Spirala Cotesa

Wstęp

W fizyce i matematyce krzywych płaskich spirala Cotesa ( nazywana również spiralą Cotesa i spiralą Cotesa ) należy do rodziny spiral sklasyfikowanych przez Rogera Cotesa .

Cotes przedstawia swoją analizę tych krzywych w następujący sposób: „Proponuje się wyliczenie różnych typów trajektorii, po których ciała mogą się poruszać, gdy działają na nie siły dośrodkowe w odwrotnym stosunku sześcianów ich odległości, wychodzących z danego miejsca, z danej prędkości i kierunku”. (Uwaga: nie opisuje ich jako spirali).

Spirale Cotesa odpowiadające k równe 2/3 (czerwony), 1,0 (czarny), 1,5 (zielony), 3,0 (cyjan) i 6,0 (niebieski)

Kształt spirali w rodzinie zależy od parametrów. Krzywe we współrzędnych biegunowych , ( r , θ ), r > 0 są określone przez jedno z następujących pięciu równań:

${\$

A > 0, k > 0 i ε to dowolne stałe liczby rzeczywistej . A określa rozmiar, k określa kształt, a ε określa położenie kątowe spirali.

Cotes określał różne formy jako „przypadki”. Równania powyższych krzywych odpowiadają odpowiednio jego 5 przypadkom.

Diagram pokazuje reprezentatywne przykłady różnych krzywych. Środek jest oznaczony przez „O”, a promień od O do krzywej jest pokazany, gdy θ wynosi zero. Wartość ε wynosi zero, chyba że pokazano.

Pierwsza i trzecia forma to spirale Poinsota ; druga to równokątna spirala ; czwarta to spirala hiperboliczna (poprawniej nazywana alternatywną nazwą: „spirala odwrotna”, ponieważ nie ma związku z hiperbolą ani funkcjami hiperbolicznymi, które występują w spiralach Poinsota ) ; piąty to epispiral .

Aby uzyskać więcej informacji na temat ich właściwości, należy odnieść się do poszczególnych krzywych.

Mechanika klasyczna

Spirale Cotesa pojawiają się w mechanice klasycznej jako rodzina rozwiązań dla ruchu cząstki poruszającej się pod wpływem centralnej siły odwróconej sześcianu . Rozważ siłę centralną

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {F}} ({\ boldsymbol {r}}) = - {\ Frac {\ mu} {r ^ {3}}} {\ kapelusz {\boldsymbol {r}}},}$

gdzie μ jest siłą przyciągania. Rozważmy cząstkę poruszającą się pod wpływem siły centralnej i niech h będzie jej właściwym momentem pędu , wtedy cząstka porusza się po spirali Cotesa, ze stałą k spirali daną przez

${\ Displaystyle k = {\ sqrt {1- {\ Frac {\ mu} {h ^ {2}}}}}}$

gdy μ < h ² ( forma cosinusowa spirali), lub

${\ Displaystyle k = {\ sqrt {{\ Frac {\ mu} {h ^ {2}}} -1}}}$

gdy μ > h ² , Poinsotowa forma spirali. Gdy μ = h ² , cząstka porusza się po spirali hiperbolicznej. Wyprowadzenie można znaleźć w odnośnikach.

Historia

W Harmonia Mensurarum (1722) Roger Cotes przeanalizował szereg spiral i innych krzywych, takich jak Lituus . Opisał możliwe trajektorie cząstki w centralnym polu sił odwróconych sześcianów, które są spiralami Cotesa. Analiza opiera się na metodzie z Principia Book 1, Proposition 42, gdzie tor ciała jest określany pod wpływem dowolnej siły centralnej, prędkości początkowej i kierunku.

W zależności od początkowej prędkości i kierunku określa, że ​​istnieje 5 różnych „przypadków” (oprócz trywialnych, okręgu i prostej przechodzącej przez środek).

Zauważa, że ​​z 5 „pierwszy i ostatni są opisane przez Newtona za pomocą kwadratury (tj. Integracji) hiperboli i elipsy”.

Przypadek 2 to równokątna spirala, która jest par excellence spiralą . Ma to wielkie znaczenie historyczne, ponieważ w Stwierdzeniu 9 Księgi Principia 1 Newton udowadnia, że ​​jeśli ciało porusza się po spirali równokątnej pod działaniem siły centralnej, siła ta musi być odwrotnością sześcianu promienia (nawet przed jego dowodem w Twierdzeniu 11, że ruch w elipsie skierowanej do ogniska wymaga siły odwrotnej do kwadratu).

Trzeba przyznać, że nie wszystkie krzywe odpowiadają zwykłej definicji spirali. Na przykład, gdy siła odwrotności sześcianu jest odśrodkowa (skierowana na zewnątrz), tak że μ <0, krzywa nie obraca się nawet raz wokół środka. Jest to reprezentowane przez przypadek 5, pierwsze z równań biegunowych pokazanych powyżej, gdzie k > 1 w tym przypadku.

Samuel Earnshaw w książce wydanej w 1826 roku użył terminu „spirale Cotesa”, więc taka terminologia była wówczas w użyciu.

Earnshaw jasno opisuje 5 przypadków Cotesa i niepotrzebnie dodaje szósty, czyli gdy siła jest odśrodkowa (odpychająca). Jak wspomniano powyżej, Cotes uwzględnił to w przypadku 5.

Wydaje się, że błędny pogląd, że istnieją tylko 3 spirale Cotesa, wywodzi się z A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies ET Whittakera , opublikowanego po raz pierwszy w 1904 roku .

„Odwrotna spirala” Whittakera ma przypis, który odnosi się do „Harmonia Mensurarum” Cotesa i Twierdzenia 9 Newtona. Jest to jednak mylące, ponieważ spirala Twierdzenia 9 jest równokątną spiralą, której nie rozpoznaje jako spirali Cotesa w Wszystko.

Niestety, kolejni autorzy poszli śladem Whittakera, nie zadając sobie trudu sprawdzenia jego dokładności.

Zobacz też

• Spirala Archimedesa
• Spirala hiperboliczna
• Twierdzenie Newtona o orbitach obrotowych
• Twierdzenie Bertranda

Bibliografia

•   Whittaker ET (1937). Traktat o dynamice analitycznej cząstek i ciał sztywnych ze wstępem do problemu trzech ciał (wyd. 4). Nowy Jork: Dover Publications. s. 80–83. ISBN 978-0-521-35883-5 .
• Roger Cotes (1722) Harmonia Mensuarum , s. 31, 98.
• Isaac Newton (1687) Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica , Księga I, §2, Twierdzenie 9 i §8, Twierdzenie 42, Wniosek 3 i §9, Twierdzenie 43, Wniosek 6
•   Danby JM (1988). „Przypadek ƒ ( r ) = μ / r ³ - Spirala Cotesa (§4.7)”. Podstawy mechaniki nieba (wyd. 2, wyd. Poprawiona). Richmond, Wirginia: Willmann-Bell. s. 69–71. ISBN 978-0-943396-20-0 .
•   Szymon KR (1971). Mechanika (wyd. 3). Czytanie, MA: Addison-Wesley. P. 154. ISBN 978-0-201-07392-8 .
• Samuela Earnshawa (1832). Dynamika, czyli elementarny traktat o ruchu i krótki traktat o atrakcjach (wyd. 1). J. & JJ Deighton; oraz Whittaker, Treacher & Arnot. P. 47.

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Spirala Cotesa” . MathWorld .