Płaszczyzna fazowa

W matematyce stosowanej , w szczególności w kontekście analizy systemów nieliniowych , płaszczyzna fazowa jest wizualnym przedstawieniem pewnych cech określonych rodzajów równań różniczkowych ; płaszczyzna współrzędnych z osiami będącymi wartościami dwóch zmiennych stanu, powiedzmy ( x , y ) lub ( q , p ) itd. (dowolna para zmiennych). Jest to dwuwymiarowy przypadek ogólnej n -wymiarowej przestrzeni fazowej .

Metoda płaszczyzny fazowej odnosi się do graficznego określania istnienia cykli granicznych w rozwiązaniach równania różniczkowego.

Rozwiązaniem równania różniczkowego jest rodzina funkcji . Graficznie można to wykreślić na płaszczyźnie fazowej, jak dwuwymiarowe pole wektorowe . Rysowane są wektory reprezentujące pochodne punktów względem parametru (powiedzmy czasu t ), to znaczy ( dx / dt , dy / dt ), w reprezentatywnych punktach. Przy wystarczającej liczbie tych strzałek można zwizualizować zachowanie systemu w analizowanych obszarach płaszczyzny i łatwo zidentyfikować cykle graniczne .

Całe pole jest portretem fazowym , szczególna ścieżka wzdłuż linii przepływu (tj. ścieżka zawsze styczna do wektorów) jest ścieżką fazową . Przepływy w polu wektorowym wskazują ewolucję w czasie układu, który opisuje równanie różniczkowe.

W ten sposób płaszczyzny fazowe są przydatne do wizualizacji zachowania układów fizycznych ; w szczególności układów oscylacyjnych, takich jak modele drapieżnik-ofiara (patrz równania Lotki – Volterry ). W tych modelach ścieżki fazowe mogą „skręcać się” w kierunku zera, „skręcać się” w kierunku nieskończoności lub osiągać neutralnie stabilne sytuacje zwane centrami, w których wytyczona ścieżka może być kołowa, eliptyczna lub jajowata lub w pewnym ich wariancie. Jest to przydatne przy określaniu, czy dynamika jest stabilna, czy nie.

Innymi przykładami układów oscylacyjnych są pewne reakcje chemiczne składające się z wielu etapów, z których niektóre obejmują równowagę dynamiczną, a nie reakcje, które dochodzą do końca. W takich przypadkach można modelować wzrost i spadek stężenia reagenta i produktu (lub masy lub ilości substancji) za pomocą poprawnych równań różniczkowych i dobrego zrozumienia kinetyki chemicznej .

Przykład układu liniowego

Dwuwymiarowy układ liniowych równań różniczkowych można zapisać w postaci:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {dx} {dt}} & = Ax + By \\ {\ Frac { dy}{dt}}&=Cx+Dy\end{wyrównane}}}

które można zorganizować w równanie macierzowe :

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i {\ Frac {d} {dt}}} {\ rozpocząć {bmatrix} x \\ y \\\ koniec {bmatrix}} = {\ rozpocząć {bmatrix} A&B \\ C&D \ \\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}\\&{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\mathbf {A} \ mathbf {v} .\end{wyrównane}}}

gdzie A jest powyższą macierzą współczynników 2 × 2, a v = ( x , y ) jest wektorem współrzędnych dwóch zmiennych niezależnych .

Takie systemy można rozwiązać analitycznie, w tym przypadku przez całkowanie:

{\ Displaystyle {\ Frac {dy} {dx}} = {\ Frac {Cx + Dy} {Ax + By}}}

chociaż rozwiązania są funkcjami niejawnymi w x i y i są trudne do interpretacji.

Rozwiązywanie za pomocą wartości własnych

Częściej są one rozwiązywane ze współczynnikami prawej strony zapisanymi w postaci macierzowej przy użyciu wartości własnych λ , określonych przez wyznacznik :

{\ Displaystyle \ det \ lewo ({\ rozpocząć {bmatrix} A & B \\ C & D \\\ koniec {bmatrix}} - \ lambda \ mathbf {I} \ prawo) =0}

i wektory własne :

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} A & B \\ C & D \\\ koniec {bmatrix}} \ mathbf {x} = \ lambda \ mathbf {x}}

Wartości własne reprezentują potęgi składowych wykładniczych, a wektory własne są współczynnikami. Jeśli rozwiązania są zapisane w postaci algebraicznej, wyrażają podstawowy czynnik multiplikatywny wyrażenia wykładniczego. Ze względu na niejednoznaczność wektorów własnych, każde otrzymane w ten sposób rozwiązanie ma nieokreślone stałe c ₁ , c ₂ , …, c _n .

Ogólne rozwiązanie to:

{\ Displaystyle x = {\ rozpocząć {bmatrix} k_ {1} \\ k_ {2} \ koniec {bmatrix}} c_ {1} e ^ {\ lambda _ {1} t} + {\ rozpocząć {bmatrix} k_ {3}\\k_{4}\end{bmatrix}}c_{2}e^{\lambda _{2}t}.}

gdzie λ ₁ i λ ₂ są wartościami własnymi, a ( k ₁ , k ₂ ), ( k ₃ , k ₄ ) są podstawowymi wektorami własnymi. Stałe c ₁ i c ₂ uwzględniają niejednoznaczność wektorów własnych i nie są rozwiązywalne, chyba że dla układu zostanie podany warunek początkowy.

Powyższy wyznacznik prowadzi do wielomianu charakterystycznego :

{\ Displaystyle \ lambda ^ {2} - (A + D) \ lambda + (AD-BC) = 0}

które jest po prostu równaniem kwadratowym postaci:

{\ Displaystyle \ lambda ^ {2} -p \ lambda + q = 0}

Gdzie

{\ Displaystyle p = A + D = \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \,,}

(„tr” oznacza ślad ) i

{\ Displaystyle q = AD-BC = \ det (\ mathbf {A}) \,.}

Wyraźne rozwiązanie wartości własnych jest następnie podane wzorem kwadratowym :

{\ Displaystyle \ lambda = {\ Frac {1} {2}} (p \ pm {\ sqrt {\ Delta}}) \,}

Gdzie

{\ Displaystyle \ Delta = p ^ {2} -4q \,.}

Wektory własne i węzły

Wektory własne i węzły określają profil ścieżek fazowych, zapewniając obrazową interpretację rozwiązania układu dynamicznego, jak pokazano poniżej.

Klasyfikacja punktów równowagi liniowego układu autonomicznego . Profile te powstają również dla nieliniowych systemów autonomicznych w przybliżeniach linearyzowanych.

Płaszczyzna fazowa jest następnie ustawiana najpierw przez narysowanie linii prostych reprezentujących dwa wektory własne (które reprezentują stabilne sytuacje, w których system albo zbiega się w kierunku tych linii, albo oddala się od nich). Następnie płaszczyzna fazowa jest wykreślana przy użyciu pełnych linii zamiast kresek pola kierunkowego. Znaki wartości własnych wskazują zachowanie płaszczyzny fazowej:

Jeśli znaki są przeciwne, przecięcie wektorów własnych jest punktem siodłowym .
Jeśli oba znaki są dodatnie, wektory własne reprezentują stabilne sytuacje, od których system się odchyla, a przecięcie jest niestabilnym węzłem .
Jeśli oba znaki są ujemne, wektory własne reprezentują stabilne sytuacje, w kierunku których system jest zbieżny, a przecięcie jest stabilnym węzłem .

Powyższe można zwizualizować, przypominając sobie zachowanie wyrazów wykładniczych w rozwiązaniach równań różniczkowych.

Powtarzające się wartości własne

Ten przykład obejmuje tylko przypadek rzeczywistych, oddzielnych wartości własnych. Rzeczywiste, powtarzające się wartości własne wymagają rozwiązania macierzy współczynników z nieznanym wektorem i pierwszym wektorem własnym, aby wygenerować drugie rozwiązanie układu dwa na dwa. Jeśli jednak macierz jest symetryczna, możliwe jest użycie ortogonalnego wektora własnego do wygenerowania drugiego rozwiązania.

Złożone wartości własne

Złożone wartości własne i wektory własne generują rozwiązania w postaci sinusów i cosinusów oraz wykładników. Jedną z uproszczeń w tej sytuacji jest to, że do wygenerowania pełnego zestawu rozwiązań dla systemu potrzebna jest tylko jedna z wartości własnych i jeden z wektorów własnych.

Zobacz też

Linia fazowa , przypadek 1-wymiarowy
Przestrzeń fazowa , przypadek n -wymiarowy
Portret fazowy

Linki zewnętrzne