Portret fazowy

Energia potencjalna i portret fazowy wahadła prostego . Zauważ, że oś x, będąc kątową, zawija się na siebie po każdych 2π radianach.

Ilustracja przedstawiająca sposób skonstruowania portretu fazowego dla ruchu prostego wahadła.

Portret fazowy równania van der Pola ,

{\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}} }+\mu (y^{2}-1){\frac {dy}{dt}}+y=0}

.

Portret fazowy jest geometryczną reprezentacją trajektorii układu dynamicznego w płaszczyźnie fazowej . Każdy zestaw warunków początkowych jest reprezentowany przez inną krzywą lub punkt.

Portrety fazowe są nieocenionym narzędziem w badaniu układów dynamicznych. Składają się z wykresu typowych trajektorii w przestrzeni stanów . Ujawnia to takie informacje, jak atraktora , odstraszacza lub cyklu granicznego dla wybranej wartości parametru. Pojęcie równoważności topologicznej jest ważne w klasyfikowaniu zachowania systemów poprzez określenie, kiedy dwa różne portrety fazowe reprezentują to samo jakościowe zachowanie dynamiczne. Atraktor to stabilny punkt, który jest również nazywany „zlewem”. Odrzutnik jest uważany za niestabilny punkt, który jest również znany jako „źródło”.

Wykres portretu fazowego układu dynamicznego przedstawia trajektorie układu (za pomocą strzałek) oraz stabilne stany ustalone (za pomocą kropek) i niestabilne stany ustalone (za pomocą kółek) w przestrzeni stanów. Osie są zmiennymi stanu.

Przykłady

Wahadło proste , patrz zdjęcie (po prawej).
Prosty oscylator harmoniczny , w którym portret fazowy składa się z elips wyśrodkowanych w punkcie początkowym, który jest stałym punktem.
Oscylator Van der Pol patrz zdjęcie (na dole po prawej).
Płaszczyzna parametrów (płaszczyzna c) i zbiór Mandelbrota

Wizualizacja zachowania równań różniczkowych zwyczajnych

Portret fazowy przedstawia zachowanie kierunkowe układu równań różniczkowych zwyczajnych (ODE). Portret fazowy może wskazywać na stabilność systemu.

Stabilność
Nietrwały	Większość rozwiązań systemu zmierza w czasie do ∞
Asymptotycznie stabilny	Wszystkie rozwiązania systemu mają tendencję do 0 w czasie
Neutralnie stabilny	Żadne z rozwiązań systemu nie zmierza w kierunku ∞ w czasie, ale większość rozwiązań też nie zmierza w kierunku 0

Zachowanie portretu fazowego systemu ODE może być określone przez wartości własne lub ślad i wyznacznik (ślad = λ ₁ + λ ₂ , wyznacznik = λ ₁ x λ ₂ ) systemu.

Zachowanie portretu fazowego
Wartość własna, ślad, wyznacznik	Kształt portretu fazowego
λ ₁ i λ ₂ są rzeczywiste i mają przeciwny znak; Wyznacznik < 0	Siodło (niestabilne)
λ ₁ i λ ₂ są rzeczywiste i tego samego znaku, a λ ₁ ≠ λ ₂ ; 0 < wyznacznik < (ślad ² / 4)	Węzeł (stabilny, jeśli ślad < 0, niestabilny, jeśli ślad > 0)
λ ₁ i λ ₂ mają zarówno składową rzeczywistą, jak i urojoną; (ślad ² / 4) < wyznacznik	Spirala (stabilna, jeśli ślad < 0, niestabilna, jeśli ślad > 0)

Zobacz też

^ ^a ^b ^c ^d Haynes Miller i Arthur Mattuck. 18.03 Równania różniczkowe. Wiosna 2010. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. Licencja: Creative Commons BY-NC-SA. (Uwagi uzupełniające 26 autorstwa Haynesa Millera: https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03-differential-equations-spring-2010/readings/supp_notes/MIT18_03S10_chapter_26.pdf)

Jordania, DW; Smith, P. (2007). Nieliniowe zwykłe równania różniczkowe (wyd. Czwarte). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920824-1 . Rozdział 1.
Stevena Strogatza (2001). Nieliniowa dynamika i chaos: z zastosowaniami w fizyce, biologii, chemii i inżynierii . ISBN 9780738204536 .

Linki zewnętrzne

Liniowe portrety fazowe , Mathlet MIT.

[:0-1] Haynes Miller i Arthur Mattuck. 18.03 Równania różniczkowe. Wiosna 2010. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. Licencja: Creative Commons BY-NC-SA. (Uwagi uzupełniające 26 autorstwa Haynesa Millera: https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03-differential-equations-spring-2010/readings/supp_notes/MIT18_03S10_chapter_26.pdf)