Twierdzenie o istnieniu Peano

W matematyce , szczególnie w badaniu równań różniczkowych zwyczajnych , twierdzenie Peano o istnieniu , twierdzenie Peano lub twierdzenie Cauchy'ego – Peano , nazwane na cześć Giuseppe Peano i Augustina-Louisa Cauchy'ego , jest fundamentalnym twierdzeniem , które gwarantuje istnienie rozwiązań pewnych problemów z wartością początkową .

Historia

Peano po raz pierwszy opublikował twierdzenie w 1886 roku z błędnym dowodem. W 1890 roku opublikował nowy poprawny dowód z wykorzystaniem kolejnych przybliżeń.

Twierdzenie

Niech będzie otwartym podzbiorem $Displaystyle$$\ mathbb {R} \ razy \ mathbb {R}}$ z funkcją ciągłą ${\ displaystyle f \ dwukropek D \ do \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle y '(x) = f \ lewo (x, y (x) \ prawo )}$ ciągły , wyraźne równanie różniczkowe pierwszego rzędu $I \ do \ mathbb {$ re , to każdy problem z wartością początkową $\$$z$ lokalne : R } } $I$ sąsiedztwo w , takie, że dla wszystkich $)$$\ Displaystyle z' (x) = f \ lewo (x,$$x$$z$ ( .

Rozwiązanie nie musi być unikalne: jedna i ta $wartość$ początkowa $prowadzić$ różnych

Dowód

Zastępując $\ displaystyle$$-y_ {0}}$ , ${\ displaystyle x}$ z ${\ displaystyle xx_ {0}}$ , możemy założyć, że ${\ displaystyle x_ {0} = y_ {0} = 0}$ . Ponieważ prostokąt $R$${\ Displaystyle R = [-x_ {1}, x_ {1}] \ razy [-y_ {1}, y_ {1}] \ podzbiór D}$ .

Ponieważ $jest$ i ciągły ${\ Displaystyle \ textstyle \ sup _ {R} | f | \ równoważnik C <\ infty}$$|$ i przez twierdzenie Stone'a-Weierstrassa ciąg funkcji Lipschitza ${\ Displaystyle f_ {k}: R \ do \ mathbb {R}}$ zbieżny równomiernie do ${\ displaystyle f}$ w ${\ displaystyle R}$ . Bez utraty ogólności zakładamy ${\ Displaystyle \ textstyle \ sup _ {R} | f_ {k} | \ równoważnik 2C}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle k}$ .

Definiujemy iteracje Picarda ${\ Displaystyle y_ {k, n}: I = [-x_ {2}, x_ {2}] \ do \ mathbb {R}} w następujący sposób, gdzie x 2 = min { x 1 , y 1 / ( 2 do ) } {\ Displaystyle x_$ {2} $}$ . ${\ Displaystyle y_ {k, 0} (x) \ równoważnik 0}$ i ${\ Displaystyle \ textstyle y_ {k, n + 1} (x) = \ int _ {0} ^ {x} f_ {k} (x', y_ {k, n} (x')) \, \mathrm {d} x'}$ . Są one dobrze zdefiniowane przez indukcję: as

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} | y_ {k, n + 1} (x) | & \ równoważnik \ textstyle \ lewo | \ int _ {0} ^ {x} | f_ {k} (x ', y_ {k, n} (x')) | \ \ operatorname {d} x' \ prawo |\\& \ równoważnik \ textstyle | x | \ sup _ {R} | f_ {k} |\\& \leq x_{2}\cdot 2C\leq y_{1},\end{wyrównane}}}$

${\ Displaystyle (x', y_ {k, n + 1} (x'))}$ jest w domenie ${\ displaystyle f_ {k}}$ .

Mamy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} | y_ {k, n + 1} (x) -y_ {k, n} (x) | & \ równoważnik \ textstyle \ lewo | \ int _ {0} ^ {x} | f_ {k} (x', y_ {k, n} (x')) -f_ {k} (x', y_ {k, n-1} (x')) | \ \ operatorname {d} x' \ right |\ \&\leq \textstyle L_{k}\left|\int _{0}^{x}|y_{k,n}(x')-y_{k,n-1}(x')|\,\mathrm {d} x'\right|,\end{wyrównane}}}$

gdzie ${\ displaystyle L_ {k}}$ jest stałą Lipschitza z ${\ displaystyle f_ {k}}$ . Zatem dla maksymalnej różnicy ${\ Displaystyle \ textstyle M_ {k, n} (x) = \ sup _ {x' \ w [0,x]} | y_ {k, n + 1} (x') -y_ {k, n} (x') |} , mamy$ ograniczenie $i$ _

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} M_ {k, 0} (x) & \ równoważnik \ textstyle \ lewo | \ int _ {0} ^ {x} | f_ {k} (x', 0) | \, \ operatorname {d} x '\ prawo |$

Przez indukcję implikuje to ograniczenie ${\ Displaystyle M_ {k, n} (x) \ równoważnik 2CL_ {k} ^ {n} | x | ^ {n + 1}/(n + 1)!}, co dąży do zera jako n → ∞ {\ Displaystyle n \ do \ infty} dla wszystkich x$ ∈ $displaystyle$ x $}$ .

y ${\ Displaystyle y_ {k, n}}$ są równociągłe , ponieważ mamy $-x_ {2} \ równoważnik x <x '\ równoważnik x_ {2}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} | y_ {k, n + 1} (x') -y_ {k, n + 1} (x) | & \ równoważnik \ textstyle \ int _ {x} ^ {x '} | f_ {k} (x '', y_ {k, n} (x'')) | \ \ operatorname {d} x '' \\& \ textstyle \ równoważnik | x'-x | \ sup _ {R} |f_{k}|\leq 2C|x'-x|,\end{wyrównane}}$

więc zgodnie z twierdzeniem Arzelà – Ascoli są one stosunkowo zwarte . W szczególności dla każdego $do$ podciąg ${\ Displaystyle (y_ {k, \ varphi _ {k} (n)}) _ {n \ in \ mathbb {N}}} zbiegający się równomiernie do funkcji ciągłej r k: ja → R {\ displaystyle$ y_ $\ mathbb {R}}$ . Biorąc limit ${\ Displaystyle n \ do \ infty}$ w

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ textstyle \ lewo | y_ {k, \ varphi _ {k} (n)} (x) - \ int _ {0} ^ {x} f_ {k} (x ', y_ {k, \ varphi _ {k} (n)} (x ')) \, \ operatorname {d} x '\ prawo | & = | y_{k,\varphi _{k}(n)}(x)-y_{k,\varphi _{k}(n)+1}(x)|\\&\leq M_{k,\varphi _{k}(n)}(x_{2})\end{wyrównane}}}$

dochodzimy do wniosku, że ${\ Displaystyle \ textstyle y_ {k} (x) = \ int _ {0} ^ {x} f_ {k} (x', y_ {k} (x ')) \ \ operatorname {d} x '}$ . Funkcje $domknięciu stosunkowo$ się w zbioru, więc same są stosunkowo zwarte . Istnieje więc podciąg ${\ Displaystyle y _ {\ psi (k)}}$ zbiegając się równomiernie do funkcji ciągłej ${\ Displaystyle z: I \ do \ mathbb {R}}$ . Biorąc granicę ${\ Displaystyle k \ do \ infty}$ w $Displaystyle \ textstyle y _ {\ psi (k)} (x) = \ int _ {0} ^ {x} f _ {\ psi (k)} (x', y_ {\ psi (k)} (x')) \, \ operatorname {d} x'}$$($ x , ${\ Displaystyle f _ {\ psi (k)}}$ są równociągłe na mocy twierdzenia Arzelà – Ascoli. Zgodnie z podstawowym twierdzeniem rachunku różniczkowego , ${\ Displaystyle z' (x) = f (x, z (x))}$ w ${\ displaystyle I}$ .

Powiązane twierdzenia

Twierdzenie Peano można porównać z innym wynikiem istnienia w tym samym kontekście, twierdzeniem Picarda-Lindelöfa . Twierdzenie Picarda-Lindelöfa zarówno zakłada więcej, jak i konkluduje więcej. Wymaga ciągłości Lipschitza , podczas gdy twierdzenie Peano wymaga tylko ciągłości; ale dowodzi zarówno istnienia, jak i jednoznaczności, gdzie twierdzenie Peano dowodzi tylko istnienia rozwiązań. Aby to zilustrować, rozważmy zwykłe równanie różniczkowe

${\ Displaystyle y' = \ lewo \ vert y \ prawo \ vert ^ {\ Frac {1} {2}}}$ w domenie ${\ Displaystyle \ lewo [0,1 \ prawo].}$

Zgodnie z twierdzeniem Peano równanie to ma rozwiązania, ale twierdzenie Picarda-Lindelöfa nie ma zastosowania, ponieważ prawa strona nie jest ciągła Lipschitza w żadnym sąsiedztwie zawierającym 0. W ten sposób możemy stwierdzić istnienie, ale nie wyjątkowość. Okazuje się, że to równanie różniczkowe zwyczajne ma dwa rodzaje rozwiązań , zaczynając od ${\ Displaystyle y (0) = 0}$${\ Displaystyle y (x) = 0}$ lub and can happen at any $C$${\ Displaystyle y (x) = x ^ {2}/4}$ . Przejście $displaystyle$$y=0$ =

Twierdzenie o istnieniu Carathéodory'ego jest uogólnieniem twierdzenia o istnieniu Peano z warunkami słabszymi niż ciągłość.

Notatki

•   Osgood, WF (1898). "Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy/dx = f(x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung" . Monatshefte für Mathematik . 9 : 331–345. doi : 10.1007/BF01707876 . S2CID 122312261 .
• Coddington, hrabia A.; Levinson, Norman (1955). Teoria równań różniczkowych zwyczajnych . Nowy Jork: McGraw-Hill .
• Murray, Franciszek J.; Miller, Kenneth S. (1976) [1954]. Twierdzenia o istnieniu dla zwykłych równań różniczkowych (red. Przedruk). Nowy Jork: Krieger.
•   Teschl, Gerald (2012). Równania różniczkowe zwyczajne i układy dynamiczne . Providence : Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . ISBN 978-0-8218-8328-0 .