Spirala Doyle'a

Spirala Doyle'a typu (8,16) wydrukowana w 1911 roku w Popular Science jako ilustracja filotaksji . Jedno z jego spiralnych ramion jest zacienione.

W matematyce upakowania okręgów spirala Doyle'a to wzór nieprzecinających się okręgów w płaszczyźnie, w której każdy okrąg jest otoczony pierścieniem sześciu stycznych okręgów . Wzory te zawierają ramiona spiralne utworzone przez okręgi połączone przez przeciwne punkty styczności, których środki znajdują się na spiralach logarytmicznych o trzech różnych kształtach.

wczesnych 90. wniósł ważny wkład w ich matematyczną konstrukcję . Jednak ich badania nad filotaksją (matematyka wzrostu roślin) sięgają początku XX wieku.

Definicja

Spirala Doyle'a jest zdefiniowana jako pewien rodzaj upakowania okręgów , składający się z nieskończenie wielu okręgów w płaszczyźnie, przy czym żadne dwa okręgi nie mają zachodzących na siebie wnętrz. W spirali Doyle'a każdy okrąg jest otoczony pierścieniem sześciu innych okręgów. Sześć otaczających okręgów jest stycznych do koła środkowego i dwóch sąsiadów w pierścieniu .

Nieruchomości

promienie

zauważył Doyle , jedynym sposobem spakowania okręgów z kombinatoryczną strukturą spirali Doyle'a jest użycie okręgów, których promienie są również wysoce ustrukturyzowane. Dla każdego takiego upakowania muszą istnieć trzy dodatnie liczby rzeczywiste ${\ displaystyle a}$ , ${\ displaystyle b}$ i $b} {a}}}$ { , tak że każdy okrąg o promieniu jest otoczony okręgami, których promienie są (w kolejności cyklicznej) r $\ displaystyle r}$

${\ displaystyle ra}$ , ${\ displaystyle rb}$ , ${\ displaystyle rc}$ , ${\ displaystyle r/a}$ , ${\ displaystyle r/b}$ i ${\ displaystyle r / c}$ .

Tylko niektóre trójki liczb i $displaystyle a}$ , ze spiral Doyle'a; za $b$ { \ $}$ inne odpowiadają systemom kręgów, które ostatecznie nakładają się na siebie .

Ramiona

Dwa koncentryczne pierścienie dziewięciu okręgów w rozetowym oknie katedry St Albans . Te dwa pierścienie są częścią (9,9) spirali Doyle'a, ale środkowy okrąg i inne okręgi nie są zgodne ze wzorem.

W spirali Doyle'a można pogrupować okręgi w łączące łańcuchy okręgów przechodzące przez przeciwne punkty styczności. Zostały one nazwane ramionami , zgodnie z tą samą terminologią, co galaktyki spiralne . W każdym ramieniu okręgi mają promienie w podwójnie nieskończonej sekwencji geometrycznej

$${\ Displaystyle \ kropki, ra ^ {- 2}, ra ^ {- 1}, r, ra, ra ^ {2 },\kropki }$$

lub sekwencja tego samego typu ze wspólnym mnożnikiem $do$ { $displaystyle c}$ . W większości spiral Doyle'a środki okręgów na jednym ramieniu leżą na spirali logarytmicznej , a wszystkie otrzymane w ten sposób spirale logarytmiczne spotykają się w jednym centralnym punkcie. Zamiast tego niektóre spirale Doyle'a mają koncentryczne okrągłe ramiona (jak na pokazanym witrażu) lub proste ramiona.

Liczenie ramion

Dokładny kształt dowolnej spirali Doyle'a można sparametryzować trzema liczbami naturalnymi , licząc liczbę ramion każdego z jej trzech kształtów. Kiedy jeden kształt ramienia występuje nieskończenie często, jego liczbę definiuje się jako 0, a nie ∞ $\ displaystyle \ infty}$ . $displaystyle p$$}$ gdzie p ${ \ displaystyle q}$ opisać jako typu , { i to dwie największe liczby w posortowanej kolejności ${\ displaystyle p \ leq q}$ .

2 ramiona

6 ramion

8 ramion

Liczenie ramion każdego typu w spirali typu (6,8)

Każda para ${\ Displaystyle (p, q)}$ z ${\ Displaystyle 1 <q / 2 \ równoważnik p \ równoważnik q}$ określa spiralę Doyle'a, z trzecią i najmniejsza liczba ramion równa ${\ displaystyle qp}$ . Kształt tej spirali jest określony jednoznacznie przez te liczby, aż do podobieństwa . Dla spirali typu ${\ Displaystyle (p, q)}$ mnożniki , $są$ promienia $i$ b $\ Displaystyle b}$ liczbami algebraicznymi których wielomiany mogą być określony na $displaystyle$ i $q}$ . Te mnożniki promienia można dokładnie przybliżyć za pomocą wyszukiwania numerycznego, a wyniki tego wyszukiwania można wykorzystać do określenia wartości liczbowych rozmiarów i pozycji wszystkich okręgów .

Symetria

Spirala Doyle'a (6,8) w ramach transformacji Möbiusa. Wzór stycznych jest zachowany, ale trzy najbardziej zewnętrzne okręgi nie są otoczone ich pierścieniem stycznych okręgów.

Spirale Doyle'a mają symetrie, które łączą skalowanie i obrót wokół punktu centralnego (lub translację i obrót, w przypadku regularnego sześciokątnego upakowania płaszczyzny za pomocą okręgów jednostkowych), przenosząc dowolny okrąg upakowania do dowolnego innego okręgu. Zastosowanie transformacji Möbiusa do spirali Doyle'a zachowuje kształt i styczność jej okręgów. Dlatego transformacja Möbiusa może wytworzyć dodatkowe wzory nieprzecinających się stycznych okręgów, z których każdy jest styczny do sześciu innych. Wzory te zazwyczaj mają wzór podwójnej spirali, w którym połączone sekwencje okręgów spiralnie wychodzą z jednego punktu środkowego (obraz środka spirali Doyle'a) do innego punktu (obraz punktu w nieskończoności ) . Jednak nie spełniają one wszystkich wymagań spiral Doyle'a: niektóre okręgi w tym wzorze nie będą otoczone sześcioma sąsiednimi okręgami.

Przykłady i przypadki szczególne

Loxodromiczna sekwencja Coxetera stycznych okręgów , spirala Doyle'a typu (2,3)

Najbardziej ogólny przypadek spirali Doyle'a ma trzy różne mnożniki promienia, wszystkie różne od 1, i trzy różne liczby ramion, wszystkie niezerowe. Przykładem jest loxodromiczna sekwencja stycznych okręgów Coxetera , spirala Doyle'a typu (2,3), z liczbą ramion 1, 2 i 3 oraz z mnożnikami promienia za = $Displaystyle a = \ varphi + {\ sqrt {\ varphi}}}$ , ${\ Displaystyle b = a ^ {3}}$ i do $\ Displaystyle c = a ^ {2}}$ , gdzie oznacza ${\ Displaystyle \ varphi}$ złoty podział . $W$ obrębie pojedynczego ramienia spiralnego o najciaśniejszej krzywiźnie okręgi w sekwencji loksodromicznej Coxetera tworzą sekwencję, której promienie są . Każde cztery kolejne okręgi w tej sekwencji są styczne.

Kiedy dokładnie jedno z trzech zliczeń ramion wynosi zero, zliczane ramiona są okrągłe, z mnożnikiem promienia 1. Liczba okręgów w każdym z tych okrągłych ramion jest równa liczbie ramion każdego z pozostałych dwóch typów. Wszystkie okrągłe ramiona są koncentryczne, wyśrodkowane w miejscu, w którym spotykają się ramiona spiralne. Na zdjęciu witrażowego okna kościoła dwa pierścienie dziewięciu kół należą do spirali Doyle'a tej formy typu (9,9).

Ramiona proste są produkowane do liczenia ramion ${\ displaystyle p = q/2}$ . W tym przypadku dwa typy ramion spiralnych mają ten sam mnożnik promienia i są swoimi lustrzanymi odbiciami. Rąk prostych jest dwa razy więcej niż spiral obu typów. Każde proste ramię jest utworzone przez okręgi o środkach leżących na promieniu przechodzącym przez punkt środkowy. Ponieważ liczba prostych ramion musi być parzysta, proste ramiona można pogrupować w przeciwne pary, przy czym dwa promienie z każdej pary spotykają się, tworząc linię. Przykładem jest spirala Doyle'a (8,16) z Popular Science , z ośmioma ramionami spiralnymi w taki sam sposób, jak zacienione ramię, kolejnymi ośmioma odbitymi ramionami i szesnastoma promieniami.

Sześciokątne upakowanie okręgów jednostkowych

Ostatnim przypadkiem szczególnym jest spirala Doyle'a typu (0,0), regularne sześciokątne upakowanie płaszczyzny za pomocą okręgów jednostkowych. Jego mnożniki promienia są wszystkie równe, a jego ramiona tworzą równoległe rodziny linii o trzech różnych nachyleniach.

Aplikacje

Spirale Doyle'a tworzą dyskretny odpowiednik funkcji wykładniczej , jako część bardziej ogólnego zastosowania opakowań kołowych jako dyskretnych odpowiedników map konforemnych . Rzeczywiście, wzory bardzo przypominające spirale Doyle'a (ale wykonane ze stycznych kształtów, które nie są okręgami) można uzyskać, stosując mapę wykładniczą do przeskalowanej kopii regularnego sześciokątnego opakowania koła . Trzy stosunki promieni między sąsiednimi okręgami, ustalone w całej spirali, można postrzegać jako analogiczne do charakterystyki mapy wykładniczej jako mającej stałą pochodną Schwarza . Spirale Doyle'a zostały wykorzystane do badania grup Kleinowskich , dyskretnych grup symetrii przestrzeni hiperbolicznej , poprzez osadzenie tych spiral na kuli w nieskończoności przestrzeni hiperbolicznej i podniesienie symetrii każdej spirali do symetrii samej przestrzeni .

Spirale stycznych okręgów, często z liczbami ramion Fibonacciego , były używane do modelowania filotaksji , spiralnych wzorców wzrostu charakterystycznych dla niektórych gatunków roślin, poczynając od prac Gerrita van Itersona w 1907 r . W tym kontekście ramię spirali Doyle'a nazywa się parastichią , a liczby ramion spirali Doyle'a nazywane są liczbami parastichy . Kiedy dwie liczby parastichy $są$ liczbami Fibonacciego $i są następujące po sobie lub oddzielone tylko jedną liczbą Fibonacciego$ to trzecia liczba parastichy również będzie liczbą Fibonacciego . Mając $w swojej pracy na$ zwracając powiązania na uwadze, Arnold Emch w 1910 roku obliczył pozycje okręgów w spiralach Doyle'a typu i funkcja wykładnicza . Do modelowania wzrostu roślin w ten sposób można również zastosować spiralne upakowania okręgów stycznych na powierzchniach innych niż płaszczyzna, w tym cylindry i stożki .

Spiralne wypełnienia kół były również badane jako motyw dekoracyjny w projektach architektonicznych .

Powiązane wzory

Wzory spiralne inne niż Doyle'a uzyskane przez umieszczenie okręgów jednostkowych w równych przesunięciach kątowych na spirali Fermata ; centralny obraz to ten z przesunięciami kątowymi o złotym współczynniku

Styczne okręgi mogą tworzyć spiralne wzory, których lokalna struktura przypomina raczej kwadratową siatkę niż sześciokątną siatkę, która może być w sposób ciągły przekształcana w upakowania Doyle'a. Przestrzeń spiralnych opakowań lokalnie kwadratowych jest nieskończenie wymiarowa, w przeciwieństwie do spiral Doyle'a, które można określić za pomocą stałej liczby parametrów. Możliwe jest również opisanie spiralnych układów nakładających się okręgów, które pokrywają płaszczyznę, zamiast nie przecinających się okręgów, które pakują płaszczyznę, z każdym punktem płaszczyzny pokrytym co najwyżej dwoma okręgami, z wyjątkiem punktów, w których trzy okręgi spotykają się pod kątem ${ \displaystyle 60 ^ {\ circ}}$ kątów, a każdy okrąg otoczony jest sześcioma innymi. Mają one wiele właściwości wspólnych ze spiralami Doyle'a.

Spirala Doyle'a nie powinna być mylona z innym spiralnym układem kół , badanym pod kątem pewnych form wzrostu roślin, takich jak główki nasion słonecznika . W tym wzorze okręgi mają rozmiar jednostkowy, a nie rosną logarytmicznie i nie są styczne. Zamiast mieć środki na spirali logarytmicznej, $one$ , złoty kąt $podziałem$ spirali, gdzie jest złotym .

Dalsza lektura

• Yamagishi, Yoshikazu; Sushida , Takamichi ( kwiecień 2017 ) _ _ _ _ _

Linki zewnętrzne

• Badacz spirali Doyle , Robin Houston