dzieje

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} \\\ sigma _ {12} i \ sigma _ {22} \ koniec {bmatrix}} \, = \, {\ frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left((1-\nu ){\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{12 }&\varepsilon _{22}\end{bmatrix}}+\nu \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}\right)\right)}$$

Relacja odwrotna jest zwykle zapisywana w postaci zredukowanej

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ varepsilon _ {11} \\\ varepsilon _ {22} \\ 2 \ varepsilon _ {12} \ koniec {bmatrix}} \, = \, {\ frac {1} E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &0\\-\nu &1&0\\0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _ {22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}$$

Odkształcenie samolotu

W płaskich warunkach odkształcenia ε ₃₁ = ε ₁₃ = ε ₃₂ = ε ₂₃ = ε ₃₃ = 0 . W tym przypadku prawo Hooke'a przybiera formę

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ sigma _ {11} \\\ sigma _ {22} \\\ sigma _ {12} \ koniec {bmatrix}} \, = \, {\ frac {E} {( 1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &0\\\nu &1-\nu &0\\0&0&{\frac {1-2\nu } {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$

Materiały anizotropowe

Z symetrii tensora naprężenia Cauchy'ego ( σ _ij = σ _ji ) i uogólnionych praw Hooke'a ( σ _ij = c _ijkl ε _kl ) wynika, że ​​c _ijkl = c _jikl . Podobnie z symetrii nieskończenie małego tensora odkształcenia wynika, że ​​c _ijkl = c _ijlk . Symetrie te nazywane są mniejszymi symetriami tensora sztywności do . Zmniejsza to liczbę stałych elastycznych z 81 do 36.

Jeśli dodatkowo, ponieważ gradient przemieszczenia i naprężenie Cauchy'ego są sprzężone z pracą, zależność naprężenie-odkształcenie można wyprowadzić z funkcjonału gęstości energii odkształcenia ( U ), to

$${\ Displaystyle \ sigma _ {ij} = {\ Frac {\ częściowe U} {\ częściowe \ varepsilon _ {ij}}} \ quad \ implikuje \ quad c_ {ijkl} = {\ Frac {\ częściowe ^ {2} U}{\częściowy \varepsilon _{ij}\częściowy \varepsilon _{kl}}}\,.}$$

Dowolność kolejności różniczkowania implikuje, że c _ijkl = c _klij . Są to tak zwane główne symetrie tensora sztywności. Zmniejsza to liczbę stałych sprężystości z 36 do 21. Symetrie większa i mniejsza wskazują, że tensor sztywności ma tylko 21 niezależnych składowych.

Reprezentacja macierzowa (tensor sztywności)

Często przydatne jest wyrażenie anizotropowej postaci prawa Hooke'a w notacji macierzowej, zwanej także notacją Voigta . W tym celu wykorzystujemy symetrię tensorów naprężenia i odkształcenia i wyrażamy je jako wektory sześciowymiarowe w ortonormalnym układzie współrzędnych ( e ₁ , e ₂ , e ₃ ) jako

$${\ Displaystyle [{\ boldsymbol {\ sigma}}] \, = \, {\ rozpocząć {bmatrix} \ sigma _ {11} \\\ sigma _ {22} \\\ sigma _ {33} \\\ sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,\równoważnik \,{\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{ 2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,;\qquad [{\boldsymbol { \varepsilon }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2 \varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\ varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}$$

Wtedy tensor sztywności ( c ) można wyrazić jako

$${\ Displaystyle [{\ mathsf {c}}] \, = \, {\ rozpocząć {bmatrix} c_ {1111} & c_ {1122} & c_ {1133} & c_ {1123} & c_ {1131} & c_ {1112} \\ c_ {2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312}\ \c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112 }\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_ {12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13 }&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_ {15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\ koniec{bmacierz}}}$$

a prawo Hooke'a jest zapisane jako

$${\ Displaystyle [{\ boldsymbol {\ sigma}}] = [{\ mathsf {C}} [{\ boldsymbol {\ varepsilon}}] \ qquad {\ tekst {lub}} \ qquad \ sigma _ {i} =C_{ij}\varepsilon_{j}\,.}$$

Podobnie tensor( y ) zgodności można zapisać jako

$${\ Displaystyle [{\ mathsf {s}}] \, = \, {\ rozpocząć {bmatrix} s_ {1111} & s_ {1122} i s_ {1133} i 2s_ {1123} i 2s_ {1131} i 2s_ {1112} \\ s_ {2211}&s_{2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2231}&2s_{2212}\\s_{3311}&s_{3322}&s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3331}&2s_{3312}\ \2s_{2311}&2s_{2322}&2s_{2333}&4s_{2323}&4s_{2331}&4s_{2312}\\2s_{3111}&2s_{3122}&2s_{3133}&4s_{3123}&4s_{3131}&4s_{3112 }\\2s_{1211}&2s_{1222}&2s_{1233}&4s_{1223}&4s_{1231}&4s_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}S_{11}&S_ {12}&S_{13}&S_{14}&S_{15}&S_{16}\\S_{12}&S_{22}&S_{23}&S_{24}&S_{25}&S_{26}\\S_{13 }&S_{23}&S_{33}&S_{34}&S_{35}&S_{36}\\S_{14}&S_{24}&S_{34}&S_{44}&S_{45}&S_{46}\\S_ {15}&S_{25}&S_{35}&S_{45}&S_{55}&S_{56}\\S_{16}&S_{26}&S_{36}&S_{46}&S_{56}&S_{66}\ koniec{bmacierz}}}$$

Zmiana układu współrzędnych

Jeśli liniowy materiał sprężysty jest obracany z konfiguracji odniesienia do innej, to materiał jest symetryczny względem obrotu, jeśli składowe tensora sztywności w konfiguracji obróconej są powiązane ze składowymi konfiguracji odniesienia zależnością

$$qj} l_ {rk} l_ {sl} c_ {ijkl }}$$

gdzie l _ab to składowe macierzy rotacji ortogonalnej [ L ] . Ta sama zależność dotyczy również inwersji.

W notacji macierzowej, jeśli baza przekształcona (obrócona lub odwrócona) jest powiązana z bazą odniesienia przez

$${\ Displaystyle [\ mathbf {e} _ {i} '] = [L] [\ mathbf {e} _ {i}]}$$

Następnie

$${\ Displaystyle C_ {ij} \ varepsilon _ {i} \ varepsilon _ {j} = C_ {ij} '\ varepsilon '_ {i} \ varepsilon '_ {j} \,.}$$

Ponadto, jeśli materiał jest symetryczny względem transformacji [ L ] , to

$${\ Displaystyle C_ {ij} = C'_ {ij} \ quad \ implikuje \ quad C_ {ij} (\ varepsilon _ {i} \ varepsilon _ {j} - \ varepsilon '_ {i} \ varepsilon '_ { j})=0\,.}$$

Materiały ortotropowe

Główny artykuł: materiał ortotropowy

Materiały ortotropowe mają trzy ortogonalne płaszczyzny symetrii . Jeśli wektory bazowe ( e ₁ , e ₂ , e ₃ ) są normalne do płaszczyzn symetrii, to relacje transformacji współrzędnych implikują, że

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ sigma _ {1} \\\ sigma _ {2} \\\ sigma _ {3} \\\ sigma _ {4} \\\ sigma _ {5} \\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{ 23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} \varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix }}}$$

Odwrotność tej relacji jest zwykle zapisywana jako

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ varepsilon _ {xx} \\\ varepsilon _ {yy} \\\ varepsilon _ {zz} \\ 2 \ varepsilon _ {yz} \\ 2 \ varepsilon _ {zx} \ \2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx} }{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}} &{\frac {1}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xz}}{ E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\frac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1} {G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{ \begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy }\end{bmacierz}}}$$

Gdzie

• E _i jest modułem Younga wzdłuż osi i
• G _ij jest modułem ścinania w kierunku j na płaszczyźnie, której normalna jest w kierunku i
• ν _ij jest współczynnikiem Poissona , który odpowiada skróceniu w kierunku j , gdy stosuje się wydłużenie w kierunku i .

W płaskich warunkach naprężeń, σ _zz = σ _zx = σ _yz = 0 , prawo Hooke'a dla materiału ortotropowego przyjmuje postać

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ varepsilon _ {xx} \\\ varepsilon _ {yy} \\ 2 \ varepsilon _ {xy} \ koniec {bmatrix}} \, = \, {\ rozpocząć {bmatrix} \frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{ x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&0\\0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _ {xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{bmacierz}}\,.}$$

Odwrotna zależność jest

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ sigma _ {xx} \\\ sigma _ {yy} \\\ sigma _ {xy} \ koniec {bmatrix}} \, = \, {\ frac {1} {1} -\nu _{xy}\nu _{yx}}}{\begin{bmatrix}E_{x}&\nu _{yx}E_{x}&0\\\nu _{xy}E_{y}&E_ {y}&0\\0&0&G_{xy}(1-\nu _{xy}\nu _{yx})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{ yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmacierz}}\,.}$$

Często używana jest również transponowana postać powyższej macierzy sztywności.

Materiały izotropowe poprzecznie

Poprzecznie izotropowy materiał jest symetryczny względem obrotu wokół osi symetrii . Dla takiego materiału, jeśli e ₃ jest osią symetrii, prawo Hooke'a można wyrazić jako

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ sigma _ {1} \\\ sigma _ {2} \\\ sigma _ {3} \\\ sigma _ {4} \\\ sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{ 11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {C_{11}-C_{ 12}}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\ \\varepsilon _{5}\\\varepsilon_{6}\end{bmatrix}}}$$

Częściej oś x ≡ e ₁ jest traktowana jako oś symetrii, a odwrotne prawo Hooke'a jest zapisywane jako

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ varepsilon _ {xx} \\\ varepsilon _ {yy} \\\ varepsilon _ {zz} \\ 2 \ varepsilon _ {yz} \\ 2 \ varepsilon _ {zx} \ \2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx} }{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}} &{\frac {1}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xz}}{ E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\frac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1} {G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xz}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{ \begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy }\end{bmacierz}}}$$

Uniwersalny wskaźnik anizotropii sprężystej

Aby uchwycić stopień anizotropii dowolnej klasy, sformułowano uniwersalny wskaźnik anizotropii sprężystości (AU). Zastępuje współczynnik Zenera , który jest odpowiedni dla kryształów sześciennych .

Podstawa termodynamiczna

Odkształcenia liniowe materiałów sprężystych można przybliżyć jako adiabatyczne . W tych warunkach i dla procesów kwazistatycznych pierwszą zasadę termodynamiki dla odkształconego ciała można wyrazić jako

$${\ Displaystyle \ delta W = \ delta U}$$

gdzie δU to przyrost energii wewnętrznej , a δW to praca wykonana przez siły zewnętrzne. Pracę można podzielić na dwa terminy

$${\ Displaystyle \ delta W = \ delta W _ {\ operatorname {s}} + \ delta W _ {\ operatorname {b}}}$$

gdzie δWs _siły jest pracą wykonaną przez δWb _siły powierzchniowe , podczas gdy jest pracą wykonaną przez ciała . Jeśli δ u jest odmianą pola przemieszczenia u w ciele, to te dwa warunki pracy zewnętrznej można wyrazić jako

$${\ Displaystyle \ delta W _ {\ operatorname {s}} = \ int _ {\ częściowe \ Omega} \ mathbf {t} \ cdot \ delta \ mathbf {u} \ ,dS\,;\qquad \delta W_{\mathrm {b} }=\int _{\Omega }\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} \,dV}$$

gdzie t to wektor trakcji powierzchniowej , b to wektor siły ciała, Ω reprezentuje ciało, a ∂ Ω reprezentuje jego powierzchnię. Wykorzystując zależność między naprężeniem Cauchy'ego a przyczepnością powierzchniową, t = n · σ (gdzie n jest jednostką zewnętrzną normalną do ∂ Ω ), mamy

$${\ Displaystyle \ delta W = \ delta U = \ int _ {\ częściowe \ Omega} (\ mathbf {n} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}}) \ cdot \ delta \ mathbf {u} \, dS + \ int _{\Omega}\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} \,dV\,.}$$

Przekształcenie całki powierzchniowej w całkę objętościową za pomocą twierdzenia o dywergencji daje

$${\ Displaystyle \ delta U = \ int _ {\ Omega} {\ duży (} \ nabla \ cdot ({\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ delta \ mathbf {u}) + \ mathbf {b} \ cdot \delta \mathbf {u} {\duży )}\,dV\,.}$$

Wykorzystanie symetrii naprężenia Cauchy'ego i tożsamości

$${\ Displaystyle \ nabla \ cdot (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} )=(\nabla \cdot \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} +{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {a} ^{\mathsf {T}} :\nabla \mathbf {b} +\mathbf {a} :(\nabla \mathbf {b} )^{\mathsf {T}}\right)}$$

mamy następujące

$${\ Displaystyle \ delta U = \ int _ {\ Omega} \ lewo ({\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ tfrac {1} {2}} \ lewo (\ nabla \ delta \ mathbf {u} + ( \nabla \delta \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)+\left(\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma}}+\mathbf {b} \right)\cdot \delta \mathbf {u} \right)\,dV\,.}$$

Z definicji odkształcenia iz równań równowagi mamy

$${\ Displaystyle \ delta {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ tfrac {1} {2}} \ lewo (\ nabla \ delta \ mathbf {u} + (\ nabla \ delta \ mathbf {u}) ^ { \mathsf {T}}\right)\,;\qquad \nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma}}+\mathbf {b} =\mathbf {0} \,.}$$

Dlatego możemy pisać

$${\ Displaystyle \ delta U = \ int _ {\ Omega}} {\ boldsymbol {\ sigma}}: \ delta {\ boldsymbol {\ varepsilon}} \, dV}$$

a zatem zmiana gęstości energii wewnętrznej jest dana przez

$${\ Displaystyle \ delta U_ {0} = {\ boldsymbol {\ sigma}}: \ delta {\ boldsymbol {\ varepsilon}} \,.}$$

Materiał sprężysty definiuje się jako taki, w którym całkowita energia wewnętrzna jest równa energii potencjalnej sił wewnętrznych (zwanej także energią odkształcenia sprężystego ). Dlatego gęstość energii wewnętrznej jest funkcją odkształceń, ₀₀ U = U ( ε ) , a zmienność energii wewnętrznej można wyrazić jako

$${\ Displaystyle \ delta U_ {0} = {\ Frac {\ częściowe U_ {0}} {\ częściowe {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}}: \ delta {\ boldsymbol {\ varepsilon}} \,.}$$

Ponieważ zmiana odkształcenia jest dowolna, zależność naprężenie-odkształcenie elastycznego materiału jest określona wzorem

$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ Frac {\ częściowe U_ {0}} {\ częściowe {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}} \,.}$$

W przypadku liniowego materiału sprężystego wielkość ∂ U ₀ / ∂ ε jest funkcją liniową ε i dlatego można ją wyrazić jako

$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ mathsf {c}}: {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}$$

gdzie c jest tensorem czwartego rzędu stałych materiałowych, zwanym także tensorem sztywności . Możemy zobaczyć, dlaczego c musi być tensorem czwartego rzędu, zauważając, że dla liniowego materiału sprężystego

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowy {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}} {\ boldsymbol {\ sigma}} ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}) = {\ tekst {stała}} = {\ mathsf {c}}\,.}$$

W notacji indeksowej

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ sigma _ {ij}} {\ częściowe \ varepsilon _ {kl}}} = {\ tekst {stała}} = c_ {ijkl} \,.}$$

Stała po prawej stronie wymaga czterech indeksów i jest wielkością czwartego rzędu. Widzimy również, że ta wielkość musi być tensorem, ponieważ jest to transformacja liniowa, która przenosi tensor odkształcenia do tensora naprężenia. Możemy również pokazać, że stała jest zgodna z regułami transformacji tensorowej dla tensorów czwartego rzędu.

Zobacz też

• Efekt akustyczno-sprężysty
• Elastyczna Energia potencjalna
• Prawa nauki
• Lista praw naukowych nazwanych na cześć ludzi
• Forma kwadratowa
• Sprężyny szeregowe i równoległe
• Układ sprężynowy
• Prosty ruch harmoniczny masy na sprężynie
• Sinusoida
• Solidna mechanika
• Wahadło sprężynowe

Notatki

•   Ugural, AC; Fenster, SK (2003). Zaawansowana wytrzymałość i stosowana elastyczność (wyd. 4). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-047392-9 .
• Walter Lewin wyjaśnia prawo Hooke'a . Od Waltera Lewina (1 października 1999). Prawo Hooke'a, prosty oscylator harmoniczny. Kurs MIT 8.01: Mechanika klasyczna, wykład 10 (kaseta wideo). Cambridge, MA USA: MIT OCW . Wydarzenie ma miejsce w godzinach 1:21–10:10. Zarchiwizowane od oryginału ( ogg ) w dniu 29 czerwca 2011 r . Źródło 23 grudnia 2010 r . ... prawdopodobnie najważniejsze równanie w całej fizyce.
• Test prawa Hooke'a . Od Waltera Lewina (1 października 1999). Prawo Hooke'a, prosty oscylator harmoniczny. Kurs MIT 8.01: Mechanika klasyczna, wykład 10 (kaseta wideo). Cambridge, MA USA: MIT OCW. Wydarzenie ma miejsce w godzinach 10:10–16:33. Zarchiwizowane od oryginału ( ogg ) w dniu 29 czerwca 2011 r . Źródło 23 grudnia 2010 r .

Linki zewnętrzne

• Aplet JavaScript demonstrujący prawo Springsa i Hooke'a
• Applet JavaScript demonstrujący Spring Force

Wzory konwersji
Homogeniczne izotropowe liniowe materiały sprężyste mają swoje właściwości sprężyste jednoznacznie określone przez dowolne dwa moduły spośród nich; zatem mając dowolne dwa, każdy inny moduł sprężystości można obliczyć zgodnie z tymi wzorami, podanymi zarówno dla materiałów 3D (pierwsza część tabeli), jak i dla materiałów 2D (druga część).
Formuły 3D	${\ Displaystyle K = \,}$	${\ Displaystyle E = \,}$	${\ Displaystyle \ lambda = \,}$	${\ Displaystyle G = \,}$	${\ displaystyle \ nu = \,}$	${\ Displaystyle M = \,}$	Notatki
${\ Displaystyle (K, \, mi)}$			${\ Displaystyle {\ tfrac {3K (3K-E)}} {9K-E}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {3KE} {9K-E}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {3K-E} {6K}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {3K (3K + E)}} {9K-E}}}$
${\ Displaystyle (K, \, \ lambda)}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {9K (K- \ lambda)} {3K- \ lambda}}}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {3 (K- \ lambda)} {2}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {\ lambda} {3K-\ lambda}}}$	${\ Displaystyle 3K-2 \ lambda \,}$
${\ Displaystyle (K, \, G)}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {9KG} {3K + G}}}$	${\ Displaystyle K- {\ tfrac {2G} {3}}}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {3K-2G} {2 (3K + G)}}}$	${\ Displaystyle K + {\ tfrac {4G} {3}}}$
${\ Displaystyle (K, \, \ nu)}$		${\ Displaystyle 3K (1-2 \ nu) \,}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {3K \ nu} {1+\ nu}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {3K (1-2 \ nu)} {2 (1 + \ nu)}}}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {3K (1-\ nu)} {1+ \ nu}}}$
${\ Displaystyle (K, \, M)}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {9K (MK)}} {3K + M}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {3K-M} {2}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {3 (MK)} {4}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {3K-M} {3K + M}}}$
${\ Displaystyle (E, \, \ lambda)}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {E + 3 \ lambda + R} {6}}}$			${\ Displaystyle {\ tfrac {E-3 \ lambda + R} {4}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {2 \ lambda} {E + \ lambda + R}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {E- \ lambda + R} {2}}}$	${\ Displaystyle R = {\ sqrt {E ^ {2} + 9 \ lambda ^ {2} + 2E \ lambda}}}$
${\ Displaystyle (E, \, G)}$	$\ Displaystyle {\ tfrac {EG} {3 (3G-E)}}}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {G (E-2G)} {3G-E}}}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {E} {2G}} -1}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {G (4G-E)} {3G-E}}}$
${\ Displaystyle (E, \, \ nu)}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {E} {3 (1-2 \ nu)}}}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {E \ nu}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {E} {2 (1 + \ nu)}}}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {E (1- \ nu)} {(1 + \ nu) (1-2 \ nu)}}}$
${\ Displaystyle (E, \, M)}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {3M-E + S} {6}}}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {ME + S} {4}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {3M + ES} {8}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {EM + S} {4M}}}$		${\ Displaystyle S = \ pm {\ sqrt {E ^ {2} + 9 M ^ {2} -10EM}}}$ Istnieją dwa prawidłowe rozwiązania. Znak plus prowadzi do . ${\ displaystyle \ nu \ geq 0}$ . Znak minus prowadzi do . ${\ Displaystyle \ nu \ równoważnik 0}$ .
${\ Displaystyle (\ lambda, \, G)}$	${\ Displaystyle \ lambda + {\ tfrac {2G} {3}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {G (3 \ lambda + 2G)} {\ lambda + G}}}$			${\ Displaystyle {\ tfrac {\ lambda} {2 (\ lambda + G)}}}$	${\ Displaystyle \ lambda + 2G \,}$
${\ Displaystyle (\ lambda, \, \ nu)}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {\ lambda (1 + \ nu)} {3 \ nu}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {\ lambda (1 + \ nu) (1-2 \ nu)} {\ nu}}}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {\ lambda (1-2 \ nu)} {2 \ nu}}}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {\ lambda (1-\ nu)} {\ nu}}}$	Nie można użyć, gdy ${\ Displaystyle \ nu = 0 \ Strzałka w lewo \ lambda = 0}$
${\ Displaystyle (\ lambda, \, M)}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {M + 2 \ lambda} {3}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {(M- \ lambda) (M + 2 \ lambda)} {M + \ lambda}}}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {M- \ lambda} {2}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {\ lambda} {M + \ lambda}}}$
${\ Displaystyle (G, \, \ nu)}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {2G (1 + \ nu)} {3 (1-2 \ nu)}}}$	${\ Displaystyle 2G (1 + \ nu) \,}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {2G \ nu} {1-2 \ nu}}}$			${\ Displaystyle {\ tfrac {2G (1- \ nu)} {1-2 \ nu}}}$
${\ Displaystyle (G, \, M)}$	${\ Displaystyle M - {\ tfrac {4G} {3}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {G (3M-4G)} {MG}}}$	${\ Displaystyle M-2G \,}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {M-2G} {2M-2G}}}$
${\ Displaystyle (\ nu, \, M)}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {M (1 + \ nu)} {3 (1- \ nu)}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {M (1 + \ nu) (1-2 \ nu)} {1-\ nu}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {M \ nu} {1-\ nu}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {M (1-2 \ nu)} {2 (1-\ nu)}}}$
Formuły 2D	${\ Displaystyle K _ {\ operatorname {2D}} = \,}$	${\ Displaystyle E _ {\ operatorname {2D}} = \,}$	${\ Displaystyle \ lambda _ {\ operatorname {2D}} = \,}$	${\ Displaystyle G _ {\ operatorname {2D}} = \,}$	${\ Displaystyle \ nu _ {\ operatorname {2D}} = \,}$	${\ Displaystyle M _ {\ operatorname {2D}} = \,}$	Notatki
${\ Displaystyle (K _ {\ operatorname {2D}}, \, E _ {\ operatorname {2D}})}$			${\ Displaystyle {\ tfrac {2K _ {\ operatorname {2D}} (2K_ {\ operatorname {2D}} -E_ {\ argumentacja {2D} })}{4K_{\parametr {2D}}-E_{\parametr {2D} }}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {K _ {\ operatorname {2D}} E _ {\ operatorname {2D}}} {4K _ {\ operatorname {2D}} -E_ { \mathrm {2D} }}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {2K _ {\ operatorname {2D}} -E _ {\ operatorname {2D}}} {2K _ {\ operatorname {2D}}}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {4K _ {\ operatorname {2D}} ^ {2}} {4K _ {\ operatorname {2D}} -E _ {\ operatorname {2D} }}}}$
${\ Displaystyle (K _ {\ operatorname {2D}}, \ \ lambda _ {\ operatorname {2D}})}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {4K _ {\ operatorname {2D}} (K_ {\ operatorname {2D}} - \ lambda _ { \mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D}}-\lambda _{\mathrm {2D} }}}}$		${\ Displaystyle K _ {\ operatorname {2D}} - \ lambda _ {\ operatorname {2D}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {\ lambda _ {\ operatorname {2D}}} {2K _ {\ operatorname {2D}} - \ lambda _ {\ operatorname {2D}}} }}$	${\ Displaystyle 2K _ {\ operatorname {2D}} - \ lambda _ {\ operatorname {2D}}}$
${\ Displaystyle (K _ {\ operatorname {2D}}, \, G _ {\ operatorname {2D}})}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {4K _ {\ operatorname {2D}} G _ {\ operatorname {2D}}} {K_ {\ operatorname {2D}} + G_ { \mathrm {2D} }}}}$	${\ Displaystyle K _ {\ operatorname {2D}} -G _ {\ operatorname {2D}}}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {K _ {\ operatorname {2D}} -G _ {\ operatorname {2D}}} {K_ {\ operatorname {2D}} + G_ {\ operatorname {2D}}}}}$	${\ Displaystyle K _ {\ operatorname {2D}} + G _ {\ operatorname {2D}}}$
${\ Displaystyle (K _ {\ operatorname {2D}}, \ \ nu _ {\ operatorname {2D}})}$		${\ Displaystyle 2K _ {\ operatorname {2D}} (1- \ nu _ {\ operatorname {2D}}) \,}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {2K _ {\ operatorname {2D}} \ nu _ {\ operatorname {2D}}} {1 + \ nu _ {\ operatorname {2D} }}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {K _ {\ operatorname {2D}} (1- \ nu _ {\ operatorname {2D}})} {1 + \ nu _{\mathrm {2D}}}}}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {2K _ {\ operatorname {2D}}} {1+ \ nu _ {\ operatorname {2D}}}}}$
${\ Displaystyle (E _ {\ operatorname {2D}}, \, G _ {\ operatorname {2D}})}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {E _ {\ operatorname {2D}} G _ {\ operatorname {2D}}} {4G _ {\ operatorname {2D}} -E_$		${\ Displaystyle {\ tfrac {2G _ {\ operatorname {2D}} (E_ {\ operatorname {2D}} -2G_ {\ argumentacja {2D} })}{4G_{\parametr {2D}}-E_{\parametr {2D} }}}}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {E _ {\ operatorname {2D}}} {2G _ {\ operatorname {2D}}}} -1}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {4G _ {\ operatorname {2D}} ^ {2}} {4G _ {\ operatorname {2D}} -E _ {\ operatorname {2D} }}}}$
${\ Displaystyle (E _ {\ operatorname {2D}}, \ \ nu _ {\ operatorname {2D}})}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {E _ {\ operatorname {2D}}} {2 (1- \ nu _ {\ operatorname {2D}})}}}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {E _ {\ operatorname {2D}} \ nu _ {\ operatorname {2D}}} {(1+ \nu _{\mathrm {2D}})(1-\nu _{\mathrm {2D}})}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {E _ {\ operatorname {2D}}} {2 (1 + \ nu _ {\ operatorname {2D}})}}}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {E _ {\ operatorname {2D}}} {(1 + \ nu _ {\ operatorname {2D}}) (1 -\nu _{\mathrm {2D}})}}}$
${\ Displaystyle (\ lambda _ {\ operatorname {2D}}, \, G _ {\ operatorname {2D}})}$	${\ Displaystyle \ lambda _ {\ operatorname {2D}} + G _ {\ operatorname {2D}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {4G _ {\ operatorname {2D}} (\ lambda _ {\ operatorname {2D}} + G_ { \mathrm {2D} })}{\lambda _{\namerm {2D}}+2G_{\mathrm {2D} }}}}$			${\ Displaystyle {\ tfrac {\ lambda _ {\ operatorname {2D}}} {\ lambda _ {\ operatorname {2D}} + 2G _ {\ operatorname {2D}}} }}$	${\ Displaystyle \ lambda _ {\ operatorname {2D}} + 2G _ {\ operatorname {2D}} \,}$
${\ Displaystyle (\ lambda _ {\ operatorname {2D}}, \, \ nu _ {\ operatorname {2D}})}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {\ lambda _ {\ operatorname {2D}} (1 + \ nu _ {\ operatorname {2D}})} {2 \ nu _{\mathrm {2D}}}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {\ lambda _ {\ operatorname {2D}} (1 + \ nu _ {\ operatorname {2D}} )(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {\ lambda _ {\ operatorname {2D}} (1- \ nu _ {\ operatorname {2D}})} {2 \ nu _{\mathrm {2D}}}}}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {\ lambda _ {\ operatorname {2D}}} {\ nu _ {\ operatorname {2D}}}}}$	Nie można użyć, gdy ${\ Displaystyle \ nu _ {\ operatorname {2D}} = 0 \ strzałka w lewo \ lambda _ {\ operatorname {2D}} = 0}$
${\ Displaystyle (G _ {\ operatorname {2D}}, \ \ nu _ {\ operatorname {2D}})}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {G _ {\ operatorname {2D}} (1 + \ nu _ {\ operatorname {2D}})} {1-\ nu _{\mathrm {2D}}}}}$	${\ Displaystyle 2G _ {\ operatorname {2D}} (1 + \ nu _ {\ operatorname {2D}}) \,}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {2G _ {\ operatorname {2D}} \ nu _ {\ operatorname {2D}}} {1-\ nu _ {\ operatorname {2D} }}}}$			${\ Displaystyle {\ tfrac {2G _ {\ operatorname {2D}}} {1- \ nu _ {\ operatorname {2D}}}}}$
${\ Displaystyle (G _ {\ operatorname {2D}}, \, M _ {\ operatorname {2D}})}$	${\ Displaystyle M _ {\ operatorname {2D}} -G _ {\ operatorname {2D}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {4G _ {\ operatorname {2D}} (M _ {\ operatorname {2D}} -G _ {\ operatorname {2D}}) }{M_{\mathrm {2D}}}}}$	${\ Displaystyle M _ {\ operatorname {2D}} -2G _ {\ operatorname {2D}} \,}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {M _ {\ operatorname {2D}} -2G _ {\ operatorname {2D}}} {M _ {\ operatorname {2D}}}}}$